티모셴코-에렌페스트 빔 이론

티모셴코-에렌페스트 빔 이론은 20세기 초 스티븐 티모셴코와 폴 에렌페스트에^[1][2][3] 의해 개발되었다.^[4][5]모델은 전단 변형과 회전 휨 효과를 고려하여 파장이 빔의 두께에 접근할 때 고주파수 흥분 대상인 두꺼운 빔, 샌드위치 합성 빔 또는 빔의 거동을 설명하기에 적합하다.결과 방정식은 4차이지만 오일러-베르누엘리 빔 이론과 달리 2차 부분파생성 이론도 존재한다.물리적으로, 추가된 변형 메커니즘을 고려할 때, 그 결과는 정적 하중 하에서 더 큰 편향과 주어진 경계 조건 집합에 대한 더 낮은 예측 고유 빈도가 되는 반면, 빔의 강성을 효과적으로 감소시킨다.후자의 효과는 파장이 짧아질수록(원론적으로 빔 높이 또는 더 짧아질수록) 높은 주파수의 경우 더 눈에 띄며, 따라서 대립되는 전단력 사이의 거리가 감소한다.

로터리 관성 효과는 브레스와^[6] 레일리가 도입했다.^[7]

빔 재료의 전단 계수가 무한대에 접근하여 빔이 전단면에서 강성이 되고 회전 관성 효과가 무시되면 티모셴코 빔 이론은 일반적인 빔 이론으로 수렴된다.

콰지스타틱 티모셴코 빔

축방향 효과가 없는 정적 티모셴코 빔 이론에서 빔의 변위는 다음과 같이 가정한다.

${\displaystyle u_{x}(x,y,z)=-z~\barphi(x)~u_{y}(x,y,z)=0~;~u_{z}(x,y)=w(x)}$

여기서${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, z$){\displaystyle (x,y,z)}$은 빔의 점의 좌표, ${\displaystyle u_{}}$ x ,${\displaystyle {}_{}{u}_{}}$ , u , u${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$$displaystyle$ $u_{x},u_{y},$$$$u_${$z$$}}}$는 3좌표 방향의 변위 벡터의 구성 요소$$, $\phi {\displaystyle }$ ${\{$nmbea.am 및 $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$은(는) $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$ -방향에서$$ 중간 변위를 나타낸다$$.

지배 방정식은 다음과 같은 일반 미분 방정식의 결합 시스템이다.

${\displaystyle {\begin{aigned}&{\frac {d}^{2}}:{\mathrm {d} x^{2}}}\좌(EI{\frac}\mathrm {d}\d}\varphi }{\mathrmatrm}x)=q(x)\\&{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}=\varphi -{\frac {1}{\kappa AG}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right).\end{정렬}}}$

정적 케이스에 대한 티모셴코 빔 이론은 위의 마지막 용어를 무시했을 때 오일러-베르누엘리 이론에 해당하며, 이 근사치는 다음에 유효하다.

${\displaystyle {\frac {3}EI}{\kappa L^{2}AG}\ll 1}$

어디에

• ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$은(는) 빔의 길이입니다.
• ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$은(는) 단면 영역이다.
• ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$은 탄성계수다.
• ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$은 전단 계수다.
• ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$은(는) 두 번째 영역이다.
• ${\displaystyle }$Timoshenko 전단 계수라고 불리는$$${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$은 기하학에 따라 달라진다.일반적으로 직사각형 섹션의 $경우$ ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle 5\mathrm{}}$ /${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle \kappa =5/6}$
• ${\displaystyle q}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle q(x)}$은 분산 하중(길이당 힘)이다$$.

두 방정식을 조합하면, 일정한 단면의 동질 빔에 대해,

${\displaystyle EI~{\cfrac {\cfrac {d}^{4}{{4}{d}x^{4}}=q(x)-{\cfrac {EI}{\cfrac {EI}}}}{d}{{2}q}{mathrmatrm {d}x^{d}}}}}:{d}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

빔의$$ 벤딩 모멘트 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$과(와$)$의 $전단력{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Q_{}}$ x {\$displaystyle$ Q_${x}$은$($는) $변위$와 관련이$$ 있으며, 회전 $\phi {\displaystyle }${\$displaystyle \varphi$ 선형 탄성 Timoshenko 빔의 경우 이러한 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle M_{x}=-EI~{\partial \varphi }{\partial x}}{\partial xi}}{\partifial \partial \}}\{x}\quad Q_}=\appa ~AG~~(-\varphi +{partial w}{partial x}{partial x}}}\rig)\partial x}, 오른쪽)\,}$

quasistic Timoshenko 보 방정식의 도출

Timoshenko 빔에 대한 운동학적 가정으로부터, 빔의 변위는 다음에 의해 주어진다. ${\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi(x,t)~~u_{y}(x,y,z,t)=0~~~~u_{z}(x,y,z)=w(x,t)}$ 그렇다면, 작은 변종들에 대한 변종-변종 관계로부터, 티모셴코 가정에 근거한 0이 아닌 변종들은 다음과 같다. ${\displaystyle \varepsilon _{xx}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}=-z~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}~;~~\varepsilon _{xz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)}$ 빔의 실제 전단 변형률은 단면 전체에 걸쳐 일정하지 않기 때문에 다음과 같은$$ 보정 계수 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$을(를) 도입한다. ${\displaystyle \varepsilon _{xz}={\frac {1}{1}:{2}}~\kappa ~\좌측값\varphi +{\fract w}{\fract x}\오른쪽)}$ 빔의 내부 에너지 변화는 ${\displaystyle \delta U=\int _{L}\int _{A}(\sigma _{xx}\delta \varepsilon _{xx}+2\sigma _{xz}\delta \varepsilon _{xz})~\mathrm {d} A~\mathrm {d} L=\int _{L}\int _{A}\left[-z~\sigma _{xx}{\frac {\partial (\delta \varphi )}{\partial x}}+\sigma _{xz}~\kappa \left(-\delta \varphi +{\frac {\partial (\delta w)}{\partial x}}\right)\right]~\mathrm {d} A~\matrm {d} L}$ 정의 ${\displaystyle M_{xx}:=\int _{A}z~\sigma _{x}~\mathrm {d}A~;~~Q_{x}:=\kappa ~\int _{A}\sigma _{xz}~\mathrm {d}A}$ 그러면 ${\displaystyle \delta U=\int _{L}\left[-M_{xx}{\frac {\partial (\delta \varphi )}{\partial x}}+Q_{x}\left(-\delta \varphi +{\frac {\partial (\delta w)}{\partial x}}\right)\right]~\mathrm {d} L}$ 부품별 통합 및 경계 조건 때문에 빔의 끝에서 변동이 0이 된다는 점에 유의 ${\displaystyle \delta U=\int_{L}\왼쪽[{\frac {\partial M_{x}}}{\partial x}-Q_{x}\delta \mathrm{d}}}{\partial x}}{\partial x}}}}{\d}}}$ 단위 길이당$$ 가로 하중 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle (x}$, t${\displaystyle }$) ${\displaystyle q(x,t)}$에 의한 빔의 외부 작업 변동은 다음과 같다. ${\displaystyle \delta W=\int _{L}q~\delta w~\mathrm {d}L}$ 그렇다면 quasistic 빔의 경우 가상 작업의 원리는 다음과 같다. ${\displaystyle \delta U=\delta W\implies \int _{L}\left[\left({\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}\right)~\delta \varphi -\left({\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}+q\right)~\delta w\right]~\mathrm {d} L=0}$ 빔에 대한 지배 방정식은, 변이 미적분학의 기본 정리로부터, ${\displaystyle {\frac {\partial M_{xx}{\partial x}-Q_{x}=0~;~{\partial Q_{x}}{\partial x}+q=0}$ 선형 탄성 빔의 경우 ${\displaystyle{\begin{정렬}M_{xx}&,=\int _{A}z~\sigma _{xx}~\mathrm{d}A=\int _{A}z~E~\varepsilon _{xx}~\mathrm{d}A=-\int _{A}z^{2}~E~{\frac{\partial \varphi}{x\partial}}~\mathrm{d}A=-EI~{\frac{\partial \varphi}{x\partial}}\\Q_{)}&,=\int _{A}\sigma _{xz}~\mathrm{d}A=\int _{A}2G~\varepsilon A=\int _{A}\kappa{d}_{xz}~\mathrm. ~G~\left(-\varphi +{\partial x}}\partial w}{\partial x}}\right)~\mathrm {d}A=\kappa ~AG~~왼쪽(-\varphi +{\partial w}{\partial x}\right)\end{parted}}}}}}}}}}$ 따라서 빔에 대한 지배 방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다. ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG~\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)&=0\\{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q&=0\end{aligned}}}$ 두 방정식을 함께 결합하면 ${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)=q\\&{\frac {\partial w}{\partial x}}=\varphi -{\cfrac {1}{\kappa AG}}~{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)\end{aligned}}}$

경계 조건

티모셴코 빔의 변형을 설명하는 2개의 방정식을 해결하려면 경계조건으로 증강해야 한다.문제가 잘 해결되려면 네 가지 경계 조건이 필요하다.대표적인 경계조건은 다음과 같다.

• 단순하게 지원되는 빔:두 지지대의 위치에서 ${\displaystyle w}$의 변위는 0이다$$.빔에 적용되는$$ 벤딩 모멘트 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$도 지정해야 한다.회전 ${\displaystyle \varphi }$과 가로 전단력 Q ${\displaystyle x_{}}$ ${\$은 지정되지$$ 않았다.
• 클램프로 고정된 빔:고정된 끝에서 변위 $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$ 및$$ 회전 $rotation{\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi$ }은$($는) 0으로 지정된다$$.한쪽 끝이 자유롭다면 그 ${\displaystyle {끝}_{}}$에서 $전단력$ $Q{\displaystyle {}_{}}$ x ${\$ 스타일 Q_${x}$와 ${\displaystyle {\mathrm{벤딩}}_{}}$ 모멘트 M x ${\$ 스타일 $M_{x}}$을 지정해야 한다$$.

티모셴코 빔의 변형 에너지

티모셴코 빔의 변형 에너지는 휨과 전단력에 의한 변형 에너지의 합으로 표현된다.이 두 성분은 모두 변수에서 이차적이다.Timoshenko 빔의 변형 에너지 함수는 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle W=\int _{[0,L]}{\frac {EI}{2}}\왼쪽({\frac {d\varphi }{ds}\오른쪽)^{2}+{\frac {k)GA}{2}}\왼쪽(\varphi -{\frac {dw}{ds}\오른쪽)^{2}}$

예제: 캔틸레버 빔

캔틸레버 빔의 경우, 한 경계는 클램핑되고 다른 경계는 자유롭다.$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 방향이$$ 오른쪽으로 $양수$이고 z$${\$displaystyle$z} 방향이$$ 위로 양수되는 오른쪽 좌표계를 사용합시다.일반적인 관례에 따라, 긍정적인 힘은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및 $z$ ${\displaystyle z}$축의 긍정적인$$ 방향으로 작용하고 긍정적인 순간은 시계 방향으로 작용한다고 가정한다.또한 스트레스 결과물(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle Q_{}}$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 기호 규약이 양수 휨모멘트가 빔의 하단에 있는 물질($하위{\displaystyle }$ z ${\displaystyle$ z$}$좌표$$)을 압축하고 양의 전단력이 빔을 시계 반대 방향으로 회전시키는 것으로 가정한다.방향의

클램핑된 끝은 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x=L}$이고 자유 $끝$은 ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle =}$ 0 ${\displaystyle x=0}$이라고 가정해 봅시다$.$ 점 $하중{\displaystyle }$ P$${\$displaystyle$ $P}$을(를) 양의 $z{\displaystyle }$ ${\displaysty$ z$}$ 방향으로$$ 자유 끝에 적용하면$$ 빔의 자유 본체 다이어그램이 제공됨

${\displaystyle -Px-M_{xx}=0\implies M_{xx}=-Px}$

그리고

${\displaystyle P+Q_{x}=0\implies Q_{x}=-P\,}$

그러므로 휨모멘트와 전단력에 대한 표현으로부터 우리는

${\displaystyle Px=EI\,{\frac {d\varphi }{dx}}\{dx}}\qquad {\text{and}\cappa AG\left(-\varphi +{dw}}{dx}\오른쪽)\,\,}$

$첫{\displaystyle }$ 번째 방정식의 통합과 ${\displaystyle \mathrm{경계}}$ 조건${\displaystyle }${$$= 0 {\$displaystyle \varphi =0}$을(를) $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x=L}$에 적용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다$.$

${\displaystyle \varphi (x)=-{\frac {P}{2EI}}\, (L^{2}-x^{2})\,}$

두 번째 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\frac {dw}{dx}=-{\frac {P}{\pappa AG}-{\frac {P}{2}EI}}\, (L^{2}-x^{2})\,}$

$x$ =${\displaystyle }$${\displaystyle L}$ ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ x=L$}$에서 w = 0 {\$displaystyle w=0$$}$이(가$)$ 제공하는$$ 경계 조건의 통합 및 적용

${\displaystyle w(x)={\frac {P(L-x)}{{\kappa AG}-{\frac {Px}{2EI}}\,\왼쪽(L^{2}-{\frac {x^{2}}:{3}\오른쪽)+{\frac {PL^{3}}{3}}}{3}}}}{3}}}}}{3}}}}}EI}\,.}$

축응력은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \sigma _{xx}(x,z)=E\,\varepsilon _{x}=-E\,z\,{\frac {d\varphi }=-{dx}=-\frac {Pxz}{\}{px}}}{}}}}{I}}={\frac {M_{xx}z}{{}}{I}\,.}$

다이나믹 티모셴코 빔

축방향 효과가 없는 티모셴코 빔 이론에서 빔의 변위는 다음과 같이 가정한다.

${\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi(x,t)~u_{y}(x,y,z,t)=0~~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)}$

여기서${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, z$){\displaystyle (x,y,z)}$은 빔의 점의 좌표, ${\displaystyle u_{}}$ x ,${\displaystyle {}_{}{u}_{}}$ , u , u${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$$displaystyle$ $u_{x},u_{y},$$$$u_${$z$$}}}$는 3좌표 방향의 변위 벡터의 구성 요소$$, $\phi {\displaystyle }$ ${\{$nmbea.am 및 $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$은(는) $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$ -방향에서$$ 중간 변위를 나타낸다$$.

위의 가정으로부터 시작하여 진동을 허용하는 티모셴코 빔 이론은 결합된 선형 부분 미분 방정식으로 설명할 수 있다.^[8]

${\displaystyle \rho A{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}-q(x,t)={\partial x}}}{\partial x}\papa AG\left({\partial x}}\}\partphi \rig)\rig\rig\rig\rig\rig\rig 오른쪽]}}}}}}}}$

${\displaystyle \rho I{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)}$

여기서 종속 변수는 $w{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle w(x,$${\displaystyle t}$$)\},$ $빔$의 변환 변위 및 ${\displaystyle ,}$ (${\displaystyle x}$ ,$$t ) {\$displaystyle \varphi (x,$t)}, 각도 변위$.$오일러-베르누이 이론과 달리 각도 편향은 또 다른 변수로서 편향 기울기에 의해 근사치되지 않는다는 점에 유의한다.또,

• ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$은(는) 빔 재료의 밀도(선형 밀도는 아님)이다$$.
• ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$은(는) 단면 영역이다.
• ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$은 탄성계수다.
• ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$은 전단 계수다.
• ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$은(는) 두 번째 영역이다.
• ${\displaystyle }$Timoshenko 전단 계수라고 불리는$$${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$은 기하학에 따라 달라진다.일반적으로 직사각형 섹션의 $경우$ ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle 5\mathrm{}}$ /${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle \kappa =5/6}$
• ${\displaystyle q}$( ${\displaystyle x}$, t${\displaystyle }$) ${\displaystyle q(x,t)}$은 분산 하중(길이당 힘)이다$$.
• $(\displaystyle m:=\rho A}$
• $J:=\rho I}$

이러한 모수가 반드시 상수는 아니다.

선형 탄성, 등방성, 균일한 상수 단면 빔의 경우 이 두 방정식을 조합하여^[9][10]

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {EIm}{\kappa AG}}\right){\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q(x,t)+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\cappa AG}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}:}$

복합 Timoshenko 빔 방정식

일정한 단면의 동질 티모셴코 빔의 휨을 지배하는 방정식은 다음과 같다. ${\displaystyle {\begin{aligned}(1)&&\quad m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}&=\kappa AG~\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+q(x,t)~;~~m:=\rho A\\(2)&\quad J~~{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}&=EI~{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}+\appa AG~\왼쪽({\partial x}{\partial x}-\varphi \right);~~J:=\rho I\end{liged}}}$ 방정식 (1)부터 적절한 평활도를 가정하면 다음과 같다. ${\displaystyle{\begin{정렬}(3)&,&\quad{\frac{\partial \varphi}{x\partial}}&={\cfrac{q}{AG\kappa}}-{\cfrac{m}{AG\kappa}}~{\frac{\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+{\frac{\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\\(4)&,&\quad{\cfrac{\partial ^{3}\varphi}{\partial x^{3}}}&={\frac{1}{AG\kappa}}{\frac{\partial ^{2}q}{\part.ial x^{2}}}-{\frac{m}{)카파 AG}}~{\cfrac{\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac{\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}\\(5)&,&\quad{\cfrac{\partial ^{3}\varphi}{\partialx\partial t^{2}}}&={\frac{1}{AG\kappa}}{\frac{\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\frac{m}{AG\kappa}}~{\cfrac{\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+{\cfrac{\partial ^{4}w}{\par.tial x^{2}\p아티알 t^{2}}:}\end{aigned}}}$ 차별화 방정식(2)이 ${\displaystyle {\begin}(6)&\quad J~~{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x\partial t^{2}}&=EI~{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x^{3}}+\cappa AG~~({\partial w^{2}}}{\partial x^{2}}-{\partial \varphi }}{\partial x}\rig}\ended}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ 등식(3), 등식(4), 등식(5)을 등식(6)으로 대체하고 재배열하면 우리는 다음과 같은 결과를 얻게 된다. ${\displaystyle {\reasoned}EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}+m~{\partial t^{2}w}{\partial t^{2}}-{\partial t^}-{\cfrac {m}EI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}}$

티모셴코 방정식은 임계 주파수 ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ C${\displaystyle {}_{}}$= 2 ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle f{}_{}{c}_{}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\frac{g}{}}}$ G ${\displaystyle \sqrt{\frac{}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{i}{}}}$ I${\displaystyle \sqrt{\frac{}{}}}$ ${\displaystyle \omega _{C}=2\pi f_{c}={\sqrt${\$frac {\appa GA}{\rho$ I$}}}}}}}}$ 정상 모드의 경우$$ 티모드에서는 티모드 티모드 티모드 티모드 티모센코 방정식을 해결할 수 있다.4차 방정식인 $경우{\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle f_{}}$c {\$displaystyle f_${c$}$ 이하 주파수에 대해 2개의 진동 및 2개의 발생이$$${\displaystyle {있다}_{}}$.$$f {\$displaystyle f_{$c}}보다 큰 주파수의 경우 모든$$ 용액은 진동이며, 결과적으로 두 번째 스펙트럼이 나타난다.^[11]

축 효과

빔의 변위가 다음과 같은 경우

${\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=u_{0}(x,t)-z~\varphi(x,t)=0~u_{y}(x,y,z,t)=w(x,t)}$

여기서 ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}-$방향의$$ 추가 변위이며$$, 그러면 Timoshenko 빔의 지배 방정식이 형식을 취한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}&={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)\\J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=N(x,t)~{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\end{aligned}}}$

여기서 $J{\displaystyle }$= ${\displaystyle \rho }$ I ${\displaystyle$ J$=\rho I}$ 및 $N$(x , t${\displaystyle }$) ${\displaystyle N(x,t)}$은 외부에서$$ 가해지는 축력이다.외부 축력은 응력 결과에 의해 균형을 이룬다.

${\displaystyle N_{xx}(x,t)=\int _{-h}^{h}\sigma _{xx}~dz}$

여기서 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$는 축응력이며 빔의 두께는 ${\displaystyle \mathrm{2시간}}$ ${\displaystyle 2h}$으로 가정되었다$.$

축력 효과가 포함된 결합된 빔 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}}$

댐핑

축력 이외에 형태에 따른 속도에 비례하는 감쇠력을 가정할 경우

${\displaystyle \eta (x)~{\putac {\put w}{\put t}}$

티모셴코 빔의 결합 방정식이 형태를 띠다.

${\displaystyle m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+\eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)}$

${\displaystyle J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=N{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)}$

그리고 결합 방정식은

${\displaystyle {\reasoned}EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}&+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {m북}{AG\kappa}}\right)~{\cfrac{\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac{mJ}{AG\kappa}}~{\cfrac{\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+{\cfrac{J\eta)}{AG\kappa}}~{\cfrac{\partial ^{3}w}{\partial t^{3}}}\\&, -{\cfrac{북}{AG\kappa}}~{\cfrac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(\eta()){\cfrac{\partial w}{\partial지}}\right)+\et.a()){\cfrac {\partial w}{\partial t}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}}$

이 Ansatz 댐핑 힘(보강 점성)에 대한 주의사항은 점성이 빔 진동의 주파수 의존적이고 진폭에 독립적인 댐핑 속도를 유발하는 반면 경험적으로 측정한 댐핑 속도는 주파수 민감도가 낮지만 빔 편향 진폭에 따라 달라지는 것이다.

전단 계수

전단 계수를 결정하는 것은 간단하지 않다(결정된 값도 널리 수용되지 않는다, 즉 둘 이상의 답이 있다). 일반적으로 다음을 충족해야 한다.

${\displaystyle {\int }_{}}$ ${\displaystyle A_{}{}_{}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle A}$ = ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle A}$ G (${\displaystyle \phi }$ -${\displaystyle \partial \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{w}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$) ${\displaystyle \int _{A}\tau dA=\kappa AG(\varphi -{\frac {\partial w}{\partial x})}}}}.$

전단 계수는 포아송의 비율에 따라 달라진다.정확한 표현을 제공하려는 시도는 스티븐 티모셴코,^[12] 레이몬드 D를 포함한 많은 과학자들에 의해 이루어졌다. 민들린,^[13] G. R. Cowper,^[14] N. G. Stephen,^[15] J. R.허친슨^[16] 등 (Khanh C의 저서에서 변이성-아세트성 방법에 기초한 정제된 빔 이론으로서 티모셴코 빔 이론의 파생도 참조한다.정적^[17] 케이스와 동적 케이스에서 서로 다른 전단 계수를 유도한다.)공학적 실무에서 스테판 티모셴코의^[18] 표현은 대부분의 경우 충분하다.1975년 카네코는^[19] 전단계수에 대한 연구에 대한 훌륭한 리뷰를 발표하였다.보다 최근 새로운 실험 데이터는 전단 계수가 과소평가된 것을 보여준다.^[20][21]

Cowper - 선택에 따른 등방성 보의 교정 전단 계수.

단면	계수
	${\displaystyle {\frac {10(1+\nu )}{12+11\nu }}}$
	${\displaystyle {\frac {6(1+\nu )}{7+6\nu }}$
	${\displaystyle {\frac{12(+\nu )a^{2}(3a^{2}+b^{2}}{{2}}{40+37\nu )a^{4}+(16+10\nu )a^{2}b^{2}+\nu b^{4}}}}}}}}}}}}}}}}{4}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{nu$
	${\displaystyle {\frac {1+\nu }{1.305+1.273\nu }}$
	${\displaystyle {\frac {6(1+\nu )(1+m^{2})^{2}}{(7+6\nu )(1+m^{2})^{2}+(20+12\nu )m^{2}}}}$, where ${\displaystyle m={\frac {b}{a}}}$
	${\displaystyle {\frac {2(1+\nu )}{4+3\nu }}}$
	${\displaystyle {\frac {20(1+\nu )}{48+39\nu }}}$
	${\displaystyle {\frac {10(1+\nu )(1+3m)^{2}}{(12+72m+150m^{2}+90m^{3})+\nu (11+66m+135m^{2}+90m^{3})+10n^{2}((3+\nu )m+3m^{2})}}}$, where ${$$\displaystyle m={\frac {bt_{1}:{$1}:{$ht_{2$}} 및$$ n${\displaystyle }$= b ${\displaystyle \frac{h}{}}$ ${\$ n$={\frac}{b}}}}}}$
	${\displaystyle {\frac {10(1+\nu )(1+3m)^{2}}{(12+72m+150m^{2}+90m^{3})+\nu (11+66m+135m^{2}+90m^{3})+30n^{2}(m+m^{2})+5\nu n^{2}(8m+9m^{2})}}}$, where ${\displaystyle }$${\displaystyle m}$= ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{b}{}}$ ${\displaystyle \frac{{1시간\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{t\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\$ m$={\frac {2bt_{1}:{$1}:{1$}:{n2$}} 및$$ n${\displaystyle }$= ${\displaystyle b\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{h}{}}$ ${\$ n$={\frac${$b}{h}}}}}$
	${\displaystyle {\frac {10(1+\nu )(1+4m)^{2}}{(12+96m+276m^{2}+192m^{3})+\nu (11+88m+248m^{2}+216m^{3})+30n^{2}(m+m^{2})+10\nu n^{2}(4m+5m^{2}+m$$^{3$ $여기$서${\displaystyle }$m = ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ t ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ t ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}_{}}{}}${\$displaystyle$ m$={\frac {bt_{$1}:{1}:{1$}:{n2$}} 및$$ n${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{b}{}}$ h ${\$ n$={\frac}{b}{h}}}}}}}}$

여기서 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu}$은(는) 포아송의 비율이다$$.

참고 항목

• 판 이론
• 샌드위치 이론

참조