창백한 그래프

창백한 그래프
창백한 그래프
	주문 13의 페일리 그래프
의 이름을 따서 명명됨	레이먼드 페일리
꼭지점	q 1 1 mod 4,; q주력
가장자리	q(q − 1)/4
직경	2
특성.	매우 규칙적이다; 회의 그래프; 자기 보완적
표기법	QR(q)
	그래프 및 매개 변수 표

수학에서, 페일리 그래프는 2차 잔차에 의해 다른 요소의 쌍을 연결함으로써 적절한 유한 필드의 멤버로 구성된 조밀한 무방향 그래프이다.Paley 그래프는 회의 그래프의 무한 패밀리를 형성하여 대칭 회의 행렬의 무한 패밀리를 생성합니다.창백한 그래프는 그래프 이론 도구를 2차 잔기의 수 이론에 적용할 수 있게 하며, 그래프 이론에서 더 일반적으로 유용하게 만드는 흥미로운 특성을 가지고 있다.

창백한 그래프는 레이먼드 페일리의 이름을 따왔다.이들은 2차 잔류물로부터 아다마르 행렬을 구성하기 위한 Paley 구성과 밀접하게 관련되어 있다(Paley 1933).Sachs(1962년)와 Erdss & Rényi(1963년)에 의해 독립적으로 그래프로 도입되었다.Sachs는 그들의 자기보완성 특성 때문에 그들에게 관심을 가졌고, Erdss와 Rényi는 그들의 대칭성을 연구했습니다.

Paley Digraph는 Paley 그래프의 유도 아날로그로, 반대칭 회의 행렬을 생성합니다.그것들은 Graham & Spencer(1971년)에 의해 도입되었다(Sachs, Erdis 및 Rennyi와는 별개로). 이전에는 랜덤 토너먼트에 의해서만 개최된다고 알려져 있던 특성으로 토너먼트를 구성하는 방법으로서: Paley Digraph에서는 정점의 모든 작은 부분 집합이 다른 정점에 의해 지배된다.

정의.

q = 1(mod 4)이 되도록 q를 정수로 합니다.즉, q는 피타고라스 소수의 임의의 제곱(1 mod 4에 해당하는 소수)이거나 홀수 비 피타고라스 소수의 짝수 제곱이어야 합니다.이 q의 선택은 순서 q의 고유한 유한 필드_q F에서 요소 -1이 제곱근을 갖는다는 것을 의미합니다.

이제 V = F로_q 설정하고

E=\left\{\{a,b\}\ :\ a-b\in (\mathbf {F} _{q}^{\times })^{2}\right\}

E=\left\{\{a,b\}\ :\ a-b\in (\mathbf {F} _{q}^{\times })^{2}\right\}

{ {

E=\left\{\{a,b\}\ :\ a-b\in (\mathbf {F} _{q}^{\times })^{2}\right\}

,

E=\left\{\{a,b\}\ :\ a-b\in (\mathbf {F} _{q}^{\times })^{2}\right\}

E=\left\{\{a,b\}\ :\ a-b\in (\mathbf {F} _{q}^{\times })^{2}\right\}

:

E=\left\{\{a,b\}\ :\ a-b\in (\mathbf {F} _{q}^{\times })^{2}\right\}

-

E=\left\{\{a,b\}\ :\ a-b\in (\mathbf {F} _{q}^{\times })^{2}\right\}

E=\left\{\{a,b\}\ :\ a-b\in (\mathbf {F} _{q}^{\times })^{2}\right\}

(

E=\left\{\{a,b\}\ :\ a-b\in (\mathbf {F} _{q}^{\times })^{2}\right\}

q

E=\left\{\{a,b\}\ :\ a-b\in (\mathbf {F} _{q}^{\times })^{2}\right\}

× )

E=\left\{\{a,b\}\ :\ a-b\in (\mathbf {F} _{q}^{\times })^{2}\right\}

}

{

display

E = \

left

\ { \ {

a

, b \ } \ : \ b \

in

( \

mathbf

{

F

}

_

{

q

}^{ \ times } ^{

2}

\

right \

} } }

쌍 {a,b}이(가) E에 포함된 경우 두 요소 중 하나에 포함됩니다.a - b = -(b - a)의 경우, 그리고 -1은 정사각형이며, 따라서 b - a가 정사각형일 경우에만 a - b가 정사각형이다.

정의에 따르면 G = (V, E)는 q 차수의 창백 그래프이다.

예

q = 13의 경우 필드_q F는 정수 산술 모듈로 13일 뿐입니다.제곱근 mod 13의 숫자는 다음과 같습니다.

±1(+1의 제곱근 ±1, -1의 제곱근 ±5)
±3(+3의 경우 제곱근 ±4, -3의 경우 ±6)
±4(+4의 제곱근 ±2, -4의 제곱근 ±3)

따라서 페인 그래프에서는 [0,12] 범위의 각 정수에 대해 정점을 형성하고 이러한 각 정수 x를 x ± 1(mod 13), x ± 3(mod 13) 및 x ± 4(mod 13)의 6개의 이웃에 연결합니다.

특성.

Paley 그래프는 자기보완적입니다. 모든 Paley 그래프의 보완은 그것과 동형입니다.하나의 동형사상은 정점 x에서 xk(mod q)에 이르는 매핑을 통해 이루어집니다.여기서 k는 잔존하지 않는 mod q(Sachs 1962)입니다.

옅은 그래프는 파라미터가 있는 강력한 규칙 그래프입니다.

\displaystyle srg\left(q, {\tfrac {1}{2}}(q-1), {\tfrac {1}{4}}(q-5), {\tfrac {1}{4}(q-1)\오른쪽).}

이것은 사실 그래프가 호 추이적이고 자기 보완적이라는 사실에서 비롯된다.또한 Paley 그래프는 회의 ^{[citation needed]}그래프의 무한 패밀리를 형성합니다.

Paley 그래프의 고유값은 1 ${\tfrac {1}{2}}(q-1)$ ( ${\tfrac {1}{2}}(q-1)$ ${\tfrac {1}{2}}(q-1)$ ${\tfrac {1}{2}}(q-1)$ $){$ $displaystyle$ { $tfrac$ { $1$ }( ${\tfrac {1}{2}}(q-1)$ ${\tfrac {1}{2}}(-1\pm {\sqrt {q}})$ ${\tfrac {1}{2}}(q-1)$ - 1) 및 ${\tfrac {1}{2}}(-1\pm {\sqrt {q}})$ 2 ${\tfrac {1}{2}}(q-1)$ ( ${\tfrac {1}{2}}(-1\pm {\sqrt {q}})$ - $1$ ± ${\tfrac {1}{2}}(-1\pm {\sqrt {q}})$ $){$ $displaystyle$ { $tfrac$ { ${\tfrac {1}{2}}(q-1)$ $}(둘$ 다 ${\tfrac {1}{2}}(q-1)$ $\ pm$ { $sqrt {$ q ${\tfrac {1}{2}}(q-1)$ } $)$ 입니다.이들은 2차 가우스 합계를 사용하거나 강력한 규칙 ^{[citation needed]}그래프 이론을 사용하여 계산할 수 있습니다.

q가 프라임일 경우 Paley 그래프의 등각수 i(G)는 다음 경계를 충족하는 것으로 알려져 있습니다.

{q-{\sqrt {q}}{4}}\leq i(G)\leq {sqrt {q}\right({\frac {q-{\sqrt {q}}}{2}}\right}}}}.

^{[필요한 건]}

q가 프라임일 때 연관된 Paley 그래프는 해밀턴 순환 그래프입니다.

창백 그래프는 준랜덤(Chung 등 1989년): 팔레 그래프의 하위 그래프로 발생할 수 있는 각 상수 차수 그래프가 랜덤 그래프와 (큰 q의 한계 내에서) 동일하며, 큰 정점 집합은 랜덤 그래프에서와 거의 동일한 에지 수를 가진다.

적용들

순서 9의 팔레 그래프는 국소 선형 그래프, 룩 그래프 및 3-3 이중 프리즘 그래프입니다.
주문 13의 페인 그래프는 책 두께가 4이고 대기열 번호가 3입니다(Wolz 2018).
순서 17의 Paley 그래프는 G와 그 보완 그래프 모두 완전한 4-vertex 하위 그래프를 포함하지 않는 유일한 가장 큰 그래프 G이다(Evans et al. 1981).따라서 램지 번호 R(4, 4) = 18이 됩니다.
순서 101의 Paley 그래프는 현재 알려진 그래프 중 가장 큰 그래프 G이며, G와 그 보완 그래프 모두 완전한 6-vertex 하위 그래프를 포함하지 않는다.
Sasukara et al.(1993)는 Horrocks-Mumford 번들의 구성을 일반화하기 위해 Paley 그래프를 사용한다.

창백한 이색 글씨

q = 3(mod 4)이 되도록 q를 정수로 합니다.따라서 차수 q의_q 유한장 F는 제곱근 -1이 없습니다.따라서 F의_q 다른 원소의 각 쌍(a, b)에 대해 a~b 또는 b~a 중 하나가 정사각형이다.Paley Digraph는 정점 집합 V = F_q 및 호 집합을 가진 방향 그래프입니다.

\displaystyle A=\left\{(a,b)\in \mathbf {F}_{q}\times \mathbf {F}_:\b-a\in (\mathbf {F}_{q}^{\times }^{2}\right\}\}\.}

Paley Digraph는 토너먼트입니다.왜냐하면 각각의 뚜렷한 정점 쌍이 단방향의 호로 연결되어 있기 때문입니다.

Faley Digraph는 몇 가지 반대칭 회의 행렬과 양면 기하학의 구축을 이끈다.

속

순서 13의 Paley 그래프에 있는 각 정점의 6개의 이웃이 사이클로 연결되어 있습니다.즉, 그래프는 로컬 순환입니다.따라서, 이 그래프는 휘트니 삼각형의 토러스 삼각측량으로서 모든 면이 삼각형이고 모든 삼각형이 하나의 면인 토러스이다.보다 일반적으로 순서 q의 팔레 그래프를 포함시켜 모든 면이 삼각형인 경우, 우리는 오일러 특성을 통해 ${\tfrac {1}{24}}(q^{2}-13q+24)$ ( ${\tfrac {1}{24}}(q^{2}-13q+24)$ - ${\tfrac {1}{24}}(q^{2}-13q+24)$ ${\tfrac {1}{24}}(q^{2}-13q+24)$ 24 ${\tfrac {1}{24}}(q^{2}-13q+24)$ { $displaystyle$ \ $tfrac {$ 1} ${24}$ ( $q^{2}-13q+24$ 로 ${\tfrac {1}{24}}(q^{2}-13q+24)$ 표면의 속은 whic로 추측할 수 있다. Mohar (2005)h 팔레 그래프는 q가 정사각형인 경우 이 경계에 가깝고, 그러한 경계가 더 일반적으로 유지될 수 있는지 여부를 질문한다.구체적으로, Mohar는 제곱 순서의 팔레 그래프가 속성의 표면에 삽입될 수 있다고 추측한다.

({displaystyle (q^{2}-13q+24)\lefts\tfrac {1}{24}+o(1)\right),}

여기서 o(1) 항은 q가 무한대로 갈 때 한계 내에서 0으로 가는 q의 함수일 수 있습니다.

White(2001)는 높은 대칭성과 자기 이중성인 차수 q ≤ 1(mod 8)의 Paley 그래프 임베딩을 찾으며, 9차 Paley 그래프의 자연스러운 임베딩을 원환상의 3×3 사각 그리드로 일반화한다.그러나 화이트의 매립속은 모하르의 추측보다 약 3배 더 높다.

레퍼런스

Baker, R. D.; Ebert, G. L.; Hemmeter, J.; Woldar, A. J. (1996). "Maximal cliques in the Paley graph of square order". J. Statist. Plann. Inference. 56: 33–38. doi:10.1016/S0378-3758(96)00006-7.
Broere, I.; Döman, D.; Ridley, J. N. (1988). "The clique numbers and chromatic numbers of certain Paley graphs". Quaestiones Mathematicae. 11: 91–93. doi:10.1080/16073606.1988.9631945.
Chung, Fan R. K.; Graham, Ronald L.; Wilson, R. M. (1989). "Quasi-random graphs". Combinatorica. 9 (4): 345–362. doi:10.1007/BF02125347.
Erdős, P.; Rényi, A. (1963). "Asymmetric graphs". Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae. 14 (3–4): 295–315. doi:10.1007/BF01895716. MR 0156334.
Evans, R. J.; Pulham, J. R.; Sheehan, J. (1981). "On the number of complete subgraphs contained in certain graphs". Journal of Combinatorial Theory. Series B. 30 (3): 364–371. doi:10.1016/0095-8956(81)90054-X.
Graham, R. L.; Spencer, J. H. (1971). "A constructive solution to a tournament problem". Canadian Mathematical Bulletin. 14: 45–48. doi:10.4153/CMB-1971-007-1. MR 0292715.
Mohar, Bojan (2005). "Triangulations and the Hajós conjecture". Electronic Journal of Combinatorics. 12: N15. MR 2176532.
Paley, R.E.A.C. (1933). "On orthogonal matrices". J. Math. Phys. 12 (1–4): 311–320. doi:10.1002/sapm1933121311.
Sachs, Horst (1962). "Über selbstkomplementäre Graphen". Publicationes Mathematicae Debrecen. 9: 270–288. MR 0151953.
Sasakura, Nobuo; Enta, Yoichi; Kagesawa, Masataka (1993). "Construction of rank two reflexive sheaves with similar properties to the Horrocks–Mumford bundle". Proc. Japan Acad., Ser. A. 69 (5): 144–148. doi:10.3792/pjaa.69.144.
White, A. T. (2001). "Graphs of groups on surfaces". Interactions and models. Amsterdam: North-Holland Mathematics Studies 188.
Wolz, Jessica (2018). Engineering Linear Layouts with SAT. Master's Thesis. University of Tübingen.

외부 링크

Brouwer, Andries E. "Paley graphs".
Mohar, Bojan (2005). "Genus of Paley graphs".

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