유카와 퍼텐셜

입자, 원자, 응축 물질 물리학에서 유카와 전위(스크린드 쿨롱 전위라고도 함)는 일본 물리학자 유카와 히데키의 이름을 딴 전위이다.가능성은 다음과 같습니다.

$\displaystyle V_{\text{유카와}(r)=-g^{2}{\frac {e^{-\alpha mr}}{r}},$

여기서 g는 전위의 진폭, m은 입자의 질량, r은 입자에 대한 반경 거리, α는 또 다른 스케일링 상수이므로 $r{\displaystyle \theta \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{\alpha }{}}$m {\$displaystyle r\$approx {1}{\$alpha m}}}$은 대략적인 범위이다.잠재력은 단조롭게 r 단위로 증가하고 음수이며, 이는 힘이 매력적이라는 것을 의미합니다.SI계에서 유카와 전위의 단위는 (1/m)이다.

전자석의 쿨롱 전위는${\displaystyle {}^{}}$어디에서나 ${\displaystyle e^{}}$ - ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ m$$r {\$display$e^{-\$alpha$ mr$$$}$ $인자$가 1인 유카와 전위의 한 예이다.이는 광자 질량 m이 0임을 의미하는 것으로 해석된다.광자는 상호작용하는 하전 입자 사이의 힘 전달체이다.

중간자장과 페르미온장 사이의 상호작용에서 상수 g는 이들 필드 간의 게이지 결합 상수와 같다.핵력의 경우 페르미온은 양성자이고 또 다른 양성자나 중성자가 될 것이다.

역사

1935년 유카와 히데키의 논문을 ^[1]발표하기 전에, 물리학자들은 제임스 채드윅의 원자 모델의 결과를 설명하기 위해 고군분투했다. 제임스 채드윅은 양전하를 띤 양성자와 중성자를 작은 핵 안에 채워 넣고 반경 약 10m로⁻¹⁴ 구성했다.물리학자들은 이 길이의 전자기력이 이 양성자들을 서로 밀어내고 ^[2]핵이 무너지게 할 것이라는 것을 알고 있었다.따라서 소립자 간의 상호작용을 더 자세히 설명해야 하는 동기가 찾아왔다.1932년, 베르너 하이젠베르크는 핵 내부의 중성자와 양성자 사이에 중성자가 양성자와 전자의 복합 입자인 "플라츠베첼"(이동) 상호작용을 제안했다.이 복합 중성자는 전자를 방출하여 양성자와 함께 매력적인 힘을 만들고, 그 후 양성자로 변합니다.1933년 Solvay Conference에서 하이젠베르크가 그의 상호작용을 제안했을 때, 물리학자들은 그것이 두 가지 형태 중 하나일 것이라고 의심했다.

${\displaystyle J(r)=ae^{-br}\quad {textrm {or}\display J(r)=ae^{-br^{2}}}$

단거리이기 ^[3]때문에하지만 그의 이론에는 많은 문제가 있었다.즉, 스핀의 전자는 불가능하다.1/2와 1/2 스핀의 양성자를 합하면 중성자 스핀이 1/2가 된다.하이젠베르크가 이 문제를 다루는 방식은 이소스핀의 사상을 형성하게 될 것이다.

하이젠베르크의 핵 내부의 입자 사이의 교환 상호작용에 대한 생각은 페르미가 1934년 ^[3]베타 붕괴에 대한 그의 생각을 공식화하도록 이끌었다.페르미의 중성자-양성자 상호작용은 중성자와 양성자 간의 "이동"에 기초하지 않았다.대신에, 페르미는 두 개의 빛 입자의 방출과 흡수를 제안했다: 하이젠베르크의 이론에서처럼 전자뿐만 아니라 중성미자와 전자.페르미의 상호작용이 직선 운동량과 각 운동량의 보존 문제를 해결한 반면, 소련의 물리학자 이고르 탐과 드미트리 이바넨코는 중성미자와 전자 방출과 관련된 힘이 ^[4]핵의 양성자와 중성자를 결합하기에 충분히 강하지 않다는 것을 증명했다.

1935년 2월 유카와 히데키는 중성자-양성자 상호작용의 문제를 해결하기 위해 하이젠베르크의 단거리 힘 상호작용의 개념과 페르미의 교환 입자의 개념을 결합했다.그는 지수붕괴항(${\displaystyle {}^{}}$ - $α$ ${\displaystyle m^{}}$r \ $displaystyle$ e^ { - \ $alpha$mr$\}$ )과 전자기항(${\displaystyle \mathrm{}}$/$$ \ $displaystyle$1/r $$$)$을 포함하는 가능성을 추론했다.양자장 이론과 유사하게, 유카와는 전위와 그에 상응하는 장이 교환 입자의 결과라는 것을 알고 있었다.QED의 경우, 이 교환 입자는 0질량의 광자였다.유카와 씨의 경우, 교환 입자는 상호작용 범위와 관련된 질량을 가지고 있었다. (${\displaystyle \frac{1}{}}$ $α$m { $tfrac${1} {\$alpha$ m$}$）핵력의 범위가 알려졌기 때문에 유카와 씨는 방정식을 이용해 매개 입자의 질량을 전자의 약 200배 정도로 예측했다.물리학자들은 이 입자의 질량이 양성자와 전자의 중간에 있기 때문에 이 입자를 "메손"이라고 불렀다.유카와의 중간자는 1947년에 발견되어 파이온으로 ^[4]알려지게 되었다.

쿨롱 전위와의 관계

만약 입자가 질량이 없다면(즉, m = 0), 유카와 전위는 쿨롱 전위로 감소하며 범위는 무한하다고 한다.실제로 다음과 같은 이점이 있습니다.

${\displaystyle m=0\오른쪽 화살표 e^{-\alpha mr}=e^{0}=1.}$

결과적으로, 방정식은

$\displaystyle V_{\text{유카와}(r)=-g^{2}\;{\frac {e^{-\alpha mr}}{r}}}$

쿨롱 전위의 형태로 단순화되다

${\displaystyle V_{\text{Coulomb}}(r)=-g^{2}\;{\frac {1}{r}}.}$

스케일링 상수를 다음과 ^[5]같이 설정합니다.

${\displaystyle g^{2}=subscfrac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}$

유카와와 쿨롱의 장거리 전위 강도 비교는 그림 2와 같다.쿨롱 전위는 더 먼 거리에 걸쳐 영향을 미치는 반면 유카와 전위는 0에 매우 빠르게 접근하고 있음을 알 수 있다.그러나, 모든 유카와 전위 또는 쿨롱 전위는 큰 r에 대해 0이 아니다.

푸리에 변환

유카와 퍼텐셜이 거대한 장과 관련되어 있다는 것을 이해하는 가장 쉬운 방법은 푸리에 변환을 조사하는 것입니다.있다

${\displaystyle V(\mathbf {r})=snotfrac {-g^{2}}{(2\pi)^{3}}\int e^{i\mathbf {k\cdot r}}{\frac {4\pi}+(\alpha m)^2}},\mathrm {d}^{d3}k}$

여기서 적분은 3차원 모멘타 k의 가능한 모든 값에 대해 수행된다.이 형태에서 스케일 팩터를 α ${\displaystyle =}$(\$displaystyle \alpha$$= 1$)로 설정하면 $분수\frac{\mathrm{}}{}$ 4 $\frac{{\mu k\mathrm{}}^{}}{}$2 + $m$2(\$textstyle {4\$pi }{k$^{$2}+$^{2$})가 됩니다.$}}}}}$은 클라인-고든 방정식의 전파자 또는 그린의 함수로 보인다.

파인만 진폭

유카와 전위는 페르미온 쌍의 상호작용에서 가장 낮은 차수의 진폭으로 도출될 수 있다.유카와 상호작용은 페르미온장 ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$ $){$ $displaystyle \psi (x$$)}$와 중간자장 ${\displaystyle (}$ ( x$){ displaystyle$ \phi $(x)}$를 결합항으로 결합한다.

${\displaystyle {L}_{\mathrm {int}(x)=g~{\overline {psi }}(x)~\phi(x)~\psi(x)~}$

운동량 k와 중간자를 교환하는 $초기{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {운동량\mathrm{}}_{}}$ p1$(\$과 $운동량{\displaystyle {}_{}}$ $(\$의 2개의 페르미온 산란 진폭은 오른쪽에 있는 파인만 다이어그램에 나와 있습니다.

각 정점의 파인만 규칙은 g의 계수를 진폭과 관련짓습니다. 이 다이어그램에는 두 개의 정점이 있으므로 총 ${\displaystyle {진폭}^{}}$은 g 2$({$ g$^{2$의 계수를 갖습니다.두 개의 페르미온 선을 연결하는 가운데 선은 중간자의 교환을 나타냅니다.입자 교환에 대한 파인만의 규칙은 전파자를 사용하는 것입니다.질량 중간자의 $\frac{\mathrm{전파자}}{}$는 - $\frac{{4\mu k\mathrm{}}^{}{}^{}}{}$ + $\frac{{m\mathrm{}}^{}{}^{}}{}$2(\$textstyle {-4\pi}{~k^{2}+m^{2$})입니다$.\frac{}{}$$\}~\}\}.$ 따라서 이 그래프의 파인만 진폭은

${\displaystyle V(\mathbf {k})=-g^{2}{\frac {4\pi}{k^{2}+m^{2}}~}$

전절부터 이것은 유카와 전위의 푸리에 변환으로 보인다.

슈뢰딩거 방정식의 고유값

유카와 전위를 갖는 방사형 슈뢰딩거 방정식은 섭동적으로 ^{[6][7][8]: ch. 16} 풀 수 있다.형태에서 방사형 슈뢰딩거 방정식 사용

$\displaystyle \left[{\frac {mathrm {d} r^{2}}+k^{2}-{\frac {ell (\ell +1)}{r^{2}}-V(r)\right]\Psi \left(\ell,k;,r\right)=0,}$

그리고 유카와가 가진 파워 확장형식의 잠재력은

${{displaystyle V(r)=\sum _{j=-1}^{\infty }M_{j+1},(-r)^{j}$

K ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle j}$k {$displaystyle K$$=jk$$}$를 $설정$하면 각 운동량에 대해 $다음$과 같은 식을 얻을 수 있습니다$.$

$\displaystyle \ell +n+1=-{\frac {,\Delta _{n}(K),}{2K}}$

K ${\displaystyle \to }$∞({$displaystyle$ K$\to\infty$의 경우, 여기서

${\displaystyle\begin{aligned}&\Delta_{n}(K)=M_{0}-{\frac {1}{,2K^{2},}}{\Bigl [},n(n+1),M_{2}+M_{0},M_{1},{\Bigr ]}-{\frac {,2n+1,}{4K^{3}},M_{2}~+\\qquad \qquad \quad +{\frac {1},{8}^{4}}-{K},{0}},M_{0},M_,M_{2}~},M_{2}~+\qqqquad \qqqqqqqq}{{{{{{}}}}{}}}}}{}}}}}M_{2}, M_{1}+2, M_{2}, M_{0}^{2}+3M_{1}^{2}, M_{0}, {\Bigr}, {\Bigr]}~+\&\qquad \qquad \quad + {\frac {2n+1},{8}, {5}^}, {5}M_{2}^{2}+4, M_{2}, M_{1}, M_{0}, {\Bigr}}~+\\qquad \qad \quad \quad +~\operatorname {O} {Bigl (}, {\frac1}{,K^7}}~\&\qquad \mathcad \mathcal \quad \quad \quad \quad \quad {quad}\end { aligned}}$

${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$$$0$({$displaystyle $M_{0})$을 $제외$한 모든 $계수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Mj}_{}}$({$displaystyle M_{j})$를 0으로 설정하면 쿨롱 전위에 대한 슈뢰딩거 고유값의 잘 알려진 식을 얻을 수 있으며 반경 ${\displaystyle 양자수}$n({$displaystyle })$은 경계 콘의 결과로 양의 정수 또는 0이 된다.쿨롱 전위의 파동 함수가 만족해야 하는 조건.유카와 퍼텐셜의 경우 경계 조건의 부과가 더 복잡하다.따라서 유카와 케이스 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle =}$n \ $displaystyle$\$nu$=$n$}은 근사치일 뿐이며 정수 n을 대체하는 파라미터$θ$ \ $displaystyle$\ nu$$}는$$ 실제로$$ 대응하는 쿨롱 케이스의 정수값과 같은 점근팽창이다.궤도 각운동량 $또는{\displaystyle }$ Regge 궤적에 대한 위의 확장$K)$은 에너지$$ 고유값 또는 ${\displaystyle 동등}$한 $(\$${\$$bigl }K${\bigr$}^$2$\}\})$를 얻기 위해 반전될 수 있습니다. 다음을 ^[9]얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {\bigl } K{\bigr }^2}~=~-M_{1}~+~{\frac {1}{,4(\ell +n+1)^{2},}},{\biggl \{}\;M_{0}^{2}-4n(n+1)(\ell +n+1)^{2},M_{2},M_{0}+4(2n+1)(\ell +n+1)^{2}{\frac {M_{2}}}{\;M_{0},}}~+\&\quad +~4{\frac {\frac\\(\ell +n+1)^{4},}{M_{0}^{3}},{\Bigl [},3(n-1)n(n+1)n(n+3),M_{4},M_{0}~+\&\qquad \qquad \qquad \qqqad \qad - 1^2}~{n^2}^{5},}{M_{0}^{4}},{\Bigl [},(n^{2}+n-1),M_{0},M_{4}+M_{0}^{3},M_{3}-n(n+1),M_{2}^{\Bigr ]}~+\&\quad -~4,{\frac {,\ell +n+1)^{6},}{M_{0}^7}},{\Bigl [}~10(n-2)(n-1)(n+1)n(n+2)(n+3),M_{6}, M_{0}^{2}~+\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +~4, M_{3}, M_{0}^{5}+2{Bigl (},5n(n+1)(3n^{2}+3-10)+12,{M}, {big}, {r}, {big})M_{3}, M_{2}, M_{0}^{2}+20n^{3}(n+1)^{2}, M_{2}^{3}~+\\\qquad \qquad \qquad -~30(n-1)n^{2}^{2}(2)_n_2(n+2)$

$K의$$$내림차원에서 $($의$$점근팽창은 WKB법으로도 구할 수 있다.원래 Langer,[10]에 의해 그 이유는 bein다고 주장되었다 그런 경우에는, 하지만, 쿨롱 퍼텐셜의 경우와 마찬가지로 그 표현이 그 퍼텐셜 단(ℓ+12)2{\displaystyle \left(\ell+{\tfrac{1}{2}}\right)^{2}에 의해}교체해야 해 원심에(ℓ+1){\displaystyle \ell(\ell+1)}ℓ.gthat WKB 방법을 변경하지 않고 적용하기에는 특이점이 너무 강합니다.이 추론이 옳다는 것은 쿨롱 케이스의 올바른 결과(랭거 ^{[8]: 404} 보정을 사용)의 WKB 도출과 심지어 고차 WKB ^[11]근사치의 유카와 케이스의 상기의 확장에서 비롯된다.

횡단면

우리는 유카와 전위를 이용하여 양성자 또는 중성자와 파이온의 미분 단면을 계산할 수 있다.Born 근사치를 사용하면 구체적으로 대칭인 퍼텐셜에서 들어오는 평면파 함수와 작은 섭동의 합으로 나가는 산란파 함수를 근사할 수 있습니다.

$\displaystyle \psi(\vec {r})\about A\left[(e^{ipr})+{\frac {e^{ipr}}{r}f(\theta)\right]}}$

$여기$서 p ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle p\stackrel{}{}}$ z$^$ {$style {vec {p}}=pvechat {z}}$은 입자의 유입 운동량입니다.${\displaystyle f(}$ ${\displaystyle )}$ )$${$displaystyle$ f$(\theta)}$ 함수는$$ 다음과 같습니다.

${\displaystyle f(\theta)=frac {-2\mu }{\hbar ^{2}\left {vec {p}-{\vec {p}}\right },\int _{0}^{\infty}r,V(r),\sin \left(\left {c {p}-{p}-{p}-{\c}-{\c}-right {p}\c}\c}\right } right } r}\right {right }} } } }$

$여기$서 p ${\displaystyle {\stackrel{}{\to }}^{}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle p\stackrel{}{}}$ r$^$ {{$displaystyle {p}}'=phismat$ {r$}}}$은 입자의 나가는 산란 $운동량$이고$$μ {{$displaystyle$ \mu$}$는 들어오는 입자의 질량입니다${\displaystyle (}$m$,$ {$displaystyle$$m$$,}$과 혼동하지 마십시오).${\displaystyle V}$$$$(\$$displaystyle V_{\$$text$})를 꽂아 f(\displaystyle f(\$theta)$를 $계산$합니다${\displaystyle .}$$유카와$

${\displaystyle f(\theta)=hbar frac {2\mu}{\hbar ^{2}-{\vec {p}}\left }, g^{2}\int _{0}^{\infty}e^{-\sin left(\c}-right {p}}} {p}} } } }$

적분을 평가하면 다음과 같은 이점이 있습니다.

${\displaystyle f(\theta)=frac {2\mu g^{2},\left[(\alpha m)^{2}+\left {\vec {p}}-{\vec {p}}\right ^{2}}}}$

에너지 절약은 다음을 의미합니다.

${\displaystyle {\vec {p}}{\vec {p}}=bigr}{\vec {p}}'=p~}$

하도록

$\displaystyle \left \vec {p}-{\vec {p}}'\right = 2,p,\sin \lefts\tfrac {1}{2}}\theta \right)~}$

접속하면, 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle f(\theta)=black {2\mu g^{2}\left[(\alpha m)^{2}+4,p^{2},\sin ^{2}\leftflac{1}{2}\theta }\right]}}$

따라서 다음과 같은 ^[5]차이 단면을 얻을 수 있습니다.

$\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\mathrm {d} \Omega } = \left f(\theta )\right ^{2}g^{4} {\hbar ^{4} \left[(\alpha m)^2}+4p^2}\sin {\frac } {\fr}$

통합 시 총 횡단면은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \frac = \int {\mathrm {d} \Omega }} \mathrm {d} \Omega = spar frac { 4 \ mu ^ { 2 } g ^ { 4 } \ hbar int _ { 0 }^ \ pi } \ frac 2 \ pi （ \ ta ）t[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\right]}}}$

「 」를 참조해 주세요.

• 유카와 상호작용
• 선별 포아송 방정식
• 베셀 퍼텐셜

레퍼런스

원천

• Brown, G.E.; Jackson, A.D. (1976). The Nucleon-Nucleon Interaction. Amsterdam: North-Holland Publishing. ISBN 0-7204-0335-9.