코시 정리(기하학)

Cauchy's theorem (geometry)

코시의 정리는 기하학에서 어거스틴 코시의 이름을 딴 정리입니다. 3차원 볼록 다각형과 대응하는 면이 서로 합동이어야 한다는 것입니다. 즉, 어떤 면이 서로 연결되어야 하는지를 설명하는 접착 지침과 함께 다면체의 면을 평평한 표면에 펼쳐서 형성된 어떤 다면체 그물은 원래 다면체의 모양을 고유하게 결정합니다. 예를 들어, 정육면체 모양으로 정사각형 여섯 개가 연결되어 있다면, 정육면체 모양이 되어야 합니다. 똑같은 모양이 아닌 똑같은 방식으로 정사각형 여섯 개가 연결된 볼록 다면체는 없습니다.

이것은 강성 이론의 근본적인 결과입니다: 정리의 한 결과는 다면체의 가장자리를 따라 유연한 힌지로 다면체 면 각각에 대해 단단한 판을 연결하여 볼록 다면체의 물리적 모델을 만들면 이러한 판과 힌지의 앙상블은 반드시 단단한 구조를 형성한다는 것입니다.

진술

볼록 정이십면체

P와 Q가 조합적으로 동등한 3차원 볼록 다각형이라고 하자. 즉, 이들은 동형의 면 격자를 갖는 볼록 다각형이다. P와 Q의 대응하는 면의 각 쌍이 서로 합동이며, 즉 강체 운동과 같다고 가정합니다. 그렇다면 P와 Q는 그 자체로 합동입니다.

볼록성이 필요하다는 것을 알기 위해서는 정이십면체를 생각해 보세요. 꼭짓점을 "밀어서" 정이십면체와 여전히 조합적으로 동등한 볼록하지 않은 다면체를 만들 수 있습니다. 그것을 볼 수 있는 또 다른 방법은, 오각뿔을 꼭짓점 주위에 두고 그것을 반사하는 것입니다.

역사

그 결과는 유클리드의 원소에서 비롯되었는데, 여기서 고체는 동일한 것이 그들의 얼굴에 대해 성립한다면 동등하다고 불립니다. 이 버전의 결과는 라그랑주의 초기 연구를 바탕으로 1813년 코시에 의해 증명되었습니다. 코시의 주요 보조자 증명의 오류는 에른스트 슈타이니츠, 아이작 야콥 쇤베르크, 알렉산드르 다닐로비치 알렉산드로프에 의해 수정되었습니다. 코시의 교정된 증명은 너무 짧고 우아해서 '책에서 나온 증명' 중 하나로 여겨집니다.[1]

일반화 및 관련 결과

  • 의 평면이나 비볼록 다면체에 대해서는 결과가 유지되지 않습니다 : 얼굴 모양을 보존하는 하나 이상의 자유도를 갖는 비볼록 유연 다면체가 존재합니다. 특히, 브리카드 팔각형은 1897년 프랑스 수학자 라울 브리카드가 발견한 자기 교차 유연한 표면입니다. 2구와 동형인 유연한 비볼록 다면체인 코넬리 구체는 1977년 로버트 코넬리에 의해 발견되었습니다.[2][3]
  • 원래는 3차원에서 Cauchy에 의해 증명되었지만, 그 정리는 Alexandrov(1950)에 의해 3차원보다 높은 차원으로 확장되었습니다.
  • 코시의 강성 정리는 코시의 정리에서 나온 결론으로 볼록한 다면체는 그 면이 강성을 유지하도록 변형될 수 없다는 것입니다.
  • 1974년 Herman Gluck은 정확한 의미에서 거의 모든 단순히 연결된 닫힌 표면이 강직하다는 것을 보여주었습니다.[4]
  • 덴의 강성 정리는 코시 강성 정리를 무한히 작은 강성으로 확장한 것입니다. 이 결과는 1916년에 덴에 의해 얻어졌습니다.
  • Alexandrov의 유일성 정리는 Alexandrov(1950)의 결과로, 볼록 다면체가 표면에 있는 측지학의 미터 공간에 의해 고유하게 설명된다는 것을 보여줌으로써 Cauchy의 정리를 일반화했습니다. 매끄러운 표면에 대한 유사한 유일성 정리는 1927년 Cohn-Vossen에 의해 증명되었습니다. 포고렐프의 유일성 정리는 포고렐프가 이 두 결과를 모두 일반화하여 일반 볼록면에 적용한 결과입니다.

참고 항목

참고문헌

  1. ^ Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2014). Proofs from THE BOOK. Springer. pp. 91–93. ISBN 9783540404606.
  2. ^ Connelly, Robert (1977). "A counterexample to the rigidity conjecture for polyhedra" (PDF). Publications Mathématiques de l'IHÉS. 47: 333–338. doi:10.1007/BF02684342. ISSN 0073-8301. S2CID 122968997.
  3. ^ Connelly, Robert (1979). "The Rigidity of Polyhedral Surfaces". Mathematics Magazine. 52 (5): 275–283. doi:10.2307/2689778. JSTOR 2689778.
  4. ^ Gluck, Herman (1975). "Almost all simply connected closed surfaces are rigid". In Glaser, Leslie Curtis; Rushing, Thomas Benjamin (eds.). Geometric Topology. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 438. Springer Berlin Heidelberg. pp. 225–239. doi:10.1007/bfb0066118. ISBN 9783540374121.