데겐의 8제곱 정체성

수학에서 데겐의 8제곱 정체는 각각 8제곱의 합인 두 개의 숫자의 산물이 그 자체로 8제곱의 합이라는 것을 규명한다.즉:

${\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^{2}+a_{6}^{2}+a_{7}^{2}+a_{8}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}+b_{5}^{2}+b_{6}^{2}+b_{7}^{2}+b_{8}^{2})=}$

${\displaystyle (a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}-a_{5}b_{5}-a_{6}b_{7}-a_{7}-a_{8}b_{8}^{8}+}$

${\displaystyle (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}b_{1}+a_{4}-a_{4}-{4}b_{3}-a_{5}-{6}b_{6}-a_{5}-{7}b_{8}b_{8}+a_{7}^{7}+}}+}}}}+}}}}}}}}}+}}}}}}}}}}}}}}}}}+}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle (a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{1}+a_{4}+a_{4}b_{2}+a_{5}b_{7}a_{7}b_{7}-{5}-a_{8}-a_{8}-a_{8}b_{6}-{6}b_{6}^{6}^{6}^{6}+}+}+}+}+}+}+}-a_{6}+}}}}}}$

${\displaystyle (a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}-{3}b_{2}+a_{4}b_{1}+a_{5}a_{6}b_{7}-a_{7}-{7}b_{8}-a_{8}-{5}b_{5}b_{5}^{5}+}+}+}+}+}+}+}+}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle (a_{1}b_{5}-a_{2}b_{6}-a_{6}b_{7}-a_{4}-a_{4}-a_{4}-a_{5}b_{5}a_{6}b_{7}b_{3}+a_{8}b_{4}^{4}+}+}+}}}}}}}+}}}}}}}}}}}}}}+}}}}}}}}}$

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${\displaystyle (a_{1}b_{7}+a_{2}b_{8}+a_{5}-a_{4}b_{6}-a_{5}b_{5}-a_{6}b_{6}+a_{7}b_{7}-a_{8}b_{7}-{8}b_{2}^{2}+}+}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}+}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle (a_{1}b_{8}-a_{2}b_{7}+a_{3}b_{6}+a_{4}b_{5}-a_{5}-a_{6}b_{3}-a_{7}b_{7}b_{8}+a_{8}b_{1}^{1}:{1}:{1}:{2}}:$

1818년경 칼 페르디난드 데겐에 의해 처음 발견된 이 정체는 존 토마스 그레이브스(1843년)와 아서 케이리(1845년)에 의해 독자적으로 재발견되었다.후자의 두 가지는 옥토니언이라 불리는 쿼터니온의 확장을 연구하면서 그것을 도출했다.In algebraic terms the identity means that the norm of product of two octonions equals the product of their norms: ${\displaystyle \ ab\ =\ a\ \ b\ }$. Similar statements are true for quaternions (Euler's four-square identity), complex numbers (the Brahmagupta–Fibonacci two-square identity) and real numbers.1898년 아돌프 후르비츠는 1,2,4,8을 제외하고 16개의 사각형(시드니온)이나 다른 어떤 숫자의 사각형에 대해서도 유사한 이선형 정체성이 없다는 것을 증명했다.그러나 1960년대에는 H. 자센하우스, W. 아이히혼, A.피스터(독립적으로)는 16개의 사각형에 대해 비이선적인 정체성이 있을 수 있다는 것을 보여주었다.

각 사분면은 오일러의 4제곱 아이덴티티 버전으로 줄어든다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=}$

${\displaystyle (a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}-a_{4}b_{4}^{2}+}$

${\displaystyle (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}^{2}+}$

${\displaystyle (a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{1}+a_{4}b_{2}}^{2}+}$

${\displaystyle (a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}^{2}}$

다른 사분면에 대해서도 마찬가지야

설명:8제곱의 정체성을 증명하는 것은 대수적 평가에 의한 것이다.8제곱의 아이덴티티는 8차원 벡터의 두 가지 내적 생산물의 형태로 작성될 수 있으며, 8차원 벡터의 내적 생산물인 (a·a)(b·b)=(a*b)·(a*b)를 다시 산출한다.이것은 데겐의 8제곱정사각형 정체성을 반영하는 옥토니언 곱셈 규칙 a*b를 정의하고 옥토니언 수학 전체를 정의한다!

피스터의 정리로는 아래에 소개된$$${\displaystyle z_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$이(가) ${\displaystyle x_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$ y ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle y_{}}$ ${\$},$y_{i}}$의 비이선적이고 단지 합리적인 함수인 경우 다른 종류의 8제곱 정격을 부여할 수 있다$.$그러므로,

${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}+y_{5}^{2}+y_{6}^{2}+y_{7}^{2}+y_{8}^{2}=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}^{2}+z_{3}}^{2}+z_{4}^{2}+z_{5}^{2}+z_{6}^{2}+z_{7}}^{2}+z_{8}^{2}}$

어디에

${\displaystyle z_{1}=x_{1}y_{1}-x_{2}-x_{2}-x_{3}y_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}+u_{1}y_{5}-u_{5}-u_{6}-u_{7}-u_{4}y_{8}}}}}}}}}}}}}}}y_{8}}y_{8}}}}}}}}}}}}}}y_{8}}}}}}}}$

${\displaystyle z_{2}=x_{2}y_{1}+x_{1}y_{1}y_{2}+x_{4}}y_{3}-x_{3}y_{4}+u_{2}y_{2}y_{5}+u_{1}y_{1}y_{6}+u_{4}-u_{7}-u_{3}y_{8}}}}}}}$

${\displaystyle z_{3}=x_{3}y_{1}-x_{4}y_{1}+x_{1}y_{1}+x_{1}y_{1}+x_{2}y_{4}+u_{5}-u_{5}-u_{6}-{7}-{7}y_{2}y_{8}}}}}.$

${\displaystyle z_{4}=x_{4}y_{1}+x_{3}y_{2}-x_{2}y_{3}+x_{1}y_{1}y_{4}+u_{5}+u_{5}+u_{6}-u_{7}-{1}y_{8}}}}}}}}y_{1}}}}}}y_{1y_{1}}}}}}}}}}y_{1y_{1}}}}}}}}y_{1}$

${\displaystyle z_{5}=x_{5}y_{1}-x_{6}y_{7}y_{3}-x_{8}y_{4}+x_{1}+x_{5}-x_{6}-x_{6}-x_{7}-x_{4}y_{8}}}}}}}.$

${\displaystyle z_{6}=x_{6}y_{1}+x_{5}y_{2}+x_{8}y_{3}-x_{7}y_{4}+x_{2}y_{5}+x_{5}+x_{1}y_{6}+x_{6}+x_{4}{4}+x_{4}+x_{4}+x_{4}_{4}+x_{4}+x_{4}+x_{4}+x_{4}y_{7}-x_{3}y_{8}}}}$

${\displaystyle z_{7}=x_{7}y_{1}-x_{1}-x_{8}y_{5}+x_{6}y_{4}+x_{3}+x_{3}y_{5}-x_{4}Y_{6}-x_{7}+x_{7}x_{2}y_{8}}}}}:{7}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:{7}}}}}}y_{1}$

${\displaystyle z_{8}=x_{8}y_{1}+x_{7}y_{7}+x_{6}y_{3}+x_{5}+x_{4}+x_{4}Y_{5}+x_{6}-x_{7}+x_{7}x_{1y_{8}}}}}:{8}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:{1y_{1y_{7}}}$

그리고

${\displaystyle u_{1}={\frac {(ax_{1}^{2}+x_{2}}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}x_{5}-2x_{1}(bx_{1}x_{5}+x_{2}x_{6}+x_{3}}x_{7}+x_{4}}x_{8}}}{c}}}$

${\displaystyle u_{2}={\frac {(x_{1}^{2}+ax_{2}}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}x_{6}-2x_{2}(x_{1}x_{5}+bx_{2}x_{6}+x_{3}}x_{7}+x_{4}}x_{8}}}{c}}}$

${\displaystyle u_{3}={\frac {(x_{1}^{2}+x_{2}}^{2}+ax_{3}^{2}+x_{4}^{2}}x_{7}-2x_{3}(x_{1}x_{5}+x_{2}x_{6}+bx_{3})}x_{7}+x_{4}}x_{8}}}{c}}}$

${\displaystyle u_{4}={\frac {(x_{1}^{2}+x_{2}}^{2}+x_{3}^{2}+ax_{4}^{2}}x_{8}-2x_{4}(x_{1}x_{5}+x_{2}x_{6}+x_{3}}x_{7}+bx_{4}}x_{8}}}{c}}}$

와 함께

${\displaystyle a=-1,\;b=0,\;\;c=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}$

우연히, ${\displaystyle u_{}}$ i$${\$displaystyle u_{i}}$는 정체성을 준수하며$$,

${\displaystyle u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+u_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}}$

참고 항목

• 피스터의 16제곱 정사각형 정체성
• 케이리-딕슨 건설
• 하이퍼복합수
• 라틴 사각형

외부 링크

• 데겐의 수학월드에 대한 8제곱 정사각형 아이덴티
• 디건-그레이브-케일리 8제곱 아이덴티티
• 피스터의 16제곱 아이덴티티