특성함수(확률론)

확률 이론과 통계에서, 실제 값 랜덤 변수의 특성 함수는 확률 분포를 완전히 정의한다. 랜덤 변수가 확률밀도함수를 허용하는 경우, 특성함수는 확률밀도함수의 푸리에 변환이다. 따라서 확률밀도함수 또는 누적분포함수를 직접 사용하는 것과 비교하여 분석 결과에 대한 대체 경로를 제공한다. 랜덤 변수의 가중 합계에 의해 정의된 분포의 특성 함수에 대한 특히 단순한 결과가 있다.

일변량 분포 외에도 벡터 또는 행렬 값 랜덤 변수에 대해 특성 함수를 정의할 수 있으며, 보다 일반적인 사례로 확장될 수도 있다.

특성 함수는 모멘트 생성 함수와 달리 실제 값 인수의 함수로 취급할 때 항상 존재한다. 분포의 특성함수의 동작과 분포의 특성 사이에는 모멘트의 존재와 밀도함수의 존재와 같은 관계가 있다.

소개

특성 함수는 랜덤 변수를 설명하기 위한 대체 방법을 제공한다. 누적분포함수와 유사하게,

${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {E} \left[\mathbf {1} _{\X\leq x\}}\오른쪽]}$

(여기서 1은_{{X ≤ x}} 지시 함수 - X ≤ x일 때 1과 같고, 그렇지 않으면 0과 같다) 랜덤 변수 X의 확률 분포의 동작과 속성을 완전히 결정한다. 특성 함수,

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{itX}\right],}$

또한 랜덤 변수 X의 확률 분포의 동작과 속성을 완전히 결정한다. 두 가지 접근방식은 기능 중 하나를 알면 항상 다른 기능을 찾을 수 있지만, 무작위 변수의 특징을 이해하기 위한 서로 다른 통찰력을 제공한다는 점에서 동등하다. 더욱이, 특히, 이러한 함수를 단순한 표준 함수를 포함하는 표현으로 나타낼 수 있는지에 차이가 있을 수 있다.

무작위 변수가 밀도 함수를 인정할 경우 특성 함수는 각각 다른 변수의 푸리에 변환이라는 점에서 이중이다. 임의 변수에 모멘트 생성 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ M ${\displaystyle X_{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle M_{X}(t)}$이$($가) 있는 경우 특성 함수의 도메인을 복합 평면까지 확장할 수 있으며,

${\displaystyle \varphi _{X}(-it)=M_{X}(t).}$^[1]

그러나 확률밀도함수나 모멘트생성함수가 그렇지 않더라도 분포의 특성함수는 항상 존재한다.

특성함수 접근방식은 특히 독립된 랜덤 변수의 선형 결합 분석에 유용하다: 중앙 한계 정리의 고전적인 증거는 특성 함수와 레비의 연속성 정리를 사용한다. 또 다른 중요한 적용은 무작위 변수의 분해능 이론이다.

정의

스칼라 랜덤 변수 X의 경우 특성 함수는 e의^itX 기대값으로 정의되며 여기서 i는 가상 단위, t ∈ R은 특성 함수의 인수:

${\displaystyle {\begin{case}\displaystyle \varphi _{X}\!:\mathbb {R} \to \mathbb {C} \\\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{itX}\right]=\int _{\mathbb {R} }e^{itx}\,dF_{X}(x)=\int _{\mathbb {R} }e^{itx}f_{X}(x)\,dx=\int _{0}^{1}e^{itQ_{X}(p)}\,dp\end{cases}}}$

여기서 F는_X X의 누적분포함수로, 적분은 리만-스티엘트제스 종류다. 랜덤 변수 X가 확률밀도함수 f를_X 갖는 경우, 특성함수는 복합 지수에서 부호역전을 갖는 푸리에 변환이며,^[2][3] 괄호 안의 마지막 공식은 유효하다. Q_X(p)는 X의 역 누적분포함수로 X의 계량함수라고도 한다.^[4] 특성 함수의 정의에 나타나는 상수에 대한 이 규약은 푸리에 변환에 대한 일반적인 규약과 다르다.^[5] 예를 들어, 일부^[6] 저자는 ((t_X) = Ee를^−2πitX 정의하는데, 이는 본질적으로 매개변수의 변경이다. 문헌에는 확률 측정 p의 특성 함수로 $p$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ 밀도 f에 해당하는 특성 함수로$$ $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ 등이 있을 수 $있다$.

일반화

특성 함수의 개념은 다변량 랜덤 변수와 더 복잡한 랜덤 요소로 일반화된다. 특성 함수의 인수는 항상 랜덤 변수 X가 값을 갖는 공간의 연속 이중에 속할 것이다. 일반적인 경우 그러한 정의는 아래에 열거되어 있다.

• X가 k-차원 랜덤 벡터인 경우 t ∈ R의^k 경우

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[\exp(it^{T}\!X)\right],}$

${여기}^{}$서 T ${\$ t$^{$$T}}$은(는) 벡터 t ${\textstyle t}$의 전치$,$

• X가 k × p-차원 랜덤 행렬인 경우 t ∈ R의^k×p 경우

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[\exp \left(i\operatorname {tr})(t^{T}\!X)\오른쪽)\오른쪽],}$

여기서 $\mathrm{tr}$ $$ ($\cdot$ ) ${\textstyle \cdname {tr}(\cdot )}$은(는) 추적 연산자,

• X가 복합 랜덤 변수인 경우 t ∈ C의 경우

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[\ex(i\operatorname {Re} \re) \left({\overline {t}X\right)\right],},}$

$여기$서 t$'{\$은(는) $t$ ${\textstyle t}$의 복합 결합형이며, $\mathrm{Re}$ $((z$)$${\$textstyle \operatorname {Re}(z)$은 복합 $번호$ z ${\textstyle$z}의 실제 부분이다$.$

• X가 k차원 복합 무작위 벡터라면 t c^k C의 경우

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[\ex(i\operatorname {Re})(t^{*}\!X)\right],}$

여기서 $∗{\$는 벡터 t ${\textstyle t}$의 결합 전치$,$

• X가 확률적 프로세스인 경우, 적분 $\int {}_{}$ R $t_{}$( $s$) X$$( )$x$ ( ) $d$ $s\mathrm{}${\$textstyle \int_{\mathb {}t(s)X\,\mathrm {d}$s$}s$}이(가) X의 거의 모든 실현을 위해$$ 수렴되는 모든 기능 t에 대해

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[\ex \int(i\int _\mathbf {R} }} }t(s)X\,ds\right)\right].}$

예

오버헤팅거(1973)는 특성 함수의 광범위한 표를 제공한다.

특성.

• 측정값이 유한한 공간에 대한 경계 연속함수의 정수인 만큼 실제 값 랜덤 변수의 특성 함수는 항상 존재한다.
• 특성 함수는 공간 전체에 균일하게 연속된다.
• 0 주위에 있는 지역에서는 비반복적이다: φ(0) = 1.
• 경계: φ(t) ≤ 1.
• 에르미트어: -(-t) = t(t)이다. 특히 대칭(원점 주변) 랜덤 변수의 특성 함수는 실제 값과 짝수 값이다.
• 확률 분포와 특성 함수 사이에는 편차가 있다. 즉, 임의의 두 임의 변수₁ X, X에₂ 대해, ${\displaystyle {x{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{X\mathrm{}}_{}}_{}}$1 = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{X\mathrm{}}_{}}_{}}$ 2$${\$displaystyle \varphi _{X_{1$}:{X_\$varphi$$_{X_{$2}}인 경우에만 동일한 확률 분포를 갖는다.
• 임의변수 X에 k-th 순서까지의 모멘트가 있는 경우, 특성함수 φ은_X 전체 실선에서 k times를 연속적으로 변화시킬 수 있다. 이 경우

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=i^{-k}\varphi _{X}^{(k)}(0)}$

• 특성함수 φ이_X k-th 파생상품이 0이면 랜덤 변수 X는 k가 짝수이면 모든 모멘트를 k까지 가지지만 k가 홀수이면 k – 1까지만 나온다.^[11]

${\displaystyle \varphi _{X}^{X}}(0)=i^{k}\operatorname {E} [X^{k}]}$

• X₁, ..., X가_n 독립 랜덤 변수이고 a₁, ...가_n 상수라면, X의_i 선형 조합의 특성 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle \varphi _{a_{1}X_{1}+\cdots +a_{n}X_{n}}}}}=\varphi _{X_{1}1}}}}\cdots \varphi _{X_{n}}}}(a_{n}t).}$

한 가지 특정한 경우는 두 개의 독립 랜덤 변수 X와₁ X의₂ 합이다. 이 경우 한 가지는 다음과 같다.

${\displaystyle \varphi _{X_{1}+X_{2}}(t)=\varphi _{X_{1}:{1}(t)\cdot \varphi _{X_{2}}(t).}$

• 특성함수의 꼬리거동에 따라 해당 밀도함수의 부드러움이 결정된다.
• 랜덤 변수 $Y{\displaystyle }$= ${\displaystyle X}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle Y=aX+b}$을(를) 랜덤 $변수{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$의 선형 변환이 되도록$$ 한다$.$ The characteristic function of ${\displaystyle Y}$ is ${\displaystyle \varphi _{Y}(t)=e^{itb}\varphi _{X}(at)}$. For random vectors ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y=AX+B}$ (where A is a constant matrix and B a constant vector), we have ${\displaystyle {\phi }_Y(t)=}$${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\top \mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\top \mathrm{}}^{}}$ t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \varphi _{Y}(t)=e^{it^{\b}\varphi _{X}(A^{\top }t)}$^[12].

연속성

확률분포와 특성함수 사이에 위에서 설명한 편향은 순차적으로 연속된다. 즉, 분포함수 F_j(x)의 순서가 어떤 분포 F(x)로 수렴(약하게)될 때마다 특성함수 φ_j(t)의 해당 순서도 수렴하게 되며, 한계 t(t)는 법칙 F의 특성 함수와 일치하게 된다. 좀 더 형식적으로 이것은 다음과 같이 명시되어 있다.

레비의 연속성 정리: n-변수 랜덤 변수의 시퀀스 X는_j 분포에서 랜덤 변수 X로 수렴되며, 만일 시퀀스 φ이_Xj 원점에서 연속되는 함수 φ에 포인트로 수렴되는 경우에만 수렴된다. 여기서 φ은 X의 특징적인 기능이다.^[13]

이 정리는 대수의 법칙과 중심 한계 정리를 증명하는 데 사용될 수 있다.

반전식

누적분포함수와 특성함수 사이에는 일대일 연관성이 있기 때문에 다른 함수를 알면 이러한 함수 중 하나를 찾을 수 있다. 특성함수의 정의에 있는 공식은 분포함수 F(또는 밀도 f)를 알 때 when을 계산할 수 있게 해준다. 반면 특성함수 φ을 알고 그에 상응하는 분포함수를 찾으려면 다음과 같은 반전성 이론 중 하나를 사용할 수 있다.

정리. 무작위 변수 X의 특성함수 φ이_X 통합될 수 있다면_X F는 절대적으로 연속적이므로 X는 확률밀도함수를 갖는다. 일변량 사례(즉, X가 스칼라 값을 갖는 경우)에서는 밀도 함수가 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle f_{X}(x)=F_{X}'(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {R}{-itx}\varphi _{X}(t)\,dt.}$

다변량 사례에서는 다음과 같다.

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{{{n}}}\int_{\mathbf {R}^{n}}{n}e^{-i(t\cdot x)}\varphi _{X}(t)\lambda(d)}$

$여기$서 t $\cdot$ $x$ ${\textstyle t\cdot x}$은(는) 도트 제품이다.

pdf는 Lebesgue 측정값 λ에 대한 분포_X μ의 라돈-Nikodym 파생 모델이다.

${\dplaystyle f_{X}(x)={\frac {d\mu_{X}}{d\lambda }}}(x).}$

정리(레비)^{[note 1]} φ이_X 분포함수 F의_X 특성함수인 경우, a < b>의 두 점은 {x a < x < b}이(가) μ의_X 연속성 집합(일변량 사례에서 이 조건은 a와 b 지점에서의_X F의 연속성과 동일)인 것이다.

• X가 스칼라인 경우:

${\displaystyle F_{X}-F_{X}(a)={\frac {1}{1}{2\pi }}}\lim_{T\to \int _{-T}^{+T}{\frac{-e^{-ita}-e^{-itb}}}\,\varphi _{X}(t)\,dt.}$

이 공식은 다음과 같이 수치 계산에 보다 편리한 형태로 다시 서술될 수 있다.

${\displaystyle {\frac {F(x+h)-F(x-h)}{2h}}}{\frac {1}{2\pi }\int _{-\inflt}{\inflt}{\frac {\t}{-itx}\varphi _{X}(t)\dt}.$

For a random variable bounded from below one can obtain ${\displaystyle F(b)}$ by taking ${\displaystyle a}$ such that ${\displaystyle F(a)=0.}$ Otherwise, if a random variable is not bounded from below, the limit for ${\displaystyle a\to -\infty }$ gives ${\displaystyle F(b)}$, but는 숫자로는 비실용적이다.^[14]

• X가 벡터 랜덤 변수인 경우:

$t_{1}\leq T_{1}}\int \limits \cdots t_{n}\leq T_{n}}_ᆸ^ᆹ\left({\frac{e^{-it_{k}a_{k}}-e^{-it_{k}b_{k}}}{it_{k}}}\right)\varphi _ᆺ(t)\lambda()\cdots dt_{1}\times \prod{\displaystyle \mu_{X}{\big(}){a<, x<, b\}{\big)}={\frac{1}{(2\pi)^{n}}}\lim _{T_{1}\to \infty}\cdots\lim _{T_{n}\to \infty}\int \limits _{-T_{n}\leq _{-T_{1}\leq.시대 dt_{n}}}$

정리. 만약 a가 X의 원자(일변수 케이스에서 이것은 F의_X 불연속점을 의미한다)인 경우,

• X가 스칼라인 경우:

${\displaystyle F_{X}(a)-F_{X}(a-0)=\lim_{T\to \inflt}{\frac {1}{2}T}}\int _{-T}^{+T}e^{-ita}\varphi _{X}(t)\,dt}$

• X가 벡터 랜덤 변수인 경우:^[15]

$\displaystyle \mu _{X}(\{a\}})=\lim _{1}\inflt }\cdots \lim _{T_{n}\inflt }\prod _{k=1}^{n}\frac {1}{1}{2.T_{k}}\오른쪽)\int \limits _{-T_{1},T_{1}]\times \dots \time [-T_{n},T_{n}}}e^{-i(t\cdot a)}\varphi _{X}(t)\lambda(dt)}}}$

정리(^[16]길펠레즈). 일변량 랜덤 변수 X의 경우, x가 F의_X 연속성 점인 경우

${\displaystyle F_{X}(x)={\frac {1}{1}-{1}{\frac {1}{\pi }\int _{0}^{0}{\inflt }{\frac {\operatorname {im}[e^{-itx}\varphi _{X}(t)]]}{t}\,dt.}$

여기서 복합 $숫자{\displaystyle }$ z ${\displaystyle z}$의 가상 부분은 ${\displaystyle \mathrm{Im}}$( z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$)${\displaystyle }$/ 2 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathrmatrm {Im}(z)=(z-z^{*})/2i}$에 의해 주어진다$$$.$

적분은 Lebesgue-integrated가 아닐 수 있다. 예를 들어, X가 항상 0인 이산 랜덤 변수인 경우, Dirichlet 적분은 Diriclet 적분이 된다.

다변량 분포에 대한 반전 공식을 사용할 수 있다.^[17]

특성함수 기준

모든 특성 함수의 세트는 특정 작동에서 닫힌다.

• A convex linear combination ${\textstyle \sum _{n}a_{n}\varphi _{n}(t)}$ (with ${\textstyle a_{n}\geq 0,\ \sum _{n}a_{n}=1}$) of a finite or a countable number of characteristic functions is also a characteristic function.
• 유한한 수의 특성함수의 산물도 특성함수다. 원점에서 연속되는 함수로 수렴할 경우 무한대의 제품도 동일하다.
• φ이 특성함수이고 α가 실수라면 $\phi$의${\displaystyle \stackrel{}{}}$φ${\$ $\}\},$ Re(φ), φ(α), φ(αt)도 특성함수다.

한계 F(-분포) = 0, F(+분포) = 1인 비감소 cadlag 함수 F는 일부 랜덤 변수의 누적 분포 함수에 해당한다는 것은 잘 알려져 있다. 또한 주어진 함수 φ이 일부 랜덤 변수의 특성 함수가 될 수 있는 경우에 대해 유사한 단순한 기준을 찾는 데 관심이 있다. 여기서의 중심 결과는 비록 그 유용성이 제한되어 있지만, 그 이유는 정리의 주요 조건인 비부정확성은 검증하기 매우 어렵기 때문이다. 적용이 그만큼 어렵지만 킨치네, 마티아스, 크레이머와 같은 다른 이론들도 존재한다. 반면에, Polya의 정리는 충분하지만 필요하지 않은 매우 단순한 볼록 상태를 제공한다. 이 조건을 만족시키는 특징적인 기능을 Polya-type이라고 한다.^[18]

보치너의 정리. 임의함수 φ : Rⁿ → C는 φ이 양정확정인 경우에만, 원점에서 연속인 경우, φ(0) = 1인 경우에 일부 랜덤 변수의 특성함수다.

킨치네 기준. φ(0) = 1과 함께 복잡하게 값이 매겨진 절대 연속함수 φ은 대표성을 인정하는 경우에만 특징함수다.

${\displaystyle \varphi (t)=\int_{\mathbf {R}}g(t+\theta ){\overline {g(\teta )}\,d\d\teta .}$

마티아스의 정리. φ(0) = 1을 갖는, 실질가치가 있고, 균등하고, 연속적이며, 절대적으로 통합할 수 있는 함수 φ은 다음과 같은 경우에만 특징적인 함수다.

${\displaystyle(-1)^{n}\왼쪽(\int _{\mathbf {R}}}}\varphi (pt)e^{-t^{2}/2}H_{2n}(t)\,dt\오른쪽)\geq 0}$

n = 0,1,2,... 및 모든 p > 0에 대해. 여기서 H는_2n Hermite 다항식 학위 2n을 나타낸다.

폴랴의 정리. $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$이(가) 조건을 충족하는 짝수, 짝수, 연속 함수인 경우

• ${\displaystyle \phi }$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \varphi (0)=1$
• ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \varphi }$은(는) t> {\$displaystyle t>0$의 볼록함,
• ${\displaystyle \phi }$ (${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi (\inflt )=0$

then(t)는 0에 대칭되는 절대 연속 분포의 특성 함수다.

사용하다

연속성 정리 때문에, 중심 한계 정리에서 가장 자주 볼 수 있는 증명에 특성 함수가 사용된다. 특성 함수를 사용하여 계산하는 데 수반되는 주요 기법은 함수를 특정 분포의 특성 함수로 인식하는 것이다.

분포의 기본 조작

특성 함수는 특히 독립 랜덤 변수의 선형 함수를 처리하는 데 유용하다. 예를 들어 X₁, X₂, ...의 경우 X는_n 독립적(동일한 분포가 아닌) 랜덤 변수의 시퀀스이며,

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}}\,\!}$

여기서 a는_i 상수인 경우 S의_n 특성 함수는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \varphi _{S_{n}(t)=\varphi _{X_{1}:{1}t)\varphi _{X_{2}}(a_{2}t)\cdots \varphi _{X_{n}}}}}\!}$

특히 φ_X+Y(t) = φ_X(t)φ_Y(t)φ(t)이다. 이를 확인하려면 특성 함수의 정의를 다음과 같이 기록하십시오.

${\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\operatorname {E} \left[e^{it(X+Y)}\right]=\operatorname {E} \left[e^{itX}e^{it}e^{it]Y}\오른쪽]=\operatorname {E} \left[e^{itX}\right]\operatorname {E} \left[e^{it]Y}\오른쪽]=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)}$

세 번째와 네 번째 표현식의 동일성을 확립하기 위해서는 X와 Y의 독립성이 요구된다.

동일한 분포의 랜덤 변수에 대한 또 다른 특별한 경우는_i a = 1/n이고 S가_n 표본 평균인 경우다. 이 경우 평균값으로 X를 쓰는 것은

${\displaystyle \varphi _{\overline {X}(t)=\varphi _{X}\!\left\tfrac {t}{n}\오른쪽)^{n}}}$

순간

특성 함수는 랜덤 변수의 순간을 찾는 데도 사용할 수 있다. n^th 모멘트가 존재한다면, 특성 함수는 n번과 n번 구별할 수 있다.

${\dplaystyle \left[{d^{n}}{dt^{n}}}}\varphi _{X}(t)\right]_{t=i^{n}\operatorname {E} \left[X^{n}\right]\\Rightarrow \operatorname {E} \left[X^{n}\right]=i^{-n}\left[{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}=i^{-n}\varphi _{X}^{(n)}(0),\!}$

예를 들어, X에 표준 Cauchy 분포가 있다고 가정합시다. 그러면 φ_X(t) = e^{− t} . 이는 t = 0에서 다를 수 없으며, 이는 Cauchy 분포가 기대하지 않음을 보여준다. 또한 n개의 독립 관측치 표본 평균 X의 특성 함수는 이전 절의 결과를 사용하여 특성 함수 φ_X(t) = (e^{− t /n})ⁿ = e를^{− t} 갖는다. 이것은 표준 Cauchy 분포의 특성 함수로서, 표본 평균은 모집단 자체와 동일한 분포를 가진다.

추가 예로서 X가 가우스 분포 즉, $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle N}$(${\displaystyle \mu }$ ,${\displaystyle {\mu \mathrm{}}^{}}$ 2 )${\displaystyle X\sim {\mathcal{N}(\mu ,\sigma ^{2})$를 따른다고 가정합시다$.$ 그런 다음 ${\displaystyle {\phi }_{}}$ X${\displaystyle (}$ ${\displaystyle t}$) = ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{\mu i}}^{}}$- ${\displaystyle {\frac{1}{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle {{t\mathrm{}}^{}}^{}}$ 2$${\$displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{\mu it-{$1}{1}:{2}\$frac{1}}\sigma ^{2}t^{2$}}:} 및 {2$}}:}}$ 및$$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[X\right]=i^{-1}\left[{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}=i^{-1}\left[(i\mu -\sigma ^{2}t)\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}=\mu }$

A similar calculation shows ${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{2}\right]=\mu ^{2}+\sigma ^{2}}$ and is easier to carry out than applying the definition of expectation and using integration by parts to evaluate ${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{2}\right]}$.

특성함수의 로그는 적출함수로서 적출함수를 찾는데 유용하며, 그 대신 적출함수를 모멘트 생성함수의 로그로 정의하고 특성함수의 로그는 두 번째 적출함수를 호출한다.

데이터 분석

특성 함수는 데이터 표본에 확률 분포를 적합시키는 절차의 일부로 사용될 수 있다. 이것이 다른 가능성과 비교하여 실행 가능한 선택권을 제공하는 경우에는 밀도에 대한 닫힌 형태 표현식을 사용할 수 없기 때문에 최대우도 추정의 구현을 어렵게 하기 때문에 안정적인 분포를 적합시키는 경우가 포함된다. 데이터로부터 계산된 이론적 특성 함수와 경험적 특성 함수를 일치시키는 추정 절차를 이용할 수 있다. 폴슨 외 연구진(1975)^[19]과 히스코트(1977)^[20]는 그러한 추정 절차에 대한 이론적 배경을 제공한다. 또한,^[21] Yu(2004)는 우도 절차가 비실용적인 시계열 모델에 적합한 경험적 특성 함수의 적용을 설명한다. 경험적 특성 함수는 또한 생성적 적대적 네트워크를 훈련하는 데 안사리 외(2020)^[22]와 리 외(2020)^[23]에 의해 사용되었다.

예

척도 모수 θ과 형상 모수 k를 갖는 감마 분포는 특성 함수를 가진다.

$(1-\displaystyle (1-\theta \,i\,t)^{-k}.}$

자, 이제 우리가 가지고 있다고 가정해 봅시다.

${\displaystyle X~\sim \감마(k_{1},\theta ){\\\\mbox{ 및 }Y\sim \감마(k_{2},\theta )\,}$

X와 Y가 서로 독립되어 있고, X + Y의 분포가 무엇인지 알고 싶다. 특징적인 기능은 다음과 같다.

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=(1-\theta \,i\,t)^{-k_{1},\\qquad \varphi _{Y}(t)=(1-\ta \,i\,t)^{-k_{2}}$

독립성과 특성 함수의 기본 특성에 의해

${\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)=(1-\theta \,i\,t)^{-k_{1}}(1-\theta \,i\,t)^{-k_{2}}=\left(1-\theta \,i\,t\right)^{-(k_{1}+k_{2})}.}$

이것은 감마 분포 척도 모수 θ과 형상 모수₁ k + k의₂ 특성 함수로서, 결론은 다음과 같다.

${\displaystyle X+Y\sim \감마(k_{1}+k_{2},\theta )\,}$

결과는 동일한 척도 모수를 가진 독립 감마 분포 랜덤 변수 n개로 확장될 수 있으며, 우리는 다음과 같은 결과를 얻는다.

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:X_{i}\sim \Gamma (k_{i},\theta )\qquad \Rightarrow \qquad \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{n}k_{i},\theta \right).}$

전체 특성 함수

위에서 정의한 바와 같이 특성함수의 논거는 실수로 취급한다. 다만, 이것이 가능한 경우, 분석적 연속에 의한 복잡한 평면으로 정의를 확장함으로써 특성함수 이론의 특정 측면이 진전된다.^[24]

관련개념

관련 개념에는 모멘트 생성함수와 확률 생성함수가 포함된다. 특성 함수는 모든 확률 분포에 존재한다. 이것은 모멘트 생성 기능의 경우가 아니다.

특성 함수는 푸리에 변환과 밀접하게 관련되어 있다. 확률밀도함수 p(x)의 특성 함수는 p(x)의 연속 푸리에 변환의 복잡한 결합이다(일반적인 관례에 따라, 연속 푸리에 변환 - 기타 규칙을 참조한다).

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\langle e^{itX}\angle=\int_{\mathbf {R}p(x)\,dx={\overline {\\\\int(\int _{\mathbf {R}p)(x)\dx)\int.}}}={\overline{P(t)}}},}$

여기서 P(t)는 확률밀도함수 p(x)의 연속 푸리에 변환을 나타낸다. 마찬가지로 p(x)는 inverse(t)에서 역_X 푸리에 변환을 통해 복구할 수 있다.

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {R} }e^{itx}P(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {R} }e^{itx}{\overline {\varphi _{X}(t)}}\,dt.}$

실제로 랜덤 변수가 밀도가 없는 경우에도 특성 함수는 랜덤 변수에 해당하는 측정치의 푸리에 변환으로 보일 수 있다.

또 다른 관련 개념은 확률 분포를 분포의 커널 내장형 커널을 통해 힐버트 공간을 재현하는 요소로서 나타낸 것이다. 이 프레임워크는 커널 함수의 특정한 선택 하에서 특성 함수의 일반화로 볼 수 있다.

참고 항목

• 독립성보다 약한 조건인 하위 독립성은 특성 함수의 관점에서 정의된다.
• 누적 생성함수의 용어인 누적 함수의 로그.

메모들

참조

인용구

원천

외부 링크

• "Characteristic function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]