스케일링 치수

이론 물리학에서, 양자장 이론에서 국소 연산자의 스케일링 차원 또는 단순 차원(scaling dimension)은 시공간 $확장{\displaystyle }$ x ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \delta }$x {\$displaystyle x\to$ \$scalda$x$\}$에서 연산자의 스케일링 특성을 특징으로 한다. 양자장 이론이 스케일 불변이라면 연산자의 스케일링 치수는 고정 수, 기타 위.e 거리 척도의 함수이다.

스케일 불변 양자장 이론

스케일 불변 양자장 이론에서, 각 연산자 O는 $확장{\displaystyle }$ x ${\displaystyle \to }$ ${\$ ${\displaystyle x}$ {\$displaystyle$ x$\to$ \$delta$ x$}$에서${\displaystyle {\mathrm{\delta }}^{}}$ - ${\$ { \$displaystyle$\$delta$ $}$인자를 취득한다. 여기서$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle$\Delta $}$는 O의 스케일 치수라고 불리는 수이다.이는 특히 2점 상관함수${\displaystyle O}$(${\displaystyle x}$ )${\displaystyle O}$ ( ${\displaystyle 0}$)${\$\ $display$ \ $langle$ O $( x ) O$ ( 0 ) \ $rangle$}}는$$ 거리에 따라 달라집니다(${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}{}^{}}$2${\displaystyle {}^{}}$) -$$ \ $display style$ ( x$^{2}^-\ Delta$ 보다 일반적으로 여러 로컬 연산자의 상관함수는 이러한 거리에 의존해야 합니다.$display$$$$O_{2}(\lambda x_{2})\ldots \rangle =\delta ^{-\Delta _{1}-\ldots }\delta O_{1}(x_{1})$$O_{2}(x_{2})\ldots \rangle }$

대부분의 스케일 불변 이론은 또한 적합하게 불변하며, 이는 로컬 ^[1]연산자의 상관 함수에 추가적인 제약을 가한다.

자유장 이론

자유이론은 가장 단순한 규모의 불변 양자장 이론이다.자유이론에서는 라그랑지안에 나타나는 필드인 초등연산자와 기초연산자의 산물인 복합연산자를 구별한다.초등 연산자 O의 스케일링 치수는 라그랑지안으로부터의 치수 해석에 의해 결정된다(4개의 시공간 차원에서는 벡터 전위를 포함한 초등 보손장에서는 1, 기초 페르미온장에서는 3/2 등).이 스케일링 치수를 클래식 치수라고 부릅니다(표준 치수 및 엔지니어링 차원이라는 용어도 사용됨).치수 $(\$ _${1})$과 치수$$(\$displaystyle \Delta$ _${2})$의 2개의 연산자의 곱을 취하여 얻은 복합 연산자는 차원이 ${\displaystyle {\delta 1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $(\$_{$1}+\Delta _2$인 새로운 연산자입니다.

상호 작용이 켜지면 스케일링 치수는 비정상적인 치수라는 보정을 수신합니다(아래 참조).

상호 작용 필드 이론

자유 이론이 아닌 많은 규모의 불변 양자장 이론이 있다; 그것들은 상호작용이라고 불린다.이러한 이론에서 연산자의 스케일링 치수는 라그랑지안으로부터 읽어낼 수 없으며, 반드시 (반쪽) 정수일 필요는 없다.예를 들어 2차원 이징 모델의 임계점을 기술하는 스케일 불변성 이론에는 1/8 ^[2][1]치수의 연산자$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle \sigma)$가 있다.

연산자 곱셈은 자유 이론에 비해 상호작용 이론에서 미묘하다.치수 ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$1 \ $displaystyle$\ $Delta$ _ {$1$$}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$2 \ $displaystyle$\$Delta$_ {$$} Delta _ { }$$with$$ 2 ${\displaystyle {\delta \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {\delta \mathrm{}}_{}}$ 2$$\ $displaystyle$\ $Delta$ _$1$ + $0$} .2 with2$$with1 + Delta _ 0 _2 the2 _2 the2 the1 + Delta {2 $_2$ the2 the2 the2 the2 the1 + Delta _ Delta _ Delta _the above two-dimensional Ising model example, the operator product ${\displaystyle \sigma \times \sigma }$ gives an operator ${\displaystyle \epsilon }$ whose dimension is 1 and not twice the dimension of ${\displaystyle \sigma }$.^[2][1]

비척도 불변 양자장 이론

정확한 척도의 불변성은 아니지만, 긴 거리에 걸쳐 대략적인 척도의 불변성을 유지하는 많은 양자장 이론이 있다.이러한 양자장 이론은 자유장 이론의 상호작용 항에 작은 차원 없는 커플링을 추가하여 얻을 수 있다.예를 들어 4개의 시공간 치수로 4차 스칼라 커플링, 유카와 커플링 또는 게이지 커플링을 추가할 수 있습니다.이러한 이론에서 연산자의 스케일링 치수는 $\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {\delta \mathrm{}}_{}}$0 +${\displaystyle \delta }$ (${\displaystyle g}$) \$Delta$= \$Delta$ _${0}+\delta$ ($g$로 도식적으로 표현될 수 있다. 여기서 ${\displaystyle {\delta \mathrm{}}_{}}$ 0$$\$displaystyle \Delta$ _${0}$은 모든 커플링이 0으로 설정되는 치수이다(${\displaystyle \mathrm{고전형}}$ g${\displaystyle ).}$$이러한$ 스케일 치수를 coupling 부분과 coupling 부분 중$$^[3]멱급수로 $구분$하는 것은 coupling이 작을 때만 의미가 있으므로${\displaystyle \mathrm{that}}$ (${\displaystyle }$g$$) \$display$$style$ \$gamma ( g$ )는 작은$$ 보정이다.

일반적으로 양자역학적 효과로 인해 $커플링{\displaystyle }$ g$\displaystyle g$는 일정하게 유지되지 않고 베타 함수에 따라 거리 척도에 따라 변화한다(양자장 이론의 전문용어로 run).따라서 변칙 치수${\displaystyle \theta }$ (${\displaystyle }$g$$) \ $displaystyle$\ $gamma ($g )도 이러한 이론의 거리 척도에 따라 달라집니다.특히 로컬 연산자의 상관 함수는 더 이상 단순한 거듭제곱이 아니라 일반적으로 로그 보정을 통해 거리에 더 복잡하게 의존합니다.

커플링의 진화에 따라 베타 기능이 ${\displaystyle {}_{}}$ g$$ g ≤ {$displaystyle$ g$=g_{*}$의 값이 될 수 있습니다.그리고 장거리에서는 이론이 스케일 불변성이 되어 비정상적인 치수는 동작을 멈춘다.이러한 동작을 적외선 고정점이라고 합니다.

매우 특별한 경우에는 커플링과 비정상적인 치수가 전혀 작동하지 않을 때 발생할 수 있으며, 따라서 이 이론은 커플링의 모든 거리 및 값에 대해 스케일 불변합니다.예를 들어, 이는 N=4 초대칭 양-밀스 이론에서 발생합니다.

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