슈바르츠실트 해법의 도출

슈바르츠실트 솔루션은 회전하지 않는 구형 대칭 물체의 영향을 받는 시공간을 기술합니다.그것은 아인슈타인 ^{[citation needed]}장 방정식에 대한 가장 간단하고 유용한 해법 중 하나로 여겨진다.

전제 조건과 표기법

좌표$({\displaystyle }$ r${\displaystyle }$, ${\displaystyle ,}$ , ${\displaystyle ,}$ , $)$를 각각 1~4까지 라벨로 표시한 좌표 차트$({displaystyle \left(r,\theta,\phi,$t\right)에서$$ 우리는 가장 일반적인 형태의 메트릭(각각각 4개 변수의 부드러운 함수인 10개의 독립 성분)으로 시작한다.용액은 구형 대칭, 정적 및 진공으로 가정합니다.이 문서의 목적상, 이러한 전제 조건은 다음과 같이 기술할 수 있습니다(정확한 정의는 관련 링크를 참조하십시오).

1. 구대칭 시공간은 회전 및 미러 이미지 촬영 시 불변합니다.
2. 정적 시공간은 모든 미터법 성분이 시간 $좌표{\displaystyle }$ t${displaystyle$ t$}$와 독립적이며(${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$δ$μ$ ${\displaystyle 0}$ 0 \$display t}g_{\mu \nu$ }$$${\displaystyle =}$$$$tarrow$ t$)$ 시공간 기하학이 시간 $좌표{\displaystyle }$ t${\displaystyle }$→ $tarrow$ t - ${\displaystyle \mathrm{right}}$ $style$ t에서 변경되지 않은 것입니다.
3. 진공용액은 ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ b ${\displaystyle {}_{}}$ { $displaystyle T_{ab$=$0$ the from from 。아인슈타인장 방정식(우주상수 0$)$에서 ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle a_{}b\frac{}{}}$ - ${\displaystyle \frac{\mathrm{R}}{}}$ 2 ${\displaystyle g{}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ { $displaystyle R_{ab}$ $= 0$ {$fr-t$} $a$ $that{\displaystyle {}_{}}$ that ${\displaystyle \mathrm{a}}$ a ${\displaystyle {}_{}}$ 0 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a${\displaystyle R}$ ${\displaystyle =}$ { $displaystyle$ R =$0$ 。
4. 여기서 사용되는 메트릭시그니처는 (+,+,+-)입니다.

메트릭의 대각선화

가장 먼저 실시해야 할 심플화는 메트릭을 대각선으로 하는 것입니다.좌표 변환$({\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle ,}$ , ${\displaystyle ,}$ ,${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle \to }$ (${\displaystyle r}$ , ${\displaystyle ,}$ , ${\displaystyle ,}$, -${\displaystyle }$t$$) { $displaystyle ( r$ , \$theta$, \$phi$, $t$)\$rightarrow$($r$, \$theta$, \$phi$, -$$ ) }$$에서는 모든 메트릭 구성요소는 동일하게 유지됩니다.$메트릭$ $컴포넌트{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$({$displaystyle g_{\$mu 4})($$${\displaystyle }$†$$({$displaystyle \mu \neq$4$\})$는 이 변환에 따라 다음과 같이 변경됩니다.

$g$ ${\displaystyle {\mathrm{\mu 4}}_{}^{}}$ ${\displaystyle =\frac{\mathrm{}}{}\frac{{}^{}}{}\frac{{}^{}}{}\frac{\mathrm{}}{{}^{}}}$ β${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$β${\displaystyle \frac{{{}^{}}^{}}{}}$β β β ${\displaystyle \frac{{\beta \mathrm{}{}^{}}^{}}{}}$β 4 ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle =}$ - g ${\displaystyle {\mathrm{\mu }}_{}}$4 { { \ $displaystyle g$_ { \ $alpha$ }$=$ { \ $frac$x^ { \ $mu }}$ { \ $frac$ x^ { \ mu } } { \ $frac${ \ $frac x^$ { \ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$ { \ $frampa$ } { \ } } } { \ $frampa$ } { \ $frampa$} {\ frampa } } }

${\displaystyle {단}_{}^{}}$, g ${\displaystyle {\mathrm{\mu 4}}_{}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{\mu 4}}_{}}${\$displaystyle$ g$'_${\$mu$ 4} $= g_${\mu 4$}$ (표준 컴포넌트는 동일)이 될 $것$으로 예상되므로 다음과 같습니다.

${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{\mu }}_{}}$ 4 ${\displaystyle {}_{}}$ { $displaystyle$ g $_${ \ $mu$ 4$$} = , ${\displaystyle }$$$（ μ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 4}$ \ $displaystyle \ mu$ \ $neq$ 4$$）

마찬가지로 좌표변환$({\displaystyle r}$ ,${\displaystyle \mathrm{display}}$ ,${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{display}}$ ,${\displaystyle }$t )${\displaystyle \to }$( ${\displaystyle r}$ ,${\displaystyle \mathrm{display}}$ $,$ -$$ t$$) \ $displaystyle$( r , \$theta$, \$phi$ , t $)\rightarrow$(${\displaystyle }$r , \$theta ,$${\displaystyle }$- \${\displaystyle \mathrm{phi}}$, ${\displaystyle \mathrm{t<img\; alt="(r,\backslash theta\; ,\backslash phi\; ,t)\backslash rightarrow\; (r,\backslash theta\; ,-\backslash phi\; ,t)"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/ed8bc3e2578cbf358d4010b9d512ddfeaf8e7bc2"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:23.973ex;\; height:2.843ex;">}}$ )${\displaystyle \to }$( ${\displaystyle r}$ , ) ${\displaystyle 、}$ 、${\displaystyle }$、 、 、 、 、 、${\displaystyle }$、 、 、 、 、$$、 $displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay$ 、$$、 。

${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{\mu }}_{}}$ 3 ${\displaystyle {}_{}}$ { $displaystyle$g _ { \ $mu$ 3 } = , ${\displaystyle }$$$（ μ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 3}$ \ $displaystyle \ mu$ \ $neq$ 3$$）

${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{\mu 2}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ { $displaystyle$g _ { \ $mu$ 2 } = , ${\displaystyle }$$$（ ${\displaystyle \mathrm{\mu }}$ ${\displaystyle \ne }$ 2 \ $displaystyle \ mu$ \ $neq$ 2$$）

이 모든 것을 종합하면 다음과 같은 이점이 있습니다.

${\displaystyle g_{}}$ μ ${\displaystyle \mu \mathrm{}}$ 0 { $displaystyle$g _ { \ $mu$ \ nu } $=$ $$, ${\displaystyle }$ （$$μ $displaydisplaydisplaydisplay$ \ displaystyle $\ mu$ \$neq$ \ nu$\}$ ）

따라서 메트릭은 다음 형식이어야 합니다.

$\displaystyle ds^{2}=,g_{11},dr^{2}+g_{22},d\theta^{2}+g_{33},d\phi^{2}+g_{44},dt^{2}$

여기서 4개의 미터법 구성요소는 시간 $좌표{\displaystyle }$ t$\displaystyle$ t$($정적 가정에 따라)와 독립적입니다.

컴포넌트의 심플화

$상수{\displaystyle }$t {\$displaystyle$ t$\},$ 상수$δ$ {\displaystyle \$theta$$}$ 및 $δ$ {\displaystyle \$phi}($즉, 각 반경 라인)의 각 하이퍼 표면에서 g $(\$$displaystyle$ $g_{11})$은 r$($구면 대칭에 의해서만 의존해야 합니다.$따라서{\displaystyle {}_{}}$ $({$은 단일 변수의 함수입니다.

${\displaystyle g_{11}=A\left(r\right)}$

$({$에도 적용되는 동일한 인수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle g_{44}=B\left(r\오른쪽)}$

$상수{\displaystyle }$ t$\displaystyle$t 및$$ $상수{\displaystyle }$ r$\backslash$$displaystyle$r의 하이퍼 인터페이스에서는 메트릭이 2-sphere의 메트릭이어야 합니다.

$({displaystyle dl^{2}=r_{0}^2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta ^,d\phi ^{2})$

이러한 하이퍼스페이스 중 하나($반경$이 ${$인 것)를 선택하면 이 하이퍼스페이스$($~22\displaystyle ${g}_{22}$ $및$ g~33\$displaystyle {g})$로 제한되는 메트릭컴포넌트는 $로테이션{\displaystyle }$ 하에서는 변경되지 않습니다.$\displaystyle \theta$} 및$$$display{\displaystyle }$ \$displaystyle \phi （$또한 구면 대칭에 의해).이 하이퍼서페이스의 메트릭 형식을 비교하면 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\tilde {g}_{22}\left(d\theta ^{2}+{\frac {\tilde {g}_{22}}}, d\phi ^{2}\right)=r_{0}^2}(d\theta ^{2}+\tai)$

즉석에서 얻을 수 있는 것은,

${\displaystyle {\stackrel{}{g}}_{}}$~ ${\displaystyle {22}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$2 {{style ${tilde {g} = r_{0}^{$2$$$}$ 및 g ~ $33$$=$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {sin\mathrm{}}^{}}$ 2 $⁡⁡display$ （ displaystyle {$tilde${g$}$_ { $33$ } =$r$_ { 0 }^2} \ sin ^{2$}$ \ $theta$}

그러나 이것은 각 하이퍼서페이스를 유지하기 위해 필요합니다.따라서

${\displaystyle {\mathrm{g}}_{}}$ 22 $=$ ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ 2$$({$displaystyle g_{22$}=,$r^{2}})$ ${\displaystyle {\mathrm{및}}_{}}$ g ${\displaystyle {33\mathrm{}}^{}}$ $=$ r ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {sin\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}^{}}$ {\$$（ { $displaystyle g_{33$}=,$r^{2}\sin$^{$2}\theta$})

$g{\displaystyle {}_{}}$ $({$ $및{\displaystyle {}_{}}$ g $({$이 평평한 시공간과 동일해야 한다는 직관적인 다른 방법은 탄성 재료를 (방사형 대칭 방식으로) 늘리거나 압축해도 두 점 사이의 각 거리는 변경되지 않는다는 것입니다.

따라서 메트릭은 다음 형식으로 지정할 수 있습니다.

$\displaystyle ds^{2}=A\left(r\right)dr^{2}+r^{2},d\theta^{2}\theta,d\phi^{2}+B\left(r\right)d^{2}}$

A$(\displaystyle$ A$)$ 및$$ $(\displaystyle$ B$)$가 r$(\displaystyle$ r$)$의 미결정 함수로 $지정$됩니다. A$(\displaystyle$ A$)$ $또는$ B$(\displaystyle$ B$)$가 어느 시점에서 0일 $경우$라도 메트릭은 단수입니다.

Christofel 기호 계산

위의 메트릭을 사용하여 Christofel 기호를 찾습니다. 여기서 인덱스는${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$2${\displaystyle ,3}$, 4${\displaystyle }$) ${\displaystyle =}$ (${\displaystyle r}$ , 、 ${\displaystyle 、}$ ${\displaystyle 、}$ $t$ )$${ $displaystyle ( 1,$ 2,$3$, 4 ) = ( $r$, \$theta$, \$phi$, t )$$。 기호$$ { $displaystyle$'는$$ 함수의 총 파생 함수를 나타냅니다.

$(\displaystyle \Gamma _{ik}^{1}=begin{bmatrix}A'/\left(2A\오른쪽)&0&r/A&0\0&0\theta/A&0&0&r\sin^{2}\ta/A&0&0&0&0&0&0&0&0&0&r\B\2\A)$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^2=param{bmatrix}0/1/r&0\1/r&0&0\0\0&-sin \cos \theta &0\0&0&0\end{bmatrix}$

$(\displaystyle \Gamma _{ik}^3=matrix {bmatrix} 0&1/r&0&\cot \theta & 0&0\cot \theta & 0&0&0&0\end {brix})$

$\displaystyle \Gamma _{ik}^4}=begin {bmatrix}0&0&B'/\left(2B\오른쪽)\\0&0&0\0&0&0\B'/\left(2B\오른쪽)&0&0\end{bmatrix}}$

필드 방정식을 사용하여 A(r) 및 B(r) 찾기

A$\displaystyle$ $A{\displaystyle }$$\$$displaystyle$ B\displaystyle B를 $결정$하기 위해 진공장 방정식을 사용합니다$.$

$\displaystyle R_{\alpha \display}=,0}$

이 때문에,

$(\displaystyle {\gamma _{\ho }^{\rho }^{\rho }^{\rho }^{\rho }^{\rho }\Gamma _{\gama }\gamma _{\rho })$

여기서 쉼표를 사용하여 도함수에 사용되는 인덱스를 상쇄합니다.리치 곡률은 지정된 좌표에서 대각선입니다.

${\displaystyle R_{tt}=-{\frac {1}{4}}{A}}\left({\frac {A'}{A}}-{\frac {B}}+{\frac {4}{r}\right)-{\frac {2}}\frac {\frac}{A}{A}\frac {\fright}{\frac {\frac}$

${\displaystyle R_{r}=-{\frac {1}{2}}\left\frac {B}\right}^{'}-{\frac {1}{4}-{\frac {B}\right}^2}+{\frac {4}{4}{A}}}-{\frac {left}}}}$

${\displaystyle R_{\theta \theta }=1-\left frac {r}{A}\right)^{'}-{\frac {r}{2A}}\left({\frac {A'}{A}}+{\frac {B'}{B}}\right},$

${\displaystyle R_{\phi \phi }=\sin ^{2}(\theta)R_{\theta \theta }}$

여기서 prime은 함수의 r 도함수를 의미한다.

필드 방정식 중 3개만 중요하지 않으며 단순화하면 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle 4A'B^{2}-2rB」AB+rA'B'B+rB'^{2}A=0,}$

${\displaystyle rA'B+2A^{2}B-2AB-rB'A=0,}$

$\displaystyle - 2rB"AB+rA'B'B+rB'^{2}A-4B'AB=0}$

(네 번째 방정식은 ${\displaystyle {sin\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{display}}$（ \ $displaystyle \sin ^{2}\theta ）$에 두 번째 방정식을 곱한 ${\displaystyle {것}^{}}$입니다).첫 번째 방정식과 세 번째 방정식을 빼면 다음과 같은 결과가 나옵니다.

$(\displaystyle A'B+)AB'=0\오른쪽 화살표 A(r)B(r)=K}$

$여기$서 K$(\displaystyle$ K$)$는 0이 아닌 실수 상수입니다.A${\displaystyle (r)}$ B${\displaystyle (r)}$ $=$(\$displaystyle$ A$(r)$ B$(r$),=K)를$$두 번째 방정식에 $대입$하여 정리하면 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle rA`=A(1-A)}$

다음과 같은 일반적인 솔루션이 있습니다.

${\displaystyle A(r)=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}$

일부 0이 아닌 $실제{\displaystyle }$ 상수$$S {\$style$ S$\}$의 경우. 따라서 정공 대칭 진공 솔루션의 메트릭은 다음과 같은 형태가 됩니다.

${{displaystyle ds^{2}=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\r^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}+K\left(1+{\frac {1}{Sr}}}\d}}}}}{2}){d2}(오른쪽)$

상기 메트릭으로 표현되는 시공간은 점근적으로 평탄하다. 즉, r $→$ {\$displaystyle$ r$\rightarrow \infty$로, 메트릭은 민코프스키 메트릭의 메트릭에 접근하고 시공간 다양체는 민코프스키 공간의 메트릭과 유사하다.

약장 근사를 사용하여 K와 S를 찾는다.

미터법의 측지학($d\displaystyle$ ds$)$은 (예를 들어 무한한 빛의 속도를 향해) 어떤 제한에서 뉴턴 운동의 해(예를 들어, 라그랑주 방정식으로 구한)와 일치해야 한다.(메트릭은 또한 나타내는 질량이 사라지면 민코프스키 공간으로 제한해야 한다.)

$\displaystyle 0=\int\frac {ds}{dt}dt=\display\int(KE+)PE_{g}dt}$

(${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 KE$(\displaystyle$ KE$)$는 운동 에너지이고 ${\displaystyle {PE}_{}}$ g$(\$는 중력에 의한 전위 에너지입니다.)$상수{\displaystyle }$K(\$displaystyle$ K$)$와 S$(\displaystyle$ S$)$는 이 접근법의 일부 변형에 의해 완전히 결정된다. 약장 근사치로부터 다음과 같은 결과가 도출된다.

${\displaystyle g_{44}=K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)\about -c^{2}+{\frac {2Gm}=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}}{c^{2}r}}}\right}}$

$여기$서$$G(\$displaystyle$ G$)$는 중력 상수,$m{\displaystyle }$(\$displaystyle$ m$)$은 중력원의 질량, $(\displaystyle$ c$)$는 빛의 속도입니다.다음과 같은 결과가 있습니다.

${\displaystyle K}$ $=$ - ${\displaystyle {}^{}}$ ({$displaystyle$ K=,-$c^{2}})$ $및$ 1 ${\displaystyle \frac{S}{}}$ ${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$2 ({$displaystyle {1}{S$}}) = - ${\frac$ {$2Gm} {c^{$2}}}}

이 때문에,

${\displaystyle }$$A{\displaystyle }$${\displaystyle }$(${\displaystyle r}$ ) ${\displaystyle {}^{}}$ ( ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle {2\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{{}^{}}{}}^{}}$ c ${\displaystyle {\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}\frac{{}^{}}{}}^{}}$) - ${\displaystyle 1^{}}$( \ $displaystyle$A ( r ) = \$left$ ( 1 - { \ $frac${ 2 Gm } { $c$$$^ {$2 r }$ \ $r$ )${\displaystyle =}$ - c$2$ ($1$ - ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{c\mathrm{}}^{}}{}}$ 2$r$ )$$（ \ $displaystyleft ）$

따라서 슈바르츠실트 메트릭은 최종적으로 다음과 같은 형태로 작성될 수 있습니다.

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}\r^{2}+r^2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})-c^{2}\left(1-{\frac2Gm})$

주의:

$(\displaystyle\frac{2Gm}{c^{2}}=r_{s})$

는 $질량{\displaystyle }$ m$(\displaystyle$ m$)$ 객체에 대한 슈바르츠실트 반지름의 정의이므로 슈바르츠실트 메트릭을 대체 형식으로 다시 작성할 수 있습니다.

${{displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r}}{r}}\r^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})-c^2}\left(1-{-{\fracr}}}{right}}{r}}}}{r}}{r}{r}}{r}}{r}}{r}}}}}}}}$

이는 메트릭이 이벤트 지평선에 근접하여 단수가 되는 것을 나타냅니다($즉{\displaystyle }$, r ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {}_{}}$ $\$ r$\rightarrow r_{s$}).$$미터법 특이점은 적절한 좌표 변환(예: Kruskal-Szekeres 좌표계)을 사용하면 알 수 있듯이 ($r{\displaystyle }$ $= 0$에 실제 ${\displaystyle \mathrm{물리적}}$ $특이점$이 있지만$)$ 물리적 특이점이 아니다.

특수한 경우 알려진 물리학을 사용한 대체 도출

슈바르츠실트 메트릭은 또한 원형 궤도와 일시적으로 고정된 점 ^[1]질량에 대해 알려진 물리학을 사용하여 도출할 수 있다.r$\displaystyle$$r$의 계수를 알 수 없는 메트릭부터 시작합니다.

${{displaystyle -c^{2}=\leftds\overd\right}^{2}=A(r)\left({dr \overd\right}\right)^2}+r^{2}\leftd\phi \overd\right}\right)^2}+r^2}+B(r)\left(right)$

이제 오일러-라그랑주 방정식을 호 길이 $적분{\displaystyle }$ J ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}^{}}$ 1 ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}^{}}$ 1${\displaystyle \sqrt{d^{}}}$ 2${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$- ( ${\displaystyle \sqrt{d^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{s^{}}}$ / ${\displaystyle \sqrt{{\mathrm{}}^{}}d}$ ) 2 d ${\displaystyle .}$. { $display$ { J = \$int$_ { \ display _ { \ $text${ $d$} } { { \ $text${ $d }$ } / { \ $right$} } ^{ { \ $right } }$ } } ^{\ $display$ right { - { } } } } } } } } } ) { } } } \ { } } d$$${\displaystyle s}$ / ${\displaystyle d}$ ${\$ { $display style ds$ / d \ tau$$$$}는 $상수$이므로 integand는 ( d${\displaystyle s}$ / ${\displaystyle {d\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)$2$ , { $style {$\ $text${ $d }$s / { \ $text${ d}}} \ tau$^$2} 로${\displaystyle }$치환할 수 있습니다$.$ 왜냐하면 integrand는 정수 곱한 E-L 방정식이 완전히 같기 때문입니다.수정된 인테그랜드에서 J$(\displaystyle$ J$)$에 E-L 방정식을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {begin{array}{lcl}A'(r){\dot {r}^{2}+B'(r){\dot {r}{2}&=2A'(r){\dot {r}\dot {r}\dot {r}\dot {\dot =2}$

$여기$서 dot은$".\displaystyle\displaystyle"$ 에 대한 차이를 나타냅니다.

$원형$ $궤도{\displaystyle \stackrel{}{}}$ r θ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle r\stackrel{}{}}$θ $=$ 때$,$ ({$displaystyle {dot$ {r}}=$sqdot {$r}=$0,})$ 위의$$ 첫 번째 E-L 방정식은 다음과 같습니다.

${{displaystyle 2rdot2}+B'(r){t}=0\왼쪽 화살표 B'(r)=2r{\dot {phi}}{2}/{\dot {t}=-2r(d\phi/d)^{2}}.$

케플러의 제3법칙은

${\displaystyle {T^{2}} {r^{3}}=4\pi ^{2}}{G(M+m)}}.}$

원형 궤도에서 $주기{\displaystyle }$ T$(\displaystyle$ T$)$는 ${\displaystyle \mathrm{2\mu }/}$ ( ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle /}$ / $),$ {\$displaystyle$ 2$\pi /$ ($d$ \ $phi$ / dt$$$$},

${{displaystyle \leftswid\phi \over dt}\오른쪽)^{2}=GM/r^{3}}$

$포인트$ $질량 m$은 $중심체$ M의 질량에 비해 무시할 수 $있으므로$$$$B{\displaystyle {}^{}}$( (${\displaystyle r}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle G}$M$$$/$ ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$2 ( r ) = 2$GM$ / ${\displaystyle r}$$^ {2$} 를 $적산$하면 B${\displaystyle }$(${\displaystyle r}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2}$G /$$( r )$$、알려진 적분 상수.$({displaystyle$ C$})$는 ${\displaystyle \mathrm{M}}$ ${\displaystyle =}$ 0$,$ {{$displaystyle M$$=$0$,}$으로 설정할 수 있습니다. 이 경우 시공간은 $평평$하고 B$(r$ ${\displaystyle =}$- ${\displaystyle {}^{}}$$$${\displaystyle 2^{}}$로 $설정$합니다$.{$$displaystyle$ C$=-$$2}}$ $및$

${\displaystyle B(r)=2GM/r-c^{2}=c^{2}(2GM/c^{2}r-1)=c^{2}(r_{s}/r-1)}$

점 질량이 일시적으로 정지된 경우 $r{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}${ $displaystyle${ $dot${$$r } = 0$$} 및$$ $r{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle =}$ $.$ {$displaystyle${$dot$ { phi }$$= 0 .$$ 원래 메트릭 방정식은 t${\displaystyle {\stackrel{}{}2}^{\mathrm{}}}$ 2 ${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ /${\displaystyle B}$ (${\displaystyle r}$){ $displaystyle { dot$ { $t}^{2}=-c^{2}/B($r)}가 되고 위의 첫 번째 E-L $방정식$은$$(${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ )$=$ B ${\displaystyle ({}^{}{2}^{\mathrm{}}}$/ ( ${\displaystyle 2\stackrel{}{}}$ r${\displaystyle \stackrel{}{})}$ ){$b$ ( ${\displaystyle r}$ $)가 됩니다.$$}$ 점질량이$$ 일시적으로 $정지$되어 있을 때 $r$ {r$})$은${\displaystyle \mathrm{중력가속도}}$ - M ${\displaystyle G{}^{}}$/ ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ 2$.$ {{$display$ - $MG / r^{$2$$}})이므로

${\displaystyle A(r)=\left({\frac {-2MG}{r^{2}}\right)\left({\frac {-c^{2}}\right)\left({\frac {r^{2}})\left({\frac {rc^{2}}}}{2})\frac {2}MG}}\right)=paramfrac {1}{1-2MG/(rc^{2}}}}=paramfrac {1}{1-r_{s}/r}}.}$

등방성 좌표의 대체 형식

메트릭의 원래 공식은 빛의 속도가 반경 방향과 가로 방향에서 같지 않은 이방성 좌표를 사용한다.아서 에딩턴은 등방성 ^[2]좌표의 대체 형태를 제시했습니다.등방성 구면 $좌표{\displaystyle {}_{}}$ $r1{\displaystyle }$$({$r_${1$ $【{$$displaystyle$$$$\$$theta$ $\},$ $【{$displaystyle \theta $}$ 및$$ $【{$$displaystyle$\$phi$})】, 【{$displaystyle$ \$theta$ }, 】, $【{$$Gm2},$ {$Gmc},$ {displaystyle\displaystyle\$theta}$의 좌표 ${\displaystyle \}}$은 변경되지$$ 않습니다.

${\displaystyle r}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}{}^{}}$1 ( ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{{}^{}}{}}^{}}$ c ${\displaystyle {\frac{{}^{}{}_{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{{r\mathrm{}}_{}}{}}^{}}$1 ) ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$( \ $displaystyle$ r =$r$_ { 1$$} \$left$ ( 1 + { \ $frac${ $Gm$} { 2$c$^ { } $r _${ } \$$${\displaystyle {right\mathrm{}}_{}}$ ) $$、 $dr$ 1${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{1{}^{}}{}}$- ( ${\displaystyle \frac{{Gm\mathrm{}}^{}}{}}$ ) ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{{c\mathrm{}}_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}{}_{}^{}}{}}$ r ${\displaystyle \frac{{\mathrm{}}_{}^{}}{}}$ )$）$ { $dr$- 1$}$

$\displaystyle \left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)=\left(1-{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}\right)^2}/\left(1+{\frac {Gm}{2Gm}_{2}}}}}\right}^{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}^{left}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그런 다음 등방성 직사각형 $좌표{\displaystyle }$x {\$displaystyle$x$\},$$y{\displaystyle }$ {\$displaystyle$y$\},$$z{\displaystyle }$ {\$displaystyle$z$\},$

${\displaystyle x=r_{1},\sin(\theta),\cos(\phi)\display,}$ ${\displaystyle y=r_{1},\sin(\theta),\sin(\phi)\display,}$ ${\displaystyle z=r_{1},\cos(\theta)}$

그런 다음 등방성 직사각형 좌표에서 메트릭은 다음과 같이 됩니다.

$\displaystyle ds^{2}=\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}\오른쪽)^{4}(dx^{2}+dy^{2}-c^{2}\left(1-{\frac {Gm}\{1})-c^{2}-{2}-{2}dt^{2}\left(1-{{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{c}}$

정적 가정 없이 버크호프의 정리

슈바르츠실트 메트릭을 도출할 때 메트릭은 진공, 구형 대칭 및 정적이라고 가정했다.Birkhoff의 정리가 아인슈타인 장 방정식의 어떤 구대칭 진공 해법도 정지해 있다고 기술하고 있기 때문에 정적 가정은 필요하지 않다. 따라서 슈바르츠실트 해법이 뒤따른다.Birkhoff의 정리는 구대칭으로 유지되는 어떤 맥동별도 중력파를 생성하지 않는다는 결과를 낳는다. 왜냐하면 별 바깥의 영역은 정적으로 유지되기 때문이다.

「 」를 참조해 주세요.

• 카를 슈바르츠실트
• 커 미터법
• 레이스너-노르드스트롬 미터법

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