등급 벡터 공간

수학에서 등급 벡터 공간은 등급 또는 등급의 추가 구조를 갖는 벡터 공간으로서 벡터 공간을 벡터 서브스페이스의 직접적인 합으로 분해하는 것이다.

정수 그라데이션

$\mathbb {N}$ ${\$ 를) 음이 아닌 정수의 집합으로 $\mathbb {N}$ 두십시오. $\mathbb {N}$ ${\textstyle \mathbb {N} }$ {\ $textstyle \mathb {N}$ 의 ${\textstyle \mathb {N} }$ 접두사 N {\ $displaystyle \mathb {N}$ 이 $\mathbb {N}$ 가) 없는 단순히 등급화된 벡터 공간이라고 불리는 N ${\$ textstyle \mathb {} }은 형태의 직접 합으로 분해된 벡터 공간 $V$ 이다.

V=\bigoplus _{n\in \mathb {N}{}V_{n}}

여기서 각 $V_{n}$ $V_{n}$ ${\$ 은 벡터 공간이다 $V_{n}$ .주어진 n에 대해 $V_{n}$ $V_{n}$ ${\$ 의 원소를 도 n의 동질 원소라고 한다 $V_{n}$ .

등급이 지정된 벡터 공간은 일반적이다.예를 들어, 하나 또는 여러 변수의 모든 다항식 집합은 등급화된 벡터 공간을 형성하며, 여기서 도 n의 동질 원소는 도 n의 단항식의 선형 결합이다.

일반 그라데이션

등급화된 벡터 공간의 서브스페이스는 자연수 집합에 의해 색인화될 필요가 없으며, 어떤 집합 I의 요소에 의해서도 색인화될 수 있다.I-graded 벡터 공간 V는 세트 I의 요소 I에 의해 지수화된 서브스페이스의 직접적인 합으로 분해되는 것과 함께 벡터 공간이다.

V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}}

따라서 위에서 정의한 $\mathbb {N}$ ${\$ -graded $\mathbb {N}$ 벡터 공간은 집합 I가 $\mathbb {N}$ ${\$ 자연수 집합)인 I-graded 벡터 공간일 뿐이다. $\mathbb {N}$

내가 링 $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ / $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ${\$ 원소 0과 1)인 경우는 물리학에서 특히 중요하다.A $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ ( $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ / $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ ) $(\mathb {Z} /2\mathb {Z})$ -graded $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ 벡터 공간은 슈퍼벡터 공간이라고도 한다.

동형성

일반 지수 세트 I의 경우, 두 개의 I-graded 벡터 공간 f : V → W 사이의 선형 지도를 동질 원소의 정지 상태를 보존하면 등급이 매겨진 선형 지도라고 한다.등급이 매겨진 선형 지도를 등급화된 벡터 공간의 동형성(또는 형태론) 또는 동종 선형 지도라고도 한다.

f(V_{i})\subseteq W_{i}

(

f(V_{i})\subseteq W_{i}

f(V_{i})\subseteq W_{i}

)

f(V_{i})\subseteq W_{i}

f(V_{i})\subseteq W_{i}

f(V_{i})\subseteq W_{i}

{\

I의 모든 I

f(V_{i})\subseteq W_{i}

.

고정된 필드 및 고정 인덱스 세트의 경우 등급이 지정된 벡터 공간은 등급이 지정된 선형 맵인 범주를 형성한다.

내가 역행 단수(자연수 등)인 경우, 속성에 의해 I의 모든 도 I와 동질적인 선형 지도를 더 일반적으로 정의할 수 있다.

f(V_{j})\subseteq W_{i+j}

f $f(V_j)\subseteq W_{i+j}$

f(V_{j})\subseteq W_{i+j}

(

f(V_{j})\subseteq W_{i+j}

f(V_{j})\subseteq W_{i+j}

)

f(V_{j})\subseteq W_{i+j}

f(V_{j})\subseteq W_{i+j}

f(V_{j})\subseteq W_{i+j}

+ j

{\

여기서 "+"는 모노이드 작업을 의미한다.더욱이 내가 취소 속성을 만족시켜 그것이 생성하는 아벨 그룹 A(예를 들어 내가 자연수인 경우 정수)에 내장할 수 있다면, 동일한 속성에 의해 A에서 도 i의 동질적인 선형 지도를 정의할 수도 있다(그러나 현재 "+"는 A에서 그룹 운영을 나타낸다).특히, I에서 선형 지도의 경우 -i의 동질성이 될 것이다.

f(V_{i+j})\subseteq W_{j}

(

f(V_{i+j})\subseteq W_{j}

f(V_{i+j})\subseteq W_{j}

+

f(V_{i+j})\subseteq W_{j}

)

f(V_{i+j})\subseteq W_{j}

f(V_{i+j})\subseteq W_{j}

f(V_{i+j})\subseteq W_{j}

{\

은(는) 동안 I의 모든 j에 대해

f(V_{i+j})\subseteq W_{j}

f(V_{j})=0\,

f

f(V_{j})=0\,

(

f(V_{j})=0\,

f(V_{j})=0\,

)

f(V_{j})=0\,

=

f(V_{j})=0\,

{\

j - i가 I에 없는

f(V_{j})=0\,

경우

벡터 공간에서 그 자체로의 선형 지도 집합이 연관 대수학(벡터 공간의 내형성의 대수)을 형성하는 것처럼, 한 공간에서 그 자체로 균질한 선형 지도 집합(도를 I로 제한하거나 그룹 A에서 임의의 도 허용) - 이 색인 집합에 대한 연관성 등급 알제브라.