알렉산드로프 확장

위상수학에서 알렉산드로프 확장은 공간이 콤팩트하도록 하나의 점에 인접함으로써 비콤팩트 위상 공간을 확장하는 방법이다.그것은 러시아 수학자 파벨 알렉산드로프의 이름을 따서 지어졌다.좀 더 정확히 말하면, X를 위상 공간이라고 하자.그러면 X의 알렉산드로프 확장은 오픈 임베딩 c : X → X*와 함께 특정 콤팩트 공간 X*이며, X*의 X의 보완은 일반적으로 θ로 표시된 단일 점으로 구성된다.맵 c는 X가 로컬로 콤팩트하지 않은 하우스도르프 공간인 경우에만 하우스도르프 콤팩트화입니다.이러한 공간에서 알렉산드로프 확장을 원포인트 콤팩트화 또는 알렉산드로프 콤팩트화라고 합니다.알렉산드로프 콤팩트화의 장점은 단순하고 종종 기하학적으로 의미 있는 구조와 그것이 모든 콤팩트들 사이에서 최소한의 정확한 의미라는 사실에 있습니다; 단점은 그것이 St.와 달리 국부적으로 콤팩트하지 않은 하우스도르프 공간의 클래스에만 하우스도르프 콤팩트화를 제공한다는 것입니다.모든 위상 공간에 존재하는 1체크 콤팩트화(단 , 타이코노프 공간에 정확히 내장).

예: 역입체 투영

기하학적으로 호소하는 원포인트 콤팩트화의 예는 역입체 투영에 의해 제시된다.입체 투영 S는 단위 구에서 북극을 뺀(0,0,1)에서 유클리드 평면에 대한 명시적 동형성을 제공한다는 것을 기억하라. $S^{-1}:\mathbb {R} ^{2}\hookrightarrow S^{2}$ - $S^{-1}:\mathbb {R} ^{2}\hookrightarrow S^{2}$ : $S^{-1}:\mathbb {R} ^{2}\hookrightarrow S^{2}$ $S^{-1}:\mathbb {R} ^{2}\hookrightarrow S^{2}$ $S^{-1}:\mathbb {R} ^{2}\hookrightarrow S^{2}$ 2 ${\mathbb {R} ^{$ 2}\ $hookrightarrow S^{$ 2 $S^{-1}:\mathbb {R} ^{2}\hookrightarrow S^{2}$ }}는 가산점 $\infty =(0,0,1)$ θ $=$ ( $\infty =(0,0,1)$ $\infty =(0,0,1)$ , 1) $\infty =(0,0,1)$ {\ $displaystyle \0,0}$ 에 인접하여 얻은 콤팩트 하우스도르프 공간에 열린 밀도 삽입이다.Ircles zc에 planar계 r)(1+c)/(c1−){\displaystyle r={\sqrt{(1+c)(1-c)}}}입니다. 그것은(0,0,1){\displaystyle(0,0,1)}은 구멍이 있는 구면 모자 c≤ z<>에 의해;1{\displaystyle c\leq z< 1}의 삭제된 이웃 기초에 해당합니다 다음 매핑을 얻{\displaystyle z=c}.인터넷닫힌 평면 $r\geq {\sqrt {(1+c)/(1-c)}}$ r $r\geq {\sqrt {(1+c)/(1-c)}}$ ( $r\geq {\sqrt {(1+c)/(1-c)}}$ 1 + $r\geq {\sqrt {(1+c)/(1-c)}}$ ) $r\geq {\sqrt {(1+c)/(1-c)}}$ / ( $1$ - $c$ ) $r\geq {\sqrt {(1+c)/(1-c)}}$ \ $sqrt$ { ( 1 + $c$ ) / ( 1 - c ) $r\geq {\sqrt {(1+c)/(1-c)}}$ 。 보다 질적으로 display $\$ $displaystyle$ $\infty$ \ $infty$ $S^{-1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus K)\cup \{\infty \}$ 의 $\infty$ 근린 기반은 S $S^{-1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus K)\cup \{\infty \}$ - $S^{-1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus K)\cup \{\infty \}$ ( $S^{-1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus K)\cup \{\infty \}$ 2 $S^{-1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus K)\cup \{\infty \}$ ) $displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay$ $r\geq {\sqrt {(1+c)/(1-c)}}$ $S^{-1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus K)\cup \{\infty \}$ display display displaydisplaydisplay displaydisplaydisplay $S^{-1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus K)\cup \{\infty \}$ displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplayough $(\$ 의 콤팩트 서브셋. 이 예에는 일반적인 케이스의 주요 개념이 이미 포함되어 있습니다.

동기

$c:X\hookrightarrow Y$ : $c:X\hookrightarrow Y$ $c:X\hookrightarrow Y$ ({ $displaystyle$ c $:X\hookrightarrow Y$ })를 $c:X\hookrightarrow Y$ 위상 공간 X에서 콤팩트 하우스도르프 위상 공간 Y로의 매립으로 하고 나머지 $\{\infty \}=Y\setminus c(X)$ 1점 {θ $\{\infty \}=Y\setminus c(X)$ $\{\infty \}=Y\setminus c(X)$ $\{\infty \}=Y\setminus c(X)$ c ( $\{\infty \}=Y\setminus c(X)$ ) $\{\infty \}=Y\setminus c(X)$ ( \ $displaystyle$ \ { \ \ $infty$ } $= Y$ \ $set$ C $\{\infty \}=Y\setminus c(X)$ . $set$ C .동형 프리이미지 X는 또한 국소적으로 콤팩트한 하우스도르프이다.게다가 X가 콤팩트하면 c(X)는 Y로 닫히므로 밀도가 높지 않다.따라서 공간은 로컬 콤팩트, 비콤팩트 및 하우스도르프일 경우에만 하우스도르프 원포인트 콤팩트화를 허용할 수 있습니다.게다가 이러한 원포인트 콤팩트화에서는 X의 x 근린 베이스 이미지는 c(X)의 c(x) 근린 베이스를 제공합니다.콤팩트한 하우스도르프 공간의 서브셋은 닫혀 있는 경우에만 콤팩트하기 때문에 $§\$ $displaystyle\infty}$ 의 $\infty$ 오픈 근린 베이스는 모두 인접한 $\infty$ \ $displaystyle$ 에 의해 취득되어야 합니다.콤팩트 보체로 X의 $\infty$ 서브셋 c 아래의 화상에 \ $infty }.$

알렉산드로프 확장

X $X^{*}=X\cup \{\infty \}$ $X^{*}=X\cup \{\infty \}$ display { $displaystyle$ X^ { * $= X$ \ $cup$ \ { \ $infty$ \ $X^{*}=X\cup \{\infty \}$ 를 넣고, 모든 $V=(X\setminus C)\cup \{\infty \}$ 부분 집합 V $=$ ( $V=(X\setminus C)\cup \{\infty \}$ C ) 와 함께 X $V=(X\setminus C)\cup \{\infty \}$ display $X^{*}$ { \ $display$ $style X$ $X^{*}$ { * } 를 $X^{*}$ topologize $X^{*}$ $.$ 여기서 X $X\setminus C$ C { $display style$ X \ $setminus$ C $X\setminus C$ }는 $X\setminus C$ X { \ $display style$ X $X$ }의 $C$ C { $display style$ C}의 보완을 나타냅니다 $.V$ { $display$ $style$ V $V$ }는 { $}$ {\ $infty$ 의 오픈 $V$ 이므로 $\{\infty \}$ {\ display style $\}\inftyle}$ 의 $\{\infty \}$ 오픈커버가 $됩니다.$ X의 $X^{*}$ C $(\$ X $X^{*}$ 는 $C$ X의 $X^{*}$ 서브셋 C $displaystyle$ X $^{*})$ 가 $X^{*}$ 콤팩트함을 $X^{*}$ 합니다(Kelley 1975, 페이지 150).

포함 $c:X\rightarrow X^{*}$ c : $c:X\rightarrow X^{*}$ $c:X\rightarrow X^{*}$ $c:X\rightarrow X^{*}$ $∗$ { $displaystyle$ c $:X\rightarrow$ X $^{*}}$ 는 $c:X\rightarrow X^{*}$ X의 알렉산드로프 확장이라고 불린다(Willard, 19A).

아래 속성은 모두 위의 설명에서 나온 것입니다.

맵 c는 연속적이고 개방적입니다.X $∗$ （ \ $display style$ X $^$ { * } $X^{*}$ ）의 $X^{*}$ 서브셋으로서 X 가 포함되어 있습니다.
$X^{*}$ X ${\$ { $display style$ X $^$ { * } is $X^{*}$ compact 컴팩트합니다.
이미지 c(X)는 X가 콤팩트하지 않은 경우 X $X^{*}$ {\(\ $displaystyle$ X $X^{*}$ 로 조밀합니다.
$X^{*}$ X $X^{*}$ {\({ $displaystyle$ X $^{*})$ 는 $X^{*}$ X가 Hausdorff이고 로컬 컴팩트한 경우에만 Hausdorff입니다.
$X^{*}$ X ${\$ {\ $displaystyle$ X $^{*}}$ 는 $X^{*}$ X가 T인₁ 경우에만 T입니다₁.

원포인트 콤팩트화

특히 Alexandroff $c:X\rightarrow X^{*}$ c : $c:X\rightarrow X^{*}$ $c:X\rightarrow X^{*}$ $c:X\rightarrow X^{*}$ ${\$ \ $displaystyle$ c $:X\rightarrow$ X $^{*}$ 는 $c:X\rightarrow X^{*}$ X가 하우스도르프이고 비콤팩트이며 국소 콤팩트인 경우에만 X의 하우스도르프 콤팩트화이다.이 경우 X의 원포인트 콤팩트화 또는 알렉산드로프 콤팩트화라고 합니다.

위의 논의에서 1점 남은 하우스도르프 콤팩트화는 반드시 알렉산드로프 콤팩트화와 동일하다는 것을 상기한다.특히 X $(\displaystyle$ X $)$ 가 $X$ 콤팩트한 하우스도르프 $p$ 이고p(\ $displaystyle$ p $)$ 가 $p$ X $(\$ $displaystyle$ $)$ 의 한계점일 $경우$ X(\ $displaystyle$ X $)$ 는 $X$ X $displaystyle$ X $)$ 의 Alexandroff $콤팩트화입니다.$

X를 임의의 비콤팩트 타이코노프 공간으로 합니다.콤팩트화의 등가 클래스의 ${\mathcal {C}}(X)$ C $X)$ {\displaystyle $\mathcal$ { $C}}(X)$ 에 ${\mathcal {C}}(X)$ 대한 자연스러운 부분 순서 하에서, 어떤 최소 요소도 알렉산드로프 확장(Engelking, Orem 3.5.12)과 동등하다.따라서 비콤팩트 Tychonoff 공간은 로컬로 콤팩트한 경우에만 최소 콤팩트화를 허용합니다.

비 하우스도르프 원포인트 컴팩트화

$(X,\tau )$ $(X,\tau )$ , $(X,\tau )$ ) $(X,\tau )$ { $display$ ( $X$ , \ $tau$ ) } 에는 $(X,\tau )$ 임의의 비콤팩트토폴로지 공간을 지정합니다.단일 점을 추가하여 얻은 X $(\displaystyle$ X $)$ 의 $X$ 모든 콤팩트화(반드시 Hausdorff는 아님)를 결정할 수 있습니다. 이 경우 원포인트 콤팩트화라고도 할 수 있습니다.따라서 X $({displaystyle$ X $})$ 의 $X$ 밀도가 $높고$ X $({$ displaystyleX})의 $X$ 서브스페이스 토폴로지가 X $({$ X})의 원래 토폴로지와 같은 콤팩트한 토폴로지를 $X^{*}=X\cup \{\infty \}$ X({ $displaystyle$ X $})$ 의 $X^{*}=X\cup \{\infty \}$ $X^{*}$ 토폴로지를 제공하는 $X^{*}=X\cup \{\infty \}$ 방법을 결정하고 $싶습니다$ $.$ 토폴로지의 마지막 호환성 조건은 X $(\displaystyle$ X $)$ 가 $X$ $X$ 콤팩트하지 않기 때문에 콤팩트한 공간에서는 닫을 수 없기 $X$ 에 $X$ (\ $displaystyle$ X $X^{*}$ 의 밀도가 X $(\$ $displaystyle$ X^{*})에 $X$ 으로 있음을 나타냅니다.또한, 그것은 사실이 포함 사상 c:X→ X∗{\displaystyle c:X\to X^{*}}이 반드시 공갰던 1가지 이슈 때문이었습니다, 즉, X{X\displaystyle}X∗{\displaystyle X^{*}에}개방되어야 하고 X에서 그 해부학적 구조({\displaystyle X^{*}}.[1]은 그래서 τ{\displaystyle \tau}의 모든 멤버가 포함되어야 합니다. 로.X의 $({$ X $^{*})$ 는 $X^{*}$ ${\({displaystyle$ $\infty})$ 의 $\infty$ 근방에 의해 결정됩니다 $.{displaystyle$ X $X$ 의 근방은 앞에서 설명한 바와 같이 $X$ 의 $닫힌$ 콤팩트 서브셋의 X $X^{*}$ {\({ $displaystyle$ X $^{*}}})$ 를 $X^{*}$ 보완해야 합니다.

X $(\$ style X $)$ 의 $X$ 콤팩트화를 이루는 X $(\$ $style$ X $^{*})$ 의 $X^{*}$ 토폴로지는 다음과 같습니다.

위에서 정의한 X $(\displaystyle$ X $)$ 의 $X$ Alexandroff 확장자.여기에서는 X $(\$ displaystyle $X)$ 의 $X$ 모든 닫힌 콤팩트 서브셋을 ${\(\displaystyle\infty$ 의 근방으로서 보완합니다.이것은 X $(\$ X $^{*})$ 를 $X^{*}$ X $(\displaystyle$ X $X$ 의 원포인트 콤팩트화(원포인트)로 $X^{*}$ 가장 큰 토폴로지입니다.
오픈 확장 토폴로지여기에서는 스페이스 $X^{*}$ 전체 $displaystyle$ $\infty$ X $X^{*}$ 의 단일 네이버를 추가합니다.이것은 X ${\$ {\ $displaystyle$ X $X$ 를 $X^{*}$ $X$ 의 원포인트 콤팩트화 하는 최소 토폴로지입니다.
위의 두 토폴로지 사이의 임의의 토폴로지 $§$ {\ $displaystyle\infty}$ 근방의 $\infty$ 경우 X{\ $displaystyle$ X $X$ 의 모든 닫힌 콤팩트 서브셋의 보완 서브패밀리의 적절한 서브패밀리를 선택해야 합니다.예를 들어, 유한 닫힌 콤팩트 서브셋의 보완 또는 카운팅 가능한 모든 닫힌 콤팩트 서브셋의 보완을 선택해야 합니다.

기타 예

이산 공간의 콤팩트화

양의 정수 집합의 1점 콤팩트화는 순서 위상을 갖는 K = {0} U {1/n은 양의 정수}로 구성된 공간과 동형이다.
$f(n)=a_{n}$ $f\colon \mathbb {N} ^{*}\to X$ f : $f\colon \mathbb {N} ^{*}\to X$ X \ $displaystyle$ f\displaystyle f $\displaybb$ {N} $^{n$ } $f(n)=a_{n}$ $f\colon \mathbb {N} ^{*}\to X$ X (\displaystyle X $)$ 의 $f\colon {\mathbb N}^{*}\to X$ 시퀀스 $n}$ { $displaystyle$ $\{n}$ }은(는 $f(n)=a_{n}$ X $(\displaystyle$ X $X$ 의 $a$ $점$ 으로 수렴됩니다 $X$ . $n$ $\$ $f(\infty )=a$ f $f(\infty )=a$ $f(\infty )=a$ 의 n\ $displaystyle$ n $=$ 는 $f(\infty )=a$ 연속적입니다. $\mathbb {N}$ 서 N $(\$ 은 $\mathbb N$ 이산 토폴로지를 가집니다.
폴리아드 공간은 국소적으로 콤팩트한 이산 하우스도르프 공간의 원포인트 콤팩트화 힘의 연속 이미지인 위상 공간으로 정의된다.

연속 공간의 콤팩트화

n차원 유클리드 공간ⁿ R의 1점 콤팩트화는 n-구ⁿ S와 동형이다.위와 같이 n차원 역입체 투영으로서 명시적으로 지도를 부여할 수 있다.
반닫이 간격 [ $0$ $[0,1)^{\kappa }$ 의 $\kappa$ $[0,1)^{\kappa }$ ${\({$ displaystyle $[0,1)^{\kappa$ $[0,1)^{\kappa }$ 의 곱의 원포인트 콤팩트화는 ([ $[0,1]^{\kappa }$ style $[0,1]^{\kappa$ $[0,1]^{\kappa }$ 입니다.
연결된 서브셋의 닫힘이 연결되므로 비콤팩트 연결공간의 알렉산드로프 확장이 연결된다.단, 1점 콤팩트화는 분리된 공간을 "연결"할 수 $있습니다$ . 예를 들어 간격(0,1) 복사본의 유한수n(\ $style$ n)의 $n$ 분리된 결합의 1점 콤팩트화는 n $(\display style$ n $)$ 원의 $n$ $n$ 입니다.
간격(0,1)의 셀 수 있는 복사본의 분리 결합의 1점 콤팩트화는 하와이안 귀걸이이다.이것은 셀 수 없을 정도로 많은 원의 쐐기와는 다르며 컴팩트하지 않다.
$X(\displaystyle$ X $)$ 콤팩트 $X$ Hausdorff 및 $C$ (\ $displaystyle$ C $X$ 에서 $C$ X $(\displaystyle$ X $\setminus C)$ 의 $X\setminus C$ 원포인트 콤팩트화는 ^[2]X $C(\displaystyle$ X\setminus C $X/C$ 입니다. 여기서 슬래시는 몫 공간을 나타냅니다.
X $(\displaystyle$ X $)$ 와 $X$ Y $(\displaystyle$ Y $)$ 가 $Y$ 로컬 콤팩트 Hausdorff일 $경우$ $(X\times Y)^{*}=X^{*}\wedge Y^{*}$ ( $(X\times Y)^{*}=X^{*}\wedge Y^{*}$ $(X\times Y)^{*}=X^{*}\wedge Y^{*}$ ) $(X\times Y)^{*}=X^{*}\wedge Y^{*}$ $(X\times Y)^{*}=X^{*}\wedge Y^{*}$ $(X\times Y)^{*}=X^{*}\wedge Y^{*}$ $(X\times Y)^{*}=X^{*}\wedge Y^{*}$ ${\$ ( ( $X$ \ $times$ Y )^*} = $X^{*}$ \ $wedge$ Y $^{*}}}}}$ where $(X\times Y)^{*}=X^{*}\wedge Y^{*}$ $\wedge$ display $display$ display display display display display display display display display 、 \ displaystyle \ display \ displaystyle $}$ product if $ifwedge$ product product if if if if if if if if if if if if if if if스매시 제품의 정의는 다음과 같습니다. $A\wedge B=(A\times B)/(A\vee B)$ B $A\wedge B=(A\times B)/(A\vee B)$ ( $A\wedge B=(A\times B)/(A\vee B)$ × $A\wedge B=(A\times B)/(A\vee B)$ ) $A\wedge B=(A\times B)/(A\vee B)$ / ( $A$ B $A\wedge B=(A\times B)/(A\vee B)$ ) { $displaystyle$ A \ $wedge$ B = ( $A$ \ $times$ B ) / ( $A$ \ $vee$ B $A\wedge B=(A\times B)/(A\vee B)$ ) $A\vee B$ ( $A\vee B$ B { $displaystyle$ A \ $vee$ B $A\vee B$ }는 $A\wedge B=(A\times B)/(A\vee B)$ $A\vee B$ 쐐기합이며, / 는 몫 ^[2]공간을 나타낸다.

펑터로서

알렉산드로프 확장은 적절한 연속 맵을 가진 위상 공간의 범주에서 연속 맵 $c\colon X\rightarrow Y$ $c\colon X\rightarrow Y$ $c\colon X\rightarrow Y$ \ $displaystyle$ c $\class$ X\ $right$ 화살표 $c\colon X\rightarrow Y$ Y이고 $c_{1}\colon X_{1}\rightarrow Y_{1}$ : X $c_{1}\colon X_{1}\rightarrow Y_{1}$ $c_{1}\colon X_{1}\rightarrow Y_{1}$ $c_{1}\colon X_{1}\rightarrow Y_{1}$ \ $displaystyle c_{1\$ rightarrow X $}$ 의 범주로 함수로 볼 수 있다. $c_{2}\colon X_{2}\rightarrow Y_{2}$ Y_ ${1}$ ~ c $c_{2}\colon X_{2}\rightarrow Y_{2}$ : $c_{2}\colon X_{2}\rightarrow Y_{2}$ 2 $c_{2}\colon X_{2}\rightarrow Y_{2}$ $c_{2}\colon X_{2}\rightarrow Y_{2}$ 2 ({ $displaystyle c_{2}\rightarrow X_{2}\$ rightarrow Y_{2})는 $c_{2}\colon X_{2}\rightarrow Y_{2}$ 연속 $f_{X}\colon X_{1}\rightarrow X_{2},\ f_{Y}\colon Y_{1}\rightarrow Y_{2}$ $f_{X}\colon X_{1}\rightarrow X_{2},\ f_{Y}\colon Y_{1}\rightarrow Y_{2}$ : X $f_{X}\colon X_{1}\rightarrow X_{2},\ f_{Y}\colon Y_{1}\rightarrow Y_{2}$ $f_{X}\colon X_{1}\rightarrow X_{2},\ f_{Y}\colon Y_{1}\rightarrow Y_{2}$ $f_{X}\colon X_{1}\rightarrow X_{2},\ f_{Y}\colon Y_{1}\rightarrow Y_{2}$ 2, $f_{X}\colon X_{1}\rightarrow X_{2},\ f_{Y}\colon Y_{1}\rightarrow Y_{2}$ Y $f_{X}\colon X_{1}\rightarrow X_{2},\ f_{Y}\colon Y_{1}\rightarrow Y_{2}$ $f_{X}\colon X_{1}\rightarrow X_{2},\ f_{Y}\colon Y_{1}\rightarrow Y_{2}$ $f_{X}\colon X_{1}\rightarrow X_{2},\ f_{Y}\colon Y_{1}\rightarrow Y_{2}$ 2 (\ $displaystyle f_{X}\colon X_1})$ 의 쌍입니다. $tyle f_{$ $Y}\circ c_{1}=c_{2}\color f_{X$ 특히 동형 공간은 동형 알렉산드로프 확장을 가진다.

「」를 참조해 주세요.

보어 콤팩트화
콤팩트 공간 – 수학적 공간 유형
콤팩트화(수학)– 콤팩트한 공간에 토폴로지 공간을 고밀도 서브셋으로 삽입
종료(토폴로지)
확장실수행– +와 -가 추가된 실수
표준 공간
뾰족한 집합
리만 구 – 확장 복소 평면 모델 + 무한대 점
입체 투영 – 구면을 평면에 투영하는 특정 맵핑
스톤-체크 콤팩트화
월맨 콤팩트화

메모들

^ "General topology - Non-Hausdorff one-point compactifications".
^ ^a ^b Joseph J. Rotman, 대수적 위상 입문(1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (증거는 11장 참조)

레퍼런스

Alexandroff, Pavel S. (1924), "Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume", Mathematische Annalen, 92 (3–4): 294–301, doi:10.1007/BF01448011, JFM 50.0128.04, S2CID 121699713
Brown, Ronald (1973), "Sequentially proper maps and a sequential compactification", Journal of the London Mathematical Society, Series 2, 7 (3): 515–522, doi:10.1112/jlms/s2-7.3.515, Zbl 0269.54015

Engelking, Ryszard (1989), General Topology, Helderman Verlag Berlin, ISBN 978-0-201-08707-9, MR 1039321
Fedorchuk, V.V. (2001) [1994], "Aleksandrov compactification", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Kelley, John L. (1975), General Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90125-1, MR 0370454
Munkres, James (1999), Topology (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2, Zbl 0951.54001
Willard, Stephen (1970), General Topology, Addison-Wesley, ISBN 3-88538-006-4, MR 0264581, Zbl 0205.26601

[1] "General topology - Non-Hausdorff one-point compactifications".

[rotman-2] Joseph J. Rotman, 대수적 위상 입문(1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (증거는 11장 참조)

[2]

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예: 역입체 투영

동기

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