해석성 논리

해석 가능성 로직은 해석 가능성 또는 다양한 관련 변광성 특성 및 취약한 해석성, Ⅱ 보수성₁, 공해성, 공차, 공차, 산술적 복잡성과 같은 관계를 설명하기 위해 검증 논리를 확장하는 모달 로직 계열로 구성된다.

이 분야의 주요 공헌자는 알레산드로 베라두치, 페트르 하제크, 콘스탄틴 이그나티예프, 지오르기 자파리체, 프랑코 몬타냐, 블라디미르 샤브루코프, 리네케 버브루게, 알버트 비서, 도메니코 잠벨라 등이다.

예

논리 ILM

ILM의 언어는 단항모달 연산자 $◻{\displaystyle \Box }$과 이항모달 연산자 $▹{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\triangleright$ $}$을(를) 추가함으로써 고전적 명제논리의 언어를 확장한다($$늘 그렇듯이$$$$${\displaystyle p}{\displaystyle \mathrm{}}$p ${\displaystyle \\$nep $\nget$ \$Box$\box \$$$p}).$$◻{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Box p}$의 산술적 해석은$$ "${\displaystyle }$ ${\displaystyle p$$}$은($$는) 페아노 산술(PA)에서 증명할 수 있으며$$, p ${\displaystyle ▹}$ ${\displaystyle q}$ ${\$$displaystyle PA+q$$}$은$($는) "${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle }$+ q$"$로 이해된다$.$

Axiom schemata:

1. 모든 고전적 토폴로지

2. $◻{\displaystyle }$ ${\displaystyle (p}$→ ${\displaystyle q}$)${\displaystyle }$→ (${\displaystyle ◻}$ p${\displaystyle }$→ ${\displaystyle ◻}$ ${\displaystyle q}$) ${\displaystyle \Box (p\오른쪽$ 화살표 $q)\오른쪽$ 화살표 $(\Box p\오른쪽$ 화살표 \Box $\Box q)}$

3. $◻{\displaystyle }$ (${\displaystyle ◻}$ ${\displaystyle p}$→ ${\displaystyle p}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle ◻}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Box (\Box p\rightarrow p)\$오른쪽 $화살표 \Brow \Box$ p}

4. $◻{\displaystyle }$(${\displaystyle p}$→ ${\displaystyle q}$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$ ${\displaystyle ▹}$ ${\displaystyle q}$) ${\displaystyle \Box (p\오른쪽$ 화살표 $q)\오른쪽$ 화살표 $(p\triangleright q)}$

5.${\displaystyle }$( ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle ▹}$ ${\displaystyle q}$) ${\displaystyle \wedge }$( ${\displaystyle q)}$ r )${\displaystyle }$→${\displaystyle }$( ${\displaystyle p)}$ ${\displaystyle r}$ ) ${\displaystyle (p\p$\light $q)\rightarrow (p\$p\$light$ r)}

6.${\displaystyle }$( ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle ▹}$ ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle \wedge }$ (${\displaystyle q}$ r${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$(${\displaystyle }$( p${\displaystyle q}$q ) ${\displaystyle ▹}$ r )${\displaystyle r}$ r ) ${\displaystyle (p\p\layeright$ r$)\wedge (q\\layeright r)\rightarrow ((p\vee q)\trianglinelight$ r$)}}$

7.${\displaystyle }$( ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle ▹}$ ${\displaystyle q}$)${\displaystyle }$→ (${\displaystyle ◊}$ p${\displaystyle }$→ ${\displaystyle ◊}$ ${\displaystyle q}$) ${\displaystyle (p\triangleright q)\rightarrow (\Diamond p\rightarrow \Diamond q)}}$

8. $◊{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle ▹}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Diamond p\triangleright p}$

9.${\displaystyle }$( ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle ▹}$ ${\displaystyle q}$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle ◻}$ ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle ▹}$( ${\displaystyle q}$q${\displaystyle }$r r )${\displaystyle }${ ( { q r r r$r$ ) ${\displaystyle (p\wedge \Box$ r$)\riangleright (p\wedge \Box r)}}}}$

추론 규칙:

1. "$p{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle p}$ 및$$ $p{\displaystyle }$→ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\오른쪽$ 화살표 q$}$에서 q $\{\backslash$$displaystyle$ q} $결론$ "

2. "$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$에서 $◻{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Box p}$ "로$$ 결론 내린다.$$

산술적 해석에 관한 ILM의 완전성은 알레산드로 베라두치(Alessandro Berarducci)와 블라디미르 샤브루코프(Vladimir Shavrukov)에 의해 독자적으로 증명되었다.

로직 TOL

TOL의 언어는 모달 연산자 $◊{\displaystyle \Diamond }$를 추가하여 고전적인 명제 논리학의 언어를 확장하며, 이$$ 연산자는 비어 있지 않은 논쟁의 순서를 취할 수 있다.$◊{\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle p_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \Diamond (p_{1},\ldots ,p_{n}}}$의 산술적 해석은 ${\displaystyle \mathrm{PA}}$+ p ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, …${\displaystyle }$,${\displaystyle \mathrm{PA}}$ + ${\displaystyle {}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle \mathrm{PA}}$+ ${\displaystyle p_{}}$ )${\displaystystyle (PA+p_{1},\ldots ,PA+p_{n})."$의 내성 이론의 관대한 순서"이다.

공리($p{\displaystyle }$ ,${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p,q}$이(가) 모든 공식에 대해$$ 서 있고, r${\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$,${\displaystyle \stackrel{}{}s\stackrel{}{}}$ → ${\$ 공식$$ 시퀀스에 대한$$ 공리 및 $\top {\displaystyle }$(${\displaystyle }$) ${\displaystystyle \Diamond()}:$

1. 모든 고전적 토폴로지

2. ${\displaystyle \Diamond ({\vec {r}},p,{\vec {s}})\rightarrow \Diamond ({\vec {r}},p\wedge \neg q,{\vec {s}})\vee \Diamond ({\vec {r}},q,{\vec {s}})}$

3. $◊{\displaystyle }$( ${\displaystyle p}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle ◊}$ ( ${\displaystyle p}$ )${$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle ◊}$ ◊ \ \${\displaystyle }$\ ) {\$displaystyle \Diamond (p)\rightarrow \Diamond (p\wedge \neg \Diamond (p)}}$

4. $◊{\displaystyle }$(${\displaystyle r\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$, ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle s\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle ◊}$(${\displaystyle r\stackrel{}{}}$→${\displaystyle s\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$s → )$${\$displaystyle \Diamond$({\$vec{r$},$p,{\vec${s$})\오른쪽$ 화살표 $\Diamond ({\vec {r},{\vec}}}}}}}}}}$

5. $◊{\displaystyle }$(${\displaystyle r\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$, ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle s\stackrel{}{}\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle ◊}$(${\displaystyle r\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$, p${\displaystyle }$, ${\displaystyle s\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Diamond ({\vec},p,{\vec {s})\rightarrow \Diamond ({\vec},p,p,{\vec {s})}}$

6.${\displaystyle ◊(p,}$ ${\displaystyle ◊(r\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle ◊(r\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$) → ${\displaystyle ◊}$ ${\displaystyle (r}$ → ${\displaystyle \Diamond (p,\vec{r})\rightarrow \Diamond (p\wedge \Diamond({\vec {r})}}}}$

7.${\displaystyle ◊(r\stackrel{}{}}$→ ,${\displaystyle ◊}$ ${\displaystyle (s\stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle )\to }$ ${\displaystyle ◊}$(${\displaystyle r\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$s${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle s\stackrel{}{}}$ →${\displaystyle }$) ${\diamond({\vec{r},\Diamond({\vec{s})\rightarrow \Diamond({\vec$ {$r},{\vec$ {$s})}}$

추론 규칙:

1. "$p{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle p}$ 및$$ $p{\displaystyle }$→ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\오른쪽$ 화살표 q$}$에서 q $\{\backslash$$displaystyle$ q} $결론$ "

2. $"\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \neg$ p$}$로부터 $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle ◊}$ ( ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle \neg \Diamond (p)}"$로 결론짓는다.$$

산술적 해석에 관한 TOL의 완전성은 Giorgi Japaridze에 의해 증명되었다.

참조

• Giorgi Japaridze와 Dick de Jongh, Provability의 논리.증명 이론 핸드북에서 S. 버스, ed, Ed, Escvier, 1998, 페이지 475-546.