n-sphere

수학에서, n-구(n-sphere) 또는 하이퍼스피어(hyper-sphere)는 표준 n-구(n + 1)차원 유클리드 공간에 있는 점들의 집합으로 중심이라 불리는 고정점으로부터 r 거리에 위치한다.그것은 평범한 3차원 공간에서의 평범한 구체의 일반화이다.구의 "반경"은 중심까지의 점의 일정한 거리입니다.구에 단위 반경이 있는 경우, 일반적으로 단위 n-sphere 또는 간단히 n-sphere라고 부릅니다.표준 노름의 관점에서 n-sphere는 다음과 같이 정의됩니다.

$\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R}^{n+1}:\left\x\right\=1\right\}$

반지름 r의 n-sphere는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

$\displaystyle S^{n}(r)=\left\{x\in \mathbb {R}^{n+1}:\left\x\right\}.}$

n-구의 차원은 n이며, n-구가 자연스럽게 내장된 유클리드 공간의 차원(n + 1)과 혼동해서는 안 된다.n-sphere는 (n + 1)차원 공의 표면 또는 경계입니다.

특히:

• (1차원) 선분 끝의 점 쌍은 0-구면입니다.
• 원은 (2차원) 디스크의 1차원 원주이며, 1구면이다.
• 3차원 공의 2차원 표면은 흔히 단순히 구라고 불리는 2구면이다.
• (4차원) 4-볼의 3차원 경계는 3구면이다.
• (n차원) n-ball의 n – 1차원 경계가 (n – 1)-구면이다.

n δ2의 경우 미분다지관인 n-spears는 (미분다지관까지) 일정하고 양의 곡률로 단순하게 연결된 n-차원 다지관으로 특징지을 수 있다.n-스피어는 몇 가지 다른 위상학적 설명을 받아들인다. 예를 들어, 두 개의 n-차원 유클리드 공간을 접착하거나, 점이 있는 n-큐브의 경계를 식별하거나, (유도적으로) (n - 1)-스피어의 현탁을 형성하여 구성할 수 있다.1-sphere는 원형의 1-매니폴드이며, 단순하게 연결되어 있지 않습니다.0-sphere는 0-매니폴드이며, 두 개의 점으로 구성됩니다.

묘사

임의의 자연수 n에 대해 반지름 r의 n-sphere는 어떤 고정점 c에서 거리 r에 있는 (n + 1)차원 유클리드 공간의 점 집합으로 정의된다.여기서 r은 임의의 양의 실수이고 c는 (n + 1)차원 공간의 임의의 점일 수 있다.특히:

• 0-sphere는 한 쌍의 점 {c - r, c + r}이며 선분(1-ball)의 경계입니다.
• 1-sphere는 c를 중심으로 하는 반지름 r의 원이며 디스크(2-볼)의 경계입니다.
• 2구체는 3차원 유클리드 공간에서 일반적인 2차원 구체로, 일반적인 공(3구)의 경계이다.
• 3구체는 4차원 유클리드 공간의 3차원 구이다.

(n + 1)-공간의 유클리드 좌표

${\displaystyle {n-sphere}^{}}$ S n (${\displaystyle }$r$$) { displaystyle $S^{n}(r$을 $정의$하는 (n + 1)-space, (x₁, x₂, ..., x)의 포인트_n+1 세트는 다음 방정식으로 표시됩니다.

${\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2}$

여기서 c = (c₁, c₂, ..., c_n+1)는 중심점이고 r은 반지름입니다.

위의 n-구는 (n + 1)차원 유클리드 공간에 존재하며 n-매니폴드의 한 예이다.반지름 r의 n-구체의 부피 형태 θ는 다음과 같다.

${\displaystyle \osecfrac {1}{r}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j},cdots \secdots dx_{j+1}\sec \cdots dx_{j+1}\secdots \cdots dx_{n+1}=dr}$

여기서 θ는 호지 별 연산자이며, 경우에 r = 1일 때 이 공식에 대한 논의와 증명은 플랜더스(Flanders, §6.1)를 참조한다. 그 결과,

$\displaystyle dr\displaystyle \modes \cdots \modes dx_{n+1}$

n볼

n-sphere로 둘러싸인 공간을 (n + 1)-ball이라고 합니다.(n + 1)-볼이 n-sphere를 포함하면 닫히고 n-sphere를 포함하지 않으면 열립니다.

구체적으로는:

• 선분인 1-볼은 0-구의 내부입니다.
• 원반인 2-볼은 원의 내부(1-구)입니다.
• 일반 공인 3-공은 구(2-구)의 내부입니다.
• 포볼은 3구 등의 내부입니다.

토폴로지 설명

위상적으로, n-sphere는 n차원 유클리드 공간의 1점 콤팩트화로서 구성될 수 있다.간단히 말해서, n-sphere는 S = ℝⁿ ∪ {},}으로 설명할ⁿ 수 있는데, 이는 n차원 유클리드 공간에 모든 방향의 무한대를 나타내는 단일 점을 더한 것이다.특히 n-sphere에서 한 점을 제거하면 δ와ⁿ 동형이 된다.이것은 입체 ^[1]투영법의 기초를 형성합니다.

부피 및 표면적

단위 n-ball의 부피는 5차원에서 최대이며, 여기서 감소하기 시작하고 n은 ^[2]무한대에 가까워지기 때문에 0이 되는 경향이 있습니다.또한 반지름 R의 짝수 차원 n-볼 부피의 합은 닫힌 형태로 ^[2]표시할 수 있다.

$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}V_{2n}(R)=e^{\pi R^{2}}.}$

홀수차원 아날로그는

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }V_{2n+1}(R)=e^{\pi R^{2}}\operatorname {erf}(\displayrt {pi }}},}$

여기서 erf는 에러 ^[3]함수입니다.

예

0-볼은 단일 포인트로 구성됩니다.0차원 하우스도르프 측정값은 세트의 포인트 수입니다.그렇게,

${\displaystyle V_{0}=1.}$

0-sphere는 두 개의 끝점 {-1,1}으로 구성됩니다.그렇게,

$\displaystyle S_{0}=2.}$

단위 1-볼은 길이 2의 간격 [-1,1]입니다.그렇게,

${\displaystyle V_{1}=2.}$

단위 1-구는 유클리드 평면의 단위 원이며, 원둘레(1차원 측도)를 가진다.

$(\displaystyle S_{1}=2\pi .}$

장치 1-구로 둘러싸인 영역은 2-볼 또는 장치 디스크이며, 여기에는 면적(2차원 측정)이 있습니다.

$(\displaystyle V_{2}=\pi).}$

마찬가지로 3차원 유클리드 공간에서는 단위 2-구의 표면적(2차원 측도)이 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle S_{2}=4\pi .}$

동봉된 부피는 유닛 3-볼의 부피(3차원 측정치)로, 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle V_{3}=tfrac {4}{3}}\pi .}$

반복

반지름 R의 (n + 1)-ball 경계에 있는 n-sphere의 표면적 또는 적절한 n차원 부피는 미분 방정식에 의해 공의 부피와 관련된다.

${\displaystyle S_{n}R^{n}=blac {dV_{n+1}R^{n+1}{dR}}={(n+1)V_{n+1}R^{n}}}$

또는 단위 n-ball을 동심원(n - 1)-구체 셸의 결합으로 나타내며,

${\displaystyle V_{n+1}=\int _{0}^1}S_{n}r^{n},dr.}$

그렇게,

$({displaystyle V_{n+1}=black {S_{n}}{n+1}).}$

또한 단위(n + 2)-구를 원(1-sphere)과 n-sphere의 곱의 결합으로 나타낼 수도 있습니다.r = cos δ 및 r² + R² = 1로 하여 R = sin δ 및 dR = cos δ dδ가 되도록 한다.그리고나서,

${\displaystyle {begin {n+2}&=\int _{0}^{\frac {pi }{2}}S_{1}r\cdot S_{n}R^{n},d\theta \\int _0}^{0}\frac {2}S_OT}S_{1}\cdot S_{n}R^{n},dR\[6pt]&=S_{1}\int _{0}^{1}S_{n}R^{n},dR\\[6pt]&=2\pi V_{n+1}.\end { aligned}}$

S₁ = 2µV이므로₀ 방정식은

${\displaystyle S_{n+1}=2\pi V_{n}}$

모든 n을 유지합니다.

이것으로 반복의 도출이 완료됩니다.

$디스플레이 스타일V_{0}&=1&V_{n+1}&=param frac {S_{n}}{n+1}\[6pt]S_{0}&=2&S_{n+1}&=2\pi V_{n}\end {aligned}}$

닫힌 양식

반복을 종합하면

${\displaystyle V_{n+2}=2\pi {frac {V_{n}}{n+2}}.}$

따라서 k에 유도함으로써 다음과 같이 나타내는 것은 간단하다.

$디스플레이 스타일V_{2k}&=140frac(왼쪽(2\pi\오른쪽)^{k}}{(2k)!!}}=sqfrac {pi ^{k}}{k!}}\[6pt]V_{2k+1}&=frac {2\left(2\pi\right)^{k}}{(2k+1)!!}}=440frac{2k!\left(4\pi\오른쪽)^{k}}{(2k+1)!}}\end {aligned}}$

여기서 !!는 2k + 1 x (2k + 1)의 홀수 자연수에 대해 정의된 이중 계수를 나타냅니다. = 1 × 3 × 5 × ... × (2k - 1) × (2k + 1) 및 짝수(2k)에 대하여 유사! = 2 × 4 × 6 × ... × (2k - 2) × (2k)

일반적으로, 단위 n-볼의 n차원 유클리드 공간에서 부피는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle V_{n}=frac {\pi ^{\frac {n}{2}}{\Gamma \leftfrac {n}{2}}+1\right}}}=pi frac {\frac {n}{2}}{\left frac {n}{2}}\right!}}}$

는 Γ(.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-outpu을 만족시킬 어디서 Γ은 감마 함수,.T!그리고 우리가 거꾸로 x를 정의하!인데 영원히 Γ(x+1).den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/2))√π, Γ(1)=1, Γ(x+1))xΓ())고 Γ(x+1)= x.sfrac

V에ⁿ R을 곱하고_n R을 미분한 다음 R = 1로 설정하면 닫힌 형식을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle S_{n-1}=frac {n\pi ^{\frac {n}{2}}{\Gamma \leftfrac {n}{n}+1\right}}}=flac {2\pi ^{\flac {n}{2}}{\Gamma \leftflac {n}{2}}\right}}.}$

구ⁿ⁻¹ S의 (n - 1)차원 표면에 대한 것입니다.

기타 관계

반복은 다이어그램에 표시된 것처럼 표면적에 대한 "역방향" 반복 관계를 제공하기 위해 결합할 수 있습니다.

${\displaystyle S_{n-1}=pi frac {n}{2\pi}}S_{n+1}$

인덱스 시프트 n에서n - 2로 이동하면 다음과 같이 반복 관계가 생성됩니다.

$디스플레이 스타일V_{n}&=snfrac {2\pi}{n}V_{n-2}\[6pt]S_{n-1}&=snfrac {2\pi }{n-2}S_{n-3}\end{aligned}}$

여기서₀₁ S = 2, V = 2, S₁ = 2µ 및₂ V = µ이다.

V에 대한_n 반복 관계는 2차원 극좌표와의 통합을 통해서도 입증될 수 있다.

$디스플레이 스타일V_{n}&,=\int _{0}^{1}\int _ᆱ^ᆲV_ᆳ\left({\sqrt{1-r^{2}}}\right)^{n-2}\,r\,d\theta \,dr\\[6pt]&,=\int _{0}^{1}\int _ᆷ^ᆸV_ᆹ\left(1-r^{2}\right)^{{\frac{n}{2}}-1}\,r\,d\theta \,dr\\[6pt]&, =2\pi V_{n-2}\int _ᆽ^ᆾ\left(1-r^{2}\right)^{{\frac{n}{2}}-1}\,r\,dr\\[6pt]&, =2\pi V_{n-2}\left는 경우에는 -{\frac{1}{n}}\left(1-r^{2}.\right)^{\frac{n}{2}}\right]_{r=0}^{r=1}\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}{\frac {1}{n}=snfrac {2\pi}{n-2}.\end { aligned}}$

구면 좌표

우리는 다차원 유클리드 공간에서 구면 좌표계에서 좌표를 반지름 좌표 r로 구성된 3차원 유클리드 공간,, n− 1각 좌표, φ1 φ2,에 대해 정의된과 비슷한 좌표계를 정의할 수도 있지만는 각도 φ1 φn−1, φ2,...[0,π]라디안을φn−2 범위 a(이상[0,180]도)nd µ_n−1 범위는 [0,2µ] 라디안(또는 [0,360]도 이상)입니다.x가_i 데카르트 좌표라면 x, ...을 계산할₁ 수 있습니다. x_n from₁ r, r, ... §^[4] 포함_n−1:

${\displaystyle{\begin{정렬}x_{1}&, =r\cos(\varphi_{1})\\x_{2}&, =r\sin(\varphi_{1})\cos(\varphi_{2})\\x_{3}&, =r\sin(\varphi_{1})\sin(\varphi_{2})\cos(\varphi_{3})\\&, \,\,\,\vdots \\x_{n-1}&, =r\sin(\varphi_{1})\cdots \sin(\varphi_{n-2})\cos(\varphi_{n-1})\\x_{n}&, =r\sin(\varphi_{1})\cdots \sin(\varphi_{n-2})\sin(\varph.i)_{n-1}.\end { aligned}}$

다음에 설명하는 특수한 경우를 제외하고 역변환은 고유합니다.

${\displaystyle {\displaystyle {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots+{x_{2}}}^{2}+{x_{1}}^{2}}\\[6pt]\varphi _{1}&=\operatorname {arccot}{\frac {x_{n}^{2}+{x_{n-1}^2}+\cdots + {x_{2}}^{2}}}}&=\arccos {{frac {x_{1}}{\cdots {x_{n}^2}+{x_{n-1}^2}+\cdots + {x_{1}}^{2}}}\\[6pt]\varphi _{2}&=\operatorname {arccot}{\frac {x_{n}^{2}+{x_{n-1}^2}+\cdots+{x_{3}}^{2}}}}&=\arccos {{frac {x_{2}}{\cdots {x_{n}^2}+{x_{n-1}^2}+\cdots + {x_{2}}}^{2}}}}\\[6pt]&, \,\,\,\vdots &,&\,\,\,\vdots \\[6pt]\varphi _{n-2}&,=\operatorname{arccot}{\frac{x_{n-2}}{\sqrt{{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}}&&=\arccos}{\sqrt{{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+{x_{n-2}}^{2}{\frac{x_{n-2}}}}\\[6pt]\varphi _{n-1}&,=2\operatorname{arccot}{\frac{x_{n-1}+{\sqrt{x_{n}^{2}+x_{n-1}^{2}}}}{x_{n}}.}&&={\begin{경우}\arccos{)frac {x_{n-1} {\sqrt {x_{n}}^{2}+{x_{n-1}^{2}}}}:&x_{n}\geq 0,\[6pt]2\pi -\arccos {x_{n-1}{\sq}{x_{n-1}}}}{\crcrcrt {x_{x_n-1}}}^{{{{n}}}}}}}}}}}}{{{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\end {case}\end {aligned}}$

여기서 x 0 0은 k의 일부이지만 x의_k+1 전체일 경우_k, ... x가_n 0이면 0이 되고_k x가_k 0이면 0이 되고 x가 0이면_k 0이_k 됩니다.

역변환이 고유하지 않은 특수한 경우가 있습니다.모든 x, x_k+1, ...의_k k에 대해 θ는_k 애매합니다. x는_n 0입니다.이 경우 θ는_k 0으로 선택될 수 있습니다.

구면체적 및 면적 요소

n차원 유클리드 공간의 부피 요소를 구좌표로 표현하기 위해, 먼저 변환의 야코비 행렬이 다음과 같은 것을 관찰한다.

${\displaystyle J_{n}(\varphi_{1})&, -r\sin(\varphi_{1})&, 0&, 0&, \cdots &, 0\\\sin(\varphi_{1})\cos(\varphi_{2})&, r\cos(\varphi_{1})\cos(\varphi_{2})&, -r\sin(\varphi_{1})\sin(\varphi_{2})&, 0&, \cdots, 0\\\vdots &, \vdots &, \vdots, 및 &, \ddots &, \vdots \\&,&&&&0\\\ &.Sin(\varphi_{1})\cdots, \cdots &, \cdots \sin(\varphi_{n-2})\cos(\varphi_{n-1})&.&-r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1})\sin(\varphi _{n-1}\cdots \sin(\varphi _{n-1})_varpi {n-1}\cos1}}$

이 행렬의 행렬식은 유도에 의해 계산될 수 있다.n = 2일 때, 간단한 계산은 행렬식이 r이라는 것을 보여준다.n이 클 경우 다음과 같이 J에서 J를_{n − 1} 구성할_n 수 있음을 관찰한다.열 n을 제외하고 J의_n 행 n - 1과 행 n은 J의_{n − 1} 행 n - 1과 동일하지만 행 n - 1의 추가 cos θ와_{n − 1} 행 n의 sin θ의_{n − 1} 추가 인수가 곱됩니다.n열에서 j행_n n-1과 n행 n은 j행_{n − 1} n-1의 n-1과 동일하지만 n행의 sin θ와_{n − 1} cos θ의_{n − 1} 추가 인수가 각각 곱된다.J의_n 행렬식은 마지막 열의 라플라스 확장에 의해 계산될 수 있다.J를_n 재귀적으로 기술하면, (n - 1, n)에서 엔트리를 삭제하고, 그 행과 열을 J와 거의_{n − 1} 같게 하고, 그 마지막 행에 sin θ를_{n − 1} 곱한다.마찬가지로 (n, n)에서 엔트리를 삭제하고 그 행과 열은 J와 거의 동일하지만_{n − 1} 마지막 행에 cos θ를_{n − 1} 곱하는 것은 예외입니다.따라서 J의_n 행렬식은

${\displaystyle{\begin{정렬}J_{n}&=())^ᆷ(-r\sin(\varphi_{1})\dotsm \sin(\varphi_{n-2})\sin(\varphi_{n-1}))(\sin(\varphi_{n-1})J_{n-1})\\&,\qquad{}())^ᆺ(r\sin(\varphi_{1})\dotsm \sin(\varphi_{n-2})\cos(\varphi_{n-1}))(\cos(\varphi_{n-1})J_{n-1})\\&, =(r\sin(\varphi_{1})\dotsm \sin(\varphi_{n-2})J_{n-1}(\.죄 ^{2}(\varphi _{n-1}+\cos ^{2}(\varphi _{n-1})\&=(r\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{n-2})J_{n-1}.end{aligned}}}$

그런 다음 유도는 구면 좌표의 볼륨 요소에 대해 닫힌 형식의 식을 제공합니다.

$\displaystyle\begin{n}D^{n}V&=좌측 \det\frac(x_{i})}{\cdots \left(r,\varphi _{j}\right)}\right dr,d\varphi _{1}\cdots d\varphi _{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _1}\sin ^{3-vari}\end { aligned}}$

n-ball의 부피 공식은 적분에 의해 이로부터 도출될 수 있다.

마찬가지로 반지름 R의 (n - 1)-구의 표면적 요소는 2-구의 면적 요소를 일반화하는 다음과 같이 주어진다.

$\displaystyle d_{S^{n-1}V=R^{n-1}\sin^{n-2}(\varphi_{1}\sin^{n-3}(\varphi_{2}\cdots \sin(\varphi_{n-2}),d\varphi_{1}dphotsin_varphotsn-3}}$

각도 좌표에 대한 직교 기저의 자연 선택은 초구면 다항식의 산물이다.

${\displaystyle {displaystyle _{0}^{\pi }\sin ^{n-j-1}\left(\varphi _{j}\right)C_{s}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)C_{s'}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right),d\varphi _{j}\[6pt]&=cs {2^{3-n+j}\pi \Gamma (s){s!$

j = 1, 2, ... n - 2의 경우 및 구면 고조파와 일치하는 각도 j = n - 1의 경우 e^isφ_j.

다구 좌표

표준 구면 좌표계는 δ를ⁿ 곱 δ × δ로^{n − 1} 표기함으로써 발생한다.이 두 요인은 극좌표를 사용하여 관련될 수 있습니다.δ의ⁿ 각 점 x에 대해 표준 데카르트 좌표

$\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1}\displaystyle,x_{n})=(y_{1},z_{n-1})}$

는 혼합 극-직교 좌표계로 변환될 수 있다.

$({displaystyle \mathbf {x} =(r\sin \theta,(r\cos \theta){\hat {mathbf {z}}}).}$

이것은 ℝn에 있는 지점과 z^을 통해 전달합니다. 어디를 기원에서 시작하여)z/‖ z‖ ∈ Sn− 2{\displaystyle{\hat{\mathbf{z}}을 취함으로써}},(1,0,…, 0)쪽으로 그것은 회전{z}/\lVert \mathbf{z}\rVert \in S^{n-2}=\mathbf{\displaystyle(1,0,\dots ,0)}θ xarcsin ⁡ 1에스파냐의 소설 표현할 수도 있다고 말한다. ${\displaystyle {}_{}/}$ \ $displaystyle \theta$ = \$arcsin y_{1}/r$ $그리고{\displaystyle }$ 광선을 ${\displaystyle 따라\mathbf{}}$r ${\displaystyle =}$display x$style$ \$lVert$ \ $mathbf {$x} \$rVert }$ 거리를$$ $이동$합니다.이 분해를 반복하면 결국 표준 구면 좌표계가 만들어집니다.

다구 좌표계는 이 ^[5]구조의 일반화에서 발생한다.공간 δ는ⁿ 더 작은 차원의 두 유클리드 공간의 곱으로 분할되지만, 어떤 공간도 선이 될 필요는 없다.구체적으로 p와 q가 n = p + q와 같은 양의 정수라고 가정합니다.그러면 ℝⁿ = × × ℝ^pq. 이 분해를 이용하여 점 x ∈은ⁿ 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\displays,y_{p},z_{1},\displays,z_{q}=(\mathbf {y},\mathbf {z})}$

이것은 다음과 같이 적으면 혼합 극-직교 좌표계로 변환할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {x} =(r\sin \theta){\hat {mathbf {y},(r\cos \theta){\hat {mathbf {z}}}}}.}$

$여기$서${\displaystyle \stackrel{}{}}$y$^(\$$${$y}})$와$$z^(\$displaystyle\mathbf${z$}})$는 y와 z와 관련된 단위 벡터입니다.$x$는 y${\displaystyle \stackrel{}{}{}^{}}$ S${\displaystyle p^{}}$ -$$({$displaystyle\hat\mathbf {y$${\displaystyle \stackrel{}{}}z{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ^${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle S^{}}$q -$$({$displaystyle\hat\mathbf {z$ r 0 0 및 각도 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ this this this $this{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ this this this this this this this this this this this this this this this this this this this this this this p = q = 1, p와 q 중 정확히 하나가 1이면 [0, θ], p와 q가 모두 1이면 [0, θ/2]인 것을 알 수 있다.역변환은

$\displaystyle \begin{aligned}r&=\lVert \mathbf {x}rVert,\\theta &=\arcsin(\lVert \mathbf {y}\rVert)\&=\arcos(\lVert \mathbf {x}\rt} \rt} \rt\end { aligned}}$

관련된 요인 중 하나가 치수 2 이상을 갖는 한 이러한 분할은 반복될 수 있다.다구 좌표계는 데카르트 좌표가 남지 않을 때까지 이러한 분할을 반복하는 결과입니다.$첫$ 번째 이후의 분할은 y$^$ ${\displaystyle$ {\$mathbf {y}}$ $및$ z$^$ ${\displaystyle${\$mathbf {z}}}$의 영역이 구이기 때문에 방사 좌표가 필요하지 않으므로 다구 좌표계의 좌표는 음이 아닌 반지름이며 n - 1개 각도이다.가능한 다구 좌표계는 잎이 n개인 이진수에 해당한다.트리 내의 각 잎이 아닌 노드는 분할에 대응하고 각도 좌표를 결정합니다.예를 들어 트리의 루트는 ℝ을ⁿ 나타내고 직계자아는 첫 번째^p 분할을 나타냅니다^q.리프 노드는 S의^{n − 1} 데카르트 좌표에 해당합니다.다구 좌표에서 데카르트 좌표로 변환하는 공식은 근원에서 리프 노드까지의 경로를 찾아 결정할 수 있다.이러한 공식은 경로에 의해 취해지는 각 분기에 대해 하나의 계수를 갖는 제품입니다.대응하는 각도 좌표가 θ인_i 노드에 대해서는 왼쪽 가지를 취하면 sin의 계수가_i 도입되고 오른쪽 가지를 취하면 cos의_i 계수가 도입된다.다구 좌표에서 데카르트 좌표까지의 역변환은 그룹화 노드에 의해 결정된다.공통의 부모를 가진 모든 노드 쌍은 분할을 위해 위의 공식을 사용하여 혼합 극좌표계에서 데카르트 좌표계로 변환할 수 있다.

다구면 좌표도 특수 직교 그룹의 관점에서 해석됩니다.분할 ℝⁿ = × × determ로^pq 부분군을 결정한다.

$\displaystyle \operatorname {SO} _{p}(\mathbb {R})\times \operatorname {SO} _{q}(\mathbb {R})\subseteq \operatorname {SO} _{n}(\mathbbb {R})}$

이것은 $2개$의 인자 S ${\displaystyle p^{}}$-${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ × ${\displaystyle S^{}}$q - ${\displaystyle 1^{}{}^{}}$ ${\displaystyle S^{}}$n -$$ \ $displaystyle$ S$^{p-1}\times$ S$^{q-1}\subseteq$ S$^{n-1}$ 각각을$$ 고정시킨 부분군이다.몫에 대한 코세트 대표 집합을 선택하는 것은 다구면 좌표 분해의 이 단계에 대한 대표 각도를 선택하는 것과 같습니다.

다구좌표에서는 δ의ⁿ 부피측정과 S의^{n − 1} 면적측정이 곱이다.각 각도마다 하나의 계수가 있으며, δ의ⁿ 볼륨 측정에는 반경 좌표 계수도 있습니다.면적 측정의 형식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle dA_{n-1}=\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta_{i}),d\theta_{i}$

여기서 F 요인은_i 트리에 의해 결정됩니다.마찬가지로 볼륨 측정치는

${\displaystyle dV_{n}=r^{n-1},dr,\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i}),d\theta _{i}.}$

분해^{n₁ + n₂} = = ℝ^n₁ × and에^n₂ 대응하고 각도 좌표 θ를 갖는 나무의 노드가 있다고 가정합니다.해당하는 인자 F는 n과₂ n의 값에₁ 따라 달라집니다.면적측정을 구면적이 1이 되도록 정규화하면 다음과 같다.n₁ = n₂ = 1이면

${\displaystyle F(\theta)=param frac {d\theta}{2\pi }}.}$

n₁ > 1 및₂ n = 1 이며, B 가 베타 함수를 나타내면,

${\displaystyle F(\theta)=sin frac {n_{1}-1}\theta }{\mathrm {B}({\frac {n_{1}}{2}}}}}, {\frac {1}{2}}}}}}, d\theta .$

n = 1 및 n₂ > 1일 경우₁

${\displaystyle F(\theta)=snfrac {n_{2}-1\theta}{\mathrm {B}({1}{2}},{\frac {n_{2}}}}}}},d\theta.}}.$

마지막으로 n과₂ n이₁ 둘 다 1보다 클 경우

${\displaystyle F(\theta)=snfrac {(\sin ^{n_{1}-1}\theta)}{\frac {1}{2}}{\mathrm {B}({\frac {n_1}{2}}{\ta},}}}ta}}{\ta}}}{\ta}}}}}}the}}}}}}}the.$

입체 투영

입체 투영에 의해 3차원에 매설된 2차원 구체를 2차원 평면상에 매핑할 수 있는 것과 마찬가지로 n-구체를 n차원 버전의 입체 투영에 의해 n차원 하이퍼플레인에 매핑할 수 있다.예를 들어 반지름 1의 2차원 구면상의 점 [x,y,z]은 xy 평면의 점 [x/1 - z,y/1 - z]에 매핑됩니다.바꿔 말하면

$\displaystyle [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}}\right]}$

마찬가지로 반지름 1의 n-sphereⁿ S의 입체 투영법은 다음과 같이 x축에_n 수직인 (n - 1)차원 초평면 δ에ⁿ⁻¹ 매핑됩니다.

$\displaystyle [x_{1},x_{n},\ldots,x_{n}\mapsto \left [{\frac {x_{1}},{\frac {x_{2}},{1-x_{n}}},\ldots,{\frac {x_{n}}},{\frac {x_{x_n}}}},{x_{n}},{\},\},{\},\},\frac},\},\frac {\},\},\},}$

랜덤 점 생성

(n - 1)-sphere에서 랜덤으로 균일하게

단위(n - 1)-구(즉, 단위 n-구의 표면)에서 균일하게 분포된 랜덤 점을 생성하기 위해 Marsaglia(1972)는 다음과 같은 알고리즘을 제공합니다.

정규 편차의 n차원 벡터 생성(N(0, 1)을 사용하는 것으로 충분하지만 실제로는 분산 선택이 임의적임), x = (x₁, x₂,...) x_n) 이제 이 점의 "반경"을 계산합니다.

${\displaystyle r=syslogrt {x_{1}^{2}+x_{2}}^{2}+\cdots +x_{n}^2}}.}$

벡터 1/rx는 단위 n-ball의 표면에 균일하게 분포되어 있습니다.

Marsaglia에 의해 주어진 대안은 점 x = (x₁, x₂, ...)를 균일하게 무작위로 선택하는 것이다.Xn)단위로 n-cube 독립적으로 균일 분포에서(–1,1)에 위와 같이 점을 거부하는 r컴퓨팅과 만약 r≥ 1(즉, 만약 그 점에 있지 않은 그 n-ball), 그리고 이 공의 한점을 얻는 구면 위로 올라가는 인자 1/r에 의해 크기, 다시 1/rx 한결같이distribu은 리샘플링 각 자이에 대한 샘플을 채취.기단위 n-ball의 표면 위에 d를 놓는다.이 방법은 단위 입방체의 극히 작은 부분이 구체에 포함되어 있기 때문에 고차원에서는 매우 비효율적입니다.10차원에서는 큐브의 2% 미만이 구에 의해 채워지기 때문에 일반적으로 50회 이상의 시도가 필요합니다.70차원에서는 큐브의$10-24개$$$이 채워져 있는데, 이는 일반적으로 컴퓨터가 수행할 수 있는 것보다 훨씬 많은 1조 개의 실험이 필요하다는 것을 의미한다.

n-ball 내에서 균일하게 랜덤하게

단위(n - 1)-구 표면에서 무작위로 균일하게 선택된 점(예: Marsaglia 알고리즘을 사용하여)으로 단위 n-ball 내에서 무작위로 균일하게 점을 구하려면 반지름만 필요하다.간격[0,1]에서)무작위로 네가 숫자 하나가 균일하게 생성된 지점 한결같이 무작위로 장치에서(n− 1)-sphere, 그때u.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.frac.num,.mw-parser-output.frac .den{:80%;line-height:0;vertical-align:슈퍼 font-size}.mw-parser-output.frac .den{선택했다.Vertical-align:서브}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1⁄nx의 반응은 한결같이 단위 n-ball 내에 분포되어 있다.

또는 단위 n-ball 내에서 단위 n+1)-구의 감소에 의해 균등하게 점을 샘플링할 수 있다.특히 (x₁,x₂,…x_n+2)가 (n+1)-구에서 균일하게 선택된 점이라면 (x₁,x₂,…x)는_n (2개의 ^[6]좌표를 단순히 폐기함으로써) 단위 n-ball 내에서 균일하게 분포한다.

n이 충분히 크면 n-ball 부피의 대부분은 표면과 매우 가까운 영역에 포함되므로 해당 부피에서 선택한 점도 표면과 가까울 수 있습니다.이는 일부 수치 및 기타 응용 분야에서 발생하는 소위 차원성의 저주로 이어지는 현상 중 하나입니다.

특정 영역

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0-sphere

일부 R > 0에 대한 이산 토폴로지를 가진 포인트 쌍 {±R}.경로로 연결되지 않은 유일한 구입니다.병렬화 가능.

1구

흔히 동그라미라고 합니다.중요하지 않은 기본 그룹이 있습니다.Abelian Lie 그룹 구조 U(1); 원 그룹.실제 투영 선과 동형입니다.

2구

일반적으로 구라고 불립니다.그 복잡한 구조는 리만 구를 참조한다.복잡한^[clarification needed] 투영 선과 동등

3구

2-sphere, Lie 그룹 구조 Sp(1) 위에 병렬 가능한 주요 U(1) 번들.

4구

4분위 투사선 HP¹.SO(5)/SO(4)에 상당합니다.

5구

CP에 대한² 주요 U(1)-번들. SO(6)/SO(5) = SU(3)/SU(2).주어진 n차원 다양체가 n 5 ^[7]5에 대해 S와ⁿ 동형인 경우 결정될 수 없다.

6구

순수 단위 옥토니언 집합에서 나오는 거의 복잡한 구조를 가지고 있습니다.SO(7)/SO(6) = G₂/SU(3).Heinz Hopf의 이름을 따서 ^[8]Hopf 문제로 알려져 있습니다.

7구

단위 옥토니언 집합으로서의 위상 준군 구조.주요 Sp(1)-번들/S⁴. 병렬화 가능.SO(8)/SO(7) = SU(4)/SU(3) = Sp(2)/Sp(1) = Spin(7)/G₂ = Spin(6)/SU(3)입니다.7-구체는 최초의 이국적인 구체가 발견된 바로 이 차원이기 때문에 특히 관심을 끈다.

8구

옥토니언 투영선¹ OP와 동일합니다.

23구

24차원 공간에서 고밀도 구체 패킹이 가능하며, 이는 거머리 격자의 고유한 특성과 관련이 있습니다.

팔면체 구

8면체 n-sphere는 n-sphere와 유사하게 정의되지만 1-norm을 사용하여

$\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R}^{n+1}:\left\x\right\_{1}=1\right\}$

팔면체 1-구체는 (내부가 없는) 정사각형입니다.팔면체 2-구체는 정팔면체이므로 이름이 붙여집니다.8면체 n-구는 고립된 ^[9]점의 n + 1 쌍의 위상 결합입니다.직관적으로 두 쌍의 위상 결합은 한 쌍의 각 점과 다른 쌍의 각 점 사이에 세그먼트를 그려서 생성됩니다. 그러면 정사각형이 생성됩니다.세 번째 쌍과 결합하려면 정사각형의 각 점과 세 번째 쌍의 각 점 사이에 세그먼트를 그립니다. 그러면 8면체가 됩니다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

• Flanders, Harley (1989). Differential forms with applications to the physical sciences. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66169-8.
• Moura, Eduarda; Henderson, David G. (1996). Experiencing geometry: on plane and sphere. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-373770-7 (Chapter 20: 3-spheres and hyperbolic 3-spaces).{{cite book}}: CS1 유지보수: 포스트스크립트(링크)
• Weeks, Jeffrey R. (1985). The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds. Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-7437-0 (Chapter 14: The Hypersphere).{{cite book}}: CS1 유지보수: 포스트스크립트(링크)
• Marsaglia, G. (1972). "Choosing a Point from the Surface of a Sphere". Annals of Mathematical Statistics. 43 (2): 645–646. doi:10.1214/aoms/1177692644.
• Huber, Greg (1982). "Gamma function derivation of n-sphere volumes". Amer. Math. Monthly. 89 (5): 301–302. doi:10.2307/2321716. JSTOR 2321716. MR 1539933.
• Barnea, Nir (1999). "Hyperspherical functions with arbitrary permutational symmetry: Reverse construction". Phys. Rev. A. 59 (2): 1135–1146. Bibcode:1999PhRvA..59.1135B. doi:10.1103/PhysRevA.59.1135.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Hypersphere". MathWorld.