외부 광선

외부 광선은 무한에서 줄리아나 맨델브로트 세트를 향해 흐르는 곡선이다.^[1]이 곡선은 반선(선)일 뿐이지만, 광선의 이미지라 하여 광선이라고 한다.

외부 광선은 복잡한 분석, 특히 복잡한 역학 및 기하학적 함수 이론에 사용된다.

역사

외부 광선은 두아디와 허버드의 만델브로트 세트 연구에 도입되었다.

종류들

분류 기준 :

평면 : 매개변수 또는 동적
지도를 그리다
동적 광선의 분기
스트레칭
착륙^[2]

평면을 이루다

동적 평면에 있는 (연결된) 줄리아 세트의 외부 광선은 흔히 동적 광선이라고 불린다.

파라미터 평면에 있는 Mandelbrot 세트(및 유사한 1차원 연결성 loci)의 외부 광선을 파라미터 광선이라고 한다.

분기점

동적 레이는 다음과 같을 수 있다.

분기점 = 분기점^[3] = 깨짐
매끈매끈하게 다듬지끈매끈하지 않은

가득 찬 줄리아 세트가 연결되면 가지 모양의 외부 광선이 없다.줄리아 세트가 연결되지 않으면 외부 광선 분기가 몇 개 있다.^[5]

스트레칭

스트레칭 광선은 브래너와 허바드에^[6] 의해 소개되었다.

"확장 광선의 개념은 높은 수준의 다항식으로 설정된 만델브로트의 외부 광선의 일반화다."^[7]

착륙

만델브로트 집합의 모든 합리적인 매개변수 레이는 단일 매개변수로 착륙한다.^[8]^[9]

지도

다항식

동적 평면 = z 평면

외부 광선은 다음과 같이 복합 평면의 $K\,$ 콤팩트하고 완전하며 연결된 부분 $K\,$ K $K\,$ {\ $displaystyle$ K $\,}$ 에 연결된다.

$K\,$ ${\$ 의 보완에 대한 Riemann 지도 아래의 방사형 광선 이미지
$K\,$ 기능인 $K\,$ K {\ $displaystyle$ K\,}의 그라데이션 선
더디 허버드 전위의^[10] 필드 라인
무한대의^[11] 근방에 있는 그린 함수의 그라데이션 벡터장 적분 곡선

외부 광선과 Douady-Hubbard 전위(레벨 세트)의 등전위선이 $K\,$ K ${\$ 의 외부(보완)를 위한 새로운 극좌표계를 형성한다 $K\,$

즉, 외부 광선은 전위 수준 집합에 의해 정의된 수평 엽과 직교하는 수직 엽산을 정의한다.^[12]

균일화

$\Psi _{c}\,$ $\Psi _{c}\,$ $displaystyle \Psi _{c}\}$ 을(를) 닫힌 단위 디스크 $}{{\$ {\ $mathb{D}}}}}$ 의 보완으로부터 채워진 줄리아 집합 $\ K_{c}$ c ${\$ \ $K_{c}}}}}}$ 의 $\overline {{\mathbb {D}}}$ 보완으로 정합성 이형태가 되도록 $\Psi _{c}\,$ 한다 $\ K_{c}$

\Psi _{c:{\hat {\mathb{C}}}}\setminus {\overline {\mathb {D}}}}\hat {\mathb {C}}}}\setminus K_{c}}}}}}

여기서 ${\hat {\mathbb {C} }}$ ${\hat {\mathbb {C} }}$ ${\$ 은 ${\hat {\mathbb {C} }}$ 확장된 복합 평면을 의미한다.Let $\Phi _{c}=\Psi _{c}^{-1}\,$ c $\Phi _{c}=\Psi _{c}^{-1}\,$ = $\Phi _{c}=\Psi _{c}^{-1}\,$ $\Phi _{c}=\Psi _{c}^{-1}\,$ - $\Phi _{c}=\Psi _{c}^{-1}\,$ $displaystyle \Phi _{c}=\PSI _{c}^{-1}\}}$ 은(는) Boetcher 지도를 나타낸다 $\Phi _{c}=\Psi _{c}^{-1}\,$ .^[13] $\Phi _{c}\,$ is a uniformizing map of the basin of attraction of infinity, because it conjugates $f_{c}$ on the complement of the filled Julia set $K_{c}$ to $f_{0}(z)=z^{2}$ on the complement of the unit disk:

디스플레이 스타일 {\displaystyle}\Phi _{c}:{\hat{\mathb{C}}}}}\setminus K_{c}&\to {\hatb {C}}}\c}\cnmapsto {\overline {\mathb {D}}\z&\mapsto _{n\f_{c}^{n}(z)^{2^{-n}}\end{aigned}}

그리고

\Phi _{c}\circ f_{c}\circ \Phi _{c}^{-1}=f_{0}}}}

$w=\Phi _{c}(z)$ w $w=\Phi _{c}(z)$ = $w=\Phi _{c}(z)$ c $w=\Phi _{c}(z)$ ( $w=\Phi _{c}(z)$ ) ${\displaystyle$ w $=\$ $Phi _{c}(z)}$ 은 $w=\Phi _{c}(z)$ (는) $z\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}$ z $z\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}$ ^ $z\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}$ $z\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}$ ${\$ 에 대한 Boettcher 좌표로 불린다 $z\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}$

동적 레이의 공식 정의

c=-2의 극좌표계 및 ψ_c

${\mathcal {R}}_{\theta }^{K}$ $\theta \,$ K ${\$ R ${\mathcal {R}}_{\theta }^{K}$ ${\mathcal {R}}_{\theta }^{K}$ ${\$ 로 표시되는 $\theta \,$ 외부 광선은 다음과 ${\mathcal {R}}_{\theta }^{K}$ 같다.

$\Psi _{c}\,$ $\Psi _{c}\,$ $displaystyle \PSI _{c}\,$ 직선 R ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r\cdot e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$ = ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r\cdot e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$ { ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r\cdot e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$ ( ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r\cdot e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$ ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r\cdot e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$ e ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r\cdot e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$ ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r\cdot e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$ ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r\cdot e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$ ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r\cdot e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$ ) ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r\cdot e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$ : ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r\cdot e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$ > ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r\cdot e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$ ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r\cdot e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$ ${\displaystyle {\mathcal{R}}_{\\$ theta $}=\\{\pi(r\cdot$ e $^{2\pi }\}\})\}\\\\}\\\\\\\}\c\c$ \)\\\\\\\)

{\mathcal {R}_{\theta }^{K}=\PSI _{c}({\mathcal {R}_{\theta}}})

동일한 외부 각도를 가진 채운 줄리아 집합의 외부 지점 세트 $\theta$

{\mathcal {R}_{\theta}^{K}=\{z\in {\hattb {C}}}}}\setminus K_{c}}\arg(\Phi _{c}z)=\theta \}

특성.

주기적인 각도 ${\$ 에 대한 외부 광선은 다음을 만족한다 $\theta \,$ .

{\displaystyle f({\mathcal {R}_{\theta }^{K}={\mathcal {R}_{2\theta }^{K}}}}})

착륙 지점^[14] $\gamma _{f}(\theta )$ ( $\gamma _{f}(\theta )$ ) ${\displaystyle$ \ \ $_{f}(\theta )}$ 은(는) 다음을 $\gamma _{f}(\theta )$ 만족한다.

f(\displaystyle _{f}(\theta )=\display_{f}(2\theta )

매개변수 평면 = c-평면

"변수 광선은 단순히 M-set의 등전위 곡선에 수직으로 흐르는 곡선이다."^[15]

균일화

\Psi _{M}\,

\Psi _{M}\,

displaystyle \Psi _{M}\,}

에서 단위 원의 이미지로 설정된 Mandelbrot의 경계

Mandelbrot 집합의 보어(외부) 균일화

$\Psi _{M}\,$ M $displaystyle \Psi _{M}\}$ 을(를) 만델브로트 $\ M$ M $\ M$ {\ $displaystyle$ ${\$ $d}}$ 의 보완 장치 (외부)로부터 $\Psi _{M}\,$ $\overline {{\mathbb {D}}}$ 매핑되도록 하십시오 $\ M$

\PSI _{M}\mathb {\hat {C}}\setminus {\overline {\mathb {D}}}\to \mathb {\hat {C}\setminus M

그리고 Boetcher map (기능) ) $\Phi _{M}\,$ $displaystyle \Phi _{M},}$ 만델브로트 세트 $\ M$ $\M$ 의 $\ M$ 보완물과 폐쇄 유닛 디스크의 보완(외부)을 결합하기 때문에 만델브로트 세트 보완 맵을^[16] 균일하게 하고 있다 $\Phi _{M}\,$

\Phi _{M}\mathb {\hat {C}\setminus M\to \mathb {\c}\setminus {\\overline {\mathb {D}}}}}

다음과 같이 표준화될 수 있다.

${\frac {\Phi _{M}(c)}{c}\to 1\\as\c\to \inflt \,$ ^[17]

여기서:

\mathbb {\hat {C}}

\mathbb {\hat {C}}

{\

은(는) 확장된 복합 평면을 나타낸다

\mathbb {\hat {C}}

.

Jungreis 함수 $\Psi _{M}\,$ $\Psi _{M}\,$ $displaystyle \Psi _{M}\,}$ 은 $\Psi _{M}\,$ (는) 균일화 맵의 역이다.

\PSI _{M}=\Phi _{M}^{-1}\,

복잡한 2차 다항식의 경우 무한도에^[18]^[19] 대한 Laurent 시리즈를 사용하여 이 지도를 계산할 수 있다.

c=\Psi _{M}(w)=w+\sum _{m=0}^{\infty }b_{m}w^{-m}=w-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8w}}-{\frac {1}{4w^{2}}}+{\frac {15}{128w^{3}}}+...\,

어디에

c\in \mathb {\hat {C} \setminus M

w\in \mathb {\hat {C} \setminus {\overline {\mathb {D}}}

매개변수 레이의 공식 정의

$\theta \,$ ${\$ 의 외부 광선은 다음과 $\theta \,$ 같다.

$\Psi _{c}\,$ $\Psi _{c}\,$ $displaystyle \Psi _{c}\,$ ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r*e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$ ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r*e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$ ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r*e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$ = ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r*e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$ { ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r*e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$ ( ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r*e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$ ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r*e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$ 2 ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r*e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$ ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r*e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$ ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r*e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$ ) : ${\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r*e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}$ > $}$ {\ $displaystyle {\mathcal{R}_{\}=\\\\{*e^{2\pi$ }\ $rig}\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

{\mathcal {R}_{\theta }^{M}=\Psi _{M}({\mathcal {R}_{\ta}})

동일한 외부 각도 $\theta$ mand {\ $displaystyle \theta }$ 의 Mandelbrot 세트 외부 지점 세트

{\mathcal{R}_{\theta}^{M}=\{c\in \mathb {\\hat {C}\setminus M:\arg(\Phi_{M})(c)=\theta \}

$\Phi _{M}\,$ $\Phi _{M}\,$ $displaystyle \Phi _{M}\,}$ 의 정의

Douady와 Hubbard는 다음을 정의한다.

$\Phi \{M}(c)\\\overset {\underset {\mathrm {def}{}}{}}\Phi _{c}(z=c)\,$

따라서 매개변수 평면의 $c\,$ 각도 $c\,$ c {\ $displaystyle$ c $\,}$ 은(는) 동적 평면의 외부 $z=c\,$ 각도 $z=c\,$ = $z=c\,$ ${\$ 과(와) 같다.

외부각

각도 $θ$ 은 외부 각도( 인수)^[21]로 명명된다.

외부 각도의 주값은 턴모듈로 1에서 측정한다.

1회전 = 360도 = 2 ×

π

라디안

여러 유형의 각도를 비교하십시오.

외부(세트 외부 지점)
내부(구성 요소 내부 지점)
일반(복잡한 수의 인수)

	외각	내부 각도	평각
매개변수 평면	$\arg(\Phi _{M}(c)\,},$	$\arg(\rho _{n}(c)\,},$	$\displaystyle \arg(c)\,}$
동적 평면	$\arg(\Phi _{c}(z)\,$		$\displaystyle \arg(z)\,}$

외부 인수 계산

외론적^[22] 주장으로서의 Bötcher 조정에 대한 주장
- $\arg _{M}(c)=\arg(\Phi _{M}(c))$
- $\arg _{c}(z)=\arg(\Phi _{c}(z))$
외부 논리의^[23]^[24]^[25] 이항 확장으로서 순서를 반죽하는 것

초월 지도

초월적 지도(예: 지수 )의 경우 무한은 고정점이 아니라 본질적인 특이점이며 Boettcher 이형성이 없다.^[26]^[27]

여기서 동적 레이는 곡선(curve)으로 정의된다.

탈출 세트와 무한대의^{[clarification needed]} 점 연결
탈출구에 누워.

이미지들

동적 광선

풀을 뜯지 않은
$f_{c}(z)=z^{2}-1$ ( z $f_{c}(z)=z^{2}-1$ ) $f_{c}(z)=z^{2}-1$ = $f_{c}(z)=z^{2}-1$ $f_{c}(z)=z^{2}-1$ - $f_{c}(z)=z^{2}-1$ ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}-1에$ 대해 설정된 Julia.
Julia 세트와 3개의 외부 광선이 고정 지점 $\alpha _{c}\,$ $\alpha _{c}\,$ $displaystyle \alpha _{c}\,}$ 에 착륙함
정지 지점 $\alpha _{c}\,$ $\alpha _{c}\,$ $displaystyle \alpha _{c}\,}$ 에 대한 반발 기간 3 사이클 및 내부 광선 착륙
주기 3 궤도에 외부 광선을 착륙시킨 줄리아
미디어 재생

2-40 기간 동안 포물선 고정 지점에 광선 착지

갈기갈기 난
브랜치다이내믹레이

파라미터 광선

루트 포인트의 매개변수 광선이 있는 복잡한 2차 다항식에 대한 Mandelbrot 세트

형태 각도에 대한 외부 광선 : n / (2¹ - 1) (0/1; 1/1) 주심근육(주기 1 성분)의 정점인 c= 1/4 지점에 착지
형태 각도에 대한 외부 광선 : n / ( 2² - 1) (1/3, 2/3) 기간 2 성분의 루트 포인트인 c= - 3/4) 지점에 착지
형식 각도에 대한 외부 광선 : n / ( 2³ - 1) (1/7,2/7) (3/7,4/7) c= -1.75 = -7/4 (5/7,6/7) 기간 3 구성 요소의 루트 지점에 착지.
형태 각도에 대한 외부 광선 : n / (2⁴ - 1) (1/15, 4/15) (3/15, 4/15) (6/15, 9/15) 루트 포인트 c= -5/4 (7/15, 8/15) (11/15,12/15) (13/15, 14/15) 기간 4개 구성 요소의 루트 포인트에 착륙.
형태 각도에 대한 외부 광선 : 주기 5 성분의 근점에 대한 n / (2⁵ - 1) 착지

각도 1/3의 주 심근경색 내부 광선: 주 심근경색 c=0의 중심에서 시작하여 주기 3 성분의 루트 포인트로 끝나며, 매개 변수(외부) 광선의 1/7 및 2/7 각도의 착지점이다.
단위 원으로부터 등각 지도로 만든 주 흉부외과의 1/3 각도에 대한 내부 광선

기간 134 및 외부 광선 2개로 구성된 미니 맨델브로트 세트
주기 3 섬 근처에서 깨어난다.
메인 안테나를 따라 웨이크업

복합 지수 계열 f(z)=exp(z)+c의 매개변수 공간.이 파라미터에 착지하는 8개의 파라미터 광선은 검은색으로 그려진다.

외부 광선을 그릴 수 있는 프로그램

Mandel - GNU General Public License에 따라 사용 가능한 소스 코드가 있는 Qt를 사용하여 C++로 작성된 Wolf Jung의 프로그램
- Evgeny Demidov에 의한 Java 애플릿(mndlbrot::turn function by Wolf Jung이 무료 소스 코드를 가지고 Java에 포팅됨)
- 마이클 사르겐트에 의한 이지프랙트, 울프 융에 의한 코드를 사용한다.
Tomoki CWAHIRA에 의한 OTIS - 소스 코드가 없는 Java 애플릿
유발 피셔의 스파이더 XView 프로그램
교수별 YABMP 소스 코드 없는 DOS용 유진 조스틴스키
소스 코드 없이 Windows 95용으로 작성된 DH_Drawer by Arnaud Chéritat
소스 코드가 있는 Linux 콘솔용 Linas Vepstas C 프로그램
Curtis T의 Julia 프로그램 . 소스 코드가 있는 C 쉘 콘솔용 C 및 Linux 명령어로 작성된 McMullen
소스 코드 없이 델파이/창문으로 작성된 Mjwinq 프로그램(외부 광선의 경우 Curtis T McMullen에 의한 줄리아.tar에서 쿼드c의 방법을 사용한다)
RatioField by Gert Buschmann, Dev-Pascal 1.9.2에 대한 Pascal 소스 코드가 있는 창(Free Pascal 컴파일러 포함)
밀라노 바의 만델브로트 프로그램, 소스 코드로 델파이에서 작성
파워 맨델줌(Robert Munafo)
클로드 힐랜드 알렌의 악당

참고 항목

참조

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Wolf Jung : 만델브로트 세트의 가장자리에 있는 동형체.2002년 박사 논문

외부 링크

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[7] LANDING PROPERTY OF STRETCHING RAYS FOR REAL CUBIC POLYNOMIALS YOHEI KOMORI AND SHIZUO NAKANE. CONFORMAL GEOMETRY AND DYNAMICS An Electronic Journal of the American Mathematical Society Volume 8, Pages 87–114 (March 29, 2004) S 1088-4173(04)00102-X

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[26] Helena Mihaljevic Brandt에 의한 전 기능의 위상학적 역학

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평면을 이루다

분기점

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다항식

동적 평면 = z 평면

균일화

동적 레이의 공식 정의

특성.

매개변수 평면 = c-평면

균일화

매개변수 레이의 공식 정의

$\Phi _{M}\,$ $\Phi _{M}\,$ $displaystyle \Phi _{M}\,}$ 의 정의

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