of의 근삿값

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수학 상수
3.1415926535897932384626433...
사용하다
원의 넓이 둘레 다른 공식에 사용
특성.
비합리성 초월
가치
7분의 22미만 근사치 마드하바의 수정항 암기
사람
아르키메데스 류후이 주충지 아리아바타 마드하바 Jamshīd al-Kāshī 루돌프 반 쿨렌 프랑수아 비에트 Seki Takakazu 타케베 겐코 윌리엄 존스 존 머신 윌리엄 샹크스 스리니바사 라마누잔 존 렌치 추드노프스키 형제 카나다 야스마사
역사
연대표 파이의 역사
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관련주제
원을 사각형으로 만들기 바젤문제 9분의 1 기타 topics과 관련된 주제
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수학사에서 수학 상수 pi(π)에 대한 근사치는 공통 시대가 시작되기 전에는 참값의 0.04% 이내의 정확도에 도달했습니다. 중국 수학에서 이는 5세기까지 소수점 이하 7자리 정도에 해당하는 근사치로 개선되었습니다.

(잠쉬 ī드 알 카쉬 ī의 노력으로) 15세기가 되어서야 더 많은 발전이 이루어졌습니다. 초기 현대 수학자들은 17세기 초까지 35자리, 19세기까지 126자리의 정확도에 도달하여 순수 수학 이외의 어떤 가능한 응용에도 필요한 정확도를 능가했습니다.

π의 수동 근사에 대한 기록은 1853년에 527자리를 정확하게 계산한 윌리엄 섕크스(William Shanks)에 의해 보유되고 있습니다. 20세기 중반부터 π의 근사치는 전자 디지털 컴퓨터의 임무였습니다(종합적인 설명은 π 계산 연표 참조). 2022년 6월 8일, 현재 기록은 엠마 하루카 이와오가 알렉산더 예의 y 크런처와 함께¹⁴ 100조의 숫자를 기록하며 수립되었습니다.^[2]

초기역사

일반 시대 이전의 π에 대한 가장 잘 알려진 근사치는 소수점 이하 2자리까지 정확했고, 특히 중국 수학에서는 1천 년 중반까지 소수점 이하 7자리까지 정확하게 개선되었습니다. 이후 중세 후기까지 더 이상의 진전은 없었습니다.

일부 이집트학자들은 고대 이집트인들이 π의 근사치를 사용했다고 주장했습니다. 22 ⁄7 = 3.142857 (약 0.04% 너무 높음). 이 주장은 회의론에 부딪혔습니다.^[5][6]

바빌로니아 수학은 대개 π을 3으로 근사했는데, 이는 당시 건축 프로젝트에 충분한 것입니다(특히 히브리어 성경에 나오는 솔로몬의 성전에 대한 설명에도 반영되어 있습니다). 바빌로니아 사람들은 이것이 근사치라는 것을 알고 있었고, 1936년 수사 근처에서 발굴된 고대 바빌로니아 수학판 하나(기원전 19세기에서 17세기 사이로 추정)는 정확한 값보다 0.528% 낮은 25 ⁄8 = 3.125로 π의 더 나은 근사치를 제공합니다.

거의 비슷한 시기에 이집트의 '힌드 수학 파피루스'(제2중간기, c. 1600 BCE)는 오래된 중세 문서의 사본이라고 명시되어 있지만 팔각형과의 근사치를 통해 원의 면적을 계산하면 256 ⁄81 ≈ 3.16 (정확히 0.6%)으로 π의 근사치를 의미합니다.

샤타파타 브라흐마나(기원전 6세기경)의 천문학적 계산은 339 ⁄108 ≈ 3.139의 분수 근사치를 사용합니다.

마하바라타(기원전 500년 - 기원전 300년)는 비슈마 파르바(Bishma Parva) 구절에서 제시된 비율로 대략 3을 제시하고 있습니다: 6.12.40–45.^[14]

...

기억에 의하면 달은 지름이 11,000요자나 되는 것으로 전해집니다. 계산했을 때 주변 원은 33,000요자나 됩니다.
...
태양은 지름이 8천 요야나이고 지름이 2천 요야나입니다. 그 주변의 원은 요야나스 3만 명과 같습니다.

...

— "verses: 6.12.40–45, Bhishma Parva of the Mahabharata"

기원전 3세기에 아르키메데스는 규칙적인 96각형(각각 2·10과 4·10의 정확도)을 사용하여 223 ⁄71 < π < 22 ⁄7의 급격한 부등식을 증명했습니다.

2세기에 프톨레마이오스는 377 ⁄120이라는 값을 사용했는데, 이 값은 소수 셋째 자리까지 정확한 것으로 알려진 최초의 근사값입니다(정확도 2·10). 3${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 8}$/ ${\displaystyle 60}$+ ${\displaystyle 30}$/ ${\displaystyle {60}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 3$+ $8$/ $60$+ $30$/ $60^{2}$와 같습니다$$.

서기 263년에 중국 수학자 류휘는 96-곤과 192-곤을 새겨 π을 3.141024에서 3.142708 사이로 계산했습니다. 이 두 값의 평균은 3.141866(정확도 9·10)입니다. 그는 또한 3.14가 실용적인 목적을 위해 충분히 좋은 근사치라고 제안했습니다. 그는 또한 종종 더 나중에 더 정확한 결과인 π ≈ 3927 ⁄ 1250 = 3.1416 (accuracy 2·10)으로 인정받았지만, 일부 학자들은 이것이 후대(5세기) 중국 수학자 주총지의 덕분이라고 생각합니다. Zu Chongzhi는 컴퓨터 π을 3.1415926에서 3.1415927 사이로 알려져 있으며, 이는 소수점 이하 7자리까지 정확했습니다. 그는 또한 그의 십진법 결과만큼 정확하지 않은 ⁄ 22 π7과 π ≈ 355 ⁄113이라는 두 가지 다른 π ≈의 근사치를 제시했습니다. 후자의 분수는 분자와 분모에서 소수점 이하 5자리를 사용하는 π의 가장 가능한 유리한 근사치입니다. Zu Chongzhi의 결과는 헬레니즘 수학에서 도달한 정확도를 능가하며 거의 1000년 동안 개선되지 않고 남아있을 것입니다.

인도 굽타 시대(6세기)의 수학자 아리야바타는 그의 천문학 논문 아리아바 ṭī야에서 다음과 같이 말했습니다.

100에 4를 더하고 8을 곱한 후 62,000을 더합니다. 이것은 지름이 20,000인 원의 둘레를 '대략'한 것입니다.

— Āryabhaṭīya

π 62832 ⁄ 20000 = 3.1416 등 소수점 네 자리까지 π ≈을 근사하게 표현한 아리아바타는 자신의 결과가 원둘레를 "대략적으로"(āsanna "approach링")라고 말했습니다. 그의 15세기 해설가인 Nilakantha Somayaji (케랄라 천문학 및 수학 학교)는 이 단어가 이것이 근사치일 뿐만 아니라 값이 헤아릴 수 없을 정도로 비합리적이라는 것을 의미한다고 주장했습니다.^[21]

중세

케랄라 천문학 및 수학 학교의 설립자인 상암아그라마의 인도 수학자이자 천문학자인 마드하바가 아크탄젠트를 위해 매클로린 급수를 발견하고 π를 위해 두 개의 무한급수를 발견한 14세기까지 거의 1천 년 동안 더 이상의 진전은 이루어지지 않았습니다. 그 중 하나는 현재 Madhava-Leibniz 시리즈로 알려져 있으며, π =4${\displaystyle }$arctan$$⁡ (1)에 기반을 두고 있습니다. {\displaystyle \pi =4\arctan (1):}

${\displaystyle \pi =4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots \right)}$

다른 하나는 π = 6$arctan$ ⁡(1/3)에 기반했습니다. {\displaystyle \pi = 6\arctan(1/{\sqrt {3}):}

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}$

그는 앞의 21개 항을 사용하여 소수점 이하 11자리까지 정확한 π의 근사치를 3.14159265359로 계산했습니다.

그는 또한 다음과 같은 보정을 포함함으로써 아크탄(1)에 기초한 공식을 개선했습니다.

${\displaystyle \pi /4\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots -{\frac {(-1)^{n}}{2n-1}}\pm {\frac {n^{2}+1}{4n^{3}+5n}}}$

그가 어떻게 이런 정정을 내놓았는지는 알려지지 않았습니다.^[23] 이를 이용하여 그는 n=75일 때 정확도가 소수점 이하 13자리까지 π의 근사치를 구했습니다.

페르시아의 천문학자이자 수학자인 잠시 ī드 알 카쉬 ī(카샨 ī)는 1424년에 2자리에서 9자리까지의 π의 분수 부분을 정확하게 계산하여 소수점 뒤에 16자리의 소수점으로 변환했습니다.

${\displaystyle 2\pi \approx 6.2831853071795864,}$

소수점 이하의 π에 대해 16자리의 정확한 숫자를 제공합니다.

${\displaystyle \pi \approx 3.1415926535897932}$

그는 3×2개의²⁸ 변을 갖는 정다각형의 둘레를 계산함으로써 이러한 수준의 정확도를 달성했습니다.^[27]

16세기에서 19세기

16세기 후반 프랑스 수학자 프랑수아 비에트는 비에트 공식으로 알려진 π에 수렴하는 무한한 곱을 발견했습니다.

독일-네덜란드 수학자 루돌프 반 쿨렌 (1600년경)은 2-곤으로 π의 첫 35개 소수점 자리를 계산했습니다. 그는 이 업적을 매우 자랑스러워하여 그의 묘비에 그것들을 새겼습니다.^[28]

윌브로드 스넬리우스는 사이클로메트릭쿠스(1621)에서 내접 다각형의 둘레가 외접 다각형의 둘레보다 두 배 빠르게 원주에 수렴한다는 것을 증명했습니다. 이것은 1654년에 Christian Huygens에 의해 증명되었습니다. 스넬리우스는 96개의 변을 가진 다각형에서 일곱 자리의 π를 얻을 수 있었습니다.

1706년 존 머신은 그레고리 급수(Arctangent의 테일러 급수)와 항등식 $\frac{14}{}$ π = 4$\mathrm{arcot}$⁡$$5 - arcot ⁡$239$ {\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\operatorname {arcot} 5-\operatorname {arccot} 239}를 사용하여 π 100자리를 계산했습니다(아래 § 머신과 같은 공식 참조). 1719년 토마스 드 라그니는 유사한 항등식을 사용하여 127자리를 계산했습니다. 1789년 슬로베니아의 수학자 쥬리 베가는 존 머신의 공식을 개선하여 첫 140자리를 계산했고, 그 중 첫 126자리는 정확했습니다.^[32] 1841년, 윌리엄 러더퍼드는 208자리를 계산했고, 그 중 첫 152자리는 정확했습니다.

이러한 정밀도의 크기는 알려진 가장 큰 물체인 관측 가능한 우주의 둘레가 지름(930억 광년)에서 플랑크 길이 1개 미만의 정밀도(1.6162×10미터⁻³⁵)로 계산될 수 있다는 사실에 의해 맥락에 따라 설명될 수 있습니다. 단 62개의 소수점 이하로 표현되는 π을 사용하여 직접 측정 가능할 것으로 예상되는 가장 짧은 길이 단위).

영국의 아마추어 수학자 윌리엄 샹크스는 1853년 1월에 소수점 530자리까지 π을 계산했는데, 그 중 첫 번째 527자리는 반올림 오류로 인해 틀렸을 가능성이 높습니다. 그 후 1853년 4월에 그는 607 소수점까지 계산을 확장했지만,^[35] 530번째 소수점에서 오른쪽으로 들어오는 오류로 인해 그의 나머지 계산은 오류가 되었고, 기계의 공식의 특성상 오류는 다시 528번째 소수점으로 확산되어 처음 527자리만 다시 수정되었습니다.^[1] 20년 후, 샹크스는 1873년 4월에 소수점 707자리까지 계산을 확장했습니다.^[36] 이것은 그의 이전 계산의 확장으로 인해 새로운 숫자도 모두 틀렸습니다.^[1] 샹크스는 오전 내내 새로운 숫자를 계산하고 오후 내내 오전의 업무를 확인하는 데 시간을 보냈다고 합니다. 이것은 4분의 3세기 후에 전자 디지털 컴퓨터가 등장하기 전까지 π의 가장 긴 확장이었습니다.

20세기와 21세기

1910년 인도의 수학자 스리니바사 라마누잔은 빠르게 수렴하는 여러 무한급수의 π를 발견했습니다.

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$

이것은 시리즈의 각 항과 함께 π의 소수점 8자리를 더 계산합니다. 그의 시리즈는 현재 π을 계산하는 데 사용되는 가장 빠른 알고리즘의 기초가 되었습니다. 첫 번째 항만 평가하면 소수점 이하 7자리까지 정확한 값을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle \pi \approx {\frac {9801}{\sqrt {2}}}\approx 3.14159273}$

Ramanujan – Sato 시리즈 참조.

20세기 중반 이후부터는 π의 모든 계산이 계산기나 컴퓨터의 도움으로 이루어졌습니다.

1944년, D. F. 퍼거슨은 기계식 탁상 계산기의 도움을 받아 윌리엄 샹크스가 소수점 528번째 자리에서 실수를 했고, 뒤에 오는 모든 숫자가 틀렸다는 것을 발견했습니다.^[34]

컴퓨터 초기에, 메릴랜드 수학자 Daniel Shanks(앞에서 언급한 William Shanks와 무관)와 워싱턴 D.C.에 있는 미국 해군 연구소의 그의 팀은 π을 소수점 100,000자리까지 확장하는 것을 계산했습니다. 1961년, 샹크스와 그의 팀은 π의 숫자를 계산하기 위해 두 개의 다른 멱급수를 사용했습니다. 하나는 오류가 있으면 약간 높은 값이 생성된다고 알려져 있었고, 다른 하나는 오류가 있으면 약간 낮은 값이 생성된다고 알려져 있었습니다. 따라서 두 시리즈가 같은 숫자를 만들어내는 한, 그들이 옳다는 매우 높은 자신감이 있었습니다. π의 첫 100,265자리는 1962년에 발행되었습니다. 저자들은 π에서 소수점 이하 100만 자리까지 계산하기 위해 무엇이 필요한지 개요를 설명했고, 이 작업은 그날의 기술을 넘어서는 것이지만 5년에서 7년 후에는 가능할 것이라고 결론지었습니다.

1989년, 추드노프스키 형제는 라마누잔의 무한급수 π의 다음과 같은 변형을 사용하여 슈퍼컴퓨터 IBM 3090의 소수점 이하 10억 개 이상의 π을 계산했습니다.

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}.}$

그 이후의 기록들은 모두 추드노프스키 알고리즘을 사용하여 완성되었습니다. 1999년, 도쿄 대학의 카나다 야스마사와 그의 연구팀은 라마누잔의 무한급수 π의 또 다른 변형을 사용하여 슈퍼컴퓨터 HITACHI SR8000/MPP(128개의 노드)에서 π을 2,000억 개 이상의 소수점으로 계산했습니다. 2002년 11월, Kanada Yasumasa와 다른 9명의 팀은 1테라바이트의 메인 메모리를 가진 64노드 슈퍼컴퓨터인 Hitachi SR8000을 사용하여 약 600시간(25일) 만에 약 1조 2,400억 자리의 π을 계산했습니다.

최근기록

1. 2009년 8월, T2K Open Supercomputer라고 불리는 일본의 슈퍼컴퓨터는 약 73시간 36분 만에 π을 약 2조 6천억 자리로 계산하여 이전 기록을 두 배 이상 늘렸습니다.
2. 2009년 12월, 파브리스 벨라드는 가정용 컴퓨터를 사용하여 π의 십진수 2.7조를 계산했습니다. 계산은 2진수로 수행되었고, 그 결과는 10진수로 변환되었습니다. 계산, 변환, 검증 단계까지 총 131일이 걸렸습니다.^[40]
3. 2010년 8월, 콘도 시게루는 알렉산더 예의 y 크런처를 사용하여 π의 5조 자리 수를 계산했습니다. 이것은 어떤 종류의 계산에서도 세계 기록이었지만, 중요한 것은 곤도가 만든 가정용 컴퓨터에서 이루어졌다는 것입니다.^[41] 계산은 5월 4일에서 8월 3일 사이에 이루어졌으며 1차 검증과 2차 검증은 각각 64시간과 66시간이 소요되었습니다.^[42]
4. 2011년 10월, 곤도 시게루는 같은 방식이지만 더 나은 하드웨어를 사용하여 10조¹³ 50자리를 계산함으로써 자신의 기록을 깼습니다.^[43][44]
5. 2013년 12월, 곤도는 12.1조 자리의 π을 계산하면서 자신의 기록을 두 번째로 깼습니다.
6. 2014년 10월, Sandon Van Ness는 "houkouonchi"라는 가명으로 y-cruncher를 사용하여 13조 3천억 개의 π를 계산했습니다.
7. 2016년 11월, Peter Trueb와 그의 후원자들은 y-cruncher를 계산하여 π의 22.4조 자리수(22,459,157,718,361 (π × 10))를 완전히 검증했습니다. 계산이 완료되는 데 105일이 걸렸고(^[46]3회 중단), 추가 확장의 한계는 주로 스토리지 공간이었습니다.^[45]
8. 2019년 3월, 구글의 직원 엠마 하루카 이와오(Emma Haruka Iwao)는 y 크런처와 구글 클라우드 머신을 사용하여 31.4조(약 10 π)의 파이를 계산했습니다. 완료하는 데 121일이 걸렸습니다.^[48]
9. 2020년 1월 티모시 뮬리칸은 303일 동안 50조 자리의 계산을 발표했습니다.^[49][50]
10. 2021년 8월 14일, 그리슨 응용과학 대학(DAViS)은 62.8조 π의 π 계산을 완료했다고 발표했습니다.
11. 2022년 6월 8일, 엠마 하루카 이와오(Emma Haruka Iwao)는 구글 클라우드 블로그(Google Cloud Blog)에 알렉산더 예(Alexander Yee)의 y 크런처(y-cruncher)를 사용하여 158일 동안 π의 100조 자리 수를 계산했다고 발표했습니다.

실제 근사치

계산의 목적에 따라 계산의 용이성을 위해 분수를 사용하여 π을 근사화할 수 있습니다. 가장 주목할 만한 근사치는 22 ⁄7(약 4·10의 상대오차)과 355 ⁄113(약 8·10의 상대오차)입니다. 중국 수학에서, 분수 22/7과 355/113은 위엘뤼와 밀뤼로 명명되었습니다.

of의 비수학적 "정의"

일부 주목할 만한 것은 "직경과 원둘레의 비율은 4분의 5와 같다"고 명시한 1897년의 "인디아나 파이 법안"과 π = 3을 암시하는 히브리어 성경의 한 구절과 같이 어느 정도 합리적인 가치를 가진 것으로 알려진 법적 또는 역사적 문헌들입니다.

인디아나 지폐

1897년의 이른바 "인디아나 파이 법안"은 종종 "파이의 가치를 법제화"하려는 시도로 특징지어졌습니다. 오히려, 그 법안은 기하학적으로 "원을 제곱하는" 문제에 대한 해결책으로 알려진 것을 다루었습니다.^[56]

이 법안은 미국 인디애나 총회에서 통과될 뻔했으며, π에 대한 여러 가지 다른 가치를 암시한다고 주장되어 왔습니다. 비록 명시적으로 주장하는 것에 가장 가까운 것은 "직경과 원둘레의 비율은 4분의 5"라는 문구인데, 이 문구는 ⁄=16 π 5 = 3.2, 거의 2퍼센트의 차이 하원에서 법안이 통과된 후 상원에서 심의를 위해 법안이 상정된 날 우연히 출석한 한 수학 교수는 법안의 두 번째 판독에서 법안 통과를 저지하는 것을 도왔고, 이후 의회는 이를 철저히 조롱한 후 무기한 연기했습니다.

귀속성경적 가치

히브리어 성경은 왕 7장 23절과 연대기 4장 2절에 예루살렘 성전 앞에 위치한 둥근 분지의 지름이 10큐빗, 둘레가 30큐빗이라는 구절을 근거로 "π은 3과 같다"고 암시한다고 주장하기도 합니다.

이 문제는 탈무드와 랍비 문학에서 논의됩니다.^[57] 많은 설명과 논평 중에는 다음과 같은 것들이 있습니다.

• 랍비 느헤미아는 그의 미슈나트하-미드닷(기하학에 관한 가장 초기의 히브리어 본문, 약 150년경)에서 지름은 바깥 테두리에서 측정하고, 둘레는 안쪽 테두리를 따라 측정한다고 말함으로써 이를 설명했습니다. 이 해석은 약 0.225 큐비트(또는 18인치 "큐비트", 약 4인치 또는 1/3 "핸드 브레드스", 두께(cf)를 가정할 때)의 챙을 의미합니다. NKJV and NKJV).
• Maimonides는 π은 대략적으로만 알 수 있으므로 종교적인 목적을 위해 값 3이 충분히 정확하게 주어졌다고 말합니다. 이것은 일부 사람들에 의해 π이 비합리적이라는 가장 초기의 주장으로 받아들여집니다.

성서학에서 이 구절에 대해서는 아직도 약간의 논쟁이 있습니다.^{[failed verification][59][60]} 대야의 많은 재구성은 NKJV에^[61] 설명된 것과 일치하도록 그릇 자체에서 바깥쪽으로 몇 인치 확장된 더 넓은 챙(또는 플레어 립)을 보여줍니다. 다음 구절에서 테두리는 "한 손으로 빵을 먹는 두께"라고 묘사되며, 그 챙은 컵의 챙처럼 휘어져 있습니다. 백합의 꽃처럼: 삼천탕을 받아 들였습니다." NKJV는, 예를 들어, 릴륨 꽃이나 찻잔과 같이, 챙의 전체 길이보다 짧은 끈으로 둘러쌀 수 있는 모양을 제안합니다.

효율식 개발

원에 대한 다각형 근사

아르키메데스는 자신의 원 측정에서 원에 내접하는 어떤 (볼록한) 다각형의 둘레가 원의 둘레보다 작으며, 이는 다시 외접하는 어떤 다각형의 둘레보다 작다는 생각에 기초하여 π 계산을 위한 최초의 알고리즘을 만들었습니다. 그는 테두리가 쉽게 결정되는 내접하고 외접하는 규칙적인 육각형으로 시작했습니다. 그런 다음 그는 같은 원에 대해 내접하고 외접하는 면의 두 배에 해당하는 정다각형의 둘레를 계산하는 방법을 보여줍니다. 이것은 오늘날 다음과 같이 설명되는 재귀적 절차입니다. p와_k P는_k 각각 같은 원에 대해 내접하고 외접하는 k변의 정다각형의 경계를 나타냅니다. 그리고나서,

${\displaystyle P_{2n}={\frac {2p_{n}P_{n}}{p_{n}+P_{n}}},\quad \quad p_{2n}={\sqrt {p_{n}P_{2n}}}.}$

아르키메데스는 이를 이용하여 P₁₂, p₁₂₂₄, P₂₄, P, P₄₈, P를₄₈₉₆ 연속적으로₉₆ 계산합니다.^[62] 이 마지막 값을 사용하여 그는

${\displaystyle 3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}.$

아르키메데스가 왜 96변 다각형에서 멈췄는지는 알려지지 않았습니다. 계산을 연장하는 데는 인내심만 필요합니다. 헤론은 그의 메트릭(약 60CE)에서 아르키메데스가 지금은 잃어버린 책에서 계산을 계속했지만, 잘못된 값을 그에게 돌린다고 보고합니다.^[63]

아르키메데스는 이 계산에서 삼각법을 사용하지 않으며 이 방법을 적용하는 데 어려움은 관련된 제곱근에 대해 좋은 근사치를 얻는 데 있습니다. 삼각법은 원형의 화음 길이 표 형태로, 아마도 알렉산드리아의 클라우디우스 프톨레마이오스가 알마게스트 (150년경)에서 주어진 π의 값을 얻기 위해 사용했을 것입니다.

계산에 사용된 다각형의 변의 수를 증가시킴으로써 π의 근사치(방법이 알려졌을 때)에 있어서의 진보가 이루어졌습니다. Wilebord Snell(1621)에 의한 삼각법 개선은 다각형 방법에서 얻은 한 쌍의 경계로부터 더 나은 경계를 얻습니다. 따라서 변이 적은 다각형에서 더 정확한 결과를 얻었습니다.^[65] 1593년 프랑수아 비에가 발표한 비에의 공식은 비에가 밀접하게 관련된 다각형 방법을 사용하여 유도했지만 변의 수가 2의 거듭제곱인 다각형의 테두리가 아닌 넓이로 유도했습니다.^[66]

이 방법으로 π을 계산하려는 마지막 주요 시도는 1630년 그리엔베르거에 의해 이루어졌는데, 그는 스넬의 정밀도를 이용하여 π의 소수점 39자리를 계산했습니다.

기계식

빠른 계산을 위해 Machin's와 같은 공식을 사용할 수 있습니다.

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

함수 arctan(x)의 테일러 급수 확장과 함께. 이 공식은 복소수의 극좌표를 사용하여 가장 쉽게 확인할 수 있으며, 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle (5+i)^{4}\cdot (239-i)=2^{2}\cdot 13^{4}(1+i).}$

((x}), ({mvar) = {239, 13}은 Pell 방정식 x - 2y = -1의 해입니다.)

이런 종류의 공식은 기계와 같은 공식으로 알려져 있습니다. 머신의 특정 공식은 컴퓨터 시대에 π의 기록적인 자릿수를 계산하는 데 잘 사용되었지만, 최근에는 다른 유사한 공식들도 사용되고 있습니다.

예를 들어, 샹크스와 그의 팀은 1961년에 π의 첫 100,000자리를 계산하기 위해 다음과 같은 기계식 공식을 사용했습니다.

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}}$

그들은 또 다른 기계 같은 공식을 사용했고,

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{18}}+8\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}}$

수표로

2002년 12월 현재 도쿄 대학의 카나다 야스마사의 기록은 1,241,100,000,000자리였습니다. 이를 위해 다음과 같은 Machine-like 공식이 사용되었습니다.

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$

K. Takano (1982).

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$

F. C. M. Størmer (1896).

다른 고전 공식

π의 추정치를 계산하는 데 사용된 다른 공식은 다음과 같습니다.

류후이(비에트 공식 참조):

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &\approx 768{\sqrt{2+{\sqrt{2+}{\sqrt{2+{\sqrt{2+}}{\sqrt{2+{\sqrt{2+{\sqrt{2+1}}}}}:}}}:\&\approx 3.141590463236763.\end{align}}}$

마드하바:

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left({1 \over 1\cdot 3^{0}}-{1 \over 3\cdot 3^{1}}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}$

뉴턴 / 오일러 수렴 변환:^[67]

${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan x&={\frac {x}{1+x^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!!\,x^{2k}}{(2k+1)!!!\,(1+x^{2})^{k}}}={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2})^{3}}}+\cdots \\[10mu]{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\cfrac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\end{aligned}}$

여기서 !! 는 동일한 패리티를 갖는 m까지의 양의 정수의 곱인 이중 계승입니다.

오일러:

${\displaystyle {\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}+8\arctan {\frac {3}{79}}}$

(arctan에 대해서는 앞의 시리즈를 사용하여 평가)

라마누잔:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$

데이비드 추드노프스키와 그레고리 추드노프스키:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}}$

라마누잔의 연구는 밀레니엄 시대가 되면서 가장 빨리 사용되는 알고리즘인 추드노프스키 알고리즘이 π을 계산할 수 있는 기반이 됩니다.

현대 알고리즘

π의 매우 긴 십진법 전개는 일반적으로 가우스-레장드르 알고리즘과 보와인 알고리즘과 같은 반복 공식으로 계산됩니다. Jonathan과 Peter Borwein이 1985년에 발견한 후자는 매우 빠르게 수렴합니다.

$y$ ${\displaystyle 0_{}}$ = ${\displaystyle 2}$-${\displaystyle }$1의 $경우$a 0 = 6 - 42 {\displaystyle y_{0} = {\sqrt {2}-1,\a_{0} = 6-4{\sqrt {2}} 및

${\displaystyle y_{k+1}=(1-f(y_{k}))/(1+f(y_{k}))~,~a_{k+1}=a_{k}(1+y_{k+1})^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^{2})}$

$여기$서 f${\displaystyle (y)}$ =${\displaystyle }$(1 $-$ y 4 ) 1 / 4 {\displaystyle f(y) = (1 - y^{4})^{1/4}}, 시퀀스 1 / k {\displaystyle 1/a_{k}}는 π에 분기별로 수렴하여 3단계로 약 100자리, 20단계 이후에는 1조 자리 이상의 숫자를 제공합니다. 하비를 사용한 가우스-레전드르 알고리즘(시간 복잡도 $O{\displaystyle (n}$ ${\displaystyle {\log }^{}}$ ${\displaystyle 2}$ ⁡ n) {\$displaystyle$ O$(n\log$ $^\{$2}n)}호븐 곱셈 알고리즘)은 Chudnovsky 알고리즘(시간 복잡도 $O{\displaystyle (n}$ ${\displaystyle {log}^{}}$ ${\displaystyle 3}$ ⁡ n ) {\$displaystyle$ O$(n\log$ $^\{$3}n)}보다 점근적으로 빠릅니다. 그러나 이러한 알고리즘 중$$"$충분히$ 작은" n${\display$ n}에 대해 실제로 더 빠른 것은 메모리 크기 및 액세스 시간과 같은 기술적 요인에 달려 있습니다. 세계 기록을 깨기 위해 반복 알고리즘은 메모리 집약적이기 때문에 Chudnovsky 알고리즘보다 덜 일반적으로 사용됩니다.

π의 첫 번째 백만 자리와 ⁄π 1자리는 프로젝트 구텐베르크에서 구할 수 있습니다. 도쿄 대학의 카나다 야스마사가 2002년 9월에 주 메모리가 1테라바이트인 64노드 Hitachi 슈퍼컴퓨터에서 계산한 이전 계산 기록(2002년 12월)은 1조 2,400억 자리 수였습니다. 이 수치는 초당 2조 개의 연산을 수행하는 주 메모리를 가진 이전 기록(2060억자리)에 사용된 컴퓨터보다 거의 두 배나 많습니다. 이를 위해 다음과 같은 Machine-like 공식이 사용되었습니다.

$4$ = 1${\displaystyle \frac{2}{}아크탄}$ ${\displaystyle 149}$ +${\displaystyle }$3${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \mathrm{아크탄}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle 157}$ - ${\displaystyle \frac{5}{}}$ $⁡$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ 239 + 1$아크탄$⁡ 1 110443 {\displaystyle {\frac {\p${\displaystyle \frac{i}{}}$}{4}}=12\ 아크탄 {\frac {1}{49}}+32\ 아크탄 {\frac {1}{57}}-5\ 아크탄 {\frac {1}{239}}+12\ 아크탄 {\frac {1}{110443}} (키쿠${\displaystyle \frac{\mathrm{오\; 타카}}{}}$노(1982))

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$ (F. C. M. Størmer (1896)).

이러한 근사치는 숫자가 너무 많아서 새로운 슈퍼컴퓨터를 테스트하는 것을 제외하고는 더 이상 실용적이지 않습니다.^[71] π의 잠재적 정규성과 같은 속성은 항상 유한한 계산이 아니라 끝에 있는 무한한 숫자열에 의존합니다.

기타 근사

역사적으로 60은 계산에 사용되었습니다. 이 베이스에서 π는 숫자 3;8,29,44와 함께 8개(소수)의 유효숫자로 추정될 수 있습니다.

${\displaystyle 3+{\frac {8}{60}}+{\frac {29}{60^{2}}}+{\frac {44}{60^{3}}}=3.14159\ 259^{+}}$

(다음 60진 숫자는 0이므로 여기서 잘린 부분이 비교적 좋은 근사치를 산출합니다.)

또한 다음 식을 사용하여 π을 추정할 수 있습니다.

• 세 자리까지 정확한:

${\displaystyle {\frac {22}{7}}=3.143^{+}}$

• 세 자리까지 정확한:

${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=3.146^{+}$

카를 포퍼(Karl Popper)는 플라톤이 이 표현을 알고 있었고, 그는 그것이 정확히 π이라고 믿었으며, 이것이 수학 기하학의 전능성에 대한 플라톤의 자신감과 이등변삼각형 또는 정삼각형의 반인 특별한 직각삼각형에 대한 플라톤의 반복적인 논의에 책임이 있다고 추측했습니다.

${\displaystyle {\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+1=3.1409^{+}}$

• 네 자리까지 정확한:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{31}}=3.1413^{+}}$^[72]

${\displaystyle {\sqrt {63}}-{\sqrt {23}}=3.14142\2^{+}}$

${\displaystyle {\sqrt {51}}-{\sqrt {16}}=3.14142\8^{+}}$

• 4자리(또는 5개의 유효숫자)로 정확:

${\displaystyle {\sqrt {7+{\sqrt {6+{\sqrt {5}}}}}=3.1416^{+}}$^[73]

• 4자리 숫자(또는 5개의 유효숫자)로 정확한 라마누잔의 근사값:

${\displaystyle {\frac {9}{5}}+{\sqrt {\frac {9}{5}}}=3.1416^{+}}$

• 5자리까지 정확하게:

${\displaystyle {\frac {7^{7}}{4^{9}}=3.14156^{+}}$

${\displaystyle {\sqrt[{5}]{306}}=3.14155^{+}}$^[74]

• 6자리까지 정확한:

${\displaystyle \left(2-{\frac {\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}{2^{2}}}\right)^{2}=3.14159\ 6^{+}}$ [1]

${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}{68}}=3.14159\ 0^{+}}$^{[citation 필요]}

${\displaystyle 4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}\right)-{\frac {2}{10+{\frac {1^{2}}{10+{\frac {2^{2}}{10+{\frac {3^{2}}{10}}}}}}}}=3.14159\ 3^{+}}$^[75][76]

• 7자리까지 정확합니다.

${\displaystyle {\frac {355}{113}}=3.14159\29^{+}}$

${\displaystyle {\frac{\sqrt {883}}-{\sqrt {21}}{8}}=3.14159\25^{+}$

${\displaystyle \frac{9801}{}}$ ${\displaystyle \frac{2206}{}}$ ${\displaystyle \frac{2\sqrt{\mathrm{}}}{}}${\$displaystyle${\$frac {9801} {2206$ {\sqrt ${2}}}$ $$- 라마누잔 급수의 첫 번째 항의 역.

${\displaystyle \left({\frac {2\cdot 4\cdot 6}{3\cdot 5\cdot 7}}\right)^{2}\left(15+{\frac {1^{2}}{30+{\frac {3^{2}}{30+{\frac {5^{2}}{30}}}}}}\right)=3.14159\ 27^{+}}$^[77]

• 8자리까지 정확:

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2669}}-{\sqrt {547}}}{9}}=3.14159\ 269^{+}}$

${\displaystyle {\frac {16}{5{\sqrt[{38}]{2}}{\sqrt[{3846}]{2}}}}=3.14159\ 260^{+}}$

${\displaystyle {\frac {99733}{31746}}=3.14159\ 264^{+}}$

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {58}}{4}}-{\frac {37{\sqrt {2}}}{33}}\right)^{-1}={\frac {66{\sqrt {2}}}{33{\sqrt {29}}-148}}=3.14159\ 263^{+}}$^[78]

이것은 라마누잔의 근사로부터 얻을 수 없는 경우입니다(22).^[79]

• 9자리까지 정확:

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.14159\ 2652^{+}}$

라마누잔이 나마기리 여신이 꿈속에 나타나 π의 진가를 알려줬다고 주장한 내용입니다.

• 정확한 10자리:

${\displaystyle {\sqrt[{15}]{28658146}}$

• 정확한 10자리:

${\displaystyle {\frac {63}{25}}\times {\frac {17+15{\sqrt {5}}}{7+15{\sqrt {5}}}}=3.14159\ 26538^{+}}$

• 10자리(또는 11개의 유효숫자)로 정확:

${\displaystyle {\sqrt[{193}]{\frac {10^{100}}{11222.11122}}}=3.14159\ 26536^{+}}$

이 기이한 근사는 193번째 1/π의 거듭제곱이 112211125라는 수열을 산출한다는 관측에 따른 것입니다. 5를 2로 교체하면 π의 정확한 자릿수를 줄이지 않고 대칭이 완성되는 반면, 중앙 소수점을 삽입하면 동반되는 크기가 10으로 현저하게 고정됩니다.

• 정확한 11자리:

${\displaystyle {\sqrt[{18}]{888582403}}$

• 12자리까지 정확합니다.

${\displaystyle {\sqrt[{20}]{8769956796}}$

• 소수점 이하 12자리까지 정확합니다.

${\displaystyle \left ({\frac {\sqrt {163}}{6}}-{\frac {181}{\sqrt {10005}}\right)^{-1}}$

이 값은 Chudnovsky 시리즈(첫 번째 항에서 시리즈(1.4)를 trunc하고 E(τ)/E(τ) = 151931373056001/151931373056000 ≈ 1)에서 얻습니다.

• 16자리까지 정확:

${\displaystyle \frac{2510613731736}{}}$ 2 ${\displaystyle \frac{1130173253125}{}}$ ${\$ {$1130173253125}}$ $$- 라마누잔 시리즈의 처음 두 항의 합의 역.

${\displaystyle {\frac {165707065}{52746197}}=3.14159\ 26535\ 897\ 934^{+}}$

• 18자리까지 정확:

${\displaystyle {\frac {80{\sqrt {15}}(5^{4}+53{\sqrt {89}})^{\frac {3}{2}}}{3308(5^{4}+53{\sqrt {89}})-3{\sqrt {89}}}}}$^[82]

이는 차수 2의 대수적 수를 설명하는 기본 판별 d = 3(89) = 클래스 번호 h (-d)를 갖는 267 = 2를 기반으로 합니다. 코어 라디칼 ${\displaystyle {54}^{}}$+ ${\displaystyle \sqrt{5399}}$ ${\displaystyle \scriptstyle 5^{4}+53{\sqrt {89}}$는 기본 단위 U ${\displaystyle {89}_{}}$ = ${\displaystyle 500}$+ ${\displaystyle 5399}${\displaystyle \scriptstyle U_{89} = 500 + 53 {\sqrt {89}}보다 5 더 많으며, 이는 Pell 방정식 x - 89y = -1에 가장 작은 해 {x, y} = {500, 53}을 제공합니다.

• 소수점 이하 18자리까지 정확합니다.

${\displaystyle \frac {\sqrt {253}}{4}}-{\frac {643{\sqrt {11}}{903}}-{\frac {223}{172}}\right)^{-1}}$

이것은 라마누잔의 논문에서 n=253으로 근사치(22)입니다.

• 24자리까지 정확:

${\displaystyle \frac{2286635172367940241408}{}}$ ${\displaystyle \frac{2\sqrt{\mathrm{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{10293477390786609545}{}}$ ${\$ {$102934773907869545}$ $$- 라마누잔 시리즈의 처음 세 항의 합의 역.

• 소수점 이하 25자리까지 정확합니다.

${\displaystyle {\frac {1}{10}\ln \left ({\frac {2^{21}}{({\sqrt[{4}}{5}-1)^{24}}+24\right)}}$

이것은 Ramanujan의 클래스 불변량 g = 2/(5 - 1)에서 파생됩니다.

• 소수점 이하 30자리까지 정확합니다.

${\displaystyle {\frac {\ln(640320^{3}+744)}{\sqrt {163}}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279^{+}}$

정수 640320³+744에 대한 라마누잔 상수의 근접성에서 파생되었습니다. 이것은 정수에 명백한 일반화를 인정하지 않습니다. 왜냐하면 Hegner 수가 유한하고 클래스 번호 h (-d) = 1로 음의 판별식 d가 있고 d = 163이 절대값에서 가장 크기 때문입니다.

• 소수점 이하 52자리까지 정확합니다.

${\displaystyle {\frac {\ln(5280^{3}(236674+30303{\sqrt {61}})^{3}+744)}{\sqrt {427}}}$

위의 것처럼, j-불변의 결과입니다. 클래스 번호가 2인 음성 판별자 중 절대값이 가장 큰 것으로 나타났습니다.

• 소수점 이하 52자리까지 정확합니다.

${\displaystyle {\frac {\ln(2^{-30}((3+{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}+{\sqrt {7}})({\sqrt {7}}+{\sqrt {11}})({\sqrt {11}}+3))^{12}-24)}{{\sqrt {5}}{\sqrt {7}}{\sqrt {11}}}}}$

이것은 라마누잔의 클래스 불변 G에서₃₈₅ 파생됩니다.^[79]

• 소수점 161자리까지 정확:

${\displaystyle {\frac {\lnbig(}(2u)^{6}+24{\big)}}{\sqrt {3502}}}$

여기서 u는 4개의 단순 사분위수 단위의 곱입니다.

${\displaystyle u=(a+{\sqrt {a^{2}-1}})^{2}(b+{\sqrt {b^{2}-1}})^{2}(c+{\sqrt {c^{2}-1}})(d+{\sqrt {d^{2}-1}})}$

그리고.

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{2}}(23+4{\sqrt {34}})\\b&={\tfrac {1}{2}}(19{\sqrt {2}}+7{\sqrt {17}})\\c&=(429+304{\sqrt {2}})\\d&={\tfrac {1}{2}}(627+442{\sqrt {2}})\end{aligned}}}$

다니엘 샹크스가 발견한 것을 바탕으로. 앞의 두 가지와 유사하지만, 이번에는 모듈 형식, 즉 데데킨데타 함수의 몫이며 인수에는 τ =$$- 3502 {\displaystyle \ tau = {\sqrt {-3502}}이 포함됩니다. 판별 d = 3502는 h (-d) = 16을 갖습니다.

• π의 연속 분수 표현은 연속적인 최상의 유리 근사치를 생성하는 데 사용될 수 있습니다. 이러한 근사치는 분모의 크기에 대한 π의 가장 가능한 유리한 근사치입니다. 다음은 이들 중 첫 13명의 목록입니다.^[83][84]

${\displaystyle {\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},{\frac {103993}{33102}},{\frac {104348}{33215}},{\frac {208341}{66317}},{\frac {312689}{99532}},{\frac {833719}{265381}},{\frac {1146408}{364913}},{\frac {4272943}{1360120}},{\frac {5419351}{1725033}}}$

이 중 ${\displaystyle \frac{355}{}}$ ${\displaystyle \frac{113}{}}$ ${\$은 이 시퀀스에서 근사하는 데 필요한 자릿수보다 더 정확한 자릿수(즉, 6자리)를 제공하는 유일한 분수입니다. 분자와 분모가 더 큰 다른 분수를 사용하면 정확도를 향상시킬 수 있지만 대부분의 이러한 분수의 경우 결과에서 달성된 정확한 유효숫자보다 근사치에 더 많은 숫자가 필요합니다.^[85]

원의 넓이 합

원의 반지름과 면적을 다음 관계를 이용하여 알 수 있는 경우 원에서 Pi를 구할 수 있습니다.

${\displaystyle A=\pir^{2}}.$

반지름이 r인 원을 점(0, 0)에 중심을 두고 그린 경우 원점에서 거리가 r보다 작은 점은 원 안에 들어갑니다. 피타고라스 정리는 임의의 점 (x, y)에서 중심까지의 거리를 제공합니다.

${\displaystyle d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}입니다.$

수학적 "그래프지"는 각 셀(x, y)을 중심으로 1×1 정사각형을 상상하여 형성되며, 여기서 x와 y는 -r과 r 사이의 정수입니다. 중심이 원의 안쪽 또는 정확히 경계에 있는 정사각형은 각 셀에 대해 (x, y) 여부를 검정하여 계산할 수 있습니다.

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leqr.}$

따라서 해당 조건을 만족하는 총 세포 수는 원의 면적과 근사하게 되며, 이를 통해 π의 근사치를 계산할 수 있습니다. 더 큰 r 값을 사용하여 더 가까운 근사치를 생성할 수 있습니다.

수학적으로 이 공식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \pi =\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r^{2}}}\sum _{x=-r}^{r}\;\sum _{y=-r}^{r}{\begin{cases}1&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r\\0&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>r.\end{case}}}$

즉, r에 대한 값을 선택하는 것으로 시작합니다. x와 y가 모두 -r과 r 사이의 정수인 모든 셀 (x, y)를 고려합니다. 원점까지의 거리(0,0)가 r보다 작거나 같은 각 셀에 대해 0에서 시작하여 1을 추가합니다. 끝나면 반지름이 r인 원의 넓이를 나타내는 합을 r로 나누면 π의 근사값을 구할 수 있습니다. 예를 들어, r이 5인 경우 고려되는 셀은 다음과 같습니다.

(−5,5)	(−4,5)	(−3,5)	(−2,5)	(−1,5)	(0,5)	(1,5)	(2,5)	(3,5)	(4,5)	(5,5)
(−5,4)	(−4,4)	(−3,4)	(−2,4)	(−1,4)	(0,4)	(1,4)	(2,4)	(3,4)	(4,4)	(5,4)
(−5,3)	(−4,3)	(−3,3)	(−2,3)	(−1,3)	(0,3)	(1,3)	(2,3)	(3,3)	(4,3)	(5,3)
(−5,2)	(−4,2)	(−3,2)	(−2,2)	(−1,2)	(0,2)	(1,2)	(2,2)	(3,2)	(4,2)	(5,2)
(−5,1)	(−4,1)	(−3,1)	(−2,1)	(−1,1)	(0,1)	(1,1)	(2,1)	(3,1)	(4,1)	(5,1)
(−5,0)	(−4,0)	(−3,0)	(−2,0)	(−1,0)	(0,0)	(1,0)	(2,0)	(3,0)	(4,0)	(5,0)
(−5,−1)	(−4,−1)	(−3,−1)	(−2,−1)	(−1,−1)	(0,−1)	(1,−1)	(2,−1)	(3,−1)	(4,−1)	(5,−1)
(−5,−2)	(−4,−2)	(−3,−2)	(−2,−2)	(−1,−2)	(0,−2)	(1,−2)	(2,−2)	(3,−2)	(4,−2)	(5,−2)
(−5,−3)	(−4,−3)	(−3,−3)	(−2,−3)	(−1,−3)	(0,−3)	(1,−3)	(2,−3)	(3,−3)	(4,−3)	(5,−3)
(−5,−4)	(−4,−4)	(−3,−4)	(−2,−4)	(−1,−4)	(0,−4)	(1,−4)	(2,−4)	(3,−4)	(4,−4)	(5,−4)
(−5,−5)	(−4,−5)	(−3,−5)	(−2,−5)	(−1,−5)	(0,−5)	(1,−5)	(2,−5)	(3,−5)	(4,−5)	(5,−5)

(0, ±5), (±5, 0), (±3, ±4, ±3), (±4, ±3) 12개의 세포가 정확히 원 위에 있고, 69개의 세포가 완전히 안쪽에 있어서 대략적인 면적은 81이고, 81 ⁄5 = 3.24이기 때문에 π은 대략 3.24로 계산됩니다. 일부 r 값에 대한 결과는 아래 표에 나와 있습니다.

r	지역	of의 근사치
2	13	3.25
3	29	3.22222
4	49	3.0625
5	81	3.24
10	317	3.17
20	1257	3.1425
100	31417	3.1417
1000	3141549	3.141549

관련된 결과는 원 문제: x^2 + y^2 <= n인 정사각형 격자의 점 수(x,y)를 참조하십시오.

마찬가지로, 아래에 주어진 π의 더 복잡한 근사치는 어떤 종류의 반복적인 계산을 포함하며, 계산 수가 증가함에 따라 점점 더 가까운 근사치를 산출합니다.

연속분수

식별 가능한 패턴을 표시하지 않는 단순 연속 분수 표현[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, ...] 외에도 π는 이 두 가지를 포함하여 단순 규칙에 의해 생성된 많은 일반화된 연속 분수 표현을 가지고 있습니다.

${\displaystyle \pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}}$

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {1^{2}}{5+{\cfrac {4^{2}}{7+{\cfrac {3^{2}}{9+{\cfrac {6^{2}}{11+{\cfrac {5^{2}}{13+\ddots }}}}}}}}}}}$

Madhava-Leibniz 급수의 나머지 부분은 다음과 같이 일반화된 연속 분수로 나타낼 수 있습니다.^[75]

${\displaystyle \pi =4\sum _{n=1}^{m}{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}+{\cfrac {2(-1)^{m}}{2m+{\cfrac {1^{2}}{2m+{\cfrac {2^{2}}{2m+{\cfrac {3^{2}}{2m+\ddots }}}}}}}}\qquad (m=1,2,3,\ldots )}$

Madhava의 수정항은

${\displaystyle \frac{\mathrm{22m}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\frac{\mathrm{12m}}{}}{\mathrm{+}}}$ ${\displaystyle \frac{\frac{\frac{\mathrm{22m}}{}}{}}{}}$ = $4m$2 + 14m 3 + 5m {\displaystyle {\frac {2}{2m+{\frac {1^{2}}{2m+{\frac {2^{${\displaystyle \frac{2}{}}$}}}}}=4{\frac {m^{2}+1}{4m^{3}+5m}}}

잘 알려진 값 22 ⁄7 및 355 ⁄113은 각각 π에 대한 두 번째 및 네 번째 연속 분수 근사치입니다. (다른 표현은 The Wolfram Functions Site에서 확인할 수 있습니다.)

삼각법

그레고리 라이프니츠 시리즈

그레고리 라이프니츠 시리즈

${\displaystyle \pi =4\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {(-1)^{n}}{2n+1}}=4\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+-\cdots \right)}$

는 x = 1에 특화된 arctan(x)의 멱급수입니다. 너무 느리게 수렴되어 실용적인 관심을 끌 수 없습니다. 그러나 멱급수는 $x$ ${\displaystyle$ x$}$의 더 작은 값에 대해 훨씬$$더 빠르게 수렴하므로$$π ${\$displaystyle \pi}가 기계와 같은 공식으로 알려진 합리적인 접선이 있는 작은 각도의 합으로 발생합니다.

아크탄젠트

4 arctan 1 = π라는 것을 알면 공식을 단순화하여 다음을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=2\left(1+{\cfrac {1}{3}}+{\cfrac {1\cdot 2}{3\cdot 5}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3}{3\cdot 5\cdot 7}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11}}+\cdots \right)\\&=2\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {n!}{(2n+1)!!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}n!^{2}}{(2n+1)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}}{{\binom {2n}{n}}(2n+1)}}\\&=2+{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{15}}+{\frac {4}{35}}+{\frac {16}{315}}+{\frac {16}{693}}+{\frac {32}{3003}}+{\frac {32}{6435}}+{\frac {256}{109395}}+{\frac {256}{230945}}+\cdots \end{aligned}}}$

각각의 추가 10개 항이 적어도 세 자리 수를 더 산출하도록 수렴을 사용합니다.

$아크탄젠트$ 함수를$$포함하는$$π {\displaystyle \pi}의 또 다른 공식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\frac {\pi }{2^{k+1}}}=\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},\qquad \qquad k\geq 2,}$

$여기$서 a ${\displaystyle k_{}}$ = ${\displaystyle 2}$+ k - 1 $display a_{$k} = {\$sqrt {2$+a_{k-1}}}는 a 1 = 2 {\display a_{1} = {\sqrt {2}}입니다. 예를 들어, 빠르게 수렴하는 오일러 공식을 사용하여 근사치를 만들 수 있습니다.

${\displaystyle \arctan(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}\;{\frac {x^{2n+1}}{(1+x^{2})^{n+1}}}.}$

또는 다음과 같은 아크탄젠트 함수의 간단한 확장 시리즈를 사용할 수 있습니다.

${\displaystyle \arctan(x)=2\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2n-1}}{\frac {{{a}_{n}}\left(x\right)}{a_{n}^{2}\left(x\right)+b_{n}^{2}\left(x\right)}}},}$

어디에

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{1}(x)=2/x,\\&b_{1}(x)=1,\\&a_{n}(x)=a_{n-1}(x)\,\left(1-4/x^{2}\right)+4b_{n-1}(x)/x,\\&b_{n}(x)=b_{n-1}(x)\,\left(1-4/x^{2}\right)-4a_{n-1}(x)/x,\end{aligned}}}$

$더$ 빠른$$수렴을 $통해$π ${\$displaystyle \pi}을(를) 근사화합니다. π$${\displaystyle$$\pi}에 대한 이 arctangent 수식의 $수렴$은 정수 k {\displaystyle k}가 증가함에 따라 향상됩니다.

상수$$π {\displaystyle$$\pi}은(는) arctangent 함수의 무한 합으로 표현할 수도 있습니다.

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }\arctan {\frac {1}{F_{2n+1}}}=\arctan {\frac {1}{1}}+\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{13}}+\cdots }$

그리고.

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k\geq 2}\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},}$

여기서 ${\displaystyle {Fn}_{}}$ ${\$은 n번째 피보나치 번호입니다. 그러나$$π {\displaystyle$$\pi}에 대한 이 두 공식은 계산에 관여하는 아크탄젠트 함수 집합 때문에 수렴이 훨씬 느립니다.

아크사인

정삼각형을 관찰하고 그것을 주목하는 것은

${\displaystyle \sin \left ({\frac {\pi}{6}}\right)={\frac {1}{2}}$

수확량

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=6\sin ^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)=6\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 2^{3}}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5\cdot 2^{5}}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7\cdot 2^{7}}}+\cdots \!\right)\\&={\frac {3}{16^{0}\cdot 1}}+{\frac {6}{16^{1}\cdot 3}}+{\frac {18}{16^{2}\cdot 5}}+{\frac {60}{16^{3}\cdot 7}}+\cdots \!=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3\cdot {\binom {2n}{n}}}{16^{n}(2n+1)}}\\&=3+{\frac {1}{8}}+{\frac {9}{640}}+{\frac {15}{7168}}+{\frac {35}{98304}}+{\frac {189}{2883584}}+{\frac {693}{54525952}}+{\frac {429}{167772160}}+\cdots \end{aligned}}}$

각각의 추가적인 5개 항이 적어도 세 자리 수를 더 산출하도록 수렴을 사용하여.

숫자 추출 방법

π을 계산하는 베일리-보와인-플루페 공식(BBP)은 1995년 사이먼 플루페에 의해 발견되었습니다. 이 공식은 16진수를 사용하여 π의 특정 자릿수(숫자 추출)를 계산할 필요 없이 숫자의 16진수 값을 반환)를 계산할 수 있습니다.

${\displaystyle \pi =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{8n+1}}-{\frac {2}{8n+4}}-{\frac {1}{8n+5}}-{\frac {1}{8n+6}}\right)\left({\frac {1}{16}}\right)^{n}}$

1996년 사이먼 플러프(Simon Plouffe)는 π의 n번째 십진수를 추출하는 알고리즘을 도출했습니다(10진수를 이용하여 10진수를 추출하는 방법). 이 알고리즘은 O(n(log n) 시간의 향상된 속도로 추출할 수 있습니다. 이 알고리즘은 배열이나 행렬을 저장하기 위한 메모리를 거의 필요로 하지 않으므로 포켓 계산기를 사용하여 백만 분의 1 자리의 π를 계산할 수 있습니다. 하지만 그렇게 하는 것은 꽤 지루하고 비현실적입니다.

${\displaystyle \pi +3=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n2^{n}n!^{2}}{(2n)!}}}$

플루페 공식의 계산 속도는 π 계산을 위한 대체 공식을 도출한 Fabrice Bellard에 의해 O(n)로 향상되었습니다.

${\displaystyle \pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)}$

효율적인 방법

π에 대한 다른 많은 표현들은 인도 수학자 스리니바사 라마누잔에 의해 개발되고 출판되었습니다. 그는 영국에서 수학자 Godfrey Harold Hardy와 몇 년 동안 함께 일했습니다.

일반적으로 π의 매우 긴 십진법 확장은 가우스-레장드르 알고리즘과 보바인의 알고리즘으로 계산됩니다. 1976년에 개발된 살라민-브렌트 알고리즘도 사용되었습니다.

1997년 데이비드 H. 베일리, 피터 보와인, 사이먼 플러프는 무한급수로서 π에 대한 새로운 공식에 대한 논문을 발표했습니다.

${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).}$

이 공식을 사용하면 이전 k - 1자리를 계산할 필요 없이 π의 k번째 이진수 또는 16진수를 쉽게 계산할 수 있습니다. Bailey의 웹사이트에는^[90] 다양한 프로그래밍 언어로 구현된 것뿐만 아니라 파생된 것도 포함되어 있습니다. PiHex 프로젝트는 π의 1,000억분의 1 비트(0으로 판명됨)를 중심으로 64비트를 계산했습니다.

Fabrice Bellard는 그의 공식으로 BBP를 더욱 향상시켰습니다.^[91]

${\displaystyle \pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)}$

π의 추정치를 계산하는 데 사용된 다른 공식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\frac {\pi}{2}}=\sum _{k=0}^{\infty}{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)}$

뉴턴.

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$

스리니바사 라마누잔.

이것은 비정상적으로 빠르게 수렴합니다. 라마누잔의 연구는 밀레니엄 시대가 되면서 가장 빠르게 π을 계산하는 알고리즘의 기초가 됩니다.

1988년에 데이비드 추드노프스키와 그레고리 추드노프스키는 더 빠른 수렴 급수(추드노프스키 알고리즘)를 발견했습니다.

${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{1}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{=}}{}}$ $1426880$ $000$ ∑ ${\displaystyle \frac{\mathrm{k}}{}}$ = 0 ∞(6k)! (13591409 + 545140134k) (3k)! (k!) 3 ( - 640320) 3k {\displaystyle {\frac {1}${\displaystyle \frac{\mathrm{\{}}{}}$\pi}}={\frac {1}{\sqrt {10005}}\s${\displaystyle \frac{\mathrm{u}}{}}$m _{k=0}^{\infty}{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)! (k!)${\displaystyle \frac{\mathrm{^\{3}}{}}$}(-640320)^{3k}}}.

핀트 정확한 숫자를 계산하기 위한 다양한 알고리즘의 속도는 점근 복잡도의 내림차순으로 아래와 같습니다. M(n)은 사용된 곱셈 알고리즘의 복잡도입니다.

알고리즘.	연도	시간 복잡성 또는 속도
가우스-레전드레 알고리즘	1975	${\displaystyle O(M(n)\log(n)}$[68]
추드노프스키 알고리즘	1988	${\displaystyle O(n\log(n)^{3})}$[46]
Machin's formula에서 arctan series의 이항 분할		${\displaystyle O(M(n)(\log n)^{2})}$[68]
iz에 대한 라이프니츠 공식	1300년대	하위 선형 수렴. 소수점 이하 10자리에 대한 50억 항

프로젝트

파이헥스

파이 헥스는 수백 대의 컴퓨터가 분산된 네트워크를 사용하여 π의 특정한 이진수 세 개를 계산하는 프로젝트였습니다. 2년 후인 2000년에 이 프로젝트는 5조분의 1(5*10¹²), 40조분의 1(10¹⁵) 비트의 계산을 마쳤습니다. 세 개 모두 0으로 판명되었습니다.

calcul를 계산하기 위한 소프트웨어

몇 년 동안, 개인용 컴퓨터의 여러 자리까지의 π을 계산하기 위한 몇 가지 프로그램이 작성되었습니다.

범용

대부분의 컴퓨터 대수 시스템은 원하는 정밀도로 π 및 기타 일반적인 수학 상수를 계산할 수 있습니다.

또한 π을 계산하는 기능은 임의 정밀도 연산을 위한 많은 일반 라이브러리(예: Class Library for Numbers, MPFR 및 SymPy)에 포함되어 있습니다.

특수목적

π을 계산하기 위해 설계된 프로그램은 범용 수학 소프트웨어보다 성능이 더 좋을 수 있습니다. 일반적으로 체크포인트와 효율적인 디스크 스와핑을 구현하여 매우 오래 실행되고 메모리 비용이 많이 드는 계산을 용이하게 합니다.

• 파브리스 벨라드의^[92] 타쿠스 파이는 2009년에 세계 기록적인 파이 자릿수를 계산하기 위해 자신이 사용한 프로그램입니다.
• Alexander Yee의^[46] y-cruncher는 2010년 곤도 시게루 이래로 모든 세계 기록 보유자들이 세계 기록 자릿수를 계산하기 위해 사용해온 프로그램입니다. y-크런처는 다른 상수를 계산하는 데에도 사용할 수 있으며, 여러 상수에 대한 세계 기록을 보유하고 있습니다.
• Xavier Gourdon의 PiFast는 2003년에 마이크로소프트 윈도우용으로 가장 빠른 프로그램이었습니다. 저자에 따르면 2.4GHz 펜티엄 4에서 3.5초 만에 100만 자리 수를 계산할 수 있다고 합니다.^[93] PiFast는 또한 e 및 √2와 같은 다른 무리수를 계산할 수 있습니다. 또한 매우 적은 메모리로 적은 효율로 작동할 수 있습니다(10억⁹ 자리 수 이상의 계산을 위해 수십 메가바이트까지). 이 도구는 오버클럭 커뮤니티에서 인기 있는 벤치마크입니다. PiFast 4.4는 Stu's Pi 페이지에서 사용할 수 있습니다. PiFast 4.3은 Gourdon의 페이지에서 사용할 수 있습니다.
• Windows용 Steve Pagliarulo의 QuickPi는 4억 자리 미만의 실행에서 PiFast보다 빠릅니다. 버전 4.5는 아래 Stu's Pi 페이지에서 사용할 수 있습니다. PiFast와 마찬가지로 QuickPi도 e, √2, √3와 같은 다른 무리수를 계산할 수 있습니다. 이 소프트웨어는 Pi-Hacks Yahoo! 포럼이나 Stu의 Pi 페이지에서 얻을 수 있습니다.
• 도쿄 대학에 있는 카나다^[94] 연구소의 슈퍼 PI는 마이크로소프트 윈도우용 프로그램으로 16,000자리에서 33,550,000자리까지 실행됩니다. 펜티엄 90MHz에서 40분 만에 100만 자리, 90분 만에 200만 자리, 220분 만에 400만 자리를 계산할 수 있습니다. Super PI 버전 1.9는 Super PI 1.9 페이지에서 제공됩니다.

참고 항목

• 밀뤼
• 마드하바의 수정항
• 파이는 3.

메모들

참고문헌

• Bailey, David H.; Borwein, Peter B. & Plouffe, Simon (April 1997). "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants" (PDF). Mathematics of Computation. 66 (218): 903–913. Bibcode:1997MaCom..66..903B. doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9.
• Beckmann, Petr (1971). A History of π. New York: St. Martin's Press. ISBN 978-0-88029-418-8. MR 0449960.
• Eves, Howard (1992). An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.). Saunders College Publishing. ISBN 978-0-03-029558-4.
• Joseph, George G. (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (New ed., London : Penguin ed.). London: Penguin. ISBN 978-0-14-027778-4.
• Jackson, K; Stamp, J. (2002). Pyramid: Beyond Imagination. Inside the Great Pyramid of Giza. London: BBC. ISBN 9780563488033.
• Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (2004). Pi: a source book (3rd ed.). New York: Springer Science + Business Media LLC. ISBN 978-1-4757-4217-6.