자유낙하시간

자유낙하 시간은 붕괴에 반대할 다른 힘이 존재하지 않는다면, 육체가 자체의 중력에 이끌려 붕괴되기까지 걸리는 특징적인 시간이다. 이와 같이, 그것은 중력이 지배적인 역할을 하는 항성형성부터 헬리오시즘학, 초신성 등 천체물리학적 과정들의 시간적 범위를 설정하는 데 근본적인 역할을 한다.

파생

중력 원점까지 모두 입력

퇴화된 타원궤도에 케플러의 행성운동 제3법을 적용하면 자유낙하시간을 도출하는 것이 비교적 간단하다. 질량 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 점 소스로부터 $거리{\displaystyle }$ R$${\$displaystyle R}$에 있는 점 $질량{\displaystyle }$ m ${\displaystyle m}$이(가) 방사상으로 안쪽으로 떨어지는 점을$$ 고려하십시오. 결정적으로 케플러의 제3법칙은 궤도의 반주축에만 의존하며, 기이성에 의존하지 않는다. 순전히 방사형 궤적은 편심률 1과 반주축 $[\디스플레이 스타일$ R$/2$}의 퇴행 타원형 타원형 타원형 타원형이다$.$ 따라서 몸이 안쪽으로 떨어져 회전하고 원래 위치로 복귀하는 데 걸리는 $시간$은${\displaystyle }$R/${\displaystyle 2\mathrm{}}${\$디스플레이 스타일$ R/$2}$의 원형 궤도의 기간과 같다$.$

${\displaystyle t_{\text{orbit}}={\frac {2\pi }{{\sqrt {G(M+m)}}}}}}}{3/2}={\frac {\pi R^{3/2}}{\sqrt{2G(M+m)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

반주축이 $R{\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle R/2}$임을 확인하려면 궤도가 점점 타원화되어감에 따라 궤도의 특성을 조사해야 한다$.$ 케플러의 첫 번째 법칙은 궤도는 질량의 중심을 하나의 초점으로 하는 타원체라고 말한다. 매우 작은 질량이 매우 큰 $질량{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$을 향해 떨어지는 경우 질량의 중심은 더 큰 질량 내에 있다$.$ 타원의 초점은 타원성이 증가하면서 점점 중심을 벗어나고 있다. 편심도가 1인 퇴행 타원의 제한적인 경우, 궤도는 입력 물체의 초기 위치(${\displaystyle }$ ${\displaystyle$ R$\})$에서 질량 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 점원까지 확장된다$.$ 즉, 타원은 $길이{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$의 선이 된다$.$ 반주축은 폭의 반이다. 긴 축을 따라 타원형이며, 이 타원은 퇴보된 경우 $R{\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle R/2$}이$($가) 된다$.$

자유 낙하 본체가 전체 궤도를 완성한 경우, 점 소스 $질량{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$에서 $거리{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$에서 시작하여$$해당 점 선원에 도달할 때까지 안쪽으로 떨어진 다음, 방향을 돌려 원래 위치로 되돌아갈 것이다. 실제 시스템에서 점원 질량은 실제로 점원이 아니며, 폭주체는 결국 어떤 표면과 충돌한다. 따라서, 그것은 궤도의 절반만 완성한다. 그러나 궤도의 폭주 부분은 가상으로 궤도를 나가는 부분과 대칭적이기 때문에 자유낙하 시간(궤도의 폭주 부분을 따라가는 시간)에 도달하기 위해 전체 궤도의 기간을 간단히 2로 나눌 수 있다.

${\displaystyle t_{\text{ff}}=t_{\text{orbit}/2={\frac {\pi }{2}}:{\frac{3/2}}:\sqrt{2G(M+m)}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

또한 이 공식은 위치 함수로서 하강 시간의 공식에서 따온 것이다.

위의 방정식에서$$ $t{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{궤도}}_{}}$ ${\$은 질량이 매우 편심 궤도에 떨어지는 시간이며, 중심 질량에서 거의 0반경 거리에서 "헤어핀"을 돌린 다음 매우 날카로운 턴을 반복할 때 R로 돌아온다는 점에 유의한다. 이 궤도는 R에서 0까지의 거리까지의 거의 선형 운동과 일치한다. 위에서 언급한 바와 같이, 이 궤도는 반지름 R이 있는 원형 궤도(여기서 반조르 축은 R이다)에 비해 반조르 축(R/2)의 길이에 불과하며, 따라서 더 짧은 고극성 "orbit"의 기간은 R/2의 축과 전체 궤도 경로 길이가 infall 거리의 두 배 밖에 되지 않는 것이다. 따라서 케플러의 제3법칙에 따르면 반경축 반경의 반경을 가지고 있는 이심궤도의 최대 반지름과 같은 일정한 반경을 갖는 "상응하는" 원형궤도로서 (1/2) ^3/2= (1/^1/28) 시간이 오래 걸린다.

편심 궤도를 따라 R에서 온전한 시간인 거리 R의 반을 가로지르는 시간은 R에서 원형 궤도의 기간 P의 (1/32)^1/2배에 해당하는 R/2(R이 아닌)의 원형 궤도에 대한 케플러 시간이다. 예를 들어, 태양 주위의 지구 궤도에 있는 물체가 궤도에 갑자기 멈추면 태양에 떨어지는 시간은 $P{\displaystyle }$/ ${\$이며$,$ 여기서 P는 1년이다. 이것은 약 64.6일이다.

질량 비대칭 분포의 전부

자, $질량{\displaystyle }$ M$${\$displaystyle M}$이(가) 점 질량이 아니라 중심부를 중심으로 sherrally-대칭 분포로 분포하는 경우를 생각해 보십시오. 평균 질량 밀도는 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho}$ 입니다$.$

${\displaystyle \rho }$= ${\displaystyle \frac{\mathrm{3M}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{r}{}}$ R ${\displaystyle \frac{{3\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\$

여기서 구의 용적은 다음과 같다:${\displaystyle }$( ${\displaystyle 4\mathrm{}}$/ ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {R\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle {(4/3)\pi$ R$^{3}.$$}$

작용하는 유일한 힘이 중력이라고 가정해 보자. 그 후 뉴턴에 의해 처음 입증되었으며, 발산 정리를 사용하여 쉽게 증명할 수 있는 것처럼, 구의 중심에서$$ 주어진 $거리{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$에서 중력의 $가속도$는 R$${\$displaystyle R}$에 포함된 총 질량에 의해서만 달라진다$.$ 이 결과의 결과는 만약 어떤 사람이 브레이크인을 상상했다면이다.g 구를 일련의 동심원 조개껍질로 만들면, 각각의 조개는 조개 내부로 이어지는 후에만 붕괴할 것이고, 붕괴 중에는 조개껍질이 교차하지 않는다. 그 $결과{\displaystyle }$, R$${\$displaystyle R$}에서 질량 없는 입자의 자유 낙하 시간은 그것에 대한 총 $질량{\displaystyle }$ M$${\$displaystyle M$} 내부$$ 단위로만 표현할 수 있다$$. $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$에 대한 평균 밀도 실내의 관점에서$$자유 낙하 시간은^[1]

${\displaystyle t_{\text{ff}}={\sqrt{3\pi }{32G\rho}}}\simeq 0.5427{1}{\sqrc{1}{\sq\rho}}}}}},{\frc {1}{sqrho}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 후자는 SI 단위에 있다.

이 결과는 이전 섹션의 "${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gg }$ m ${\displaystyle$ M$\g m}$ 의 결과와 정확히 동일하다$.$

적용들

자유낙하 시간은 다수의 천체물리학적 과정에 대한 관련 시간 척도의 매우 유용한 추정치다. 그것의 응용에 대한 감각을 얻기 위해, 우리는 글을 쓸 수 있다.

${\displaystyle t_{\text{ff}\simeq {35\,{\mbox{min}}{\sqrt{\rho \{\mbox{g}}}}{\mbox^{-}}}}}}}}}}:{\sqrho \{\rho \{\{\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서는 자유 낙하 시간의 수치 값을 평균 밀도 1 g/cm의³ 본체에 대해 대략 35분으로 추정했다.

비교

포획 궤도의 무한대에서 떨어지는 물체의 경우, 주어진 위치에서 중앙점 질량까지 떨어지는 데 걸리는 시간은 일정한 4 $3{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\$ {$4}{3\$pi $}}≈$ 0.42를 제외하고 자유 낙하 시간과 동일하다.

참조

• 은하 역학 비니, 제임스, 트레메인, 스콧 프린스턴 대학 출판부, 1987.