2 21 폴리토프
2 21 polytope![]() 221 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() 수정2길21 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
![]() (122) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() 양방향으로21 2 (수정 122) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
E6 Coxeter 평면의 직교 투영 |
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6차원 기하학에서 2개의21 폴리토프는 균일한 6폴리토프로, E6 그룹의 대칭성 내에서 구성된다. 그것은 그의 1900년 논문에 발표된 소럴드 고셋에 의해 발견되었다. 그는 그것을 6ic 반정규격이라고 불렀다.[1] 슐레플리 폴리토페라고도 한다.
그것의 Coxeter 심볼은 2로21, 그것의 분리되는 Coxeter-Dynkin 도표를 설명하고 있으며, 2-노드 시퀀스 중 하나의 끝에 하나의 링이 있다. 그는 또한 입방면의 27개21 선과의 연관성을 연구했는데, 이는 자연적으로 2의[2] 정점과 일치한다.
정류된 2는21 2의21 중간 부분에 있는 점으로 구성된다. 양방향 2는21 2의21 삼각형 면 중심에 있는 점에 의해 구성되며, 수정 1과22 동일하다.
이 폴리토페스는 6차원(3-dimension)의 39개의 볼록한 균일한 폴리토페 계열의 일부로서, 균일한 5-폴리토페 면과 정점 형상으로 만들어졌으며, 이 Coxeter-Dynkin 도표에서 고리의 모든 순열에 의해 정의된다.
2_21 폴리토프
221 폴리토프 | |
---|---|
유형 | 제복6폴리토프 |
가족 | k21 폴리토프 |
슐레플리 기호 | {3,3,32,1} |
콕시터 기호 | 221 |
콕시터-딘킨 도표 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
5시 15분 | 총 99개: 27 211 ![]() 72 {34} ![]() |
4시 15분 | 648: 432 {33} ![]() 216 {33} ![]() |
세포 | 1080 {3,3}![]() |
얼굴 | 720 {3}![]() |
가장자리 | 216 |
정점 | 27 |
정점수 | 121(5데미큐브) |
페트리 폴리곤 | 도데카곤 |
콕시터군 | E6, [32,2,1], 51840 주문 |
특성. | 볼록하게 하다 |
두 개의21 정점수는 27개, 99개의 면은 27개의 5정맥과 72개의 5정맥이다. 그것의 꼭지점은 5데미큐브다.
시각화를 위해 이 6차원 폴리토프는 종종 12-곤글의 일반 폴리곤(Petrie polygon이라고 함) 내에서 27개의 꼭지점에 맞는 특별한 기울어진 정사각형 투영 방향으로 표시된다. 그것의 216개의 가장자리는 12개의 꼭지점과 3개의 꼭지점 사이에 그려진다. 이 투영에서는 더 높은 원소(페이스, 셀 등)도 추출하여 그릴 수 있다.
슐레플리 그래프는 이 폴리토프의 1-골격이다.
대체 이름
- E. L. Elte는 그의 1912년 반정형 폴리토페스 리스트에서 그것을27 V (그 27 정점 때문에)라고 명명했다.[3]
- Icosihepta-heptacontidi-peton - 27-72면체 폴리페톤(acronym jack) (Jonathan Bowers)[4]
좌표
27개의 꼭지점은 8-공간으로 4개의21 폴리토프의 가장자리 형상으로 표현할 수 있다.
- (-2,0,0,0,-2,0,0,0), (0,-2,0,0,-2,0,0,0), (0,0,-2,0,-2,0,0,0), (0,0,0,-2,-2,0,0,0), (0,0,0,0,-2,0,0,-2), (0,0,0,0,0,-2,-2,0)
- (2,0,0,0,-2,0,0,0), (0,2,0,0,-2,0,0,0), (0,0,2,0,-2,0,0,0), (0,0,0,2,-2,0,0,0), (0,0,0,0,-2,0,0,2)
- (-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1), (-1,-1,-1, 1,-1,-1,-1, 1), (-1,-1, 1,-1,-1,-1,-1, 1), (-1,-1, 1, 1,-1,-1,-1,-1), (-1, 1,-1,-1,-1,-1,-1, 1), (-1, 1,-1, 1,-1,-1,-1,-1), (-1, 1, 1,-1,-1,-1,-1,-1), (1,-1,-1,-1,-1,-1,-1, 1) (1,-1, 1,-1,-1,-1,-1,-1), (1,-1,-1, 1,-1,-1,-1,-1) (1, 1,-1,-1,-1,-1,-1,-1), (-1, 1, 1, 1,-1,-1,-1, 1) (1,-1, 1, 1,-1,-1,-1, 1) (1, 1,-1, 1,-1,-1,-1, 1) (1, 1, 1,-1,-1,-1,-1, 1) (1, 1, 1, 1,-1,-1,-1,-1)
건설
그것의6 건설은 E그룹에 기반을 두고 있다.
면 정보는 Coxeter-Dynkin 도표에서 추출할 수 있다.
짧은 가지에서 노드를 제거하면 5-단순, .
2-길이 가지 끝에 있는 노드를 제거하면 5-정맥이 번갈아 나타나는 형태로 남는다11. (2), .
모든 심플렉스 면은 5정형 면에 닿는 반면, 정형외과의 다른 면은 심플렉스나 또 다른 정형외과의 면에 닿는다.
꼭지점 수치는 링된 노드를 제거하고 인접 노드를 울림으로써 결정된다. 이렇게 하면 5데미큐브(1개의21 폴리토프)가 되고, 가장자리 수치는 정점 도형의 정점 도형이며, 수정 5셀(0개의21 폴리토프)이다.
구성 매트릭스에서 볼 수 있는 요소 카운트는 Coxeter 그룹 순서에서 도출할 수 있다.[5]
E6 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | k-face | fk | f0 | f1 | f2 | f3 | f4 | f5 | 크-피규격 | 메모들 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
D5 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ( ) | f0 | 27 | 16 | 80 | 160 | 80 | 40 | 16 | 10 | h{4,3,3} | E6/D5 = 51840/1920 = 27 |
A4A1 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | { } | f1 | 2 | 216 | 10 | 30 | 20 | 10 | 5 | 5 | r{3,3,3} | E6/A4A1 = 51840/120/2 = 216 |
A2A2A1 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {3} | f2 | 3 | 3 | 720 | 6 | 6 | 3 | 2 | 3 | {3}x{ } | E6/A2A2A1 = 51840/6/6/2 = 720 |
A3A1 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {3,3} | f3 | 4 | 6 | 4 | 1080 | 2 | 1 | 1 | 2 | {}v( ) | E6/A3A1 = 51840/24/2 = 1080 |
A을4 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {3,3,3} | f4 | 5 | 10 | 10 | 5 | 432 | * | 1 | 1 | { } | E6/A4 = 51840/120 = 432 |
A4A1 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 5 | 10 | 10 | 5 | * | 216 | 0 | 2 | E6/A4A1 = 51840/120/2 = 216 | |||
A을5 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {3,3,3,3} | f5 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 0 | 72 | * | ( ) | E6/A5 = 51840/720 = 72 |
D5 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {3,3,3,4} | 10 | 40 | 80 | 80 | 16 | 16 | * | 27 | E6/D5 = 51840/1920 = 27 |
이미지들
정점은 이 투영에서 빨강, 주황, 노랑 순서로 그 다중성에 의해 색칠된다. 색상별 정점 수는 괄호 안에 제시되어 있다.
E6 [12] | D5 [8] | D4 / A2 [6] | B6 [12/2] |
---|---|---|---|
![]() (1,3) | ![]() (1,3) | ![]() (3,9) | ![]() (1,3) |
A5 [6] | A4 [5] | A3 / D3 [4] | |
![]() (1,3) | ![]() (1,2) | ![]() (1,4,7) |
기하학적 폴딩
2는21 E6/F4 Coxeter-Dynkin 도표의 기하학적 접힘에 의한 24 셀과 관련된다. 이것은 콕시터 평면 투영에서 볼 수 있다. 24-셀의 24 정점은 2에서21 보는 것과 같은 두 개의 고리에 투영된다.
E6![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | F4![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() 221 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() 24셀 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
이 폴리토프는 유클리드 6-공간을 테셀레이트할 수 있으며, 이 Coxeter-Dynkin 도표와 함께 2개의22 벌집합을 형성한다.
관련복합다면체
의 일반 복합 폴리곤 {3}{33}{33}, , , 4차원 공간에서의21 2 폴리토프로 실제 표현된다. 에드먼드 헤스의 이름을 따서 헤시안 다면체라고 한다. 정점 27개, 3-에지 72개, 얼굴 27 3{3}3. 복합반사군은 [3][33]3 순서 648이다.
관련 폴리토페스
2는21 반정형 폴리토페스의 치수 계열에서 4번째다. 각 진행성 균일 폴리토프는 이전 폴리토프의 꼭지점 형상으로 구성된다. 소럴드 고셋은 1900년에 이 시리즈가 모든 단순함과 직교로 구성된 모든 규칙적인 폴리토프 면을 포함하고 있다고 밝혔다.
n차원의21 k자 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
공간 | 유한한 | 유클리드 주 | 쌍곡선 | ||||||||
En | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
콕시터 무리를 짓다 | E3=A2A1 | E4=A4 | E5=D5 | E6 | E7 | E8 | E98+ = ~ = E | E10 = 8++ = E | |||
콕시터 도표를 만들다 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
대칭 | [3−1,2,1] | [30,2,1] | [31,2,1] | [32,2,1] | [33,2,1] | [34,2,1] | [35,2,1] | [36,2,1] | |||
주문 | 12 | 120 | 1,920 | 51,840 | 2,903,040 | 696,729,600 | ∞ | ||||
그래프 | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | - | - | |||
이름 | −121 | 021 | 121 | 221 | 321 | 421 | 521 | 621 |
2개의21 폴리토프는 치수 시리즈 2에서k2 4번째다.
n차원의 2자리k1 숫자 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
공간 | 유한한 | 유클리드 주 | 쌍곡선 | ||||||||
n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
콕시터 무리를 짓다 | E3=A2A1 | E4=A4 | E5=D5 | E6 | E7 | E8 | E98+ = ~ = E | E10 = 8++ = E | |||
콕시터 도표를 만들다 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
대칭 | [3−1,2,1] | [30,2,1] | [[31,2,1]] | [32,2,1] | [33,2,1] | [34,2,1] | [35,2,1] | [36,2,1] | |||
주문 | 12 | 120 | 384 | 51,840 | 2,903,040 | 696,729,600 | ∞ | ||||
그래프 | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | - | - | |||
이름 | 2−1,1 | 201 | 211 | 221 | 231 | 241 | 251 | 261 |
2개의21 폴리토프는 치수 시리즈 2에서2k 2번째다.
공간 | 유한한 | 유클리드 주 | 쌍곡선 | ||
---|---|---|---|---|---|
n | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
콕시터 무리를 짓다 | A2A2 | A을5 | E6 | ~ =E6+ | E6++ |
콕시터 도표를 만들다 | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
그래프 | ![]() | ![]() | ∞ | ∞ | |
이름 | 22,-1 | 220 | 221 | 222 | 223 |
수정2_21 폴리토프
수정21 2 폴리토프 | |
---|---|
유형 | 제복6폴리토프 |
슐레플리 기호 | t1{3,3,32,1} |
콕시터 기호 | t1(221) |
콕시터-딘킨 도표 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
5시 15분 | 총 126개: 72 t1{34} |
4시 15분 | 1350 |
세포 | 4320 |
얼굴 | 5040 |
가장자리 | 2160 |
정점 | 216 |
정점수 | 수정 5세포 프리즘 |
콕시터군 | E6, [32,2,1], 51840 주문 |
특성. | 볼록하게 하다 |
정류된 2는21 정점 216개, 126개 면: 정류된 5개 단순 72개, 정류된 5개 직각 27개, 5개 직각 27개. 그것의 꼭지점 모양은 수정 5세포 프리즘이다.
대체 이름
- 수리된 27-72면 폴리페톤(아크로니엄 로작)으로 수리된 아이코시헵타-헵타콘티디 페톤(Jonathan Bowers)[6]
건설
그것의 구성은 E 그룹을6 기반으로 하며, 이 폴리토프를 나타내는 고리 모양 Coxeter-Dynkin 도표에서 정보를 추출할 수 있다.
짧은 가지에 있는 링을 제거하면 수리된 5-단순, .
다른 2-길이 가지 끝에 있는 링을 제거하면 정류된 5정맥이 번갈아 나타나는 형태로 남는다: t(2111), .
동일한 2-길이 가지 끝에 있는 링을 제거하면 5-demicube21 (1), .
꼭지점 형상은 링을 제거하고 이웃 링을 울려 결정한다. 이렇게 하면 수정 5-셀 프리즘, t1{3,3,}x{}x{}, .
이미지들
정점은 이 투영에서 빨강, 주황, 노랑 순서로 그 다중성에 의해 색칠된다.
E6 [12] | D5 [8] | D4 / A2 [6] | B6 [12/2] |
---|---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
A5 [6] | A4 [5] | A3 / D3 [4] | |
![]() | ![]() | ![]() |
잘린 2_21 폴리토프
잘린21 2 폴리토프 | |
---|---|
유형 | 제복6폴리토프 |
슐레플리 기호 | t{3,3,32,1} |
콕시터 기호 | t(221) |
콕시터-딘킨 도표 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
5시 15분 | 72+27+27 |
4시 15분 | 432+216+432+270 |
세포 | 1080+2160+1080 |
얼굴 | 720+4320 |
가장자리 | 216+2160 |
정점 | 432 |
정점수 | ( ) v r{3,3,3} |
콕시터군 | E6, [32,2,1], 51840 주문 |
특성. | 볼록하게 하다 |
잘린 2는21 꼭지점 432개, 가장자리 5040개, 면 4320개, 셀 1350개, 4-페이스를 가지고 있다. 그것의 꼭지점 모양은 수정 5세포 피라미드다.
이미지들
정점은 이 투영에서 빨간색, 주황색, 노란색, 녹색, 청록색, 파란색, 보라색 순으로 색칠된다.
E6 [12] | D5 [8] | D4 / A2 [6] | B6 [12/2] |
---|---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
A5 [6] | A4 [5] | A3 / D3 [4] | |
![]() | ![]() | ![]() |
참고 항목
메모들
- ^ 고셋, 1900년
- ^ Coxeter, H.S.M. (1940). "The Polytope 221 Whose Twenty-Seven Vertices Correspond to the Lines on the General Cubic Surface". Amer. J. Math. 62 (1): 457–486. doi:10.2307/2371466. JSTOR 2371466.
- ^ 1912년 엘테
- ^ 클라이칭, (x3o3o3o *c3o - jack)
- ^ 콕시터, 일반 폴리토페스, 11.8 고셋은 6차원, 7차원, 8차원, 202-203페이지.
- ^ 클라이칭, (o3x3o3o *c3o - 로작)
참조
- T. 고셋: 수학의 메신저 맥밀런, 1900년 n차원의 정규 및 반정규격 수치에 관한 연구, 1900년
- Elte, E. L. (1912), The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces, Groningen: University of Groningen
- 케일리디스코어: H.S.M. Coxeter의 선별된 글, F가 편집한 글. 아서 셔크, 피터 맥멀런, 앤서니 C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN978-0-471-01003-6[1]
- (용지 17) Coxeter, The Evolution of Coxeter-Dynkin 다이어그램, [Neyuw Archief voor Wiskunde 9(1991) 233-248] 그림 1: (p. 232) (폴리토프의 노드 에지 그래프) 참조
- Klitzing, Richard. "6D uniform polytopes (polypeta)". x3o3o3o3o *c3o - jak, o3x3o3o *c3o - rojak
가족 | A을n | Bn | I2(p) / Dn | E6 / E7 / E8 / F4 / G2 | Hn | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
정규 다각형 | 삼각형 | 사각형 | p-곤 | 육각형 | 펜타곤 | |||||||
균일다면체 | 사면체 | 옥타헤드론 • 큐브 | 데미큐브 | 도데카헤드론 • 이코사헤드론 | ||||||||
균일 폴리초론 | 펜타코론 | 16-셀 • 테세락트 | 데미테세락트 | 24셀 | 120 셀 • 600 셀 | |||||||
제복5폴리토프 | 5와섹스 | 5정형 • 5정형 | 5데미큐브 | |||||||||
제복6폴리토프 | 6-630x | 6-정통 • 6-118 | 6데미큐브 | 122 • 221 | ||||||||
제복7폴리토프 | 7시 15분 | 7정맥 • 7정맥 | 7데미큐브 | 132 • 231 • 321 | ||||||||
제복8폴리토프 | 8시 15분 | 8정형 • 8정형 | 8데미큐브 | 142 • 241 • 421 | ||||||||
제복9폴리토프 | 9시 15분 | 9-정통 • 9-11 | 9데미큐브 | |||||||||
균일 10폴리토프 | 10센트짜리 | 10정형 • 10정형 | 10데미큐브 | |||||||||
균일 n폴리토프 | n-제곱스 | n-직관 • n-직관 | n-데미큐브 | 1k2 • 2k1 • k21 | n-자갈 폴리토프 | |||||||
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