조절기능
Regulated function수학에서 규제된 함수, 즉 지배된 함수는 단일 실제 변수의 어떤 종류의 잘 행동된 함수다.규제된 함수는 통합 가능한 함수의 한 종류로 발생하며, 몇 가지 동등한 특성을 가진다.규제된 기능들은 1949년 니콜라스 부르바키에 의해 그들의 책 "리브르 4: 폰제츠 드네 변수 레엘"에서 소개되었다.
정의
X를 노르말의 바나흐 공간으로 하자.X 함수 f : [0, T] → X는 다음의 두 가지 등가 조건 중 하나(따라서 둘 다)가 참이면 조절된 함수라고 한다.[1]
- 간격 [0, T]의 모든 t에 대해, 왼쪽과 오른쪽 한계인 f(t-)와 f(t+)가 모두 X로 존재한다(분명히 f(0-)와 f(T+).
- 단계함수의 순서 φn : [0, T] → X가 f에 균일하게 수렴한다(즉, 우월적 규범에 관해서 - ∞)
이 두 조건이 동등하다는 것을 보여주기 위해서는 약간의 작업이 필요하다.그러나 다음과 같은 동등한 방법으로 두 번째 조건을 다시 서술할 수 있다는 것은 비교적 쉽게 알 수 있다.
- Δ > 0마다 다음과 같은 스텝 함수 φδ : [0, T] → X가 있다.
![{\displaystyle \|f-\varphi _{\delta }\|_{\infty }=\sup _{t\in [0,T]}\|f(t)-\varphi _{\delta }(t)\|_{X}<\delta ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbff35e3cacd1d799a37f5807be1661ba84fd7e0)
- f는 [0, T]에서 [X]까지의 모든 스텝 함수의 스페이스 스텝([0, T]; X)의 폐쇄에 있다([0, T]에서 X까지의 모든 경계 함수의 스페이스 B([0, T]; X)에서의 우월 규범에 대한 폐쇄).
규제된 기능의 속성
Let Reg([0, T]; X)는 모든 조절 함수 f : [0, T] → X의 집합을 나타낸다.
- 규제된 기능의 총량과 스칼라 배수는 다시 규제된 기능이다.즉, Reg([0, T]; X)는 공간 X와 동일한 필드 K에 걸친 벡터 공간이며, 일반적으로 K는 실제 또는 복잡한 숫자가 된다.X가 곱셈 연산장치를 갖추고 있다면, 규제기능의 제품은 다시 규제기능이 된다.즉, X가 K-algebra라면 Reg([0, T]; X)도 그렇다.
- 최상규격은 Reg([0, T]; X)의 규범이며, Reg([0, T]; X)는 최상규범에 의해 유도된 위상에 관한 위상학적 벡터 공간이다.
- 위에서 언급한 바와 같이 Reg([0, T]; X)는 최상규범과 관련하여 Step([0, T]; X)의 B([0, T]; X)로 마감된 것이다.
- X가 Banach 공간이라면 Reg([0, T]; X)도 우월적 규범에 관한 Banach 공간이다.
- Reg([0, T]; R)는 무한 차원 진짜 바나흐 대수학: 유한 선형 결합과 규제된 함수의 생산물은 다시 규제된 함수다.
- 콤팩트한 공간에 정의된 연속함수(예: [0, T])는 자동적으로 균일하게 연속되므로, 모든 연속함수 f : [0, T] → X도 규제된다.실제로 최상규범과 관련하여 연속함수의 공간 C0([0, T]; X)는 Reg([0, T]; X)의 닫힌 선형 하위공간이다.
- X가 Banach 공간인 경우, 경계 변동의 함수의 공간 BV([0, T]; X)는 Reg([0, T]; X)의 밀도 높은 선형 하위 공간을 형성한다.
![\mathrm{Reg}([0, T]; X) = \overline{\mathrm{BV} ([0, T]; X)} \mbox{ w.r.t. } \| \cdot \|_{\infty}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f05c46e11ceb57287f9ec8a7a97d655c966ed9da)
![\mathrm{Reg}([0, T]; X) = \bigcup_{\varphi} \mathrm{BV}_{\varphi} ([0, T]; X).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/185e8c8a36b73c9bf8c2de00e81e28bed7658f0c)
- X가 분리 가능한 힐버트 공간이라면, Reg([0, T]; X)는 Fraňkova–로 알려진 콤팩트한 정리를 만족한다.헬리콥터 선택 정리.
- 한계변동 BV의 규제된 기능의 불연속성은 그러한 기능이 점프형 불연속성만을 가지기 때문에 계산할 수 있다.이를 보려면 > 0 오른쪽과 왼쪽 한계가 이상 차이가 나는 지점 집합이 유한하다는 것을 알아두면 충분하다.특히, 불연속성 집합은 0을 측정하고, 여기서부터 규제된 함수가 잘 정의된 리만 적분을 갖는 것을 따른다.
- 비고: Baire 범주 정리에서는 그러한 기능 F 의 불연속 점 집합이 미미하거나 내부가 비어 있지 않다.이것은 항상 계산가능성과 동등하지는 않다.[2]
- 분명한 방법으로 단계 기능에 대해 정의된 대로, 그 적분은 규제된 기능의 적분을 그것에 균일하게 수렴되는 모든 단계 기능의 적분 한계로 정의함으로써 자연스럽게 Reg([0, T]; X)까지 확장된다.이 확장은 잘 정의되어 있으며 적분의 일반적인 모든 특성을 만족시킨다.특히, 규제된 적분
참조
- ^ 1969년, 제7.6조
- ^ Stackexchange 토론
- Aumann, Georg (1954), Reelle Funktionen, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, Bd LXVIII (in German), Berlin: Springer-Verlag, pp. viii+416 미스터0061652
- Dieudonné, Jean (1969), Foundations of Modern Analysis, Academic Press, pp. xviii+387 미스터0349288
- Fraňková, Dana (1991), "Regulated functions", Math. Bohem., 116 (1): 20–59, ISSN 0862-7959 미스터1100424
- Gordon, Russell A. (1994), The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, Graduate Studies in Mathematics, 4, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. xii+395, ISBN 0-8218-3805-9 미스터1288751
- Lang, Serge (1985), Differential Manifolds (Second ed.), New York: Springer-Verlag, pp. ix+230, ISBN 0-387-96113-5 미스터772023
외부 링크
- "How to show that a set of discontinuous points of an increasing function is at most countable". Stack Exchange. November 23, 2011.
- "Bounded variation functions have jump-type discontinuities". Stack Exchange. November 28, 2013.
- "How discontinuous can a derivative be?". Stack Exchange. February 22, 2012.
