콘크리트 카테고리

수학에서 콘크리트 범주는 집합의 범주(또는 다른 범주에 대한 경우 아래 상대적 구체성 참조)에 충실한 펑터가 장착된 범주다.이 functor는 범주의 객체를 추가적인 구조를 가진 집합으로 생각할 수 있게 하며, 그 형태는 구조 보존 함수로 생각할 수 있게 한다.많은 중요한 범주는 구체적인 범주로서, 예를 들어 위상학적 공간의 범주 및 집단의 범주로서, 그리고 세트의 범주 자체로서도 사소하게 명확한 해석을 가지고 있다.반면에 위상학적 공간의 호모토피 범주는 구체화할 수 없다. 즉, 세트 범주에 충실한 펑터를 인정하지 않는다.null

특정 범주는 범주의 개념에 관계없이 정의되는 경우 각각 기본 집합이 장착된 물체 분류와 A의 기본 집합에서 B의 기본 집합까지 형태론이라고 불리는 기능 집합으로 구성된다.나아가 모든 물체 A에 대해 A의 기저 집합에 있는 신분 함수는 A에서 A까지의 형태론이어야 하며, B에서 C까지의 형태론에 따른 형태론의 구성은 A에서 C까지의 형태론이어야 한다.^[1]null

정의

콘크리트 범주는 다음과 같은 쌍(C,U)이다.

• C는 범주로,
• U : C → Set (세트 및 기능의 범주)는 충실한 functor이다.

functor U는 잊어버리는 functor로 생각되어야 하는데, 이 functor는 C의 모든 대상에게 그것의 "undering set"를 할당하고, C의 모든 형태주의에 그것의 "undering 함수"를 할당한다.null

범주 C는 구체적인 범주(C,U)가 존재하는 경우, 즉 충실한 펑터 U: C → Set가 존재하는 경우 구체화될 수 있다.All small categories are concretizable: define U so that its object part maps each object b of C to the set of all morphisms of C whose codomain is b (i.e. all morphisms of the form f: a → b for any object a of C), and its morphism part maps each morphism g: b → c of C to the function U(g): U(b) → U(c) which maps each member f: a → b of U(b) to the composition gf: a → c(c)의 멤버(항목 6)는 동일한 U를 사전 예시를 통해 덜 기본적인 언어로 표현한다.)대위 예시 섹션은 구체화되지 않는 두 개의 큰 범주를 보여준다.null

언급

직관과 반대로 구체성은 범주가 충족시킬 수도 있고 충족하지 못할 수도 있는 속성이 아니라 범주가 장착될 수도 있고 그렇지 않을 수도 있는 구조라는 점에 유의해야 한다.특히 범주 C는 몇 가지 충실한 요소를 세트로 인정할 수 있다.따라서 동일한 범주 C에 해당하는 여러 가지 구체적인 범주(C, U)가 있을 수 있다.null

그러나 실제로 충실한 펑터의 선택은 종종 분명하며 이 경우 우리는 "구체적인 범주 C"에 대해 간단히 말한다.예를 들어, "콘크리트 카테고리 세트"는 내가 ID functor 세트 → 세트를 나타내는 쌍(Set, I)null

U가 충실해야 한다는 요건은 동일한 물체들 사이의 다른 형태들을 다른 기능에 매핑한다는 것을 의미한다.그러나 U는 서로 다른 물체를 동일한 세트에 매핑할 수 있으며, 만약 이것이 일어난다면 다른 형태도 동일한 기능에 매핑할 것이다.null

예를 들어, S와 T가 동일한 집합 X에서 서로 다른 두 위상이라면, (X, S)와 (X, T)는 위상학적 공간과 연속적 맵의 Top 범주에 있는 구별되는 객체지만, 건망증이 심한 펑터 Top → Set에 의해 동일한 집합 X에 매핑된다.더욱이 상위에서는 정체성 형태론(X, S) → (X, S) → (X, T) → (X, T) 등이 구별되는 형태론이라고 생각되지만, 그들은 동일한 기본 기능, 즉 X의 정체성 기능을 가지고 있다.

Similarly, any set with four elements can be given two non-isomorphic group structures: one isomorphic to ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, and the other isomorphic to ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$.

추가 예

1. 임의의 그룹 G는 임의의 개체인 $\ast {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ast }$과$($와) 그룹 각 요소에 대해 하나의 형태론을 갖는 "추상적" 범주로 간주될 수 있다.이것은 이 글의 상단에 기술된 직관적 개념에 따라 구체적인 것으로 간주되지 않을 것이다.그러나 모든 충실한 G-set(동등하게, G를 순열의 그룹으로 나타내는 모든 표현)은 충실한 functor G → set를 결정한다.모든 집단이 자신에게 충실하게 행동하기 때문에 G는 적어도 한 가지 방법으로 구체적인 범주로 만들 수 있다.
2. 마찬가지로, 어떤 포셋 P도 x ≤ y가 있을 때마다 고유한 화살표 x → y가 있는 추상적인 범주로 간주될 수 있다.This can be made concrete by defining a functor D : P → Set which maps each object x to ${\displaystyle D(x)=\{a\in P:a\leq x\}}$ and each arrow x → y to the inclusion map ${\displaystyle D(x)\hookrightarrow D(y)}$.
3. The category Rel whose objects are sets and whose morphisms are relations can be made concrete by taking U to map each set X to its power set ${\displaystyle 2^{X}}$ and each relation ${\displaystyle R\subseteq X\times Y}$ to the function ${\displaystyle \rho :2^{X}\rightarrow 2^{Y}}$ defined by ${\displaystyle \rho (A)=\{y\in Y\mid \exists \,x\in A:xRy\}}$. Noting that power sets are complete lattices under inclusion, those functions between them arising from some relation R in this way are exactly the supremum-preserving maps.따라서 Rel은 전체 래티스의 Supp 범주와 해당 래티들의 Sup 보존 맵의 전체 하위 범주에 해당한다.반대로, 이 동등성으로부터 우리는 U를 Sup에 Rel이 내장된 Supp에 대한 망각적인 functor의 집합으로 복구할 수 있다.
4. 범주 집합은^op 각 집합을 자체로 나타내고, 각 함수 f: X → Y를 모든 x x X에 대한 쌍 집합(f(x), x)으로 형성된 Y부터 X까지의 관계로 표시함으로써 Rel에 포함될 수 있다. 따라서 집합은^op 구체화될 수 있다.이런 식으로 발생하는 건망증이 심한 펑터는 역방향 파워셋 펑터 세트^op → 세트다.
5. U가 충실한 functor C → Set인 경우^op C 복합체^op C → Set^op → Set를 장착할 수 있기 때문에, 이전의 사례에서 볼 때 C는 다시 구체화할 수 있다.
6. If C is any small category, then there exists a faithful functor P : Set^Cop → Set which maps a presheaf X to the coproduct ${\displaystyle \coprod _{c\in \mathrm {ob} C}X(c)}$. By composing this with the Yoneda embedding Y:C → Set^Cop one obtains a faithful functor C → Set.
7. 기술적 이유로, 바나흐 공간의₁ 반과 선형 수축 범주는 종종 "명확한" 망각적인 펑터가 아니라 바나흐 공간을 그것의 (폐쇄된) 단위 공에 매핑하는 펑터₁ U : 반₁ → 세트가 장착되어 있다.
8. 범주 Cat은 작은 범주로, 형태는 functor로 각각의 범주 C를 그것의 개체와 형태론을 포함하는 세트로 보내서 구체화할 수 있다.functors는 단순히 물체와 형태에 작용하는 함수로 볼 수 있다.

반대 예시

객체들이 위상학적 공간이고 형태론이 연속함수의 호모토피 클래스인 범주 hTop은 구체화되지 않는 범주의 예다.물체가 세트(추가 구조로)되어 있는 반면, 형태는 그들 사이의 실제 기능이 아니라 오히려 기능의 등급이다.hTop에서 Set까지 충실한 functor가 존재하지 않는다는 사실은 피터 프레이드에 의해 처음 증명되었다.같은 글에서, Freyd는 "소분류와 자연적 등가 등급의 functors"의 범주도 구체화하지 못한다는 이전의 결과를 인용한다.null

콘크리트 범주의 암묵적 구조

구체적인 범주(C, U)와 추기경 숫자 N을 부여하면 U를^N functor C → U^N(c) = (U(c)^N로 결정된다.그 후 U의^N 하위 기능자를 N-ary 술어와 자연 변형 U^N → U N-ary 수술이라고 부른다.null

N이 모든 기본 번호의 클래스에 걸쳐 있는 콘크리트 범주(C,U)의 모든 N-ari 술어와 N-ari 연산 클래스는 큰 서명을 형성한다.그러면 이 서명에 대한 모델 범주는 C에 해당하는 전체 하위 범주를 포함한다.null

상대적 구체성

범주 이론의 일부, 가장 두드러진 topos 이론에서는 흔히 기준 범주라고 불리는 다른 범주 X로 범주 Set를 대체하는 것이 일반적이다.이 때문에 C가 범주이고 U가 충실한 펑터 C → X를 X보다 구체적인 범주라고 부르는 쌍(C, U)을 말하는 것이 타당하다.예를 들어, N 분류가 있는 이론의 모델을 집합^N 위에 구체적인 범주를 형성하는 것으로 생각하면 유용할 수 있다.null

이런 맥락에서, 세트보다 구체적인 범주를 구문이라고 부르기도 한다.null

메모들

참조

• 아다멕, 지지, 에를리히, 호르스트, 앤 스트래커, 조지 E; (1990).추상 및 구체적 범주(4.2)MB PDF).원래 public.존 와일리 & 선즈.ISBN 0-471-60922-6 (현재 무료 온라인판).
• 프레이드, 피터; (1970년).호모토피는 구체적이지 않다.원래 게시된 위치:Steenrod 대수학과 그 응용, 수학의 스프링어 강의 노트 168.무료 온라인 저널에 다시 게시:Springer-Verlag의 허가를 받아 범주의 이론 및 적용에 재인쇄. 6번(2004)
• 로지키, 지지; (1981년).구체적인 범주 및 비위생적인 언어.Journal of Pure and Applied 대수학, 제22권, 제3호.