유한점법

Finite point method

유한점법(FPM)은 점의 산란 분포에 대한 편미분방정식(PDE)을 풀기 위한 메쉬프리 방법입니다.FPM은 (Onnate, Idelsson, Zienkiewicz & Taylor, [1]1996a), (Onnate, Idelsson, Taylor & Sacco, 1996b)[2] 및 (Onnkiewicz, Idelsson,[3] 1998a)에서 기하학적 복잡한 표면과 관련된 해법을 촉진하기 위해 제안되었다.그 이후 FPM은 상당히 발전하여 다양한 유체 및 고체 역학적 문제를 처리할 수 있는 만족스러운 정확성과 능력을 보여 주었습니다.

역사

PDE에 대한 다른 메쉬프리 방법과 마찬가지로 유한점법(FPM)은 기본적으로 가중 최소 제곱법(WLSQ) 라인에 산란 데이터 피팅 및 보간을 위해 개발된 기법에 그 기원을 두고 있다.후자는 랭커스터와 살카우스카스가 [4]제안한 이동 최소 제곱법(MLS)의 특정 형태로 간주할 수 있다.WLSQ 방식은 대부분의 MLS를 유지할 수 있지만 보다 효율적이고 구현이 간단하기 때문에 메쉬프리 기술로 널리 사용되고 있습니다.이러한 목표를 염두에 두고 (Onnate, Idelsoon & Zienkiewicz,[5][6] 1995a) 및 (Taylor, Zienkiewicz, Onate & Idelsoon, 1995)에서 FPM의 발전을 이끈 뛰어난 조사가 시작되었다.제안된 기법은 점의 국소 구름에 대한 WLSQ 근사치와 점 연계에 기초한 방정식 이산화 절차로 특징지어졌다(Batina의 작품 라인,[7] 1989[8], 1992).FPM의 첫 번째 적용은 적응 압축성 흐름 문제에 초점을 맞췄다(Fischer, Onate & Idelsoon, 1995;[9][5] Onnate, Idelsoon & Zienkiewicz, 1995b[10]).국부 구름의 근사치와 가중치 함수에 대한 영향도 선형 및 2차 다항식 베이스를 사용하여 분석하였다(Fischer, 1996).[11]대류-확산 및 압축할 수 없는 흐름 문제에 대한 추가 연구는 FPM을 보다 견고한 기반으로 만들었다. cf. (Onnate, Idelsoon, Zienkiewicz, Taylor & Sacco, 1996b)[1][2] 및 (Onnnate, Idelson, Zienkiewicz, 1996b)이러한 작업과 (Onnate & Idelson, 1998)[3]는 오늘날 사용되는 기본적인 FPM 기술을 정의했다.

수치 근사

FPM 수치 근사 체계

FPM의 근사치는 다음과 같이 요약할 수 있습니다.분석영역 { \ \ （ point \ displaystyle \ Omega } ）의 점 x( \ displaystyle x _ {} )에 속하는 주변 j( \ x _ { j})의 서브셋을 사용하여 대략적인 해결 방법을 구한다. _근사치는 구름 알 수 없는 노드 값(또는 매개변수)과 특정 메트릭 계수의 선형 조합으로 계산됩니다.이는 노드 파라미터와 근사솔루션 사이의 거리가 LSQ의 의미로 최소화되는 클라우드레벨에서 WLSQ 문제를 해결함으로써 얻을 수 있습니다.근사 메트릭 계수를 알고 나면 PDE를 지배하는 문제는 코로케이션 방법을 사용하여 각 스타 포인트에서 샘플링됩니다.연속형 변수(및 그 도함수)는 표본화된 방정식에서 이산 근사 형식으로 대체되며, 결과 시스템의 해법은 알 수 없는 노드 값을 계산할 수 있습니다.따라서 문제의 지배방정식을 만족시키는 근사해를 얻을 수 있다.FPM의 매우 로컬한 특성은 효율적인 병렬 솔루션 스킴 구현에 적합한 방법입니다.

전형적인 FPM 근사의 구성은 (Onnate & Idelson, 1998)[3]에 설명되어 있다.근사 매개변수의 분석은 (Ortega, Onnate & Idelson, 2007)[12]에서 확인할 수 있으며, 보다 포괄적인 연구는 (Ortega, 2014)[13]에서 수행된다.다른 접근법도 제안되었다(예: Boroomand, Tabatabaei 및 Onnate, 2005).[14]FPM 근사치의 연장은 (Boroomand, Najjar & Onnate, 2009)[15]에 제시되어 있다.

적용들

유체역학

유체 흐름 문제에 대한 FPM의 초기 연구 및 적용 라인은 (Fischer, 1996)[11]에 요약되어 있다.거기서 LSQ와 WLSQ 다항식 근사치를 사용하여 대류-확산 문제를 연구했다.이 연구는 FPM의 기본 동작을 이해하는 데 도움이 되는 국소 근사치의 정확성에 대한 포인트 클라우드와 가중치 함수의 영향에 초점을 맞췄다.그 결과 1D FPM 근사치는 2차적으로 정확한 중심 차이 근사치로 얻은 것과 유사한 이산 유도체 형태로 이어졌다.그러나 가중치 함수에 따라 비대칭 클라우드의 경우 정확도가 1차까지 저하됩니다.국지 구름에 적합한 지점 선정에 대한 예비 기준도 최소화 문제의 잘못된 조건을 개선하기 위해 정의되었다.그 작업에 채용된 흐름 해결사는 명시적인 인위적 소산을 가진 2단계 Taylor-Galerkin 체계에 기초했다.수치 예에는 비점성 아음속, 천음속 및 초음속 2차원 문제가 포함되었지만, 점성이 낮은 저레이놀즈 수 테스트 사례도 제공되었다.일반적으로 본 연구에서 얻은 결과는 만족스러웠고 LSQ 최소화에 가중치 도입이 우수한 결과로 이어진다는 것을 입증했다(선형 기반 사용).

유사한 연구 라인에서 유한 증분 미적분(FIC)으로 알려진 유한 영역의 플럭스 밸런싱 측면에서 파생된 잔류 안정화 기법이 도입되었다(Onnate, 1996,[16] 1998[17]).결과는 명시적 인공 소산을 통해 얻은 결과와 비슷했지만, FIC의 안정화가 일관된 방식으로 도입된다는 장점으로 (Onnate, Idelsson, Zienkiewicz, Taylor & Sacco, 1996b)[2] 및 (Onnnate & Idelsson, 1998a)[3]를 참조한다.

이러한 개발 중 포인트 생성 문제는 (뢰너 & 오냐테, 1998)[18]에서 최초로 다루어졌다.저자들은 진보된 전면 기술을 바탕으로 기존의 메쉬 생성에 필요한 일반적인 품질 검사를 피함으로써 메쉬리스 연산에 적합한 포인트 이산화를 보다 효율적으로 생성할 수 있음을 보여주었다.기존 메셔와 비교하여 매우 경쟁적인 생성 시간이 달성되었으며, 메쉬리스 방법이 이산화 문제를 완화하기 위한 실현 가능한 대안임을 처음으로 보여주었다.

비압축성 2D 흐름은 FIC 기법을 통해 안정화 된 투영법을 사용하여 (Onnate, Sacco & Idelson, 2000)[19]에서 처음 연구되었다.이 접근방식에 대한 자세한 분석은 (Sacco, 2002)[20]에서 수행되었다.이 작업의 뛰어난 성과는 FPM에 보다 견고한 기반을 제공하였다. 그 중 국소 및 정규화된 근사 베이스의 정의, 국소 Delaunay 삼각측정에 기초한 점의 국소 구름을 구성하는 절차 및 결과 근사 품질을 평가하기 위한 기준을 제공한다.제시된 수치 애플리케이션은 주로 2차원(점점 및 비점성) 압축 불가능한 흐름에 초점을 맞췄지만, 3차원 적용 사례도 제공되었습니다.

(Idelsoon, Storti & Onnate, 2001)[21]에 제시된 라그랑지안 프레임워크에서의 FPM의 예비 적용도 언급할 가치가 있다.압축할 수 없는 자유 표면 흐름에 대해 얻어진 흥미로운 결과에도 불구하고, 이 연구 라인은 FPM 하에서 지속되지 않았고 이후 공식은 오일러 흐름 기술에 전적으로 기초했다.

FPM의 3D 압축 흐름 솔루션에 대한 첫 번째 적용은 (뢰너, Sacco, Onnate & Idelson, 2002)[22]의 선구자 연구에서 제시되었습니다.그곳에서 로컬 점 구름을 구성하기 위한 신뢰할 수 있는 일반적인 절차(Delaunay 기법에 기반)와 흐름 방정식을 해결하기 위한 적합한 계획이 개발되었다.제안된 솔루션 체계에서 이산 플럭스 도함수는 구름의 점을 연결하는 가장자리를 따라 중심 차이와 같은 표현과 대류 안정화를 제공하는 역풍 바이어스 항으로 작성됩니다.Roe의 대략적인 리만 솔버와 van Leer 플럭스 벡터 분할이 이 목적으로 사용되었다.제안된 접근방식은 인위적인 분산 방법보다 더 정확하고(또한 더 비싸며) 로컬 클라우드 및 문제 의존적 매개변수의 기하학적 측정의 정의를 요구하지 않는다.방정식의 시간 적분은 룽게-쿠타 방법 라인의 다단계 명시적 체계를 통해 수행되었다.

몇 년 후, (Ortega, Onnate & Idelson, 2007)[12]의 3D FPM 근사치와 관련하여 추가 연구가 수행되었다.이 작업은 국지적 지원의 특성에 관계없이 견고한 근사치를 구축하는 데 초점을 맞췄다.이를 위해 가중치 함수와 기타 근사 매개변수의 국소 자동 조정이 제안되었다.이 방법의 추가 3D 적용에는 적응적 정교화와 이동/변형 경계 문제(Ortega, Onnate & Idelsoon,[23][24] 2013)를 수반하는 압축 공기역학 흐름이 포함되었다.이러한 작업에서 FPM은 만족할 만한 견고성과 정확성, 그리고 실용적인 계산에 대처하는 능력을 보여주었다.다른 성과들 중에서, 모델 이산화의 완전한 재생성은 대규모 시뮬레이션 문제에서도 합리적인 가격의 솔루션 전략이 될 수 있다는 것이 입증되었습니다.이 결과는 이동/변형 도메인 문제의 메쉬리스 분석의 새로운 가능성을 제시합니다.FPM은 (Ortega, Onate, Idelson & Buachart, 2011)[25] 및 (Buachart, Kanok-Nukulchai, Ortega & Onate,[26] 2014)에서도 적응성 얕은 물 문제에 적용되었다.고레이놀즈 점성 흐름 문제에서 메쉬리스 이점을 활용하기 위한 제안은 (Ortega, Onnate, Idelson & Flores, 2014a)[27]에 제시되어 있다.

같은 응용 분야에서 FPM의 정확도, 계산 비용 및 병렬 성능에 대한 주요 연구가 (Ortega, Onnate, Idelson & Flores, 2014b)[28]에서 수행되었습니다.거기서 FPM을 동등한 유한 요소 기반 솔버와 비교했는데, 이 솔버는 메쉬리스 솔버의 특성 및 실용적 응용에 대한 적합성을 모두 평가하기 위한 표준을 제공했다.FPM 기법의 몇 가지 단순화는 효율성을 개선하고 FEM과의 성능 격차를 줄이기 위해 본 연구에서 제안되었다.그런 다음 날개-몸통 구성을 이용한 그리드 수렴 연구가 수행되었다.그 결과 FPM은 FEM에 비해 경쟁력이 있음을 알 수 있었습니다.이는 메쉬리스 기법이 초기 구현의 효율성이 떨어지기 때문에 종종 실용적이지 않다고 간주되기 때문에 중요합니다.

FPM은 또한 (Bajko, Cermak & Jicha, 2014)[29]에서 항공 음향에도 적용되었다.제안된 솔루션 체계는 선형화된 리만 솔버를 기반으로 하며 고차 FPM 근사치의 장점을 성공적으로 활용한다.얻어진 결과는 FPM이 소리 전파 문제를 해결할 수 있음을 나타냅니다.

고체 역학

현재의 조사 라인

현재의 노력은 주로 FPM의 능력을 활용하여 대규모 실제 문제를 해결하기 위한 병렬 환경, 특히 복잡한 기하학, 이동/변형 영역, 적응적 정교화 및 멀티스케일 현상과 같은 메시리스 절차가 유용한 기여를 할 수 있는 영역에서 이루어진다.

레퍼런스

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