모듈의 길이

추상대수학에서 모듈의 길이는 그 크기를 측정하는 벡터 공간의 치수를 일반화한 것이다.^{[1]page 153} 특히 벡터 공간의 경우처럼 길이가 유한한 모듈만 정밀하게 생성되는 모듈이다.그것은 가장 긴 하위 종 사슬의 길이로 정의된다.길이가 유한한 모듈은 유한차원 벡터 공간과 많은 중요한 속성을 공유한다.

링과 모듈 이론에서 '카운트'에 사용된 다른 개념은 깊이와 높이다; 이것들은 둘 다 정의하기에는 다소 더 미묘하다.또한 길이가 유한모듈을 분석하는 데 사용되는 반면, 이들의 용도는 차원 이론과 더 일치한다.유용한 차원의 아이디어도 다양하다.유한 길이 교환 링은 아르틴 링이 광범위하게 사용되는 형식 대수 기하학 및 변형 이론의 좌표 처리에서 필수적인 역할을 한다.

정의

모듈의 길이

$일부{\displaystyle }$ 링 $R{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ R} 위에 있는 M {\$displaystyle$ M$}$을(를) (왼쪽 또는 오른쪽) 모듈로$$ 두십시오$.$ $양식$의 M ${\displaystyle M}$ 하위 모듈이 있는 경우

${\displaystyle M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n}=M}$

$우리$는 n ${\displaystyle n}$이(가) 체인의 길이라고 말한다.^[1]$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 길이는 체인 중 가장 큰 길이로 정의된다$$.만약 그렇게 큰 길이가 존재하지 않는다면, 우리는 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 길이가 무한하다고 말한다.

반지 길이

링 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은 좌측 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ -모듈로서$$ 길이가 유한하면 링으로서 길이가 유한하다고 한다$$.

특성.

유한 길이 및 유한 모듈

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ $-module$ M {\$displaystyle$M}의$$ 길이가 한정되어 있으면 미세하게 생성된다.^[2]R이 분야라면 그 반대도 역시 사실이다.

아르티니아 및 노메테리아 모듈과의 관계

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ -모듈$$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) 노메테리아 모듈과 아티니아 모듈^[1](cf)인 경우에만 길이가 유한하다$$.홉킨스의 정리).모든 아르티니아 반지는 노메테리아인이기 때문에, 이것은 어떤 반지가 아르티니아인 경우에만 길이가 유한하다는 것을 암시한다.

짧은 정확한 시퀀스에 대한 동작

가정하다

${\displaystyle 0\오른쪽 화살표 L\오른쪽 화살표 M\오른쪽 화살표 N\오른쪽 화살표 0}$

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ - modules의$$ 짧은 정확한 시퀀스 입니다.그렇다면 M은 L과 N의 길이가 유한할 경우에만 길이가 유한하고, 우리는 길이가 유한하다.

${\displaystyle {\text{length}_{R}(M)={\text{length}_{R}(L)+{\text{length}_{R}(N)}}$

특히 다음과 같은 두 가지 특성을 내포하고 있다.

• 길이가 유한한 두 모듈의 직접 합은 길이가 유한하다.
• 길이가 유한한 모듈의 서브모듈은 길이가 유한하며, 그 길이는 상위모듈보다 작거나 같다.

요르단-홀더 정리

모듈 M의 구성 시리즈는 형태의 체인이다.

${\displaystyle 0=N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n}=M}$

그런

${\displaystyle N_{i+1}/N_{i}{\mbox{{}}{}}}}}}i=0,\dots,n-1}의 경우 단순함$

모듈 M은 (마인드) 합성 시리즈가 있는 경우에만 길이가 한정되며, 그러한 모든 구성 시리즈의 길이는 M의 길이와 같다.

예

유한 치수 벡터 공간

필드 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 위에$$ 있는 모든 유한 치수 벡터 $공간{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V}$의 길이는 유한하다$$.기본 $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$이(가) 체인이 있다$$.

${\displaystyle 0\subset {\text{Span}_{k}(v_{1})(v_{1},v_{2})\cdots \cdots {\text{Span}}{k}}(v_{1},\ldots,v_{n})=V}$

길이는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이고$,$ 체인은 어떤 것이든 주어지기 때문에 최대치 입니다.

${\displaystyle V_{0}\subset \cdots \subset V_{m}}$

각 포장의 치수는 $적어도{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 $[\displaystyle 1}$만큼 증가할 것이다$.$ 따라서 길이와 치수는 일치한다.

아티니아 모듈

베이스 링 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ 위에$$아티니아 모듈들은 유한 모듈의 한 부류를 형성한다.사실, 이러한 예들은 교차로 이론에서 소멸의 순서를 정의하는 기본적인 도구로 작용한다.^[3]

제로 모듈

길이 0인 모듈은 제로 모듈뿐입니다.

단순모듈

길이 1의 모듈은 정밀하게 단순한 모듈이다.

아르티니아 모듈(Z)

주기 그룹 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$정수 Z를 통해 모듈로 표시됨)의 길이는 여러 개의 주요 요인을 여러 번 계수하여 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$의 주요 요인 수와 동일하다.이것은 중국의 나머지 정리를 사용함으로써 찾을 수 있다.

다중성 이론에 사용

교차로 이론의 필요성에 대해 장-피에르 세레는 이 점과 관련된 아르티니아 지방 고리의 길이로서 점의 다양성에 대한 일반적인 개념을 도입했다.

첫 번째 적용은 교차로 다중의 완전한 정의였으며, 특히 n차원 투영공간에서 n대수초과공간의 교차로점 다중의 다중의 합이 무한하거나 정확히 초과공 정도의 산물이라고 주장하는 베주트의 정리문이었다.에이스

이러한 다중성의 정의는 상당히 일반적이며, 대수적 다중성의 이전 개념의 대부분을 특별한 사례로 포함하고 있다.

0과 극의 소멸 순서

이 섹션과 하위 섹션은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적일 수 있다. 기술 세부 정보를 삭제하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2020년 5월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

이러한 일반적인 다중성 정의의 특별한 경우는 대수적 변종에서$$ 0이 아닌 대수적 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R}$( X${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$의 소멸 순서다.대수적^[3] 다양성 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 $부변량$ V ${\displaystyle V}$에 따라 다항식 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle f\in R(X)}$에 대한 소멸 순서는 다음과^[4] 같이 정의된다$$.

${\displaystyle {\text{ord}_{V}(f)={\text{length}_{{V,X}}\{\mathcal{O}_{V,X}}}\오른쪽)}$

그 아변종 V을 따라 어디 OV, X{\displaystyle{{O\mathcal}}_{V,X}}은 지역의 반지 OX{\displaystyle{{O\mathcal}}_{X}의 줄기에 의해}정의된{V\displaystyle}[3]페이지 426-227거나 동등하게, OX{\displaystyle{{O\mathcal}}_{X}의 줄기}V{의 제네릭점을\displaystyle V}$$^{[5] page 22}. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 어핀 품종이고 V ${\displaystyle V}$이(가) 소멸 로커스 V${\displaystyle (f}$) ${\displaystyle V(f)}$에 의해 정의되면 이형성이 있다$.$

${\displaystyle {\mathcal{O}_{V,X}\cong R(X)_{(f)}}}$

그러면 이 아이디어는 순서가 다음과 같이 정의되는$$ $버라이어티{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$}$에서 합리적인 함수 $F{\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$/ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle F=f/g}$로 확장될 수 있다.

${\displaystyle {\text}_{V}(F):={\text{ord}_{V}(f)-{\text}_{V}(g)}$^[3]

이는 복합 분석에서 0과 극의 순서를 정의하는 것과 유사하다.

투영 버라이어티 예제

For example, consider a projective surface ${\displaystyle Z(h)\subset \mathbb {P} ^{3}}$ defined by a polynomial ${\displaystyle h\in k[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}$, then the order of vanishing of a rational function

${\displaystyle F={\frac {f}{g}}}$

에 의해 주어지다

${\displaystyle{\text}}_{Z(h)}(F)={\text{ord}}-{\text}_{Z(h)}(g)}$

어디에

${\displaystyle{\text}}_{Z(h)}(f)={\text{length}_{{{O}_{Z(h),\mathb {P}{3}}}\frac {{\mathcal{O}_{Z(h),\mathb {P}{3}{{P}}{{{{{{{{{P}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

예를 들어 $h{\displaystyle }$ =${\displaystyle }$x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ 3${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ + x${\displaystyle {}_{}^{}}$2 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ +$$x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ 3 {\$displaystyle h=x_{0}^{3$}+x_${1$}$}^{3}+x_{2$$}^{3}+x_{2$$}^{3}}$ 및$$ $f{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ $및$ g${\displaystyle }$= ${\displaystyle {h\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$- ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaysty g=h^{2}(x_{0}+x_{1}-x_{3}}}}}}}}}}}}}}}}}$ 그$$ 후

${\displaystyle {\text{ord}}_{Z(h)}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(x^{2}+y^{2})}}\right)=0}$

since ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ is a Unit (ring theory) in the local ring ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}$. In the other case, ${\displaystyle x_{0}+x_{1}-x_{3}}$ is a unit, so the quotient module is isomorphic to

${\displaystyle {\frac {{O}_{Z(h),\mathb {P}^{3}{(h^{2})}}}}$

$그래서{\displaystyle \mathrm{}}$ 길이 2$[\displaystyle 2}$가 있다$.$이는 최대 적절한 시퀀스를 사용하여 확인할 수 있다.

${\displaystyle (0)\subset {\frac {{O}_{Z(h),\mathb {P}^{3}}{3}}}{{3}}}}}\mathb {O}{O}},\mathb {P}{3}}}{{^{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

분석함수의 0 및 극

소멸 순서는 복합 분석에서 영점함수에 대한 0과 극의 순서를 일반화한 것이다.예를 들어, 함수

${\displaystyle {\frac {(z-1)^{3}(z-2)}{{(z-1)(z-4i)}}}}$

$1$에 순서 2와 1의 0,${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\displaystyle$ 1,$2\in$ $\mathb$$${$C},$$$$4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\displaystyle 1}$의 $순서{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 ${\\displaystyle$ $1$$}$을 가지고 있다$.$ 이러한 종류의 정보는 모듈의 길이를 사용하여 인코딩할 수 있다.For example, setting ${\displaystyle R(X)=\mathbb {C} [z]}$ and ${\displaystyle V=V(z-1)}$, there is the associated local ring ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,X}}$ is ${\displaystyle \mathbb {C} [z]_{(z-1)}}$ and the quotient module

${\displaystyle {\frac {\mathb {C} [z]_{(z-1)}}}{{(z-4i)(z-1)^{2}}}}}}}$

$z{\displaystyle }$- ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle z-4i}$은(는) 하나의 단위이므로$$, 이 값은 지수 모듈에 대해 이형성이라는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle {\frac {\mathb {C} [z]_{(z-1)}}}{{{{(z-1)^{2}}}}}}}$

최대 체인점이 있기 때문에$$ $그것$의 길이는 2$[\displaystyle 2}$이다.

${\displaystyle (0)\subset {\frac {C} [z]_{{(z-1)}}}}}}}}{\displaystyle {\frac {\c}}}{z-1}}}}}{(z-1)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

하위 ^[6]종족의보다 일반적으로 Weierstrass 인자화 정리를 사용하여 다음과 같은 용적함수 인자를 사용한다.

${\displaystyle F={\frac {f}{g}}}$

이는 분자와 분모 모두에 있는 선형 다항식의 (일반적으로 무한) 산물이다.

참고 항목

• 힐베르트-핀카레 시리즈
• 웨일 디비저
• 차우 링
• 교차로이론
• 위어스트라스 인자화 정리
• 세레의 다중성 추측
• Hilbert 스키마 - 고정된 길이의 스키마에 대한 모듈을 연구하는데 사용할 수 있음
• 크롤-슈미트 정리

참조

외부 링크

• 스티븐 H.Weintraub, 유한집단 AMS(2003) ISBN 0-8218-3222-0, ISBN 978-0-8218-3222-6
• 앨런 알트먼, 스티븐 클레이먼, 역행 대수학 용어.
• 스택스 프로젝트.길이