2 21 폴리토프

E₆ Coxeter 평면의 직교 투영
2₂₁	수정2길₂₁
(1₂₂)	양방향으로₂₁ 2 (수정 1₂₂)

6차원 기하학에서 2개의₂₁ 폴리토프는 균일한 6폴리토프로, E₆ 그룹의 대칭성 내에서 구성된다. 그것은 그의 1900년 논문에 발표된 소럴드 고셋에 의해 발견되었다. 그는 그것을 6ic 반정규격이라고 불렀다.^[1] 슐레플리 폴리토페라고도 한다.

그것의 Coxeter 심볼은 2로₂₁, 그것의 분리되는 Coxeter-Dynkin 도표를 설명하고 있으며, 2-노드 시퀀스 중 하나의 끝에 하나의 링이 있다. 그는 또한 입방면의 27개₂₁ 선과의 연관성을 연구했는데, 이는 자연적으로 2의^[2] 정점과 일치한다.

정류된 2는₂₁ 2의₂₁ 중간 부분에 있는 점으로 구성된다. 양방향 2는₂₁ 2의₂₁ 삼각형 면 중심에 있는 점에 의해 구성되며, 수정 1과₂₂ 동일하다.

이 폴리토페스는 6차원(3-dimension)의 39개의 볼록한 균일한 폴리토페 계열의 일부로서, 균일한 5-폴리토페 면과 정점 형상으로 만들어졌으며, 이 Coxeter-Dynkin 도표에서 고리의 모든 순열에 의해 정의된다.

2_21 폴리토프

2₂₁ 폴리토프
유형	제복6폴리토프
가족	k₂₁ 폴리토프
슐레플리 기호	{3,3,3^2,1}
콕시터 기호	2₂₁
콕시터-딘킨 도표	또는
5시 15분	총 99개: 27 2₁₁ 72 {3⁴}
4시 15분	648: 432 {3³} 216 {3³}
세포	1080 {3,3}
얼굴	720 {3}
가장자리	216
정점	27
정점수	1₂₁(5데미큐브)
페트리 폴리곤	도데카곤
콕시터군	E₆, [3^2,2,1], 51840 주문
특성.	볼록하게 하다

두 개의₂₁ 정점수는 27개, 99개의 면은 27개의 5정맥과 72개의 5정맥이다. 그것의 꼭지점은 5데미큐브다.

시각화를 위해 이 6차원 폴리토프는 종종 12-곤글의 일반 폴리곤(Petrie polygon이라고 함) 내에서 27개의 꼭지점에 맞는 특별한 기울어진 정사각형 투영 방향으로 표시된다. 그것의 216개의 가장자리는 12개의 꼭지점과 3개의 꼭지점 사이에 그려진다. 이 투영에서는 더 높은 원소(페이스, 셀 등)도 추출하여 그릴 수 있다.

슐레플리 그래프는 이 폴리토프의 1-골격이다.

대체 이름

E. L. Elte는 그의 1912년 반정형 폴리토페스 리스트에서 그것을₂₇ V (그 27 정점 때문에)라고 명명했다.^[3]
Icosihepta-heptacontidi-peton - 27-72면체 폴리페톤(acronym jack) (Jonathan Bowers)^[4]

좌표

27개의 꼭지점은 8-공간으로 4개의₂₁ 폴리토프의 가장자리 형상으로 표현할 수 있다.

(-2,0,0,0,-2,0,0,0), (0,-2,0,0,-2,0,0,0), (0,0,-2,0,-2,0,0,0), (0,0,0,-2,-2,0,0,0), (0,0,0,0,-2,0,0,-2), (0,0,0,0,0,-2,-2,0)
(2,0,0,0,-2,0,0,0), (0,2,0,0,-2,0,0,0), (0,0,2,0,-2,0,0,0), (0,0,0,2,-2,0,0,0), (0,0,0,0,-2,0,0,2)
(-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1), (-1,-1,-1, 1,-1,-1,-1, 1), (-1,-1, 1,-1,-1,-1,-1, 1), (-1,-1, 1, 1,-1,-1,-1,-1), (-1, 1,-1,-1,-1,-1,-1, 1), (-1, 1,-1, 1,-1,-1,-1,-1), (-1, 1, 1,-1,-1,-1,-1,-1), (1,-1,-1,-1,-1,-1,-1, 1) (1,-1, 1,-1,-1,-1,-1,-1), (1,-1,-1, 1,-1,-1,-1,-1) (1, 1,-1,-1,-1,-1,-1,-1), (-1, 1, 1, 1,-1,-1,-1, 1) (1,-1, 1, 1,-1,-1,-1, 1) (1, 1,-1, 1,-1,-1,-1, 1) (1, 1, 1,-1,-1,-1,-1, 1) (1, 1, 1, 1,-1,-1,-1,-1)

건설

그것의₆ 건설은 E그룹에 기반을 두고 있다.

면 정보는 Coxeter-Dynkin 도표에서 추출할 수 있다.

짧은 가지에서 노드를 제거하면 5-단순, .

2-길이 가지 끝에 있는 노드를 제거하면 5-정맥이 번갈아 나타나는 형태로 남는다₁₁. (2), .

모든 심플렉스 면은 5정형 면에 닿는 반면, 정형외과의 다른 면은 심플렉스나 또 다른 정형외과의 면에 닿는다.

꼭지점 수치는 링된 노드를 제거하고 인접 노드를 울림으로써 결정된다. 이렇게 하면 5데미큐브(1개의₂₁ 폴리토프)가 되고, 가장자리 수치는 정점 도형의 정점 도형이며, 수정 5셀(0개의₂₁ 폴리토프)이다.

구성 매트릭스에서 볼 수 있는 요소 카운트는 Coxeter 그룹 순서에서 도출할 수 있다.^[5]

E₆	k-face	f_k	f₀	f₁	f₂	f₃	f₄		f₅		크-피규격	메모들
D₅	( )	f₀	27	16	80	160	80	40	16	10	h{4,3,3}	E₆/D₅ = 51840/1920 = 27
A₄A₁	{ }	f₁	2	216	10	30	20	10	5	5	r{3,3,3}	E₆/A₄A₁ = 51840/120/2 = 216
A₂A₂A₁	{3}	f₂	3	3	720	6	6	3	2	3	{3}x{ }	E₆/A₂A₂A₁ = 51840/6/6/2 = 720
A₃A₁	{3,3}	f₃	4	6	4	1080	2	1	1	2	{}v( )	E₆/A₃A₁ = 51840/24/2 = 1080
A을₄	{3,3,3}	f₄	5	10	10	5	432	*	1	1	{ }	E₆/A₄ = 51840/120 = 432
A₄A₁	{3,3,3}	f₄	5	10	10	5	*	216	0	2	{ }	E₆/A₄A₁ = 51840/120/2 = 216
A을₅	{3,3,3,3}	f₅	6	15	20	15	6	0	72	*	( )	E₆/A₅ = 51840/720 = 72
D₅	{3,3,3,4}	f₅	10	40	80	80	16	16	*	27	( )	E₆/D₅ = 51840/1920 = 27

이미지들

정점은 이 투영에서 빨강, 주황, 노랑 순서로 그 다중성에 의해 색칠된다. 색상별 정점 수는 괄호 안에 제시되어 있다.

콕시터 평면 맞춤법 투사
E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]	B6 [12/2]
(1,3)	(1,3)	(3,9)	(1,3)
A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]
(1,3)	(1,2)	(1,4,7)

기하학적 폴딩

2는₂₁ E6/F4 Coxeter-Dynkin 도표의 기하학적 접힘에 의한 24 셀과 관련된다. 이것은 콕시터 평면 투영에서 볼 수 있다. 24-셀의 24 정점은 2에서₂₁ 보는 것과 같은 두 개의 고리에 투영된다.

E₆	F₄
2₂₁	24셀

이 폴리토프는 유클리드 6-공간을 테셀레이트할 수 있으며, 이 Coxeter-Dynkin 도표와 함께 2개의₂₂ 벌집합을 형성한다.

수정2_21 폴리토프

수정₂₁ 2 폴리토프
유형	제복6폴리토프
슐레플리 기호	t₁{3,3,3^2,1}
콕시터 기호	t₁(2₂₁)
콕시터-딘킨 도표	또는
5시 15분	총 126개: 72 t₁{3⁴} 27 t₁{3³,4} 27 t₁{3,3^2,1}
4시 15분	1350
세포	4320
얼굴	5040
가장자리	2160
정점	216
정점수	수정 5세포 프리즘
콕시터군	E₆, [3^2,2,1], 51840 주문
특성.	볼록하게 하다

정류된 2는₂₁ 정점 216개, 126개 면: 정류된 5개 단순 72개, 정류된 5개 직각 27개, 5개 직각 27개. 그것의 꼭지점 모양은 수정 5세포 프리즘이다.

대체 이름

수리된 27-72면 폴리페톤(아크로니엄 로작)으로 수리된 아이코시헵타-헵타콘티디 페톤(Jonathan Bowers)^[6]

건설

그것의 구성은 E 그룹을₆ 기반으로 하며, 이 폴리토프를 나타내는 고리 모양 Coxeter-Dynkin 도표에서 정보를 추출할 수 있다.

짧은 가지에 있는 링을 제거하면 수리된 5-단순, .

다른 2-길이 가지 끝에 있는 링을 제거하면 정류된 5정맥이 번갈아 나타나는 형태로 남는다: t(2₁₁₁), .

동일한 2-길이 가지 끝에 있는 링을 제거하면 5-demicube₂₁ (1), .

꼭지점 형상은 링을 제거하고 이웃 링을 울려 결정한다. 이렇게 하면 수정 5-셀 프리즘, t₁{3,3,}x{}x{}, .

이미지들

정점은 이 투영에서 빨강, 주황, 노랑 순서로 그 다중성에 의해 색칠된다.

콕시터 평면 맞춤법 투사
E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]

A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]

잘린 2_21 폴리토프

잘린₂₁ 2 폴리토프
유형	제복6폴리토프
슐레플리 기호	t{3,3,3^2,1}
콕시터 기호	t(2₂₁)
콕시터-딘킨 도표	또는
5시 15분	72+27+27
4시 15분	432+216+432+270
세포	1080+2160+1080
얼굴	720+4320
가장자리	216+2160
정점	432
정점수	( ) v r{3,3,3}
콕시터군	E₆, [3^2,2,1], 51840 주문
특성.	볼록하게 하다

잘린 2는₂₁ 꼭지점 432개, 가장자리 5040개, 면 4320개, 셀 1350개, 4-페이스를 가지고 있다. 그것의 꼭지점 모양은 수정 5세포 피라미드다.

이미지들

정점은 이 투영에서 빨간색, 주황색, 노란색, 녹색, 청록색, 파란색, 보라색 순으로 색칠된다.

콕시터 평면 맞춤법 투사
E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]

A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]

참고 항목

E6 폴리토페스 목록

메모들

^ 고셋, 1900년
^ Coxeter, H.S.M. (1940). "The Polytope 2₂₁ Whose Twenty-Seven Vertices Correspond to the Lines on the General Cubic Surface". Amer. J. Math. 62 (1): 457–486. doi:10.2307/2371466. JSTOR 2371466.
^ 1912년 엘테
^ 클라이칭, (x3o3o3o *c3o - jack)
^ 콕시터, 일반 폴리토페스, 11.8 고셋은 6차원, 7차원, 8차원, 202-203페이지.
^ 클라이칭, (o3x3o3o *c3o - 로작)

참조

T. 고셋: 수학의 메신저 맥밀런, 1900년 n차원의 정규 및 반정규격 수치에 관한 연구, 1900년
Elte, E. L. (1912), The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces, Groningen: University of Groningen
케일리디스코어: H.S.M. Coxeter의 선별된 글, F가 편집한 글. 아서 셔크, 피터 맥멀런, 앤서니 C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (용지 17) Coxeter, The Evolution of Coxeter-Dynkin 다이어그램, [Neyuw Archief voor Wiskunde 9(1991) 233-248] 그림 1: (p. 232) (폴리토프의 노드 에지 그래프) 참조
Klitzing, Richard. "6D uniform polytopes (polypeta)". x3o3o3o3o *c3o - jak, o3x3o3o *c3o - rojak

v t 치수 2-10의 기본 볼록형 일반 및 균일한 폴리토프
가족	A을_n	B_n	I₂(p) / D_n	E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / G₂	H_n
정규 다각형	삼각형	사각형	p-곤	육각형	펜타곤
균일다면체	사면체	옥타헤드론 • 큐브	데미큐브		도데카헤드론 • 이코사헤드론
균일 폴리초론	펜타코론	16-셀 • 테세락트	데미테세락트	24셀	120 셀 • 600 셀
제복5폴리토프	5와섹스	5정형 • 5정형	5데미큐브
제복6폴리토프	6-630x	6-정통 • 6-118	6데미큐브	1₂₂ • 2₂₁
제복7폴리토프	7시 15분	7정맥 • 7정맥	7데미큐브	1₃₂ • 2₃₁ • 3₂₁
제복8폴리토프	8시 15분	8정형 • 8정형	8데미큐브	1₄₂ • 2₄₁ • 4₂₁
제복9폴리토프	9시 15분	9-정통 • 9-11	9데미큐브
균일 10폴리토프	10센트짜리	10정형 • 10정형	10데미큐브
균일 n폴리토프	n-제곱스	n-직관 • n-직관	n-데미큐브	1_k2 • 2_k1 • k₂₁	n-자갈 폴리토프
주제: 폴리토페 패밀리 • 일반 폴리토페 • 일반 폴리토페 및 화합물 목록

[1] 고셋, 1900년

[2] Coxeter, H.S.M. (1940). "The Polytope 2₂₁ Whose Twenty-Seven Vertices Correspond to the Lines on the General Cubic Surface". Amer. J. Math. 62 (1): 457–486. doi:10.2307/2371466. JSTOR 2371466.

[3] 1912년 엘테

[4] 클라이칭, (x3o3o3o *c3o - jack)

[5] 콕시터, 일반 폴리토페스, 11.8 고셋은 6차원, 7차원, 8차원, 202-203페이지.

[6] 클라이칭, (o3x3o3o *c3o - 로작)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

n차원의₂₁ k자
공간	유한한						유클리드 주	쌍곡선
E_n	3	4	5	6	7	8	9	10
콕시터 무리를 짓다	E₃=A₂A₁	E₄=A₄	E₅=D₅	E₆	E₇	E₈	E₉₈⁺ = ${\tilde {E}}_{8}$ ~ ${\tilde {E}}_{8}$ ${\$ ${\tilde {E}}_{8}$ = E	E₁₀ = ${\bar {T}}_{8}$ ${\$ ₈⁺⁺ $}}$ = E
콕시터 도표를 만들다
대칭	[3^−1,2,1]	[3^0,2,1]	[3^1,2,1]	[3^2,2,1]	[3^3,2,1]	[3^4,2,1]	[3^5,2,1]	[3^6,2,1]
주문	12	120	1,920	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
그래프							-	-
이름	−1₂₁	0₂₁	1₂₁	2₂₁	3₂₁	4₂₁	5₂₁	6₂₁

n차원의 2자리_k1 숫자
공간	유한한						유클리드 주	쌍곡선
n	3	4	5	6	7	8	9	10
콕시터 무리를 짓다	E₃=A₂A₁	E₄=A₄	E₅=D₅	E₆	E₇	E₈	E₉₈⁺ = ${\tilde {E}}_{8}$ ~ ${\tilde {E}}_{8}$ ${\$ ${\tilde {E}}_{8}$ = E	E₁₀ = ${\bar {T}}_{8}$ ${\$ ₈⁺⁺ $}}$ = E
콕시터 도표를 만들다
대칭	[3^−1,2,1]	[3^0,2,1]	[[3^1,2,1]]	[3^2,2,1]	[3^3,2,1]	[3^4,2,1]	[3^5,2,1]	[3^6,2,1]
주문	12	120	384	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
그래프							-	-
이름	2_−1,1	2₀₁	2₁₁	2₂₁	2₃₁	2₄₁	2₅₁	2₆₁

공간	유한한			유클리드 주	쌍곡선
n	4	5	6	7	8
콕시터 무리를 짓다	A₂A₂	A을₅	E₆	${\tilde {E}}_{6}$ ~ ${\tilde {E}}_{6}$ ${\$ =E₆⁺	E₆⁺⁺
콕시터 도표를 만들다
그래프				∞	∞
이름	2_2,-1	2₂₀	2₂₁	2₂₂	2₂₃

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