중력 퍼텐셜

균일한 구면체 내 및 주변 중력 전위의 2차원 슬라이스 플롯.단면의 변곡점은 본체의 표면에 있습니다.

고전 역학에서, 한 위치의 중력 전위는 고정된 기준 위치에서 그 위치로 물체를 이동시키는 데 필요한 단위 질량 당 작업(에너지 전달)과 같다.이는 질량이 전하 역할을 하는 전위와 유사합니다.전위가 0인 기준 위치는 관례상 어떤 질량과도 무한히 떨어져 있기 때문에 유한한 거리에서도 음의 전위가 발생한다.

수학에서, 중력 전위는 뉴턴 전위라고도 알려져 있고 전위 이론 연구의 기본이다.또한 균일하게 충전되거나 편광된 ^[1]타원체로부터 발생하는 정전장 및 정전기장을 해결하는 데도 사용할 수 있다.

퍼텐셜

위치에서의 중력 퍼텐셜(V)은 단위 질량당 해당 위치의 중력 퍼텐셜 에너지(U)이다.

V=syslogfrac {U}{m}

여기서 m은 물체의 질량입니다.위치 에너지는 중력장이 물체를 무한대에서 주어진 위치로 이동시키는 작업과 같습니다.만약 물체의 질량이 1킬로그램이라면, 그 물체에 할당될 잠재 에너지는 중력 퍼텐셜과 같다.따라서 전위는 단위 질량을 무한대에서 이동하는 중력장에 의해 수행된 작업의 음으로 해석될 수 있습니다.

상황에 따라서는 위치에 거의 독립적인 필드를 가정함으로써 방정식을 단순화할 수 있습니다.예를 들어, 지구 표면에 가까운 영역에서 중력 가속도 g는 일정하다고 간주할 수 있습니다.이 경우, 한 높이에서 다른 높이로의 위치 에너지의 차이는 근사치까지 높이의 차이에 선형적으로 관련된다.

(\displaystyle\Delta U\약mg\Delta h)

수학적 형식

질량 M의 점 질량으로부터 거리 x에서의 중력 퍼텐셜 V는 단위 질량을 무한대에서 그 ^[2]^[3]^[4]^[5]점까지 가져오기 위해 외부 작용자가 수행해야 하는 작업 W로 정의할 수 있다.

V(\mathbf {x})=snap frac {W}{m}}=int _{\infty }^{x}\mathbf {F}\mathbf {x} =nap frac {1}{m}\int {\infty }{x}{m}{f}{f}{mAC}{{{f}}}}{f}{{f}}{f}}}}{f}}{f}}{frcf

여기서 G는 중력 상수이고 F는 중력이다.제품 GM은 표준 중력 파라미터이며 G 또는 M보다 별도로 높은 정밀도로 알려져 있습니다.전위에는 질량당 에너지 단위가 있습니다(예: MKS 시스템의 J/kg).관례상 정의되어 있는 곳은 항상 음수이며, x가 무한대에 가까워질수록 0에 가까워집니다.

중력장, 따라서 거대한 물체 주변의 공간에 있는 작은 물체의 가속은 중력 전위의 음의 기울기입니다.따라서 음의 기울기의 음은 무거운 물체를 향해 양의 가속을 생성합니다.전위에는 각도 성분이 없기 때문에 그 구배는 다음과 같습니다.

{\displaystyle \mathbf {a} =-{\frac {GM}{x^{3}}\mathbf {x} =-{\frac {GM}{x2}} {\hat {x}}},

여기서 x는 점 질량이 작은 물체를 가리키는 길이 x의 벡터이고

^(\

는

{\hat {\mathbf {x} }}

점 질량이 작은 물체를 가리키는 단위 벡터입니다.따라서 가속도의 크기는 역제곱 법칙을 따릅니다.

(\displaystyle \mathbf {a} = flac {GM} {x^{2}} ).}

질량 분포와 관련된 전위는 점 질량의 전위 중첩입니다.만약 질량 분포가 점 질량의 유한 집합이고, 점 질량이 점₁ x, ..., x에_n 있고 질량 m₁, ..., m을_n 가지고 있다면, 점 x에서의 분포의 잠재력은 다음과 같다.

\displaystyle V(\mathbf {x})=\sum _{i=1}^{n}-{\frac {Gm_{i}}{\mathbf {x}-\mathbf {x_{i}}}}}.}

점 x 및 r(회색)과 점 r에 있는 미분 질량 dm(r)에 r이 포함되어 있습니다.

만약 질량 분포가 3차원³ 유클리드 공간 R에서 질량 측정 dm으로 주어진다면, 전위는 ^[6]dm과 $-G/ r$ 의 제곱이다.좋은^{[clarification needed]} 경우 이는 적분입니다.

{\displaystyle V(\mathbf {x})=-\int _{\mathbb {R}^{3}}{\frac {G}{\mathbf {r}}}},dm(\mathbf {r}}},

여기

서

x -

r

은 점 x와 r 사이의 거리입니다.만약 dm

(r)

=

δ (r)

dv

(r

) dv

(

r)가 유클리드 부피 원소이고, 여기서 중력 전위는 부피 적분이다.

V(\mathbf {x})=-\int _{\mathbb {R}^{3}}{\frac {G}{\mathbf {r}}},\rho(\mathbf {r})dv(\mathbf {r})

V가 연속질량분포 δ(r)에서 나오는 전위함수일 경우 δ는 라플라스 연산자 $δ$ 를 사용하여 회복할 수 있다.

(\displaystyle \rho (\mathbf {x})=sq frac {1}{4\pi G}}\Delta V(\mathbf {x})}

이 값은 θ가 연속일 때 항상 점으로 유지되며 경계 집합의 바깥쪽은 0입니다.일반적으로 질량 측정 dm은 Laplace 연산자를 분포의 의미로 취하면 같은 방법으로 회복할 수 있다.결과적으로, 중력 전위는 포아송의 방정식을 만족시킨다.3변수 라플라스 방정식과 뉴턴 전위는 그린의 함수를 참조하십시오.

적분은 대칭 ^[7]및 퇴화를 포함한 모든 타원체 형상에 대해 알려진 초월 함수로 표현될 수 있다.여기에는 세 개의 반축이 같은 구, 두 개의 반축이 같은 타원형(참조 타원체 참조), 두 개의 반축이 무한인 축퇴형(타원과 원형 원통) 및 두 개의 반축이 무한인 무한 시트가 포함됩니다.이 모든 형상은 중력 전위 적분(고정 G와 별개로 θ는 일정한 전하 밀도)을 전자기학에 적용하는 데 널리 사용된다.

구대칭

구체대칭질량분포는 셸정리에 의해 모든 질량이 중심에 집중된 것처럼, 즉 사실상 점질량으로서 분포의 바깥쪽에 있는 관찰자에게 작용한다.지구 표면에서 가속도는 위도와 고도에 따라 약간 다르지만 소위 표준 중력 g(약 9.8m/s²)에 의해 주어진다.지구는 타원형 구상체이기 때문에 극지방에서 가속도의 크기는 적도보다 조금 더 크다.

구대칭 질량 분포 내에서 포아송 방정식을 구좌표로 푸는 것이 가능하다.반지름 R, 밀도 θ, 질량 m의 균일한 구형 물체 안에서, 구 내부의 중력 g는 중심으로부터의 거리 r에 따라 선형으로 변화하며, 구^[8]^[9] 내부의 중력 전위를 제공합니다.

\displaystyle V(r)=pi G\rho \left [r^{2}-3R^{2}\right]=pi frac {Gm}{2R^{3}}\left[r^{2}-3R^{2}\right],\qquad r\leq R,}

구체 외부에 대한 전위 함수와 차별화되도록 연결합니다(위 그림 참조).

일반상대성이론

일반 상대성 이론에서 중력 전위는 미터법 텐서로 대체된다.중력장이 약하고 광속에 비해 광원이 매우 느리게 움직이면 일반상대성이론이 뉴턴 중력으로 감소해 중력전위 ^[10]측면에서 미터법 텐서를 확장할 수 있다.

다극 확장

$점$ x에서의 전위는 다음과 같이 주어진다.

\displaystyle V(\mathbf {x})=-\int _{\mathbb {R}^{3}}{\frac {G}{\mathbf {r}}}\dm(\mathbf {r})}

질량 중심을 벡터 x와 r의 원점으로 하고 벡터 x의 선두에서 전위를 계산하는 점을 갖는 질량 분포(회색)의 그림.

전위는 일련의 Legendre 다항식으로 확장될 수 있습니다.x점과 r점을 질량 중심을 기준으로 한 위치 벡터로 나타냅니다.적분의 분모는 제곱근으로 표현되어 다음과 같이 표현된다.

{\displaystyle{\begin{정렬}(\mathbf{x})&,=-\int _{\mathbb{R}^{3}}{r}+\mathbf{r}^{2}}}}\,dm(\mathbf{r})\\&, =-{\frac{1}{\mathbf{)}}}\int _{\mathbb{R}^{3}}{\frac{G}{\sqrt{1-2{\frac{r}{\mathbf{)}}}\cos\theta +\left({\frac{r}{\mathbf{x}}}\right)^{2}^{2}-2\mathbf{)}\cdot \mathbf{\frac{G}{\sqrt{\mathbf{)}.}}}\,dm(\mathbf {r})\end {aligned}}

여기서, 마지막

적분

에서는,

r

= r과

θ

는 x와 r 사이의 각도이다.

('수학적 형식' 참조)적분자는 계수를 명시적으로 계산하여 Z = $r /$ $x$ 에서 Taylor 급수로 확장할 수 있습니다.같은 결과를 얻기 위한 덜 힘든 방법은 일반화 이항 ^[11]정리를 사용하는 것이다.결과 시리즈는 Legendre 다항식의 생성 함수입니다.

\displaystyle \left(1-2XZ+Z^{2}\오른쪽)^{-{\frac {1}{2}}\=\sum _{n=0}^{\infty }Z^{n}P_{n}(X)}

X

11

및

Z

<

1

에 유효합니다.계수_n P는 차수 n의 Legendre 다항식입니다.따라서 적분자의 Taylor

계수

는 X = cos

θ

에서 Legendre 다항식으로 주어진다.따라서 위치 x에 대해 수렴하는 직렬로 퍼텐셜을 확장할 수

있으며

, 시스템의 모든 질량 요소에

대해

r < x이다(즉, 시스템을 감싸고 있는 질량 중심을 중심으로 한 구면 외부):

{begin{x}V(\mathbf {x})&=-{\frac {G}{\mathbf {x}}}}\int \sum _{n=0}^{\infty}\leftfrac {r}{\mathbf {x}}}}}}\rac {\r}}}\wright}^{n}P_{n}(\cos \theta),dm(\mathbf {r})\&=-{\frac {G}{\mathbf {x}}}\int \left (1+\leftf {rac}}{\mathbf {x}}}}\cos \ta +\frechta {rf}\frfrac {x}\fr} {x}\cos\cos \ta \ta \ta \ta \ta {r} {r

적분

{\textstyle \int r\cos(\theta )\,dm}

{\textstyle \int r\cos(\theta )\,dm}

cos

{\textstyle \int r\cos(\theta )\,dm}

(

{\textstyle \int r\cos(\theta )\,dm}

)

{\textstyle \int r\cos(\theta )\,dm}

m

{\textstyle \int r\cos(\theta )\,dm}

\

textstyle \int

r

\cos

( \

theta

) ,

dm

은

{\textstyle \int r\cos(\theta )\,dm}

방향의 질량 중심 성분입니다.이것은 벡터 x 가 질량 중심에서 나오기 때문에 사라집니다.따라서, 적분을 합산 기호 아래에 대입하면

V(\mathbf {x})=-{\frac {GM}}}-{\frac {G}{\mathbf {x}}}\int \mathbf {x}}{\right}^2}{\frac3\cos2} - {ta} - {ta

이것은, 질량의 중심까지의 거리가 같은 경우를 비교하면, 물체의 신장 방향의 전위는 구형의 질량에 의한 전위에 비해 낮아지고, 수직 방향의 전위는 높아지는 것을 나타내고 있다(표면과의 거리가 같은 경우를 비교하면, 그 반대).

수치

중력의 잠재력과 관련 여러곳에서 인력에 절대 값은 from[해명 필요한]지구, 태양, 은하수 다음 표에서 주어진다, 즉 지구의 표면에 개체 또한 태양의 중력 필드를 떠나서 m지구의 중력장, 다른 900MJ/kg" 떠나"에서 60MJ/kg이 필요할 것광석 130GJ/kg보다.은하수의 중력장을 벗어나다전위는 탈출 속도의 절반이다.

위치	W.R.T. 어스	W.RT. 선	W.RT. 은하수
지구 표면	60 MJ/kg	900 MJ/kg	130 130 GJ/kg
레오	57 MJ/kg	900 MJ/kg	130 130 GJ/kg
보이저 1호(지구로부터 1700만 km)	23 J/kg	8 MJ/kg	130 130 GJ/kg
지구로부터 0.1광년	0.4 J/kg	140 kJ/kg	130 130 GJ/kg

이들 위치의 중력을 비교합니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

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레퍼런스

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