포지티브 다항식

Positive polynomial
이 글은 긍정적인 다항식 및 실증실험과 같은 이론에 대한 것이다.Krivine-Stengle Positivstellensatz는 Krivine-Stengle Positivstellensatz를 참조하십시오.

수학에서, 특정 집합의 양의 다항식은 그 집합에 양의 값이 있는 다항식이다.

p를 실제 계수가 있는 n 변수의 다항식이 되게 하고 S를 n차원 유클리드 공간 ℝ의n 부분집합이 되게 한다.우리는 다음과 같이 말한다.

  • p는 S의 모든 x에 대해 p(x) > 0일 경우 S에서 양수다.
  • p는 S의 모든 x에 대해 p(x) ≥ 0이면 S에서 음이 아니다.
  • p(x)가 S의 모든 x에 대해 0이면 p는 S에 0이다.

특정 집합 S의 경우, 모든 다항식의 대수적 서술이 존재하며, S의 경우 양수, 비음수 또는 0이다.그러한 설명은 positivstellensatz, nichtngativstellensatz 또는 nullstellensatz이다.이 기사는 앞의 두 가지 서술에 초점을 맞출 것이다.후자의 경우 힐베르트의 Nullstellensatz에서 가장 잘 알려진 Nullstellensatz를 참조한다.

positivstellensatz(및 nichtngativstellensatz)의 예

  • 전역 양성 다항식 및 제곱합 분해.
    • 한 변수의 모든 실제 다항식 및 짝수 정도의 모든 실제 다항식은 하나의 변수에 있는 두 개의 실제 다항식의 합인 경우에만 ℝ에서 음수가 아니다.[1]이 동등성은 둘 이상의 변수를 갖는 다항식에서는 일반화되지 않는다. 예를 들어, Motzkin 다항식 XY 4 2 + XY 2 4 - 3XY 2 2 + 1은 on에서2 음수가 아니지만 ℝ[X, Y][2]의 원소의 제곱합은 아니다.
    • n 변수의 실제 다항식은 n 변수의 실제 합리적인 함수의 제곱합인 경우에만 ℝ에서n 음수가 아니다(힐버트의 17번째 문제와 Artin의 해결책[3] 참조).
    • p ∈ ℝ[X1, ..., Xn]이 균일한 정도라고 가정한다.\ {0n}에 양수인 경우, (X12 + … + Xn2)m p는 ℝ[X1, ..., Xn][4]의 원소의 제곱합인 정수 m이 존재한다.
  • 다항식(다항식)은 다항식(다항식)에 양성이다.
    • ≤ 1의 다항식의 경우 다음과 같은 파카스 보조정리 변종이 있다.f, g1, ..., g가k g1(x) ≥ 0, ..., g(xk) ≥을 만족하는 모든 x ∈ ℝ에n 대해 x 1과 f(x) ≥ 0을 갖는0 경우 f = c + cg11 + ...와 같은 음이 아닌 실수 c0, c가1k 존재한다.+ ckgk.
    • 폴랴의 정리:[5]p ∈ ℝ[X1, ..., Xn]가 동질이고 p가 {x ∈ ∈ xn1 x ≥ 0, ..., xn1 ≥ 0, x + ... 집합에서 양이면+ xn ≠ 0}, 그러면 (x1 + … + xn)m p가 음이 아닌 계수를 갖는 정수 m이 존재한다.
    • 헨델만의 정리:[6]K가 선형 불평등 gi ≥ 0에 의해 정의된 유클리드 d-공간의 콤팩트 폴리토페이고, f가 K에 양성인 d 변수의 다항식이라면 f는 {gi} 멤버 제품의 비음수 계수를 갖는 선형 결합으로 표현할 수 있다.
  • 다항식(Semialgebraic) 집합에서 양의 다항식(Positive)

positivstellensatz의 일반화

또한 Positivstellensatz는 삼각 다항식, 행렬 다항식, 자유 변수의 다항식, 양자 다항식 및 최소[15] 구조물의 정의 가능한 함수에 대해서도 존재한다.[citation needed]

참조

  • 보치낙과 야섹과 코스테와 미켈과 로이, 마리프랑수아즈와진짜 대수 기하학.1987년 프랑스 원문에서 번역되었다.저자들에 의해 수정되었다.에르헤비니스 데르 메틸틱(Ergebnisse der Matheatik) und ihrer Grenzebiete(3) [수학과 관련 영역의 결과 (3)], 36. 스프링거-베를라크, 1998. x+430 pp. ISBN3-540-64663-9.
  • 마샬, 머레이."양성 다항식 및 제곱합"수학 설문 조사 및 모노그래프, 146.미국 수학 협회, 프로비던스, RI, 2008.Xii+187 pp.ISBN 978-0-8218-4402-1, ISBN 0-8218-4402-4.

메모들

  1. ^ Benoist, Olivier (2017). "Writing Positive Polynomials as Sums of (Few) Squares". EMS Newsletter. 2017–9 (105): 8–13. doi:10.4171/NEWS/105/4. ISSN 1027-488X.
  2. ^ T. S. 모츠킨, 산술-기하 불평등.1967년 불평등(Proc.심포즈.1965년 오하이오 주 라이트 패터슨 공군기지) 페이지 205–224.
  3. ^ E. Artin, Uber die Zerlegung 정의자 Funktionen, Quadrate, Abh.수학. 셈.함부르크, 5번(1927년), 85-99년
  4. ^ B. 레즈닉, 힐버트의 17번째 문제에서 획일적인 분모.수학. Z. 220 (1995), 1번, 75–97.
  5. ^ G. Polya, Uber positive Darstellung von Polynomen Vierteljschr, Naturforsch.Ges. Zürich 73 (1928) 141–145 in: R. P. 보아스 (Ed.), 수집 논문 제2권, MIT 프레스, 캠브리지, MA, 1974년, 페이지 309–313.
  6. ^ D. Handelman, 콤팩트 볼록 폴리에드라의 양의 선형 함수로 다항식을 나타낸다.퍼시픽 J.수학 132호(1988), 1번, 35-62호.
  7. ^ K. 슈무드겐."소형 반알제브라질 세트의 K-moment 문제"수학. Ann. 289(1991), 2, 203–206.
  8. ^ T. Wörmann.유니브 주 세미알게브라첸 지오메트리에서의 스트라이크트 포지티브 폴리노메도르트문트 1998.
  9. ^ M. Putinar, "소형 반알제브라질 세트에 양성 다항식"인디애나 유니브 수학. J. 42 (1993년), 3, 969–984번.
  10. ^ T. Jacobi, "일부 순서가 정해진 특정 조합 고리에 대한 표현 정리".수학. Z. 237(2001), 2, 259–273번.
  11. ^ 바실레스쿠, F.H. "관심적인 조치와 순간적인 문제"스펙트럼 분석과 그 적용, 173–215, Theta Ser. 수학, 2, 테타, 부쿠레슈티, 2003년정리 1.3.1을 참조한다.
  12. ^ C. Scheiderer, "실제 대수 변종에 대한 정규 함수의 제곱합"트랜스. 아머. 수학. Soc. 352(2000), 3번, 1039–1069.
  13. ^ C. Scheiderer, "실제 대수곡선의 제곱합"수학. Z. 245(2003), 4, 725–760.
  14. ^ C. Scheiderer, "실제 대수 지표면의 제곱합"원고수학. 119(2006), 제4호 395–410.
  15. ^ Acquistapace, F.; Andradas, C.; Broglia, F. (2002-07-01). "The Positivstellensatz for definable functions on o-minimal structures". Illinois Journal of Mathematics. 46 (3). doi:10.1215/ijm/1258130979. ISSN 0019-2082.

참고 항목