클루스터만섬
Kloosterman sum수학에서 클루스터만 합은 특정한 종류의 지수 합이다.그들은 네덜란드 수학자 헨드릭 클루스터맨의 이름을 따서 이름이 지어졌는데, 그는 1926년[1] 하디-리틀우드 원법을 채택하여 1924년 논문에서 다루었던[vague] 5개 이상의 변수와 반대로 4개의 확실한 대각선 2차 형태를 포함하는 문제를 다루게 되었다.[2]
a, b, m을 자연수가 되게 하라.그러면
여기서 x*는 x modulo m의 역이다.
컨텍스트
클루스터만 합은 베셀 함수의 유한 링 아날로그다.그것들은 (예를 들어) 모듈형 형태의 푸리에 팽창에서 발생한다.
Riemann zeta 함수와 관련된 값, 짧은 간격의 소수, 산술 진행에서의 소수, 자동형 함수의 스펙트럼 이론 및 관련 주제들을 의미하는 애플리케이션이 있다.
클루스터맨 합계의 속성
- a = 0 또는 b = 0이면 클루스터만 합은 라마누잔 합으로 줄어든다.
- K(a, b; m)는 a와 b modulo m의 잔류 등급에만 의존한다.더욱이 gcd(c, b; m) = K(b, a; m) = K(ac, b; m) = K(a, b; m) = 1이면 K(a, b; m)이다.
- m = mm를12 m과1 coprime으로2 한다.nm11 ≡ 1 mod m2 및 nm22 ≡ 1 mode m으로1 n과1 n을2 선택한다.그러면
- 이로써 클루스터만 합계의 평가는 소수 p와 정수 k pk 1에 대한 m = p의 경우로 감소한다.
- K(a, b; m)의 값은 항상 대수적 실수다.사실 K(a, b; m)는 필드의 합성어인 필드 K R {\ K\mathb {의 요소다.
- 여기서 p는 pα m과 같은 모든 홀수 prime에 걸쳐 있다.
- α > 3으로 2 mα 동안.
- 셀버그 ID:
- Atle Selberg에 의해 언급되었고, 모듈형 형태의 스펙트럼 이론을 사용하여 Kuznetsov에 의해 처음 증명되었다.오늘날 이러한 정체성에 대한 기본적인 증거들이 알려져 있다.[3]
- p 이상 소수에게는 K(a, b; p)에 대해 알려진 간단한 공식은 없으며, 사토-타테이트 추측에 의하면 존재하지 않는다고 한다.그러나 아래의 리프팅 공식은 명시적 평가만큼 좋은 경우가 많다.gcd(a, p) = 1인 경우 다음과 같은 중요한 변환도 있다.
- 여기서 () 오른쪽는 자코비 기호를 나타낸다.
- m = pk, k > 1, p p p prime으로 하고 gcd(p, 2ab) = 1로 가정한다. 그 다음:
- 여기서 ℓ2 ab ab ab m과 ε이m 다음과 같이 정의되도록 ℓ을 선택한다(m이 홀수라는 점에 유의한다).
- 이 공식은 한스 샐리에[4] 의해 처음 발견되었고 문헌에는 많은 간단한 증거들이 있다.[5]
추정치
Klosterman 합계는 모듈형식의 푸리에 확장에서 발생하기 때문에, Klosterman 합계에 대한 추정치는 모듈형식의 푸리에 계수에 대한 추정치를 산출한다.가장 유명한 추정치는 안드레 웨일(André Weil)이며 다음과 같이 명시되어 있다.
여기서 ( ) 은 m의 양분자 수입니다.Klosterman의 곱셈 특성 때문에 이러한 추정치는 m이 소수 p인 경우로 축소될 수 있다.Weil의 기본 기술은 견적을 줄인다.
현지 제타 검출 결과에 대해 AB 0이 되었을 때기하학적으로 합은 '하이퍼볼라' XY = ab을 따라 취하며, 우리는 이것을 p 원소를 가진 유한한 장에 대한 대수적 곡선을 정의하는 것으로 간주한다.이 곡선은 C를 덮는 아르틴-슈레이어(Artin-Schreier)를 함축하고 있으며, Weil은 C의 국부 제타 기능이 인자를 가지고 있음을 보여주었다; 이것은 기능 분야인 글로벌 분야의 경우에 대한 Artin L 기능 이론으로, Weil은 1938년 논문 J. Weisinger를 참고로 한다(다음해 1935년 논문 참조).그 아이디어; Weil이 이 예를 스스로 해결할 수 있는 분석적 수 이론가들의 능력에 대해 다소 폄하적인 발언을 한 것을 볼 때, 그의 수집 논문에서, 이러한 아이디어들은 아마도 꽤 오랫동안 '사람'이었을 것이다.)비극성 요인은 타입 1 - kt이며, 여기서 K는 클루스터만 합이다.그 다음 1940년 Weil의 기초 작업에서 추정이 뒤따른다.
실제로 이 기법은 치수 > 1의 웨일 추측에 따라 완전한 지수 합계 '합계' 대수 품종들이 좋은 추정치를 가지고 있다는 것을 훨씬 더 일반적으로 보여준다.그것은 피에르 들랭, 제라드 로몬, 니콜라스 캣츠에 의해 훨씬 더 추진되었다.
쇼트 클루스터먼 합계
짧은 클루스터만 합은 형태의 삼각 합으로 정의된다.
where n runs through a set A of numbers, coprime to m, the number of elements in which is essentially smaller than m, and the symbol denotes the congruence class, inverse to n modulo m:
1990년대 초까지만 해도, 이러한 유형의 합계에 대한 추정치는 주로 √m보다 많은 경우에서 알려져 있었다.그러한 추정치는 H. D. 클루스터만, I. M. 비노그라도프, H. 샐리, L. 칼리츠, S.우치야마와 A. Weil. 유일한 예외는 m = pα 형식의 특수 모듈이었는데, 여기서 p는 고정된 프라임이고 α는 무한대로 상승한다(이 경우는 이반 마트베예비치 비노그라도프의 방법에 의해 A.G. 포스트니코프가 연구했다).
1990년대에 아나톨리 알렉세비치 카라츠바는 짧은 클루스터만 합계를 추정하는 새로운 방법을 개발했다[6][7][8].어디ε 을 Karatsuba의 메서드가 가능하다면, summands의 수가 m({\displaystyle m^{\varepsilon}}를 초과하지 않Kloosterman의 자금줄을 추정하기 위해, 일부 경우에는}{(ln m)2/3+ε}{\displaystyle \exp\{(m\ln)^{2/3+\varepsilon}\ exp},;0{\displaystyle \varepsilon>0}은 만든다. arbit턱없이 적은 수이 문제에 관한 A.A. 카라츠바의 마지막 논문은 그가 죽은 후 발표되었다.
가라쓰바 방법의 다양한 측면에서는 다음과 같은 분석수 이론의 문제를 해결하는 데 응용이 발견되었다.
- 폼의 부분 부분 합계에 대한 점근법 발견:
- 여기서 n은 조건을 만족하는 정수, m)= 를 통해 차례로 실행되고 p는 모듈 m(A.A.Karatsuba)을 분할하지 않는 프리타임에 걸쳐 실행된다.
- 형태 불평등의 해결책에 대한 하한선 찾기:
- 정수 n, 1 ≤ n ≤ x, coprime to m, < A.A. Karatsuba);
- [0, 1] 세그먼트에서 폼의 부분별 임의의 실제 숫자의 근사치 정밀도:
- 여기서 ,( , m)= 1, < < m < 1 n x, ( (A.A. Karatsuba);
- 브룬-에서 보다 정확한 상수 cTitchmarsh 정리:
- 여기서 (; , ) 은 x를 초과하지 않는 primes p의 수이며, 산술적 진행 l J. Friedlander, H. Iwaniec); Iwiniec);;
- 형식3 번호 산물의 최대 소수점 하한: n + 2, N < n ≤ 2N. (D. R. Heath-Brown);
- 형식에 무한히 많은4 프리임이 있음을 증명: a2 + b.(J. Friedlander, H. Iwniec);
- 숫자 집합의 조합 특성(A.A.글리비추크:
클루스터먼의 총액 리프팅
비록 클루스터만 합계는 일반적으로 계산되지 않을 수 있지만, 대수적 숫자 필드에 "lift"될 수 있으며, 이것은 종종 더 편리한 공식을 산출한다. 을(를) ,)= 1. 을(를) 가진 제곱이 없는 정수가 되도록 하십시오.
그럼 a, b coprime to m에 대한 모든 정수를 위해 우리는
여기서 Ω(m)은 m 계수 다중의 주요 인자 수입니다.오른쪽의 합은 필드 (). 에 있는 대수 정수에 대한 합으로 재해석할 수 있다. 이 공식은 돈 자기에에게서 영감을 받아 GL(2)의 상대적 추적 공식에 대한 헤르베 자켓과 예(Ye)의 작품을 확장한 양보 예(Ye) 때문이다.[10]사실, 훨씬 더 일반적인 지수 합계가 해제될 수 있다.[11]
쿠즈넷소프 미량식
쿠즈넷초프 또는 상대추적식은 클루스터만 합계를 깊은 수준의 자동형식의 스펙트럼 이론과 연결한다.원래 이것은 다음과 같이 진술될 수 있었다. g: → R g\mathb \to \ {R}은(는) 충분히 "잘 행동한" 함수가 되도록 한다.그런 다음, 다음과 같은 유형의 쿠즈넷소프 추적식(Kuznetsov track formula)을 부른다.
적분 변환 부분은 g의 일부 적분 변환이고 스펙트럼 부분은 fourier 계수의 합으로, g의 적분 변환으로 뒤틀린 홀로모르픽 및 비 홀로모르픽 모듈형 형태의 공간을 차지한다.쿠즈넷소프 미량 공식은 무게 제로 오토모픽 함수의 성장을 연구하던 중 쿠즈넷소프가 발견했다.[12]그는 클루스터만 합계에 대한 추정치를 이용하여, 위일 추측에 대한 피에르 들랭의 증거가 적용되지 않는 경우에 모듈형 형태의 푸리에 계수에 대한 추정치를 도출할 수 있었다.
그것은 나중에 Jacquet에 의해 표현 이론적 틀로 번역되었다.숫자 필드 F에 대한 G를 환원 그룹으로 하고 G 을(를) 하위 그룹으로 한다.일반적인 미량 공식은 G에 대한 고조파 분석을 연구하는 반면, 상대 미량 공식은 대칭 공간 G/H에 대한 고조파 분석을 연구하는 도구다. 개요와 수많은 응용에 대해서는 참조를 참조한다.[13]
역사
W. M. Schmidt에서 Wil의 추정치를 연구할 수 있다. 한정된 분야에 대한 방정식: 기초 접근법, 2차 접근법(Kendrick Press, 2004)여기에 깔려 있는 생각은 S 때문이다. 스테파노프와 디오판틴 근사치의 악셀 투의 작품에서 영감을 끌어낸다.
클루스터맨 합계와 모듈형 형태 사이에는 많은 연관성이 있다.사실 이 총액은 1912년 앙리 푸앵카레지에 모듈 형태로 처음 실렸다.한스 살리에가 디리클레 캐릭터에 의해 뒤틀린 클루스터만섬의 형태를 소개했다.[14]그러한 살리에 합은 기초적인 평가가 있다.[4]
1979년 쿠즈넷소프(Kuznetsov)에 의해 클루스터만 합계와 비홀모픽 모듈형 형식을 연결하는 중요한 공식이 발견된 이후, 정사각형 근 추정치에 대한 일부 '평균 절약'이 포함된 이후, Iwniec과 Deshuillers에 의해 발명품 매스매티카테(1982)의 세미날 논문에서 추가적인 발전이 있었다.후속적으로 분석적 숫자 이론에 대한 응용은 특히 봄비에리, 푸브리, 프리드랜더, 이와니에 등 다수의 저자들에 의해 이루어졌다.
그 밭은 여전히 접근하기 어렵다.쿠즈넷소프 공식을 이해하는 데 필요한 스펙트럼 이론에 대한 자세한 소개는 R. C. 베이커, 클루스터만 셈스, 마스 폼스, vol에 제시되어 있다.I (Kendrick press, 2003).이 분야에 관심이 있는 학생과 연구자에게도 관련성이 있는 것은 Iwaniec & Kowalski(2004)이다.
이탕 장은 소수 사이의 경계가 있는 차이를 증명하는 데 클루스터만 합을 사용했다.[15]
메모들
- ^ 클루스터먼, H.D.형식2 도끼 + by2 + cz2 + dt2, Acta Mathematica 49 (1926), 페이지 407–464
- ^ 클루스터먼, H.D.het spliten van geheele positive getallen in en en en en an van kwadraten, Statement (1924) Universitit Leiden.
- ^ 매튜스, R.클루스터만 합계에 대한 쿠즈네코프 공식의 기초적인 증거, 결과수학. 18(2), 페이지: 120–124, (1990).
- ^ a b Hans Salie, Uber die Klostermanschen Summen S(u,v;q), Math.Zeit. 34 (1931–32) 페이지 91–109.
- ^ 윌리엄스, 케네스 S.Klosterman의 합계, 미국수학협회의 거래 30(1) 페이지: 61–62, (1971)에 대한 주.
- ^ Karatsuba, A. A. (1995). "Analogues of Kloostermans sums". Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Math. (59:5): 93–102.
- ^ Karatsuba, A. A. (1997). "Analogues of incomplete Kloosterman sums and their applications". Tatra Mountains Math. Publ. (11): 89–120.
- ^ Karatsuba, A. A. (1999). "Kloosterman double sums". Mat. Zametki (66:5): 682–687.
- ^ Karatsuba, A. A. (2010). "New estimates of short Kloosterman sums". Mat. Zametki (88:3–4): 347–359.
- ^ 예, Y. 클루스터만 합계의 리프팅, 저널 오브 넘버 이론 51, 페이지: 275-287, (1995)
- ^ 예, Y. 주정도의 주기 대수적 수 분야, 미국수학협회의 거래 350(12), 페이지: 5003-5015, (1998)로 지수 합을 들어 올린다.
- ^ N. V. 쿠즈네코프, 무게 0의 형태에 대한 피터슨의 추측, 린닉의 추측. Klosterman의 합계, USSR-Sbornik 39(3), (1981)의 수학.
- ^ 코그델, J.W. 그리고 나.Piatetski-Shapiro, Poincaré 시리즈의 산술 및 스펙트럼 분석, 수학의 관점 13권.MA, Boston, Academic Press Inc. (1990).
- ^ Lidl & Nederreiter(1997) 페이지 253
- ^ https://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/Yitang_Zhang.pdf
참조
- Arkhipov, G.I.; Chubarikov, V.N.; Karatsuba, A.A. (2004). Trigonometric sums in number theory and analysis. de Gruyter Expositions in Mathematics. Vol. 39. Berlin–New-York: Walter de Gruyter. ISBN 3-11-016266-0. Zbl 1074.11043.
- Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel (2004). Analytic number theory. Colloquium Publications. Vol. 53. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3633-1. Zbl 1059.11001.
- Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997). Finite fields. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 20 (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-39231-4. Zbl 0866.11069.
- Weil, André (1948). "On some exponential sums". Proc. Natl. Acad. Sci. 34: 204–207. Zbl 0032.26102.
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