동형사상

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수학에서, 동형사상은 같은 유형의 두 구조 사이의 구조를 보존하는 매핑으로, 역매핑에 의해 반전될 수 있다.만약 두 수학적 구조 사이에 동형성이 존재한다면, 두 구조는 동형이다.The word isomorphism is derived from the Ancient Greek: ἴσος isos "equal", and μορφή morphe "form" or "shape".

동형사상에 대한 관심은 두 개의 동형물체가 동일한 속성을 가지고 있다는 사실에 있다(추가 구조나 객체의 이름과 같은 추가 정보는 제외).따라서 동형구조는 구조 관점에서만 구별할 수 없으며 식별될 수 있다.수학 전문용어로, 사람들은 두 물체가 ^{[citation needed]}동형사상까지 동일하다고 말한다.

자기동형은 구조에서 자기 자신으로의 동형이다.두 구조 사이의 동형사상은 두 구조 사이에 하나의 동형사상이 있거나(보편적 특성의 해법처럼), 또는 다른 동형사상보다 훨씬 더 자연스러운(어떤 의미에서는) 경우에 정준 동형사상(동형사상인 정준형사상)이다.예를 들어 소수 p마다 p원소를 갖는 모든 필드는 캐논적으로 동형이며 고유한 동형성을 가진다.동형 이론들은 고유하지 않은 정준 동형을 제공한다.

동형이라는 용어는 주로 대수 구조에 사용된다.이 경우 매핑은 동형사상이라고 불리며 동형사상은 동형사상인 경우에만 동형사상입니다.

수학의 다양한 영역에서, 동형사상은 고려 중인 구조의 유형에 따라 특수화된 이름을 얻었다.예를 들어 다음과 같습니다.

• 등각은 메트릭 공간의 동형사상입니다.
• 동형사상은 위상공간의 동형사상이다.
• 미분동형은 미분구조, 전형적으로 미분가능한 다양체를 갖춘 공간의 동형이다.
• 치환이란 집합의 자기동형성을 말합니다.
• 기하학에서 동형변환과 자기동형은 종종 변환이라고 불립니다. 예를 들어 강성변환, 아핀변환, 사영변환입니다.

구조 간 매핑의 개념을 공식화한 것으로 볼 수 있는 범주 이론은 이러한 기본 아이디어의 다른 측면에 대한 접근을 통일하기 위해 사용될 수 있는 언어를 제공합니다.

예

로그 및 지수

$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$+ {\$displaystyle \mathbb {R}$^{+}}을$$(를) 양의 실수 곱셈군,$$R {\$displaystyle \mathbb {R}}$을(를) 실수 가산군이라고 하자.

로그 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ 로그${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ + ${\displaystyle \to }$$$ {\$displaystyle \$${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $:\mathbb {R} ^{+}\$$to$$\mathbb {R}$}은$$(는${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle =}$ log${\displaystyle x}$x + log${\displaystyle y}$y \ $displaystyle$${\displaystyle {}^{}}$\$log$ ($xy$$)$ = \ $log$x +${\displaystyle {}^{}}$\ $log x$ + \ mathbb in ,$$\ $mathb$ y$$)를$$ $만족$합니다.지수 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$exp : ${\displaystyle R\mathbb{}}$$→$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ + \$displaystyle$$$\$exp$ $:\mathbb {$${\displaystyle R}$$}$\to \$mathbb$ ${$$R$ ${\displaystyle ^\{+\}}$는 ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $y,$ y${\displaystyle ,}$ y, y, ${\displaystyle y}$, y${\displaystyle ,}$ $y,$ y, y, y, y${\displaystyle ,}$ y, y, y, y$,$ ${\displaystyle y}$, y, y${\displaystyle ,}$ y, y를 $만족$시킵니다$.$

${\displaystyle \mathrm{ID}}$ 로그${\displaystyle \exp }$ exp ${\displaystyle 、}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle =}$ \ $displaystyle \ exp$ x =$x$} ${\displaystyle \mathrm{및<img\; alt="\backslash log\; \backslash exp\; x=x"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/7c797bda03ee72306125da548061676856363682"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:13.056ex;\; height:2.509ex;">}}$ exp$$ log $=$ y$${ $displaystyle$\ $exp$ $y }$는$$로그와$$ exp$${ $displaystyle$ \ exp $}$가 서로 반대임을 ${\displaystyle \mathrm{나타냅니다}}$.log$${\$displaystyle \log}$는 동형사상이며, 또한 동형사상인 역수를 가지므로$$${\displaystyle \log }$ {\$displaystyle \log}$는 ${\displaystyle \mathrm{그룹}}$의 동형사상입니다.

log$$\$displaystyle \log }$ 함수는$$ ${\displaystyle 양}$의 실수의 곱셈을 실수의 덧셈으로 변환하는 동형사상입니다.이 기능을 사용하면 자 및 로그 표를 사용하거나 로그 척도의 슬라이드 규칙을 사용하여 실수를 곱할 수 있습니다.

정수 모듈로 6

${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$( Z 6 ,${\displaystyle }$+ $),$ (\$displaystyle (\mathbb {Z} _{6},+}),$ 0 ~5 의 정수$({\displaystyle }$더하기 모듈로 6)에$$ 대해 설명합니다.또한 그룹$({\displaystyle }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$× ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$+ $),$ {\$displaystyle \left(\mathbb {Z} _{$2} \times $\mathbb {Z} _{3},+\right})}$의 순서쌍을 고려합니다.여기서 x 좌표는 0 또는 1이 될 수 있으며, y 좌표에 y를 더하면 2가 더하면 2가 됩니다.

이러한 구조는 다음과 같은 체계에 따라 추가로 동형화된다.

또는 일반적으로${\displaystyle }$(${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b)}$(${\displaystyle 3}$a + ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle mod\mathrm{}}$6$.\displaystyle (a, b)\mapsto (3a+4b)\mod$6.

예를 들어 (${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$+${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$0 )${\displaystyle =}$ (${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$, $({displaystyle ($1$,1)+(1,0$)=($0,1),}$ 은$$ 다른 시스템에서 1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle =}$ 4${\displaystyle \mathrm{.}}${$displaystyle$ 1$+3=4$로 $변환$됩니다$.$$}$

이 두 그룹은 집합이 서로 다른 요소를 포함하고 있다는 점에서 "외관상" 다르지만, 두 그룹의 구조는 완전히 동일하기 때문에 실제로 동형입니다.보다 일반적으로, 두 개의 ${\displaystyle {}_{}}$ Z$$m ${\displaystyle \mathbb {Z}$ $_$${m$} $및{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$n ${displaystyle \$$mathbb {Z} _{n$}}의 직접곱은 m과 n이 코피임인 경우에만 (${\displaystyle Z_{}}$m${\displaystyle }$, +$)$와${\displaystyle }$동형이다.

관계 보존 동형사상

한 개체가 2진수 관계가 R인 집합 X로 구성되고 다른 개체가 2진수 관계가 S인 집합 Y로 구성되는 경우 X에서 Y로의 동형은 다음과 같은 ^[1]쌍사 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle :X}$ ${\displaystyle \to }$(\$style$ f$:X\to$Y)가$$ 됩니다.

S는 반사적, 비반사적, 대칭적, 반대칭적, 비대칭적, 전이적, 총, 삼차적, 부분적 순서, 전체 순서, 우량 순서, 엄격한 약순서, 총 사전 순서(약순), 등가 관계 또는 R이 다른 특수 속성과의 관계인 경우에만 해당된다.

예를 들어, R은 순서 and, S는 순서${\,$ \$displaystyle \scriptstyle$ \$subseteq,$ 그리고$$ X에서Y로의 동형사상은 bijjective $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle :X}$ ${\displaystyle \to }$ $(\displaystyle$ f$:X\to$ Y$)$입니다.

이러한 동형성을 순서 동형성 또는 (적게는) 아이소톤 동형성이라고 한다.

X ${\displaystyle =Y}$, {$style$ X$=Y,}$인 경우 이는 관계를 유지하는 자동 형태입니다.

적용들

대수학에서, 동형사상은 모든 대수 구조에 대해 정의된다.예를 들어 다음과 같이 구체적으로 연구되고 있습니다.

• 벡터 공간 간의 선형 동형사상으로, 가역 행렬로 지정됩니다.
• 그룹간의 동형사상; 유한 그룹의 동형사상 클래스의 분류는 미해결 문제이다.
• 링 사이의 링 동형사상.
• 필드 동형은 필드 사이의 고리 동형성과 동일하다; 그들의 연구, 더 구체적으로 필드 자기 동형성에 대한 연구는 갈로아 이론의 중요한 부분이다.

대수 구조의 자기동형이 그룹을 형성하는 것처럼, 공통 구조를 공유하는 두 대수 사이의 동형성은 힙을 형성한다.특정 동형성을 통해 두 개의 구조를 식별할 수 있게 되면 이 힙이 그룹으로 바뀝니다.

수학 해석학에서, 라플라스 변환은 딱딱한 미분 방정식을 더 쉬운 대수 방정식으로 매핑하는 동형사상이다.

그래프 이론에서, 두 그래프 G와 H 사이의 동형사상은 f$($u$)$에서 f$v)$까지 가장자리가 있는 경우에만 G에서 정점 u에서 정점 v까지 가장자리가 있다는 의미에서 G의 정점에서 H의 정점으로 가는 쌍사적 지도 f이다$.$그래프 동형사상

수학 해석에서, 두 힐베르트 공간 사이의 동형사상은 덧셈, 스칼라 곱셈 및 내적을 보존하는 분사이다.

논리 원자론의 초기 이론에서, 사실과 진실된 명제 사이의 형식적인 관계는 버트런드 러셀과 루트비히 비트겐슈타인에 의해 동형이라고 이론화 되었다.이러한 생각의 한 예는 러셀의 수학 철학 입문서에서 찾을 수 있다.

사이버네틱스에서, 좋은 조절기 또는 코난트-애쉬비 정리는 "시스템의 모든 좋은 조절기는 그 시스템의 모델이 되어야 한다"고 명시된다.규제 또는 자가 조절에 관계없이 조절기와 시스템의 처리 부품 사이에 동형이 필요합니다.

범주 이론 뷰

범주 이론에서, 범주 C가 주어졌을 때, 등형사상은 ${\displaystyle f}$${\displaystyle }$g${\displaystyle }$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ \$$$display fg →$1 _ ${$b$$ } ,$$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle =}$ 1 a .$display$ g : ${\displaystyle a}$ , \ $display$ $g : b$ , $to$a , , , , $f$ = ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$. display g$$=$1$display g . f . f . f . a$$} 를$$ $가지는{\displaystyle }$ $형태소$이다.벡터 공간 사이의, 그리고 역방향도 연속인 생물 연속 함수는 위상 공간 사이의 동형사상이라고 불리는 동형사상입니다.

두 $범주{\displaystyle C}$와 D는 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ F$:$ C ${\displaystyle \to }$ D(\$displaystyle$ F$:$$C\to$ D$}$ $및$ G : ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \to }$ \ $displaystyle$G :$서로$ 반비례하는 D$$$\to$ C$}$ 즉, ${\displaystyle F}$ G ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ($Display FG$=$1$_ {$D}$ )와 G F ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ (Display $style$ GF =$1$_ {$C}$ )입니다.

동형성 대 비주사적 형태성

위상 공간의 범주 또는 대수 객체의 범주(그룹의 범주, 링의 범주, 모듈의 범주 등)와 같은 구체적인 범주(대략적으로, 객체가 집합(아마도 추가 구조를 갖는 것) 및 형태론이 구조 보존 함수인 범주)에서, 동형사상은 반드시 생물적이어야 한다.n 기본 세트대수적 범주(특히, 보편적 대수의 의미에서의 다양성의 범주)에서, 동형사상은 기본 집합에서 생물적인 동형사상과 동일하다.그러나, 비주사적 형태형이 반드시 동형사상이 아닌 구체적인 범주(예: 위상 공간의 범주)가 있다.

평등과의 관계

수학의 특정 영역, 특히 범주 이론에서, 한편으로는 평등과 다른 한편으로는 ^[2]동형사상을 구별하는 것은 가치가 있다.평등이란 두 물체가 정확히 동일할 때, 그리고 한 물체에 대해 진실인 모든 것이 다른 물체에 대해 진실인 반면, 동형사상은 한 물체의 구조의 지정된 부분에 대해 진실인 모든 것이 다른 물체에 대해 진실인 것을 의미한다.예를 들어, 세트는

는 동일하며, 이들은 단순히 같은 정수 서브셋의 다른 표현일 뿐입니다.첫 번째 표현은 집약적 표현(set builder 표기법)이고 두 번째 확장(명시적 열거에 의한 표현)입니다.반면 세트${\displaystyle }${${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ $}({displaystyle$\{$A, B, C\})$와 $\{{\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2,}$ 3$}({displaystyle$\{1$, 2, 3\})$은 동일하지 않습니다.첫 번째 세트에는 문자 요소가 있고 두 번째 세트에는 숫자가 있습니다.유한 집합은 카디널리티(원소의 수)에 의해 동형까지 결정되고, 둘 다 3개의 요소를 가지기 때문에, 이것들은 집합으로서 동형이다. 그러나 동형성의 많은 선택들이 있다: 하나의 동형성은

$、$$text$$A}}\mapsto1,{\text{$$B}}\mapsto$ 2, {\$text{C}}\mapsto$ 3$,},$ 다른$$ $하나$는 A${\displaystyle 3}$ 3, B${\displaystyle 2}$2, C${\displaystyle 1}$ 1,$$\$display${ $text$}$A}}\mapsto 3, {\text{$$B}}\mapsto 2, {\text {C}}\mapsto 1,}$

그리고 어떤 동형도 본질적으로 ^{[note 1][note 2]}다른 어떤 것보다 낫지 않다.이러한 관점에서 그리고 이러한 의미에서, 이 두 집합은 동일하다고 볼 수 없기 때문에 동일하지 않다. 즉, 둘 사이에 동형성을 선택할 수 있지만, 그것은 동일성보다 약한 주장이며, 선택된 동형성의 맥락에서만 유효하다.

때때로 동형사상은 명백하고 설득력 있어 보일 수 있지만 여전히 동등하지는 않다.간단한 예로, 조, 존, 바비 케네디의 계보 관계는 실제로 매닝 가문의 미식축구 쿼터백과 같습니다.아치, 페이튼, 그리고 일라이.부자간 짝짓기와 형, 동생간 짝짓기가 잘 어울린다.두 패밀리 구조 사이의 유사성은 동형사상(그리스어 iso-, "same" 및 -morph, "form" 또는 "shape")의 기원을 보여준다.하지만 케네디는 매닝스와 같은 사람들이 아니기 때문에, 두 계보 구조는 단지 동형일 뿐이지 동등하지 않다.

또 다른 예는 더 형식적이고 더 직접적으로 등식을 동형 사상과 구별하는 동기를 나타낸다: 유한 차원 벡터 공간 V와 그 $이중{\displaystyle {}^{}}$ 공간 V${\displaystyle {}^{}}$∗${\displaystyle {}^{}}$ {$v$ : ${\displaystyle V\mathbf{}}$ $=$ K$$} { $display$ V$^{*}$= \left \${\varphi$: V\to \$mathbf {K}$ } ~ $V\}$의 선형 지도와 구별.$.$ {\$displaystyle \mathbf {K}$ 이$$ 공간들은 차원이 같기 때문에 추상 벡터 공간과 동형이다(대수적으로 벡터 공간은 차원으로 분류되기 때문에 집합이 카디널리티로 ${\displaystyle 분류}$되듯이). 그러나 $등형성$ V${\displaystyle \stackrel{}{}\to \stackrel{}{}}$ ~ $V$$$ ∗ $∗$ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ ${\$k k k k k k k k k k k k k k k k k of of of k k k k k k k k k k k k k k k$hrel${\$sim }$ {\$to$}$V^{*}$ V의$$ 기저를 선택하면 다음과 같은 동형이 생성됩니다.$모든{\displaystyle }$u, ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle †}$ $,$ {\$displaystyle$u, $v\in$ V$}$에 대하여

이것은 전치함으로써 열 벡터(V의 원소)를 행 벡터(V*의 원소)로 변환하는 것에 해당하지만, 다른 기저를 선택하면 다른 동형성을 얻을 수 있다. 즉, 이형성은 "기반의 선택에 따라 달라진다".보다 미묘하게 벡터 공간 V에서 이중 $이중{\displaystyle {}^{}}$ 이중 V${\displaystyle {}^{}}$δ ${\displaystyle {}^{}}${${\displaystyle x}$ : ${\displaystyle {}^{}}$δ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle K\mathbf{}}$ $}$ {$display$ V^{*}$=\left\{x:$$V^{*}\to \mathbf {K}$ \$right\}:$ 기본$$ 선택에 의존하지 않습니다.$모든{\displaystyle }$ v${\displaystyle v}$ V ${\displaystyle v}$ {\$、$ \ $displaystyle$v \ $in$ V { \$text$ { $and$} } \ $varphi$\ $in$ V$^$ { * } 。

이는 세 번째 개념인 자연스러운 동형사상으로 이어집니다.V$(\displaystyle$ V$)$와 V$(\$ V$^{**})$는 서로 다른 집합이지만 $둘{\displaystyle }$ 사이에는 "자연스러운" 동형사상이 선택됩니다."임의적인 선택에 의존하지 않는 동형"의 이 직관적인 개념은 자연 변환의 개념으로 공식화된다. 간단히 말해서 유한 차원 벡터 공간을 V ${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ ~ ${\displaystyle V{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ , \displaystyle $\script style$ V$\mathrel${\$overset},$ \$displaystyle$ \script style V\math {\overset$}$에 일관되게 식별할 수 있다.$\sim$} {\$to$}}: $V^{*},$ 임의의$$ 벡터 공간에 대해 일관된 방식으로 지정합니다.이 직관을 공식화하는 것은 범주 이론의 발전 동기가 된다.

그러나 보통 자연 동형성과 평등의 구분이 이루어지지 않는 경우가 있다.그것은 보편적 성질에 의해 특징지어질 수 있는 물체에 대한 것이다.사실, 동일한 보편적 속성을 공유하는 두 물체 사이에는 필연적으로 자연스러운 독특한 동형성이 존재한다.대표적인 예로 무한 소수 확장, 무한 이진수 확장, 코시 시퀀스, 데데킨드 컷 등을 통해 정의할 수 있는 실수 집합을 들 수 있습니다.형식적으로, 이러한 구성들은 동일한 보편적 속성을 가진 모든 솔루션인 서로 다른 객체를 정의합니다.이들 물체는 성질이 완전히 같기 때문에 시공법을 잊어버리고 동등하다고 생각할 수 있다.이것은 모두가 "실수의 집합"을 언급할 때 하는 것입니다.몫 공간에서도 마찬가지입니다. 일반적으로 동등성 클래스 집합으로 구성됩니다.그러나 집합 집합을 참조하는 것은 직관에 반할 수 있으므로, 일반적으로 몫 공간은 종종 "점"이라고 불리는 미결정 객체의 집합과 이 집합의 투영 지도로 간주됩니다.

임의의 동형(선택에 따라 다름)과 자연 동형(일관적으로 할 수 있음)을$$ 구별하려면 V ${\displaystyle {}^{}}$ V $∗$ V ${\displaystyle {\ast }^{}}$ V ∗ V$$∗ V ∗ \ ∗ V$$$v$ \ v V v \ v V v \ v V ∗ v \ v V ${\displaystyle {}^{}}$ $v$ ≅ ≅ ≅ ≅ ≅ ≅${\displaystyle }$≅ ≅ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗$.$ {\$displaystyle$ V$\cong$ V$^{**}$ 이$$ 규칙은 보편적으로 지켜지지 않으며, 부자연 동형사상과 자연 동형사상을 구별하고자 하는 저자들은 일반적으로 그 구별을 명확하게 말할 것입니다${\displaystyle .}$

일반적으로 두 개체가 동일하다고 하는 것은 이러한 개체가 살고 있는 더 큰(주변) 공간에 대한 개념이 있을 때를 위해 예약되어 있습니다.대부분의 경우 특정 집합의 2개의 서브셋의 동일성에 대해 언급하지만(위의 정수 집합 예에서와 같이), 추상적으로 표현되는 2개의 오브젝트에 대해서는 언급하지 않습니다.예를 들어, 3차원 공간의 2차원 단위구

및 $복소{\displaystyle \mathbb{}}$ 평면 C${\displaystyle \cup }$ {${\displaystyle \mathrm{}}$∪ { }$$의 원포인트 콤팩트화({ display style \$mathbb {C}$ \$cup \{\infty$\}) 또는$$ 복소 투영 선(상수 공간)으로 표시할 수 있는 리만 구 $^$ {$style$\$widehat {C}$}수학적 개체의 3서로 다른 여러가지 설명, 이 모든 것을 이제는 단일 우주의 배우들이 아니라 모든 하위 집합 같지 않동형이다:R3의 첫번째 하위 집합,{\displaystyle \mathbb{R}니 ^{3},}두번째 C이다 ≅ R2{\displaystyle \mathbb{C}\cong\mathbb{R}^{2}}[주 3] 더한 추가. 점,세 번째는 ${\displaystyle {}^{}}2$의 서브인수입니다$.\$ $displaystyle \mathbb {C} ^{$$2$}$}$

범주 이론의 맥락에서, 객체는 대개 가장 동형적이다. 사실, 범주 이론의 발전 동기는 호몰로지 이론의 다른 구조가 동등한 (동형) 그룹을 산출한다는 것을 보여주는 것이었다.단, 2개의 오브젝트 X와 Y 사이의 맵을 보면 (둘 다 ${\displaystyle \mathrm{set}}$ hom ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle Y}$) ,$$\$displaystyle \hom ( X$ ,$Y$ )의$$ 요소이기 때문에) 동등성이 적절한 관계이며, 특히 가환도에서는 동일하지 않은지 여부를 묻습니다.

참고 항목: 동형성을 등식의 종류로 취급할 수 있는 호모토피 타입 이론.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

추가 정보

• Mazur, Barry (12 June 2007), When is one thing equal to some other thing? (PDF)

외부 링크

• "Isomorphism", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Isomorphism". MathWorld.