펜로즈 변환
Penrose transform이론물리학에서 로저 펜로즈(1967, 1968, 1969)가 도입한 펜로즈 변환은 스팩타임에 질량이 없는 필드와 복잡한 투영공간의 공동 호몰로지(cohomology)를 연관시킨 라돈 변환의 복잡한 아날로그다.문제의 투영 공간은 원래 스페이스타임과 자연적으로 연관된 기하학적 공간인 트위스터 공간이며, 트위스터 변환 역시 일체형 기하학적 의미에서는 기하학적으로 자연스럽다.펜로즈 변환은 고전적인 트위스터 이론의 주요 구성요소다.
개요
추상적으로, Penrose 변환은 두 공간 X와 Z에 걸쳐 공간 Y의 이중 진동으로 작동한다.
고전적인 펜로즈 변형에서 Y는 스핀다발, X는 콤팩트하고 복잡한 형태의 민코스키 공간, Z는 트위스터 공간이다.보다 일반적인 예는 형태의 이중 섬유에서 나온다.
여기서 G는 복합적으로 구현된 Lie 그룹이고 H와1 H는2 포물선 부분군이다.
펜로즈 변환은 두 단계로 진행된다.첫째로, 피복공호학 그룹r H(Z,F)를 Y의 피복공호학r H(Y, fF−1)로 되돌린다. 펜로즈 변환이 관심있는 많은 경우, 이 풀백은 이형성으로 판명된다.그런 다음 하나는 결과적인 코호몰로지 클래스를 X까지 미는 것이다. 즉, 레레이 스펙트럼 시퀀스를 통해 코호몰로지 클래스의 직접 이미지를 조사한다.그런 다음 결과의 직접 영상은 미분 방정식으로 해석된다.고전적인 펜로즈 변환의 경우, 결과적인 미분 방정식은 정확하게 주어진 스핀에 대한 질량이 없는 필드 방정식이다.
예
고전적인 예는 다음과 같다.
- "트위터 스페이스" Z는 복잡한 투사형 3공간3 CP로, 4차원 복합공간에서 선의 그라스만그르1(C4)이기도 하다.
- X = Gr2(C4), 4차원 복합 공간에 있는 2-플레인의 그래스만어.이것은 복잡한 민코스키 공간을 압축한 것이다.
- Y는 원소가4 C 평면의 선에 해당하는 국기 다지관이다.
- G는 그룹 SL4(C)이고 H와1 H는2 이 선을 포함하는 선이나 평면을 고정하는 포물선 부분군이다.
Y에서 X, Z까지의 지도는 자연 투영이다.
펜로즈-워드 변환
펜로즈-워드 변환은 (다른 것들 중) 3차원 복합 투영 공간3 CP의 홀로모르픽 벡터 번들을 S의4 자기 이중 양-밀스 방정식의 해법에 연관시키는 펜로즈 변환(1977년)의 비선형 수정이다.아티야 & 워드(1977)는 이것을 복잡한 투영형 3-공간에서 대수적 벡터 번들의 관점에서 인스턴트온을 설명하는데 사용했고, 아티야(1979)는 이것이 4-sphere에서 인스턴트온을 분류하는 데 어떻게 사용될 수 있는지를 설명했다.
참조
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