인식론적 모달 논리학

Epistemic modal logic

인식론적 모달 논리학지식에 대한 추론과 관련된 모달 논리의 하위 분야다.인식론고대 그리스에서 유래한 오랜 철학적 전통을 가지고 있지만 인식론적 논리는 철학, 이론 컴퓨터 과학, 인공지능, 경제학, 언어학 등 여러 분야에서 응용되면서 훨씬 최근의 발전이다.아리스토텔레스 이후의 철학자들이 모달 논리를 논해 왔고, 아비케나, 옥캄, 던스 스코투스 같은 중세 철학자들이 그들의 관찰의 많은 부분을 발전시켰지만, 그것은 C였다. I. Lewis는 1912년에 이 주제에 대한 첫 번째 상징적이고 체계적인 접근법을 만들었다.1963년 크립케의 작품으로 근대적 형태에 도달하면서 분야로서 계속 성숙하였다.

역사적 발전

지나가는 데 있어서 지식의 논리를 말하는 논문이 1950년대에 많이 쓰여졌지만, 창간문서로 비치는 것은 1951년부터 핀란드의 철학자 폰 라이트의 모달 로직 논문 에세이였다.1962년에 이르러서야 또 다른 핀인 힌티크카는 모달 논리에서 전형적으로 논의되는 알레한 진술보다는 지식의 의미론을 포착하기 위해 양식을 사용하는 것을 제안하는 최초의 책 장편 작품인 지식과 믿음을 저술하게 되었다.이 작업은 그 주제에 대한 토대를 많이 마련했지만, 그 이후 많은 연구가 이루어졌다.예를 들어, 인식론적 논리는 최근 동적 논리에서 동적 인식론적 논리를 만들기 위한 몇 가지 아이디어와 결합되고 있는데, 이는 다중 에이전트 시스템에서 정보의 변화와 교환에 관한 정보를 구체화하고 추론하는 데 이용될 수 있다.이 분야의 세미나는 플라자, 반벤트헴, 발타그, 모스, 솔레키 등의 작품이다.

표준 가능한 월드 모델

지식을 모델링하려는 대부분의 시도는 가능한 세계 모델에 기초해 왔다.그러기 위해서는 가능한 세계의 집합을 에이전트의 지식과 양립할 수 있는 것과 그렇지 않은 것으로 나누어야 한다.이것은 일반적으로 일반적인 용도와 일치한다.만약 내가 금요일이나 토요일이라는 것을 안다면, 나는 목요일이 아니라는 것을 확실히 안다.목요일은 금요일이나 토요일이기 때문에 내가 알고 있는 세계와 양립할 수 있는 세계가 없다.우리는 주로 이 과제를 달성하기 위한 논리 기반 접근법에 대해 논의할 것이지만, 여기서 사용 중인 다른 주요 방법인 사건 기반 접근법에 대해 언급할 가치가 있다.이 특정한 용도에서 이벤트는 가능한 세계의 집합이며, 지식은 이벤트에 대한 연산자다.전략은 밀접하게 연관되어 있지만, 전략 사이에 두 가지 중요한 구분이 있다.

  • 논리 기반 접근법의 기초 수학 모델은 Kripke 의미론인 반면, 사건 기반 접근법은 집합 이론에 근거한 관련 아우만 구조를 채택한다.
  • 사건 기반 접근방식에서 논리 기반 접근방식은 완전히 제거되는 반면, 논리 기반 접근방식은 모달 논리 시스템을 사용한다.

전형적으로 논리기반접근법은 철학, 논리, AI 등의 분야에서 사용되어 왔으며, 사건기반접근법은 게임이론, 수리경제학 등의 분야에서 더 많이 사용되고 있다.논리 기반 접근법에서는 모달 논리의 언어를 사용하여 구문과 의미론을 구축했는데, 이제 우리가 기술할 것이다.

구문

보통 K라고 쓰여진 인식론적 논리의 기본적인 모달 연산자는 "그것이 알려져 있다", "그것이 인식적으로 필요하다", 또는 "그것이 알려져 있지 않다"로 읽힐 수 있다.지식을 나타낼 에이전트가 둘 이상 있을 경우, 첨자를 조작자에게 부착할 수 있다( 2 }},등).따라서 varphi 은(는)[1] " a 이(가) (는) 알고 있음"으로 읽을 수 있으므로 인식논리는 지식표현에 적용되는 다중 논리학의 가 될 수 있다.The dual of K, which would be in the same relationship to K as is to , has no specific symbol, but can be represented by , which can be read as " does not know that not " 또는 이(가) 가능하다는 지식과 일치한다."" 는) Kφ K K \ \ \ \ K_ K_{ \로 표현될 수 있는지 여부를 알지 못한다

상식분산된 지식을 수용하기 위해 세 가지 다른 모달 연산자를 언어에 추가할 수 있다.These are , which reads "every agent in group G knows" (mutual knowledge); , which reads "it is common knowledge to every agent in G"; and , which reads"it is distributed knowledge to the whole group G." If is a formula of our language, then so are , , and . Just as the subsc 이후의 ript는 에이전트가 하나만 있을 때 생략할 수 있으며, 모달 연산자 { 뒤에 있는 첨자는 모든 에이전트의 집합일 때 생략할 수 있다.

의미론

위에서 언급했듯이, 논리 기반 접근법은 가능한 세계 모델에 기초하고, 의미론들은 종종 크립케 구조에서 확실한 형태로 주어지며, 크립케 모델이라고도 한다.A Kripke structure M for n agents over is an (n + 2)-tuple , where S is a nonempty set of states or possible worlds, is an interpretation, which associates with eachS에서 }(모든 원시 명제의 집합)의 원시 명제에 대한 진실 할당을 명시하고 1 ,. . . . . . . {\는 에이전트 수 n개에 대한 S의 이진 관계.여기서 우리의 모달 연산자인 와 우리의 접근성 관계인 를 혼동하지 않는 것이 중요하다.

진리 과제는 명제 p가 특정 상태에서 참인지 거짓인지를 알려준다.그래서 ( )( p) M 의 상태 s에서 p가 참인지 여부를 알려준다 진실은 구조뿐만 아니라 현재 세계에도 달려 있다.단지 어떤 것이 한 세계에서 진실이라고 해서 다른 세계에서 그것이 진실이라는 것을 의미하는 것은 아니다.To state that a formula is true at a certain world, one writes , normally read as " is true at (M,s)," or "(M,s) satisfies ".

우리의 이진관계 가능성관계 생각하는 것이 유용한데, 는 내가 가능하다고 생각하는 세계나 상태요소를 포착하기 위한 것이기 때문이다.이상화된 지식 계정(예: 무한 메모리 용량을 가진 완벽한 이성가의 인식 상태를 기술하는 것)에서는, {\i}}}이 가장 강력한 형태이며 가장 많은 수의 애플리케이션에 적합하기 때문에 동등성 관계가 되는 것이 타당하다.등가관계란 반사적, 대칭적, 전이적인 이항적 관계를 말한다.접근성 관계는 이러한 특성을 가질 필요가 없다; 확실히 지식보다는 믿음을 모델링할 때 사용되는 것과 같은 다른 선택들이 있다.

지식의 속성

(가) 등가관계라고 가정하고, 에이전트가 완벽한 이성자임을 가정하면 지식의 몇 가지 속성을 도출할 수 있다.여기에 나열된 속성은 아래 Axiom Systems 섹션에 설명된 이유로 종종 "S5 속성"으로 알려져 있다.

분포 공리

이 공리는 전통적으로 K로 알려져 있다.인식론적 용어로는 에이전트가 (를) 알고 있고 을(를 알고 있다면 에이전트도 을(으) 알아야 한다고 명시되어 있다

이 공리는 관계 의미론의 어떤 틀에서도 유효하다.

지식 일반화 규칙

Another property we can derive is that if is valid (i.e. a tautology), then . This does not mean that if is true, then agent i knows . What it means is that if is true in every에이전트가 가능한 세계라고 간주하는 세계, 그러면 에이전트는 가능한 모든 세계에서 을(를) 알아야 한다.이 원리를 전통적으로 N(필요 규칙)이라고 한다.

이 규칙은 항상 관계적 의미론에서 진리를 보존한다.

지식 또는 진실 공리

이 공리는 T로도 알려져 있다.대리인이 사실을 안다면 그 사실이 사실이어야 한다는 것이다.이것은 종종 지식과 믿음의 주요한 특징으로 여겨져 왔다.우리는 진술이 거짓일 때 진실이라고 믿을 수 있지만, 거짓 진술을 아는 것은 불가능할 것이다.

이 공리는 또한 대리인이 거짓 진술을 알 수 없기 때문에 그 모순에 표현될 수 있다.

이 공리는 어떤 반사 프레임에도 유효하다.

긍정적 자기성찰 공리

이 속성과 다음으로는 에이전트가 자신의 지식에 대해 자기성찰을 하고 있으며, 전통적으로 각각 45로 알려져 있다.KK Axiom이라고도 알려진 긍정적인 자기성찰 Axiom은 에이전트들이 자신이 알고 있는 것을 알고 있다는 것을 알고 있다고 구체적으로 말한다.이 공리는 이전에 열거한 것보다 덜 명백해 보일 수 있으며, 티모시 윌리엄슨은 그의 저서 '지식과 그것의 한계'에 억지로 포함시키는 것에 반대해 왔다.

마찬가지로, 이 모달 공리 4는 에이전트들이 그들이 알고 있는 것을 모르는 것을 모른다고 말한다.

이 공리는 어떤 전이적 에서도 유효하다.

부정 자기성찰 공리

부정적인 자기성찰 악시오는 에이전트들이 자신이 모르는 것을 모른다는 것을 알고 있다고 말한다.

또는 마찬가지로, 이 모달 공리 5는 에이전트들이 자신이 모르는 것알고 있다고 말한다.

이 공리는 어떤 유클리드 에서도 유효하다.

공리계

다른 모달 로직은 이러한 공리의 다른 하위 집합을 취함에서 도출될 수 있으며, 이러한 로직은 일반적으로 채용되는 중요한 공리의 이름을 따서 명명된다.그러나 항상 그렇지는 않다.KT45는 K, T, 4, 5와 지식총괄규칙이 합쳐져 생기는 모달논리로 주로 S5로 알려져 있다.위에서 설명한 지식의 속성을 흔히 S5 속성이라고 부르는 것도 이 때문이다.그러나 모달 공리 B가 S5(viz)의 정리임을 증명할 수 있다.), which says that what an agent does not know that they do not know is true: . The modal axiom B is true on any symmetric frame, but is very counterintuitive in epistemic logic:자신의 무지에 대한 무지가 어찌 진리를 내포할 수 있겠는가?따라서 S4가 S5보다 인식론적 논리를 더 잘 설명하는지는 논란의 여지가 있다.

인식론적 논리도 지식만이 아니라 믿음을 다룬다.기본 모달 연산자는 보통 K 대신 B라고 쓴다.그러나 이 경우 지식 공리는 더 이상 옳지 않아 보인다(에이전트들은 때때로 진실만을 믿는다) 따라서 대개는 전통적으로 D:라고 불리는 일관성 공리로 대체된다.

대리인이 모순을 믿지 않거나 거짓이라고 진술한 경우.D가 S5에서 T를 대체하면 결과 시스템은 KD45로 알려져 있다.이로 인해 에도 다른 속성이 나타난다.예를 들어, 에이전트가 사실이라고 믿지만 실제로는 사실이 아닌 시스템에서 접근성 관계는 비반복적일 수 있다.믿음의 이치를 독사적 논리라고 한다.

가능한 세계 모델 및 모달 모델의 지식 문제

만약 우리가 가능한 세계의 지식 접근방식을 택한다면, 우리의 인식론적 작용자 a는 그들의 신념의 모든 논리적 결과를 알고 있다. 가) 의 논리적 결과인 경우 (가) 이지만 Q (가) 아닌 세계가 있을 수 없다.따라서 a가 p (가) 사실이라는 것을 안다면, {\}의 모든 논리적 결과는 a의 신념과 호환되는 가능한 모든 세계에 대한 진실이라는 것을 따른다.따라서 a 을(를) 알고 있다 을(를) 알고 있다는 점을 감안할 때 그렇지 않은 은(는) 인식적으로 가능하지 않다.이러한 고려는 로버트 스탈네이커2차원주의를 발전시키게 한 부분이었는데, 이는 우리가 알고 있는 명제가 현실로 나타나고 그 결과가 거짓으로 나타나는 세계가 없다고 해도 어떻게 우리가 우리의 신념의 모든 논리적 결과를 알지 못할 수 있는지를 논증할 수 있다.[2]

우리가 가능한 세계 의미론을 무시하고 자명적인 시스템에 집착할 때에도, 이 독특한 특징은 유지된다.모든 정상적인 모달 로직에서 최소한으로 참된 공리인 KN(각각 유통규칙과 지식 일반화 규칙)으로 우리는 우리 신념의 논리적 결과를 모두 알고 있다는 것을 증명할 수 있다.If is a logical consequence of (i.e. we have the tautology ), then we can derive with N, and using a conditional proof with the axiom K, we can then derive K Q 화살표 이것을 인식론적 용어로 번역하면, Q {\ Q이()P {\ P}의 논리적 결과라면 는 P 를) 알고 a모든 명제의 논리적 결과를 알고 있다는 이다.이것은 모든 고전적인 모달 로직의 경우에 반드시 해당된다.그러나 예를 들어, 소수만이 소수와 소수만으로 분할할 수 있다는 것을 알고 있다면, A는 8683317618818864995518194401279999999가 소수만이 분할 수 있기 때문에(이 숫자는 그 자체와 숫자 1로 분할 수 있기 때문에) 소수만이 소수라는 것을 알고 있다.즉, 지식의 모달적 해석에 의하면, a가 소수라는 정의를 알고 있을 때, a는 이 숫자가 소수라는 것을 알게 된다.이것은 어떤 자명론(, a가 이론의 모든 공리를 알고 있다면, a는 그 이론의 모든 증명 가능한 정리를 알고 있다)에서 어떤 증명 가능한 정리를 일반화한다.이 시점에서 a는 인간이 아님을 분명히 해야 한다(그렇지 않으면 수학에는 P 대 NP 문제골드바흐의 추측처럼 풀리지 않은 추측이 없을 것이다).이는 인식론적 모달논리가 이상화된 지식계정임을 보여주고, 주관적 지식(무엇이 있다면)보다는 객관성을 설명한다.[3]

참고 항목

메모들

  1. ^ 페이지 257인치:Ferenczi, Miklós (2002). Matematikai logika (in Hungarian). Budapest: Műszaki könyvkiadó. ISBN 963-16-2870-1.
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  2. ^ 스탈네이커, 로버트."제안."언어철학의 문제들.예일 UP, 1976. 페이지 101
  3. ^ Ted Sider의 철학 논리를 참조하십시오.현재 230쪽이지만 업데이트 후 변경될 수 있다.

참조

외부 링크