펜로즈-호킹 특이점 정리

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일반 상대성 이론
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\kappa }T_{\mu \nu}}$
서론 역사 타임라인 테스트 수학 공식
기본개념 등가원리 특수 상대성 이론 월드 라인 의사 리만 다양체
현상 케플러 문제 중력렌즈 중력파 프레임 드래그 측지 효과 사건의 지평선 특이점 블랙홀 시공간 시공간 도표 민코프스키 시공간 아인슈타인-로젠 다리
방정식 형식주의 방정식 선형화된 중력 아인슈타인 장방정식 프리드만 측지학 Mathisson–Papapetrou–Dixon 해밀턴-야코비-아인슈타인 형식주의 ADM BSSN 포스트뉴턴 고급이론 칼루자-클라인 이론 양자중력
솔루션 슈바르츠실트(실내) 리스너-노르트스트롬 괴델 커 커-뉴먼 커-뉴먼-드 시터 카스너 레마 î트레 –톨만 타우브-넛 밀네 로버트슨-워커 오펜하이머-스나이더 pp파의 반스톡쿰 먼지 Weyl−Lewis−Papapetrou
사이언티스트 아인슈타인 로렌츠 힐베르트 푸앵카레 슈바르츠실트 디시터 리스너 노르트스트롬 웨일 에딩턴 프리드먼 밀네 츠비키 레마 î트레 오펜하이머 괴델 휠러 로버트슨 바딘 워커 커 찬드라세카르 엘러스 펜로즈 호킹 Raychaudhuri 테일러 헐스 반스토쿰 타우브 뉴먼 야우 쏜 다른이들
물리 포털 카테고리
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펜로즈-호킹 특이점 정리(Roger Penrose and Stephen Hawking 이후)는 일반 상대성 이론에서 중력이 특이점을 언제 만들어내는지에 대한 질문에 답하려고 시도하는 일련의 결과입니다. 펜로즈 특이점 정리는 반 리만 기하학의 정리이며 일반 상대론적 해석은 블랙홀 형성의 중력 특이점을 예측합니다. 호킹 특이점 정리는 펜로즈 정리에 기반을 두고 있으며 빅뱅 상황에서 중력 특이점으로 해석됩니다. 펜로즈는 2020년 "블랙홀 형성이 일반 상대성 이론의 강력한 예측이라는 발견으로" 노벨 물리학상을 수상했으며, 이를 라인하르트 겐젤, 안드레아 게즈와 공유했습니다.^[1]

특이점

아인슈타인 장방정식의 해에서 특이점은 다음 두 가지 중 하나입니다.

1. 물질이 한 점(공간과 같은 특이점)으로 압축될 수밖에 없는 상황
2. 특정 광선이 무한한 곡률을 가진 지역에서 나오는 상황(시간과 같은 특이점)

공간과 같은 특이점은 슈바르츠실트 메트릭에 의해 설명된 바와 같이 대전되지 않은 블랙홀의 특징이며, 시간과 같은 특이점은 대전되거나 회전하는 블랙홀 정확한 솔루션에서 발생하는 특징입니다. 둘 다 어떤 빛-경로나 어떤 입자-경로는 특정한 적절한 시간 또는 아핀 매개변수(아핀 매개변수는 적절한 시간의 널 아날로그)를 넘어 확장될 수 없는 지오데식 불완전성의 특성을 가지고 있습니다.

펜로즈 정리는 물질이 합리적인 에너지 조건을 만족시킬 때마다 어떤 블랙홀 내부에서 일종의 측지 불완전성이 발생한다는 것을 보장합니다. 블랙홀 특이점 정리에 필요한 에너지 조건은 약합니다. 이것은 광선이 항상 중력에 의해 함께 집중되고 결코 분리되지 않으며, 물질의 에너지가 음이 아닐 때마다 유지된다는 것을 말합니다.

호킹의 특이점 정리는 우주 전체를 위한 것이고, 시간적으로 거꾸로 작용합니다: 그것은 고전적인 빅뱅이 무한한 밀도를 가지고 있다는 것을 보장합니다.^[2] 이 정리는 물질이 압력보다 더 큰 지배 에너지 조건이라고 불리는 더 강한 에너지 조건을 따를 때만 더 제한되고 유지됩니다. 스칼라장의 진공 기댓값을 제외한 모든 일상적인 물질은 이 조건을 따릅니다. 인플레이션 동안 우주는 지배적인 에너지 조건을 위반하고 인플레이션 우주론은 초기 빅뱅 특이점을 피할 수 있다고 처음에 (예: 스타로빈스키에^[3] 의해) 주장되었습니다. 그러나 그 이후로 인플레이션 우주론은 여전히 과거 불완전한 것으로 나타났고,^[4] 따라서 시공간의 팽창 영역의 과거 경계를 설명하기 위해서는 인플레이션 이외의 물리학이 필요합니다.

(고전적) 일반 상대성 이론이 현실적인 하전 또는 회전하는 블랙홀의 내부에서 시간과 같은 특이점을 예측하는지, 아니면 이것들이 높은 대칭 솔루션의 인공물이며 섭동이 추가될 때 공간과 같은 특이점으로 변하는지는 여전히 미해결 문제입니다.

해석 및 의의

일반 상대성 이론에서 특이점은 물체나 광선이 유한한 시간 안에 도달할 수 있는 곳으로 곡률이 무한해지거나 시공간이 다양체가 되지 않는 곳입니다. 특이점은 모든 블랙홀 시공간, 슈바르츠실트 메트릭, 리스너-노드스트룀 메트릭, 커 메트릭 및 커-뉴먼 메트릭, 스칼라 필드 에너지 또는 우주 상수가 없는 모든 우주 솔루션에서 찾을 수 있습니다.^{[citation needed]}

우리의 과거에 빅뱅 특이점에서 "나올" 수 있는 것이나 미래에 블랙홀 특이점으로 "안으로" 떨어지는 관측자에게 어떤 일이 일어날지 예측할 수 없기 때문에 물리적 법칙의 수정이 필요합니다. 펜로즈 이전에는 특이점이 작위적인 상황에서만 형성된다는 것을 생각할 수 있었습니다. 예를 들어, 블랙홀을 형성하기 위해 별이 붕괴할 때, 별이 회전하고 있어서 각운동량을 가지고 있다면, 원심력은 중력에 부분적으로 대항하여 특이점이 형성되지 않도록 할 수 있습니다. 특이점 정리는 이런 일이 일어날 수 없으며 사건의 지평선이 형성되면 특이점이 항상 형성된다는 것을 증명합니다.

붕괴하는 별의 예에서, 모든 물질과 에너지는 일반 상대성 이론에서 중력 인력의 원천이기 때문에, 추가적인 각운동량은 별이 수축할 때 더 강하게 끌어당길 뿐입니다. 사건의 지평선 밖에 있는 부분은 결국 커 블랙홀로 정착합니다(무모 정리 참조). 사건의 지평선 안에 있는 부분은 반드시 어딘가에 특이점이 있습니다. 이 증명은 다소 건설적입니다 – 그것은 수평선 바로 안쪽의 표면에서 광선을 따라가면 특이점을 찾을 수 있다는 것을 보여줍니다. 그러나 이 증명은 어떤 유형의 특이점이 발생하는지를 말하지 않습니다. 공간과 같은, 시간과 같은, 또는 미터법에서 점프 불연속성이 발생하는지. 미래로 시간과 같은 측지학을 따라가면 표면에서 널 측지학에 의해 그들이 형성하는 영역의 경계가 생성되는 것이 불가능하다는 것만 보장합니다. 이것은 경계가 어디에서도 오지 않거나 미래 전체가 어떤 유한한 확장에서 끝나야 한다는 것을 의미합니다.

일반 상대성 이론의 흥미로운 "철학적" 특징은 특이점 정리에 의해 드러납니다. 일반 상대성 이론은 특이점의 필연적인 발생을 예측하기 때문에 특이점에 부딪히는 물질에 무슨 일이 일어나는지에 대한 구체적인 설명 없이는 이론이 완전하지 않습니다. 일반 상대성 이론을 아인슈타인-맥스웰-디랙 시스템과 같은 단일 장 이론으로 확장할 수 있으며, 그러한 특이점은 발생하지 않습니다.

정리의 요소

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역사적으로 다양체의 곡률과 위상 사이에는 깊은 연관성이 있습니다. 보닛-마이어스 정리는 모든 곳에 일정한 양의 상수보다 큰 리치 곡률을 갖는 완전한 리만 다양체는 콤팩트해야 한다는 것을 말합니다. 양의 리치 곡률 조건은 다음과 같은 방법으로 가장 쉽게 설명됩니다. 모든 측지선에 대해 확장될 때 근처에 평행한 측지선이 있고, 둘은 어떤 유한한 길이에서 교차할 것입니다.

두 개의 가까운 평행 지오데식이 교차하는 경우 둘 중 하나의 확장은 더 이상 엔드포인트 간의 최단 경로가 아닙니다. 그 이유는 동일한 길이의 확장 후에 두 개의 평행 지오데식 경로가 반드시 충돌하고, 만약 한 경로가 교차점까지 이어진다면, 다른 경로는 동일한 길이의 비 지오데식 경로로 끝점을 연결하는 것입니다. 이는 측지선이 최단 길이 경로가 되려면 이웃한 평행 측지선과 절대 교차해서는 안 된다는 것을 의미합니다.

작은 구에서 시작하여 경계에서 평행 지오데식을 내보내는 것은 다양체가 양의 상수에 의해 아래로 경계지어지는 리치 곡률을 가진다고 가정할 때, 모든 지오데식은 이웃과 충돌하기 때문에 잠시 후에 가장 짧은 경로가 아닙니다. 이는 일정 기간 연장된 후 모든 잠재적인 새로운 지점에 도달했음을 의미합니다. 연결된 매니폴드의 모든 점이 작은 구에서 유한한 지오데식 거리에 있다면 매니폴드는 조밀해야 합니다.

로저 펜로즈는 상대성 이론에서도 비슷하게 주장했습니다. 광선의 경로인 널 지오데식이 미래로 따라가면 미래 지역의 지점이 생성됩니다. 만약 어떤 점이 그 지역의 미래의 경계에 있다면, 그것은 빛의 속도로 가야만 도달할 수 있고, 따라서 널 지오데틱스는 한 지역의 적절한 미래의 경계 전체를 포함합니다.^{[citation needed]} 널 지오데식이 교차할 때, 그것들은 더 이상 미래의 경계에 있지 않고 미래의 내부에 있습니다. 그래서 모든 널 지오데식이 충돌하면 미래에 대한 경계가 없습니다.

상대성 이론에서 측지학의 충돌 특성을 결정하는 리치 곡률은 에너지 텐서에 의해 결정되며 광선에 대한 투영은 에너지-운동량 텐서의 널 투영과 동일하며 항상 음이 아닙니다. 이것은 일단 감소하기 시작하면 병렬 널 지오데식의 합동의 부피가 유한 시간 내에 0에 도달한다는 것을 의미합니다. 부피가 0이 되면 어떤 방향으로 붕괴가 일어나므로 모든 측지선은 어떤 이웃과 교차합니다.

펜로즈(Penrose)는 모든 귀측지학이 수렴하기 때문에 모든 나가는(그리고 들어오는) 광선이 처음에 수렴하는 구가 있을 때마다 그 지역의 미래의 경계는 유한한 확장 후에 끝날 것이라고 결론지었습니다.^[5] 이것은 중요한데, 블랙홀 솔루션의 지평선 안에 있는 어떤 구에 대해서도 나가는 광선이 모두 수렴하고 있기 때문에 이 지역의 미래의 경계는 좁거나 어디에서도 오지 않기 때문입니다. 내부의 미래는 유한한 확장 후에 끝나거나, 원래의 구로 거슬러 올라갈 수 없는 새로운 광선에 의해 결국 생성되는 경계를 가지고 있습니다.

특이점의 성질

특이점 정리는 지오데식 불완전성의 개념을 무한한 곡률의 존재에 대한 대역으로 사용합니다. 지오데식 불완전성이란 시공간을 통과하는 관찰자의 경로인 지오데식이 있다는 개념으로, 하나를 따라 이동하는 관찰자에 의해 측정되는 유한한 시간 동안만 확장될 수 있습니다. 아마도, 지오데틱의 끝에서 관찰자는 특이점에 빠지거나 일반 상대성 이론의 법칙이 무너지는 다른 병리학에 직면했을 것입니다.

정리의 가정

일반적으로 특이점 정리에는 다음과 같은 세 가지 성분이 있습니다.^[6]

1. 그 문제에 에너지 상태가 있다면,
2. 시공간의 글로벌 구조에 대한 조건,
3. 중력은 지역을 가둘 수 있을 정도로 충분히 강합니다.

성분마다 다양한 가능성이 있으며 각각 다른 특이점 정리로 이어집니다.

사용된 도구

특이점 정리의 공식화 및 증명에 사용되는 핵심 도구는 측지학의 합동(족)의 발산$$θ${\$displaystyle$$\theta}를 설명하는 Raychaudhuri 방정식입니다. 합동의 발산은 합동 부피의 결정 요인 로그의 도함수로 정의됩니다. 레이차우후리 방정식은

${\displaystyle {\dot {\theta}}=-\sigma _{ab}\sigma ^{ab}-{\frac {1}{3}\theta ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}_{a}$

여기서$$σ a ${\displaystyle \$sigma _{ab}}는${\displaystyle {합동}_{}}$의 전단 텐서이고 E [${\displaystyle {{}^{}}_{}}$→ ] ${\displaystyle a}$ = R$X$ n {\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}_{a}}= R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}은 레이차우후리 스칼라라고도 합니다(자세한 내용은 합동 페이지 참조). 핵심은 $E{\displaystyle {}_{}}$[${\displaystyle X_{}}$ →${\displaystyle {}_{}}$] ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ {\$display$ style ${E[{\vec {X}}^{a}_{a}}$가 아인슈타인 장 방정식이 유지되는 한 음이 아니라는 것입니다.

• null 에너지 조건이 성립하고 지오데틱 합동이 null이거나, 또는
• 강한 에너지 상태가 유지되고 지오데식 일치는 시간과 같습니다.

이들이 유지될 때, 발산은 아핀 파라미터의 어떤 유한한 값에서 무한대가 됩니다. 따라서 점을 떠나는 모든 측지학은 적절한 에너지 조건이 유지되는 한 최종적으로 유한 시간 후에 다시 수렴할 것이며, 이 결과를 집속 정리라고도 합니다.

이는 다음과 같은 주장 덕분에 특이점과 관련이 있습니다.

1. 전체적으로 쌍곡선인 시공간과 시간과 같은 곡선 또는 널 곡선으로 연결할 수 있는$$ 두 점 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ p$}$ 및 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$가 있다고 가정합니다. $그러면$ p ${\displaystyle$ p$}$과 $q$ ${\displaystyle q}$을(를) 연결하는 최대 길이의 측지선이 있습니다$.$ 이 $측지선$γ를 ${\$displaystyle$$\gamma}(으$)$라고 합니다.
2. $지오데식$γ {\displaystyle$$\gamma}은$($는) p$${\displaystyle p}의 다른 $지오데식$이 γ$${\displaystyle \gamma}과$($와) 교차하는 경우 더 긴 곡선으로 변경할 수 있습니다.
3. 포커싱 정리로부터, 우리는 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 모든 지오데식이 아핀 매개변수의 유한 값에서 켤레 점을 가지고$$ 있다는 것을 알고 있습니다. 특히, 이것은 최대 길이의 측지선에 해당합니다. 그러나 이것은 모순입니다. 따라서 시공간이 측지학적으로 불완전하다는 결론을 내릴 수 있습니다.

일반 상대성 이론에서는 펜로즈의 몇 가지 버전이 있습니다.호킹 특이점 정리. 대부분의 버전은 대략적으로 포획된 널 표면이 있고 에너지 밀도가 음이 아닌 경우 확장할 수 없는 유한 길이의 지오데식이 존재한다고 말합니다.^[7]

엄밀하게 말해서, 이 정리들은 과거로 유한하게 확장될 수 있는 적어도 하나의 비공간적 지오데식이 있다는 것을 증명하지만, 이 정리들의 조건들이 모든 과거 방향의 시공간 경로들이 특이점에서 끝나는 방식으로 얻어지는 경우가 있습니다.

버전

많은 버전이 있습니다. 아래는 Null 버전입니다.

추정하다

1. Null 에너지 조건이 유지됩니다.
2. 비콤팩트하게 연결된 코시 표면이 있습니다.
3. 닫힌 트랩된 널 표면 $T{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 있습니다$.$

그런 다음, 우리는 널 지오데식 불완전성 또는 닫힌 시간과 같은 곡선을 가지고 있습니다.

증명 스케치: 모순에 의한 증명. $T$ ${\$$displaystyle {\$$mathcal$${T}},$${\displaystyle J}$˙($T$) {\dot ${J}({\mathcal$ {T}})의 미래의 경계는 T {\$displaystyle$ ${\$dot {J$}({\$mathcal {T})에서$시작$된 접선 벡터를 갖는 널 지오데식 세그먼트에 의해 생성됩니다. 포획된 널 표면이기 때문에, 널 레이차우드후리 방정식에 의해, $T{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에서 방출되는 두 널 선 계열은 가성을 만나게$$ 될 것입니다. (악성은 그 자체로 문제가 없습니다. 예를 들어, 두 공간처럼 분리된 점의 미래의 경계는 교차점의 내부 부분을 제거한 두 개의 미래 빛 원뿔의 결합입니다. 가성은 빛의 원뿔이 교차하는 곳에서 발생하지만 특이점이 없습니다.) ${\displaystyle J}$˙(T) ${\displaystyle {\$dot {$J}}({\mathcal {$T}})을 생성하는 Null 측지학은 종료해야 합니다. 즉, 음향학에서 또는 그 이전에 미래의 끝점에 도달해야 합니다. 그렇지 않으면 두 개의 널 지오데식 세그먼트(가성에서 변경)를 취하여 경계의 한 점과 $모순인$T ${\$의 한 점을 연결하는 시간과 같은 곡선을 얻을 수 있습니다. $그러나{\displaystyle \mathcal{}}$ T ${\$이(가) 콤팩트하므로 지오데식 생성기의 연속 아핀 매개변수화가 주어지면 확장 매개변수의 절대값에 대한 하한이 존재합니다. 따라서, 우리는 아핀 매개변수의 균일한 경계가 경과하기 전에 모든 발전기에 대해 가성이 발생할 것임을 알고 있습니다. ${\displaystyle 따라서}$ J$$˙(T) ${\displaystyle {\$dot {$J}}({\mathcal$ {T}})은 콤팩트해야 합니다. 닫힌 시간과 같은 곡선을 갖거나 시간과 같은 곡선으로 합동을 구성할 수 있으며, 모든 곡선이 비압축 코시 표면과 한 번씩만 교차해야 합니다. ${\displaystyle J}$˙(T) ${\displaystyle {\$dot {$J}({\mathcal$ {T}})}을 지나는 모든 시간과 같은 곡선을 고려하고 코시 표면의 이미지를 살펴보십시오. 연속 지도이기 때문에 이미지도 컴팩트해야 합니다. 시간과 같은 합동이므로 시간과 같은 곡선은 교차할 수 없으므로 지도는 주입식입니다. 코시 표면이 압축되지 않은 경우 이미지에 경계가 있습니다. 우리는 시공간이 하나의 연결된 조각으로 이루어진다고 가정합니다. ${\displaystyle 그러나}$ $J$˙(T) ${\displaystyle {\$dot {$J}}({\mathcal${T}})은 경계의 경계가 비어 있으므로 콤팩트하고 경계가 없습니다. 연속적인 주입 지도로는 경계를 만들 수 없고, 우리에게 모순을 줍니다.

허점: 닫힌 시간과 같은 곡선이 존재하는 경우 시간과 같은 곡선은 부분 코시 표면과 교차할 필요가 없습니다. 만약 코시 표면이 조밀하다면, 즉 공간이 조밀하다면, 경계의 널 지오데식 생성기는 공간의 다른 면에서 교차할 수 있기 때문에 모든 곳에서 교차할 수 있습니다.

약하거나 강한 에너지 상태를 포함하는 다른 버전의 정리도 존재합니다.

수정중력

수정된 중력에서는 아인슈타인 장 방정식이 성립하지 않으므로 이러한 특이점이 반드시 발생하는 것은 아닙니다. 예를 들어, $무한{\displaystyle {}_{}}$ 도함수 중력에서 ${\$ style ${E[{\vec {X}}^{a}_{a}}$는 Null Energy 조건이 유지되더라도 음이$$ 될 수 있습니다.^[8][9]

메모들

참고문헌

이 문서에는 일반 참조 목록이 포함되어 있지만 해당 인라인 인용이 충분하지 않습니다. 좀 더 정확한 인용문을 소개하여 이 기사를 개선하는 데 도움을 주시기 바랍니다. (2009년 4월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기에 대해 알아보시기 바랍니다.)

• Hawking, Stephen & Ellis, G. F. R. (1973). The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4. 고전적인 레퍼런스.
• Natário, J. (2006). "Relativity and Singularities - A Short Introduction for Mathematicians". Resenhas. 6: 309–335. arXiv:math.DG/0603190. Bibcode:2006math......3190N.
• Penrose, Roger (1965), "Gravitational collapse and space-time singularities", Phys. Rev. Lett., 14 (3): 57, Bibcode:1965PhRvL..14...57P, doi:10.1103/PhysRevLett.14.57
• Garfinkle, D.; Senovilla, J. M. M. (2015), "The 1965 Penrose singularity theorem", Class. Quantum Grav., 32 (12): 124008, arXiv:1410.5226, Bibcode:2015CQGra..32l4008S, doi:10.1088/0264-9381/32/12/124008, S2CID 54622511arXiv:1410.5226으로도 Garfinkle, D.; Senovilla, J. M. M. (2015), "The 1965 Penrose singularity theorem", Class. Quantum Grav., 32 (12): 124008, arXiv:1410.5226, Bibcode:2015CQGra..32l4008S, doi:10.1088/0264-9381/32/12/124008, S2CID 54622511사용 가능
• 칼바코타, 바이바 R. (2021), "기하학과 일반 상대성 이론에 대한 논의"
• 시공간의 대규모 구조에서 관련 장은 arXiv:hep-th/9409195도 참조하십시오.
• Witten, Edward (2020), "Light Rays, Singularities, and All That", Rev. Mod. 물리학 92, 45004 (2020), https://doi.org/10.1103/RevModPhys.92.045004 https://arxiv.org/abs/1901.03928 로도 이용 가능합니다. 일반 상대성 이론의 인과적 성질에 대한 탁월한 교육학적 검토.