메쉬프리 방법

20점과 그들의 보로노이 세포

수치해석 분야에서 메쉬프리 방법은 시뮬레이션 영역의 노드들, 즉 메쉬 사이의 연결이 필요하지 않고 오히려 각 노드의 모든 인접 노드와 상호작용을 기반으로 하는 방법이다. 그 결과 질량이나 운동에너지와 같은 원래의 광범위한 특성은 더 이상 메쉬 요소가 아닌 단일 노드에 할당된다. 메쉬프리 방법은 여분의 컴퓨팅 시간과 프로그래밍 노력의 비용으로 다른 어떤 어려운 유형의 문제를 시뮬레이션할 수 있다. 메쉬의 부재는 노드들이 속도장에 따라 이동할 수 있는 라그랑지안 시뮬레이션을 가능하게 한다.

동기

유한차법, 유한체적법, 유한요소법과 같은 수치적 방법은 원래 데이터 포인트의 메쉬에 정의되었다. 그러한 그물망에서 각 점에는 미리 정의된 이웃의 수가 고정되어 있으며, 이웃간의 이러한 연결성을 이용하여 파생상품과 같은 수학 연산자를 정의할 수 있다. 이 연산자는 오일러 방정식 또는 Navier와 같이 시뮬레이션할 방정식을 구성하는 데 사용된다.-스토크 방정식.

그러나 시뮬레이션되는 재료가 (계산 유체 역학에서처럼) 이동할 수 있거나 재료의 큰 변형이 발생할 수 있는 시뮬레이션에서 (플라스틱 재료의 시뮬레이션에서처럼) 메쉬의 연결은 시뮬레이션에 오류를 도입하지 않고 유지하기가 어려울 수 있다. 시뮬레이션 중에 메쉬가 엉키거나 퇴화된 경우, 그 위에 정의된 운영자는 더 이상 정확한 값을 제공하지 않을 수 있다. 메쉬는 시뮬레이션(리메싱이라고 하는 프로세스) 중에 재현할 수 있지만, 기존의 모든 데이터 포인트는 새롭고 다른 데이터 포인트 세트에 매핑되어야 하기 때문에 오류가 발생할 수도 있다. 메쉬프리 방법은 이러한 문제를 해결하기 위한 것이다. 메쉬프리 방법은 다음과 같은 경우에도 유용하다.

복잡한 3D 개체의 기하학에서 유용한 망사를 만드는 것이 특히 어렵거나 사람의 도움이 필요할 수 있는 시뮬레이션
균열 시뮬레이션과 같이 노드를 생성하거나 제거할 수 있는 시뮬레이션
벤딩 시뮬레이션과 같이 문제 형상이 고정된 메시와의 정렬에서 벗어날 수 있는 시뮬레이션
비선형 재료 거동, 불연속성 또는 특이성을 포함하는 시뮬레이션

예

전통적인 유한차 시뮬레이션에서, 1차원 시뮬레이션의 영역은 어떤 함수 $($ , $u(x,t)$ ) ${\$ $displaystyle u_{i}^{n}$ 의 $u_{i}^{n}$ 데이터 값 $u_{i}^{n}$ 로 표현되는 $x_{i}$ $x_{i}$ 서 $x_{i}$ i $x_{i}$ ${\$ $displaystyle x_{i}}}}.$

(\displaystyle i=0,1,2...)}

n=0,1,2...}

x_{i+1}-x_{i}=h\ forall i

t_{n+1}-t_{n}=k\ forall n

예를 들어, 우리는 이 영역에서 어떤 유한한 차이 공식을 사용하여 시뮬레이션되는 방정식에서 발생하는 파생상품을 정의할 수 있다.

{\displaystyle \\cHB \over x}={u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}{n} \over 2h}}}}}

그리고

{\reason \over \cHB t}={u_{i}^{n+1}-u_{n}^{n} \over k}}}

그런 다음 $u(x,t)$ , $u(x,t)$ ) $u(x,t)$ 의 $u(x,t)$ 이러한 정의와 그 공간적 및 시간적 파생상품을 사용하여 유한 차이 형태로 시뮬레이션되는 방정식을 작성한 다음 여러 유한 차이 방법 중 하나로 방정식을 시뮬레이션할 수 있다.

이 간단한 예에서 단계(여기서 공간 $단계$ h $h$ 및 시간 $h$ 단계 k ${\displaystyle$ k})는모든 $k$ 메쉬를 따라 일정하며, $x_{i}$ $x_{i}$ ${\$ x_ ${i}}}}$ 에서 데이터 값의 왼쪽 및 $x_{i+1}$ 메쉬 $x_{i-1}$ 값은 $x_{i-1}$ - $x_{i-1}$ 1 {\ $displaystystyle x_{{$ $x_{i+1}$ 의 값이다 $.$ $스타일 x_{i+1},$ 각각 $x_{i+1}$ 일반적으로 유한차이에서는 메쉬를 따라 층계 변수가 매우 단순하게 허용될 수 있지만, 모든 원래의 노드는 보존되어야 하며 원래의 요소를 변형해야만 독립적으로 이동할 수 있다. 모든 노드 중 단 2개만 순서를 변경하거나 시뮬레이션에서 한 노드만 추가 또는 제거하면 원래의 메쉬에 결함을 발생시키고 단순 유한 차이 근사치를 더 이상 유지할 수 없다.

가장 오래된 메쉬프리 방법 중 하나인 스무드 입자 수역학(SPH)은 데이터 포인트를 시간이 지남에 따라 이동할 수 있는 질량과 밀도를 가진 물리적 입자로 처리하여 이 문제를 해결하고, 그 안에 $u_{i}$ 어느 정도의 가치를 지닌 ${\$ 을(를) 그런 다음 SPH는 다음과 같이 입자 사이의 $u(x,t)$ $u(x,t)$ , $u(x,t)$ ) $u(x,t)$ 값을 정의한다.

u(x,t_{n}}=\sum _{i}m_{i}}{\frac {u_{i}^{n}}}{\rho_{i}}}W(x-x_{i} )}

여기서 $m_{i}$ ${\$ $m_$ ${i}$ 은 $m_{i}$ $입자$ i ${\displaystyle$ i $i$ $\rho _{i}$ $\rho _{i}$ ${\$ 는 $\rho _{i}$ $입자$ i $i$ 의 밀도이며 $i$ $W$ $W$ 은 $W$ 인근 데이터 포인트에서 작동하는 커널 함수로서 부드러움과 기타 유용한 품질을 위해 선택된다. 선형성에 의해 우리는 공간적 파생을 다음과 같이 쓸 수 있다.

{\partial u \over \partial x}=\sum _{i}{\frac {u_{i}^{n}}{\rho_{i}}{\partial W(x-x_{i} ) \partial x}}}}}}\partial x}}

그런 다음 $u(x,t)$ , $u(x,t)$ ) $u(x,t)$ 의 $u(x,t)$ 이러한 정의와 그 공간파생물을 사용하여 모의실험 중인 방정식을 일반적인 미분 방정식으로 작성하고, 여러 수치적 방법 중 하나로 방정식을 시뮬레이션할 수 있다. 물리적인 측면에서 이것은 입자 사이의 힘을 계산한 다음, 시간이 지남에 따라 이러한 힘을 통합하여 입자의 움직임을 결정하는 것을 의미한다.

이 상황에서 SPH의 장점은 $u(x,t)$ , t $){\displaystyle u(x,t)}$ 와 $u(x,t)$ 그 파생상품은 입자에 대한 어떠한 인접 정보에도 의존하지 않고, 어떤 순서로도 입자를 사용할 수 있기 때문에 입자가 움직이든, 심지어 장소를 교환하든 상관없다.

SPH의 한 가지 단점은 입자의 가장 가까운 이웃을 결정하기 위해 추가 프로그래밍이 필요하다는 것이다. 커널 함수 $W$ $W$ 는 "스무팅 길이"의 두 배 이내에서 주변 입자에 대해 0이 아닌 결과만 $W$ 반환하므로(일반적으로 우리는 콤팩트한 지지로 커널 함수를 선택하므로), 대규모 시뮬레이션에서 모든 입자에 대해 위의 합계를 계산하는 것은 노력의 낭비일 것이다. 그래서 일반적으로 SPH 시뮬레이터는 가장 가까운 이웃 계산 속도를 높이기 위해 약간의 추가 코드를 필요로 한다.

역사

가장 초기 메쉬프리 방법 중 하나는 입자 유체역학으로, 1977년에 제시되었다.^[1] 리베르스키 등은 고체 역학에 SPH를 처음으로 적용했다.^[2] SPH의 주요 단점은 Swegle이 처음 조사한 경계와 장력 불안정성에 가까운 부정확한 결과들이다.^[3]

1990년대에 갈레르킨 방법을 기반으로 한 새로운 종류의 메쉬프리 방법이 등장했다. Nayroles 외 연구진이 개척한 이 첫 번째 방법인 확산 요소^[4] 방법(DEM)은 MLS 함수의 대략적인 유도체와 함께 부분 미분 방정식의 갤러킨 용액에서 MLS 근사치를 활용했다. 그 후 Belytschko는 경계 조건, 약한 형태에서의 고차 수치 사분법, 그리고 더 나은 정확도를 준 MLS 근사치의 완전한 파생상품들을 시행하기 위해 Lagrange 승수들과 함께 MLS를 채택한 EFG(Element Free Galerkin) 방법을 개척했다.^[5] 비슷한 시기에 재생성 커널 입자법^[6](RKPM)이 등장했으며, SPH에서 커널 추정치를 수정하기 위해 부분적으로 동기 부여된 근사치: 경계에 가까운 정확도, 균일하지 않은 디스커버리레이션 및 일반적으로 고차 정확도를 제공한다. 특히 병렬 개발에서는 비슷한 기능을 제공하는 재료 포인트 방법이 거의 동시에^[7] 개발되었다. 영화 '겨울왕국' 속 눈처럼 큰 변형 고형 역학을 시뮬레이션하는 소재 포인트 방식이 영화계에서 널리 사용되고 있다.^[8] RKPM과 다른 메쉬프리 방법은 다양한 응용과 다양한 종류의 문제를 위해 1990년대 후반 첸, 류, 리에 의해 광범위하게 개발되었다.^[9] 1990년대와 그 이후 몇 가지 다른 품종이 개발되었다. 여기에는 아래 열거된 품종이 포함된다.

방법 및 두문자어 목록

다음과 같은 수치적 방법은 일반적으로 "메쉬프리" 방법의 일반계급에 속하는 것으로 간주된다. 괄호 안에 두문자어가 있다.

평활입자 유체역학 (SPH) (1977)
확산요소법(DEM) (1992)
분산 입자 역학 (DPD) (1992)
무원소 갤러킨 방식(EFG / EFGM)(1994)
재생성 커널 입자법(RKPM)(1995)
유한점법(FPM)(1996)
유한 점 집합법 (FPM) (1998)
hp-filency.
자연요소법(NEM)
재료점법(MPM)
메쉬리스 로컬 페트로프 갈레르킨(MLPG)(1998)^[10]
일반화-스트레인 메쉬프리(GSMF) 제형(2016)^[11]
이동 입자 반임시(MPS)
일반화 유한차법(GFDM)^[12]
세포 내 입자(PIC)
이동입자 유한요소법(MPFEM)
유한운행법(FCM)
경계 노드 방법(BNM)
MK(Meshfree Moving Kriging 보간법
경계 구름 방법(BCM)
기초해결방법(MFS)
특정용액법(MPS)
유한구법(MFS)
이산 소용돌이법(DVM)
재생산 커널 입자법 (RKPM) (1995)
유한질량법(FMM)(2000)^[14]
평활점 보간법(^[15]S-PIM)(2005)
메쉬프리 국부 방사상점 보간법(RPIM)^[15]
국소 방사상 기준 함수 연접 방법(LRBFCM)^[16]
비스코스 소용돌이 도메인 방법(VVD)
균열입자 방식 (CPM) (2004)
이산 최소 제곱 메쉬 없는 방법(DLSM)(2006)
IMT2000 3GPP - 잠입입입자법 (IPM) (2006)
최적의 교통망사 없는 방법 (OTM) (2010)^[17]
반복 교체 방법(RM) (2012)^[18]
방사상기준적분방정식법^[19]
최소 제곱 콜래이션 메쉬리스 방법(2001)^[20]
페리디나믹스(PD)
지수 기준 함수 방법(EBF)(2010)^[21]

최근 개발

메쉬프리 방법의 주요 발전 영역은 필수적인 경계 집행, 수치적 사분선, 접촉 및 큰 변형에 관한 문제를 다루는 것이다.^[23] 일반적인 약한 형태는 필수적인 경계 조건의 강력한 시행을 요구하지만, 일반적으로 메쉬가 없는 방법은 Kronecker 델타 속성을 결여되어 있다. 이는 필수 경계 조건 시행을 최소한 직접 부과할 수 있는 유한 요소 방법보다 어렵게 만든다. 이러한 어려움을 극복하고 강력하게 조건을 부과하는 기술이 개발되었다. 필수적인 경계 조건을 약하게 부과하기 위한 몇 가지 방법이 개발되었는데, 여기에는 라그랑주 승수, 니트슈의 방법, 페널티 방식 등이 포함된다.

4차원의 경우 단순성과 효율성을 제공하며 메쉬 없는 방법을 유지하는 노달 통합이 일반적으로 선호된다(이중치점과 중량을 생성하기 위해 메쉬가 필요한 Gauss 4차원을 사용하는 것과는 대조적으로). 그러나 단파장 통합은 단파장 모드와 관련된 변형 에너지의 과소평가로 인해 수치적 불안정성을 겪으며,^[24] 또한 약한 형태의 통합 부족으로 인해 부정확하고 일관성이 없는 결과를 산출한다.^[25] 수치 통합의 주요 발전 중 하나는 이러한 두 가지 문제 중 어느 것도 겪지 않는 노달 통합 방법을 제공하는 안정화된 순응적 노달 통합(SCNI)의 개발이었다.^[25] 이 방법은 1차 주문 패치 테스트를 만족하는 변형 스무팅을 기반으로 한다. 그러나, 후에 SCNI에는 저에너지 모드가 여전히 존재한다는 것을 알게 되었고, 추가적인 안정화 방법이 개발되었다. 이 방법은 얇고 두꺼운 판, 다공역학, 대류 중심 문제 등 다양한 문제에 적용됐다.^[23] 최근에는 페트로브-갈러킨(Petrov-Galerkin) 방식을 기반으로 임의 주문 패치 테스트를 통과하도록 프레임워크가 개발되었다.^[26]

메쉬프리 방법의 최근 발전은 모델링과 시뮬레이션에서 자동화를 위한 계산 도구의 개발을 목표로 한다. 이것은 G 우주 이론에 근거한 소위 약화된 (W2) 제형에 의해 활성화된다.^[27]^[28] W2 제형은 삼각형 메쉬와 잘 작동하는 다양한 (균일하게) "부드러운" 모델을 공식화할 수 있는 가능성을 제공한다. 삼각망사는 자동으로 생성될 수 있기 때문에 재매싱이 훨씬 쉬워져 모델링과 시뮬레이션에서 자동화가 가능하다. 또 W2 모델은 (일률적으로) 충분히 부드럽게 만들어 상한 솔루션(강력 주행 문제용)을 생산할 수 있다. 뻣뻣한 모델(완전 호환 FEM 모델 등)과 함께 양쪽으로부터 솔루션을 편리하게 결합할 수 있다. 따라서 삼각망만 생성될 수 있다면, 일반적으로 복잡한 문제에 대한 오류 추정이 용이하다. 대표적인 W2 모델은 평활점 보간법(또는 S-PIM)이다.^[15] S-PIM은 노드 기반(^[29]NS-PIM 또는 LC-PIM), 에지 기반(^[30]ES-PIM), 셀 기반(CS-PIM)이 될 수 있다.^[31] NS-PIM은 소위 SCNI 기법을 사용하여 개발되었다.^[25] 그 후 NS-PIM이 상이한 용액과 부피 잠금 기능을 자유롭게 생산할 수 있다는 사실이 밝혀졌다.^[32] ES-PIM은 정확도가 우수하며, CS-PIM은 NS-PIM과 ES-PIM 사이에서 동작한다. 더욱이 W2 제형은 형상함수의 생성(G1 공간에 있는 한 불연속 변위함수를 수용함)에 다항식 및 방사상 기초함수를 사용할 수 있도록 하여 향후 개발을 위한 여지를 추가로 열 수 있다. W2 제형은 또한 메쉬프리 기법과 잘 발달된 FEM 기법의 결합을 이끌어 냈으며, 이제는 뛰어난 정확성과 원하는 부드러움으로 삼각 메쉬를 사용할 수 있게 되었다. 그러한 제형은 이른바 평활 유한요소법(또는 S-FEM)이다.^[33] S-FEM은 S-PIM의 선형 버전이지만, S-PIM의 특성이 대부분이고 훨씬 단순하다.

메쉬프리 방식은 FEM 방식보다 훨씬 비싸다는 것이 일반적인 인식이다. 그러나 최근 연구는 S-PIM과 S-FEM과 같은 메쉬프리 방법이 FEM보다 훨씬 더 빠를 수 있다는 것을 발견했다.^[15]^[33]

S-PIM과 S-FEM은 고체 역학 문제에 잘 작동한다. CFD 문제의 경우 강한 제형을 통해 제형이 더 단순해질 수 있다. 최근 CFD 문제에 대해서도 그라데이션 스무딩 방법(Gradient Smoothing Method, GSM)이 개발되어 그라데이션 스무딩 아이디어를 강한 형태로 구현하고 있다.^[34]^[35] GSM은 [FVM]과 유사하지만 중첩된 패션에서만 그라데이션 스무딩 연산을 사용하며, PDE에 대한 일반적인 숫자 방법이다.

노달 통합은 그물망 없는 행동을 모방하기 위해 유한 요소를 사용하는 기법으로 제안되었다.^{[citation needed]} 단, 결절 통합 요소를 사용할 때 극복해야 하는 장애물은 결절 지점에서의 수량이 연속적이지 않고, 여러 요소 간에 노드가 공유된다는 점이다.

참고 항목

참조

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추가 읽기

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외부 링크

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