퇴행 이선형

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수학, 특히 선형대수학에서 벡터 공간 V의 퇴행형 이선형 형태 f(x, y)는 v ↦ (x ↦ f(x, v))가 준 V에서 V^∗(V의 이중 공간)까지의 지도가 이선형이 아닌 이선형 형태다.V가 유한한 차원일 때 등가 정의는 비독점 커널을 가지고 있다는 것이다: V에는 다음과 같은 비영점 x가 존재한다.

${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ y${\displaystyle \in }$ V . {\$displaystyle f(x,$y)=${\displaystyle 0}$\,}에 대한$$$$0 {\$displaystyle$y\$in.}$

비감속형식

비탈형(nondegenerate${\displaystyle )}$ 또는 비굴형(nonsular) 형식은 변질되지 않는 이선형(bilinar) 형태로서, $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$(${\displaystyle x,}$ v${\displaystyle }$) ${\displaystyle v\mapsto (x,v)}}$은 이형성 또는$$ 한정된 차원(fined)이라는 뜻이다.

${\displaystyle \mathrm{f}}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= 0 ${\$ 모든 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{V}}$ ${\displaystyle \setminus }${ 0${\displaystyle \}}${\$displaystyle y\in$V\$setminus$\{$0\}}$에 대해 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaysty x=0}$을 의미한다$.$

퇴화되지 않은 형태의 가장 중요한 예는 내적인 생산물과 동정적인 형태들이다.대칭 비감소형 형태는 내부 제품의 중요한 일반화인데, 그 속에서 흔히 필요한 것은 $지도{\displaystyle }$ V${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$이(가) 긍정이 아니라 이형화라는 것이다$$.예를 들어 접선 공간에 내부 제품 구조를 가진 다지관은 리만 다지관인 반면, 이것을 대칭 비데오제 형태로 이완시키면 사이비-리만 다지관이 생긴다.

결정인자 사용

V가 유한 차원일 경우 V에 대한 어떤 근거에 상대적으로, 관련 행렬의 결정 인자가 0일 경우에만 이선형식이 퇴화되며, 단수형일 경우 및 단수형일 경우에만 퇴화형식이 되며, 따라서 퇴화된 형태를 단수형이라고도 한다.마찬가지로 비데오제 형태는 관련 행렬이 비싱어 형태인 형태로서 비데오제 형태를 비싱어 형태라고도 한다.이러한 진술은 선택된 근거와 무관하다.

관련 개념

2차 형식 Q의 경우 Q(v) = 0과 같은 벡터 v ∈ V가 있는 경우, Q는 등방성 2차 형식이다.Q가 모든 벡터에 대해 동일한 기호를 갖는다면, 그것은 확실한 2차 형태 또는 비등방성 2차 형태다.

단조로운 형태와 완벽한 짝짓기라는 밀접한 관련성이 있는 개념들이 있다; 이것들은 들판에서는 일치하지만 일반적인 고리에서는 그렇지 않다.

예

퇴화되지 않은 형태의 가장 중요한 예는 내적인 생산물과 동정적인 형태들이다.대칭 비감소형 형태는 내부 제품의 중요한 일반화인데, 그 속에서 흔히 필요한 것은 $지도{\displaystyle }$ V${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$이(가) 긍정이 아니라 이형화라는 것이다$$.예를 들어 접선 공간에 내부 제품 구조를 가진 다지관은 리만 다지관인 반면, 이것을 대칭 비데오제 형태로 이완시키면 사이비-리만 다지관이 생긴다.

무한치수

무한 치수 공간에서는 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto (x}$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$, v${\displaystyle }$)${\displaystyle v\mapsto (x\mapsto f(x,v))}$이(가) 주입적이지만 굴절적이지 않은 이선형 ƒ을 가질 수 있다는 점에 유의하십시오.예를 들어, 닫힌 경계 간격의 연속 함수의 공간에 형태는

${\displaystyle f(\phi ,\phi )=\int \int \x(x)dx}$

예를 들어, Dirac 델타 기능은 이중 공간에 있지만 필요한 형식이 아니다.반면 이선형태는 만족한다.

${\displaystyle \mathrm{f}(}$ ${\displaystyle \varphi }$ ,${\displaystyle \psi }$)${\displaystyle }$= 0 ${\$ 모든 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \,\phi }$에 대한 implies$$${\displaystyle }$= 0${\$은(으)을 의미한다$$.

ƒ가 주입성을 만족하는 경우(그러나 반드시 허탈성은 아님) ƒ은 약하게 비탈진성이라고 한다.

용어.

모든 벡터에서 ƒ이 동일하게 사라지면 완전히 퇴보한다고 한다.V에 이선형 ƒ이 주어진 벡터 집합

${\displaystyle \{x\in V\mid f(x,y)=0{\mbox{모두 }y\in V\}$

완전히 퇴보한 V의 아공간을 형성하다.이 하위공간이 사소한 경우에만 ƒ 지도가 소멸되지 않는다.

기하학적으로, 2차 형태의 등방성 선은 투사 공간에서 연관된 4차 초경면의 한 점에 해당한다.그러한 선은 해당 점이 특이점인 경우에만 이선형식에 대해 추가적으로 등방성이 된다.따라서 대수적으로 폐쇄된 필드 위에 힐버트의 nullstellensatz는 표면이 단수일 경우에만 2차 형태는 항상 등방성 선을 갖는다는 것을 보장한다.

참고 항목

• 이중 시스템
• 선형 형태 – 벡터 공간에서 스칼라 영역까지의 선형 지도

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