브릴-노에테르 이론

대수기하학에서, Alexander von Brill과 Max Noether(1874)가 도입한 Brill-Neether 이론은 특수한 나눗셈, 즉 곡선 C의 특정 나눗셈에 대한 연구로, 예측되는 것보다 더 적합한 함수를 결정합니다. 고전 언어에서 특수한 나눗셈은 "예상보다 큰" 나눗셈의 선형 체계로 곡선 위를 이동합니다.

전체적으로, 우리는 복소수(또는 다른 대수적으로 닫힌 필드)에 대한 투영 매끄러운 곡선을 고려합니다.

특수 나눗셈 D가 되는 조건은 D와 관련된 가역적인 전단 또는 선다발의 단면의¹ H 코호몰로지가 사라지지 않기 때문에, 전단 코호몰로지 용어로 공식화될 수 있습니다. 이는 리만-로흐 정리에 의해 H⁰ 코호몰로지 또는 홀로모픽 절편의 공간이 예상보다 크다는 것을 의미합니다.

또는 Ser reduality에 의해 곡선에 약수 ≥ – D를 갖는 동형 미분이 존재한다는 조건이 됩니다.

브릴-노에테르 이론의 주요 정리

주어진 속 g의 경우, 속 g의 곡선 C에 대한 모듈리 공간은 특수 나눗셈 방식으로 최소로 해당 곡선을 매개변수화하는 조밀한 부분 집합을 포함해야 합니다. 이론의 한 가지 목표는 해당 곡선에 대해 '상수를 세는 것'입니다. g의 함수로 주어진 차수 d의 특수한 약수(최대 선형 등가성) 공간의 차원을 예측하는 것입니다. 이는 해당 속의 곡선에 존재해야 합니다.

기본 문장은 매끄러운 곡선 C의 피카르 품종 Pic(C)과 D의 약수 등급에 해당하는 Pic(C)의 부분 집합으로 공식화할 수 있으며, 리만-로흐 정리의 표기법에서 d의 deg(D) 및 r의 주어진 값은 l(D) – 1입니다. 그림(C)에는 이 하위 체계의 치수 dim(d, r, g)에 대한 하한 ρ이 있습니다.

${\displaystyle \dim(d,r,g)\geq \rho =g-(r+1)(g-d+r)}$

브릴-노더 번호라고 불렸습니다. 공식은 니모닉(원하는 ${\displaystyle h}$ 0(D${\displaystyle )}$ = ${\displaystyle \mathrm{r}}$+ ${\displaystyle 1}${\displaystyle h^{0}(D) = r+1} 및 Riemann-Roch를 사용하여 기억할 수 있습니다.)

${\displaystyle g-(r+1)(g-d+r)=g-h^{0}(D)h^{1}(D)}$

매끄러운 곡선 C와 ford ≥ 1의 경우, r ≥ 0은 d와 차원 r의 C에 대한 선형계의$공간 Gdr {\displaystyle$ G_{d}^{r}에 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 기본 결과는 다음과 같습니다.

• George Kempf는 ρ ≥ ${\displaystyle {}_{}^{}}$Gdr {\displaystyle G_{d}^{r}}이 비어 있지 않으며, 모든 성분은 적어도 ρ 차원을 갖는다는 것을 증명했습니다.
• William Fulton과 Robert Lazarsfeld는 ρ ≥ 1이면$$Gdr {\displaystyle G_{d}^{r}}가 연결되어 있음을 증명했습니다.
• Griffiths & Harris(1980)는 C가 일반적이면 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle G_{d}^{r}}$가 감소하고 모든 구성 요소의 치수가 정확히 ρ임을 보여주었습니다(${\displaystyle {}_{}^{}}$Gdr {\$displaystyle G_{$d}^{r}}는 ρ < 0인 경우 비어 있음).
• David Gieseker는 C가 일반적이면 ${\displaystyle {}_{}^{}}${\$displaystyle G_{d}^{r}}$가 매끄러운 것을 증명했습니다. 연결 결과는 ρ > 0인 경우 축소할 수 없음을 의미합니다.

선형계의$$ 공간 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$의 관점에서 볼 필요가 없는 다른 최근 결과는 다음과 같습니다.

• 에릭 라슨(2017)은 ρ ≥ 0, r ≥ 3 및 n이 ≥ 1일 경우, 제한 맵 H 0(OPr(n)) → H 0(OC(n)) {\displaystyle H^{0}({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}(n))\rightarrow H^{0}({\mathcal {O}_{C}(n))이 최대 순위 추측이라고도 알려진 최대 순위임을 증명했습니다.

• Eric Larson과 Isabel Vogt (2022)는 ρ ≥ 0일 경우$,$ (r ${\displaystyle -1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \le }$ (${\displaystyle \mathrm{r}}$ ${\displaystyle +1}$) d${\displaystyle }$- (${\displaystyle \mathrm{r}-}$ 3${\displaystyle }$)${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{g}}$-$$1 ), $displaystyle (r-1) n\leq (r$+$$1$)$ d - (r - ${\displaystyle 3}$) (g - 1), {\displaystyle ($r-1$) n\leq (r - 1) d - (r - 3$)$ (g - 1) (g - 1), (d, g, r) ∈ {(5, 2, 3), (6, 4, 4, 1), (${\displaystyle {}^{}}$ - 1), (${\displaystyle r}$ - 1), (r - 1), (r - 1), (r - 1), (r - 1) n개의 일반적인 점을 통해 보간되는 곡선 C가 있음을 증명했습니다. 단, (d, g, r) ∈ {(5, 2, 3), (6, 4, 1)3),(7,2,5),(10,6,5)}.^[3][4]

참고문헌

• Barbon, Andrea (2014). Algebraic Brill–Noether Theory (PDF) (Master's thesis). Radboud University Nijmegen.
• Arbarello, Enrico; Cornalba, Maurizio; Griffiths, Philip A.; Harris, Joe (1985). "The Basic Results of the Brill-Noether Theory". Geometry of Algebraic Curves. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 267. Vol. I. pp. 203–224. doi:10.1007/978-1-4757-5323-3_5. ISBN 0-387-90997-4.
• von Brill, Alexander; Noether, Max (1874). "Ueber die algebraischen Functionen und ihre Anwendung in der Geometrie". Mathematische Annalen. 7 (2): 269–316. doi:10.1007/BF02104804. JFM 06.0251.01. S2CID 120777748. Retrieved 2009-08-22.
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1980). "On the variety of special linear systems on a general algebraic curve". Duke Mathematical Journal. 47 (1): 233–272. doi:10.1215/s0012-7094-80-04717-1. MR 0563378.
• Eduardo Casas-Alvero (2019). Algebraic Curves, the Brill and Noether way. Universitext. Springer. ISBN 9783030290153.
• Philip A. Griffiths; Joe Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. p. 245. ISBN 978-0-471-05059-9.

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