레일리 방정식(유체 역학)

유체 역학에서, 레일리 방정식 또는 레일리 안정성 방정식은 병렬, 비압축성 및 비침습 전단 흐름의 유체 역학적 안정성을 연구하기 위한 선형 일반 미분 방정식이다.방정식은 다음과 같다.^[1]

${\displaystyle(U-c)(\varphi "-k^{2}\varphi )-U"\varphi =0,}$

${\displaystyle U}$( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle U(z)}$을(를) 사용하여 안정성을 연구해야 하는 안정적 베이스 흐름의 흐름 속도 및 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$이(가) 크로스 스트림 방향(즉, 흐름 방향에 수직)이다$$.추가 $\phi {\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \varphi (z)}$은(는) 기본 흐름에 적용되는 극소수 스트림 기능 섭동의 복합 가치 진폭이며, $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k$$}$은 섭동이 흐름 방향으로 전파되는 위상 속도다$.$prime은 $z{\displaystyle }$. ${\displaystyle z$에 대한 분화를 의미한다$.$$}$

배경

이 방정식은 1880년에 이것을 도입한 레일리 경의 이름을 따서 명명되었다.^[2]Or-Sommerfeld 방정식은 이후 병렬 점성 흐름의 안정성 연구를 위해 도입되었으며 점도가 0일 때 Rayleigh 방정식으로 감소한다.^[3]

레일리 방정식은 적절한 경계 조건과 함께 대부분 고유값 문제를 내포한다.주어진 (실제 값) $wavenumber{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k}$ 및 평균$$ 흐름 $속도{\displaystyle }$ U$(z$ )에 대해$$고유값은 위상 $속도{\displaystyle }$ c${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ $c$$,}$이며 고유 기능은 관련 스트림 함수 진폭 ${\displaystyle \phi }$( z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaysty \varphi(z)$이다.$}$ 일반적으로$$ 고유값은 연속 스펙트럼을 형성한다.특정 경우에 추가적으로 $c{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ $c.}$의 복잡한 결합 값에 대해 쌍의 개별 스펙트럼이 있을 수 있다.왜냐하면 래일리 방정식에서는$$ $wavenumber{\displaystyle }$ k$${\$displaystyle$ k$^{2$}} $제곱{\displaystyle {}^{}}$ k ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}${\$displaysty$ k^{}로만$$ 발생하기 때문에$$ 솔루션(예: ${\displaystyle (}$ ($z)$과$$c$\$$displaystyplaystyp$$)$wavenumber${\displaystyle }$+ ${\displaystyle k}$에$$대한 $style c}$)도 wavenumber${\displaystyle }$- ${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle -k$에 대한 해결책이다$.$$}$^[3]

Rayleigh의 방정식은 흐름에 대한 2차원 섭동만을 다룬다.스콰이어의 정리에서는 2차원 섭동이 3차원 섭동보다 덜 안정적이라는 것을 따른다.

If a real-valued phase speed ${\displaystyle c}$ is in between the minimum and maximum of ${\displaystyle U(z),}$ the problem has so-called critical layers near ${\displaystyle z=z_{\mathrm {crit} }}$ where ${\displaystyle U(z_{\mathrm {crit} })=c.}$ At the critical레이리의 방정식은 단수가 된다.이것들은 켈빈 경에 의해 1880년에 처음으로 연구되었다.^[4]그의 솔루션은 위상 $속도{\displaystyle }$ c${\displaystyle .}$ ${\displaystyle c.}$을(를) 사용하여 이동하는 참조 프레임에서 관찰할 때 임계 계층 근처에 이른바 고양이의 눈 패턴이 생기게 한다.

파생

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 방향에서$$$$ 병렬 전단 흐름 $U{\displaystyle (}$ z${\displaystyle }$) ${\displaystyle U(z)}$을(를) 고려하십시오. 이 U(${\displaystyle z}$)는 교차 흐름 방향 $z{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ z$.}$에만 변동합니다.$$^[1] 흐름의 안정성은 각각 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및 $z{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle$ z$}$ $방향$에서 $x$${\displaystyle ,}$ $z,$ ${\displaystyle t)}$ ${\displaystyle$w$(x,$z,$t$$)}$에 작은 동요를 추가하여 연구한다.이 흐름은 선형화 후 발생하는 압축불가 오일러 방정식을 사용하여 설명되며$,$ $U{\displaystyle }$ ( z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+${\displaystyle u}$(${\displaystyle x}$, ${\displaystyle z}$ , ${\displaystyle t}$) {\$displaystyle U(z)+u(x,z,t)}$ $및$ w${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$,${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$: ${\displaysty w(x,z,t):}$

${\displaystyle {\begin{aigned}&\partial _{t}u+U\,\partial _{x}u+w\,U'=-{\frac {1}{\rho }}\partial _{x}p,\\&\partial _{t}w+U\,\partial _{x}w=-{\frac {1}{\rho }}\partial _{z}p\qquad {\text{and}}\\&\partial _{x}u+\partial _{z}w=0,\end{aligned}}}$

$\partial {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ {\$displaystyle \propert_{t$$}$과($와{\displaystyle }$) with${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$x ${\displaystyle x}$ 및$$ $z$ . $displaystyle$ z.}과$($와$$) 유사하게 ${\displaystyle {operator}_{}}$ x ${\$$$ 압력 변동 $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, z${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle p(x,z,t)}$을(를) 통해 연속성 방정식 $\partial {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \partial \{x}u+\partial _{z}w=0}$이 충족되는지$$ 확인한다$$.유체 밀도는 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$로 표시되며$$ 현재 분석에서 상수다.prime $U{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$은(는)${\displaystyle }주장{\displaystyle }$z. {\$displaystyle z$에 $대해$ U${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle U(z)}$의 차이를 나타낸다$.$$}$

흐름 진동 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ 및$$ $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$은(는) 스트림 함수 $\psi {\displaystyle (x}$, z${\displaystyle }$, t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaysty \psi(x,z,t)$를 사용하여$$ 연속성 방정식을 만족하는지 확인하며,

${\displaystyle u=+\cHB _{z}\cHB \cHB \cHB {\text{\cHB w=-\cHB _{x}\cHB .}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle z$$}$- $및{\displaystyle }$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$\}$ -derivates$$ x ${\displaystyle z}$ -momentum$$ 방정식을 취한 후 두 방정식을 빼면 압력 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$을(를) 제거할 수 있다$$.

${\displaystyle \preft(\displaystyle \protects _{x}^{2}\properties +\properties _{z}^{2}\put \right)+U\,\partial _{x}\left(\partial _{x}^{2}\psi +\partial _{z}^{2}\psi \right)-U'\,\partial _{x}\psi =0,}$

본질적으로 vorticity 전송 방정식인 $\partial {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle x_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ +${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ z ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ $\\displaystyle \no_{x}^{2}\no_{z}^{2}\no_{$z}}}\reason $}$ being the vorticity (vorticity)이다$$.

다음으로, 정현상 변동을 고려한다.

${\displaystyle \psi(x,z,t)=\re \left\{\varphi(z)\,\exp(ik(x-ct)\right\},}$

with ${\displaystyle \varphi (z)}$ the complex-valued amplitude of the streamfunction oscillations, while ${\displaystyle i}$ is the imaginary unit (${\displaystyle i^{2}=-1}$) and ${\displaystyle \Re \left\{\cdot \right\}}$ denotes the real part of the expression between the brackets.이것을 vorticity transport 방정식에서 사용하여 Rayleigh의 방정식을 얻는다.

평평한 불침투성 벽의 경계 조건은 하천 기능이 그들에게 상수라는 사실에서 따온 것이다.따라서 불침투성 벽에서 스트림 기능 진동은 0, 즉 $\phi {\displaystyle }$ =$.$ {\$displaystyle \varphi$= $0.}$무제한 흐름의 경우$$ 공통 경계 조건은 림 ${\displaystyle \underset{}{z}}$→ ±${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ± (${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaysty \lim \to \pm$ \pm$$$\infty$}\$pm }\$vi (z$)=0.$$}$

메모들

참조