고조파 분석
Harmonic analysis고조파 해석은 함수나 신호의 표현과 기본파의 중첩, 푸리에 급수와 푸리에 변환의 개념의 연구와 일반화와 관련된 수학의 한 분야이다(즉, 푸리에 해석의 확장된 형태이다.지난 2세기 동안, 그것은 수 이론, 표현 이론, 신호 처리, 양자 역학, 조석 분석, 신경 과학 등 다양한 분야에서 응용되는 방대한 과목이 되었다.
"하모닉스"라는 용어는 "음악에 능숙하다"[1]는 뜻의 고대 그리스 단어 하모니코스에서 유래했다.물리적 고유치 문제에서는 음표의 고조파 주파수와 마찬가지로 주파수가 서로 정수배인 파동을 의미하기 시작했지만, 이 용어는 본래의 의미를 벗어나 일반화되어 왔다.
R에 대한n 고전적인 푸리에 변환은 여전히 진행 중인 연구 분야이며, 특히 강화 분포와 같은 보다 일반적인 물체에 대한 푸리에 변환에 관한 것이다.예를 들어 분포 f에 몇 가지 요건을 부과하면 f의 푸리에 변환의 관점에서 이러한 요건을 변환할 수 있습니다.Paley-Wiener 정리가 그 예이다.Faley-Wiener 정리는 f가 콤팩트 서포트의 0이 아닌 분포(콤팩트 서포트의 함수 포함)인 경우, 그 푸리에 변환은 콤팩트하게 서포트되지 않는다(즉, 신호가 한 영역에서 제한되면 다른 영역에서 무제한).이것은 고조파 해석 환경에서 불확실성 원리의 매우 기본적인 형태입니다.
푸리에 급수는 Hilbert 공간의 맥락에서 편리하게 연구할 수 있으며, 이것은 조화 분석과 함수 분석 사이의 연결을 제공한다.변환에 의해 매핑되는 공간(이산/주기-이산/주기: 이산 푸리에 변환, 연속/주기-이산/비주기)에 따라 푸리에 변환에는 네 가지 버전이 있습니다.푸리에 급수, 이산/비주기-연속/주기: 이산 시간 푸리에 변환, 연속/비주기-연속/비주기:푸리에 변환).
추상 조화 분석
20세기 중엽에 뿌리를 둔 조화 분석의 가장 현대적인 분야 중 하나는 위상 그룹에 대한 분석입니다.핵심 동기 부여 아이디어는 다양한 푸리에 변환이며, 이는 하우스도르프 국소 콤팩트 위상군에 정의된 함수의 변환으로 일반화될 수 있다.
아벨의 국소 콤팩트 그룹에 대한 이론은 폰트랴긴 이중성이라고 불린다.
조화 분석은 이중성과 푸리에 변환의 특성을 연구하여 이러한 특징을 다른 설정으로 확장하려고 시도합니다. 예를 들어, 비벨리안 라이 그룹의 경우입니다.
일반적인 비-벨리언 국소 콤팩트 그룹의 경우, 조화 분석은 단일 그룹 표현 이론과 밀접하게 관련되어 있다.콤팩트 그룹의 경우, 피터-와일 정리는 각 등가 표현 클래스 중에서 하나의 축소할 수 없는 표현을 선택함으로써 고조파를 얻을 수 있는 방법을 설명한다.이 고조파 선택은 점별 곱에 대한 컨볼루션을 전달하거나 다른 방법으로 기본 군 구조에 대한 특정 이해를 보여주는 관점에서 고전 푸리에 변환의 유용한 특성 중 일부를 누린다.참고 항목: 비가환 고조파 분석.
만약 그 그룹이 아벨론도 아니고 콤팩트론도 아니라면, 현재 알려진 일반적인 만족 이론은 없다.그러나 SL과 같이n 많은 구체적인 사례가 분석되었습니다.이 경우 무한 차원의 표현이 중요한 역할을 합니다.
기타 지점
- 도메인, 다양체 및 (더 작은 범위) 그래프에 대한 라플라시안의 고유값과 고유 벡터에 대한 연구도 조화 분석의 한 분야로 간주된다.예를 들어 [2]드럼 모양 듣기.
- 유클리드 공간의 조화 분석은 일반 그룹에 아날로그가 없는 R 위의n 푸리에 변환의 특성을 다룬다.예를 들어 푸리에 변환이 회전 불변이라는 사실.푸리에 변환을 반지름 및 구면 성분으로 분해하면 베셀 함수 및 구면 고조파와 같은 주제가 나타납니다.
- 튜브 도메인에 대한 고조파 분석은 하디 공간의 특성을 더 높은 차원으로 일반화하는 것과 관련이 있다.
응용 조화 분석
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과학 및 공학에서의 조화 해석의 많은 응용은 현상 또는 신호가 개별 진동 구성요소의 합으로 구성된다는 생각 또는 가설에서 시작합니다.해조와 진동하는 현이 흔하고 간단한 예입니다.이론적인 접근법은 종종 진동 성분의 진폭, 주파수 및 위상을 포함한 필수적인 특징을 예측하기 위해 미분 방정식 또는 방정식 시스템으로 시스템을 기술하는 것입니다.구체적인 방정식은 분야에 따라 다르지만, 이론에서는 일반적으로 적용할 수 있는 주요 원리를 나타내는 방정식을 선택하려고 합니다.
실험적인 접근법은 일반적으로 현상을 정확하게 수량화하는 데이터를 획득하는 것입니다.예를 들어, 조류에 대한 연구에서 실험자는 각각의 진동을 볼 수 있을 만큼 충분한 간격과 여러 진동 주기가 포함될 수 있을 만큼 충분히 긴 기간에 걸쳐 수심 샘플을 시간의 함수로 획득할 것이다.진동 스트링에 관한 연구에서 실험자는 예상되는 최고 주파수의 최소 2배, 그리고 예상되는 최저 주파수의 몇 배 주기에 걸쳐 샘플링된 음파를 얻는 것이 일반적이다.
예를 들어 오른쪽 상단 신호는 기본 주파수가 55Hz인 A음표에 대응하는 오픈현을 연주하는 베이스기타의 음파이다.파형은 진동하는 것처럼 보이지만 단순한 사인파보다 더 복잡하여 추가 파형이 존재함을 나타냅니다.소리에 기여하는 다른 파동 성분은 푸리에 변환으로 알려진 수학적 분석 기술을 적용함으로써 드러날 수 있으며, 그 결과는 아래 그림에 나와 있습니다.55Hz에는 눈에 띄는 피크가 있지만 110Hz, 165Hz 및 55Hz의 정수배수에 해당하는 기타 주파수에는 다른 피크가 있습니다.이 경우 55Hz는 현진동의 기본 주파수로 식별되며 정수배수는 고조파라고 합니다.
「 」를 참조해 주세요.
- 푸리에 급수의 수렴
- 등간격 데이터의 주기성 계산을 위한 푸리에 분석
- 조화(수학)
- 불규칙한 간격의 데이터에서 주기성을 계산하기 위한 최소 제곱 스펙트럼 분석
- 스펙트럼 밀도 추정
- 테이트의 논문
레퍼런스
- ^ '아쉬운'온라인 어원 사전.
- ^ Terras, Audrey (2013). Harmonic Analysis on Symmetric Spaces-Euclidean Space, the Sphere, and the Poincaré Upper Half-Plane (2nd ed.). New York, NY: Springer. p. 37. ISBN 978-1461479710. Retrieved 12 December 2017.
- ^ https://sourceforge.net/projects/amoreaccuratefouriertransform/에서 계산.
참고 문헌
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- 티모시 S와 엘리아스 스타인.Murphy, Harmonic Analysis: Princeton University Press, 1993년, Real-Variable Methods, Orthogonality, and Orcatory Integrals.
- Ellias Stein, Topics in Harmonic Analysis Related to the Littlewood-Paley Theory, Princeton University Press, 1970.
- 이츠하크 카츠넬슨, 조화 해석 입문, 제3판.케임브리지 대학 출판부, 2004.ISBN 0-521-83829-0, 0-521-54359-2
- Terence Tao, Fourier Transform. (함수의 홀수 + 짝수 부분으로의 분해가 δδ 이상의 고조파 분해로 도입됩니다.)
- 유리이 1세류비치.바나흐 집단 표현 이론 소개1985년 러시아어판(우크라이나 하르코프)에서 번역.Birkhauser Verlag.1988.
- George W. Mackey, 대칭의 활용으로서의 조화 분석 – 역사적 조사, Bull. 아머. 수학. Soc. 3(1980), 543-698.
- M. Bujosa, A.부조사와 A.가르시바 페러선형 확률 차분 방정식의 유사 스펙트럼을 위한 수학적 프레임워크, 신호 처리에 관한 IEEE 트랜잭션 vol.63 (2015), 6498-6509.
