반주축 및 반주축

타원의 반장축(a) 및 반장축(b)

기하학에서 타원의 주요 축은 가장 긴 지름이다: 중심과 양쪽 초점을 관통하는 선 세그먼트로서, 가장 넓게 분리된 두 개의 둘레에 끝이 있다.반주축(주축)은 반주축의 가장 긴 반주축 또는 반주축으로, 따라서 중심에서 초점, 둘레까지 운행한다.타원형 또는 하이퍼볼라의 반 미니어 축(minor semiaxis)은 반주축과 직각을 이루며 원뿔형의 중심에 한쪽 끝이 있는 선분할이다.원의 특별한 경우, 반축의 길이는 둘 다 원의 반지름과 같다.

타원의 반주축 $a$ 의 길이는 편심 $e$ 를 통한 반주축의 길이 $b$ 와 다음과 같은 반주석직장 rect{\ $디스플레이$ $\ell$ $\ell$ 과 관련이 있다.

{\e^{2}}:\\sqrt {1-e^{2},\\el &=a(1-e^{2}),\\a\el &=b^{2}.\end{정렬}}

하이퍼볼라의 반주축은 관례에 따라 두 가지 가지 가지 사이의 거리의 1/2을 더하거나 빼는 것이다.따라서 그것은 중심에서 하이퍼볼라의 양쪽 꼭지점까지의 거리다.

포물선은 한 포커스가 고정되어 있고 다른 포커스가 한 방향으로 임의로 멀리 이동할 수 있으므로 $\ell$ 을 $\ell$ (를) 고정해 두는 일련의 타원의 한계로서 얻을 수 있다.따라서 $a$ 와 $b$ 는 $b$ 보다 $빠른$ 무한대 경향이 있다.

주축과 부축은 곡선의 대칭 축이다. 타원에서는 부축이 짧은 축이고, 하이퍼볼라에서는 하이퍼볼라와 교차하지 않는 축이다.

타원체

타원의 방정식은

{\frac {(x-h)^{2}}:{a^{2}}+{\frac {(y-k)^{2}}:{b^{2}},}=1,

여기서 (h, k)는 데카르트 좌표에서 타원의 중심이며, 임의의 점이 (x, y)에 의해 주어진다.

반주축은 포커스에서 타원의 최대 $r_{\text{min}}$ 및 최소 거리 $r_{\text{max}}$ ${\$ 및 $r_{\text{min}}$ ${\$ 의 평균 값이다. 즉,^{[citation needed]} 중심축의 끝점까지의 거리:

a={\frac {r_{\text{max}+r_{\text{min}}{2}.

천문학에서 이러한 극한점을 apside라고 부른다.^[1]

타원의 반 미니어 축은 이러한 거리의 기하학적 평균이다.

b={\sqrt {r_{\text{max}r_{\text{min}}}.

타원의 편심성은 다음과 같이 정의된다.

e={\sqrt{1-{\b^{2}}:{a^{2}}}},

그렇게

r_{\text{min}}=a(1-e),\display r_{\text}}=a(1+e)

이제 coordinates = equation = $\theta =\pi$ π = \ $displaystyle \theta$ =\pi $}$ 방향에 $\theta =\pi$ 포커스가 있는 극좌표 방정식을 고려하십시오.

r(1+e\cos \theta )=\ell .

$\theta =\pi$ = $\theta =\pi$ = $r=\ell /(1-e)$ / ( $r=\ell /(1-e)$ - e $r=\ell /(1-e)$ ) ${\displaystyle$ r $=\ell /($ $r=\ell /(1+e)$ $)}$ $r=\ell /(1+e)$ r $r=\ell /(1-e)$ $r=\ell /(1+e)$ = $r=\ell /(1+e)$ / $r=\ell /(1+e)$ ( 1 $r=\ell /(1+e)$ + e $r=\ell /(1+e)$ ) ${\displaystyle$ r $=\ell /(1+e$ 의 평균 값은 π = ${\displaysty \theta =\pi$ $}$ 및 $\theta =\pi$ $\theta =0$ = $\theta =0$ ${\\\\\\displaystastasta$ = 0 $}$ 이다 $\theta =0$ .

a={\frac {\ell}{1-e^{2}}.

타원형에서 반주축은 중심에서 초점까지의 거리와 중심에서 다이렉트릭스까지의 거리의 기하학적 평균이다.

타원의 반미너 축은 타원의 중심에서 타원의 가장자리까지 이어진다.세미 미니어처 축은 마이너 축의 절반이다.부축은 타원 가장자리의 두 점을 연결하는 주축에 수직인 가장 긴 선 세그먼트다.

세미 미니어처 축 $b$ 는 다음과 같이 $반주축$ a ~ 편심 e $및$ 세미 래터러스 직장 ${\displaystyle \ell$ }과 $\ell$ 와) 관련이 있다.

{\required}b&=a{1-e^{2}},\a\ell &=b^{2}.\end{정렬}}

포물선은 한 포커스가 고정되어 있고 다른 포커스가 한 방향으로 임의로 멀리 이동할 수 있으므로 $\ell$ 을 $\ell$ (를) 고정해 두는 일련의 타원의 한계로서 얻을 수 있다.따라서 $a$ 와 $b$ 는 $b$ 보다 $빠른$ 무한대 경향이 있다.

세미 미니어 축의 길이도 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있다.^[2]

2b={\sqrt {(p+q)^{2}-f^{2}},

여기서 $f$ 는 초점 사이의 거리, $p$ 와 $q$ 는 각 초점에서 타원의 어떤 점까지의 거리다.

하이퍼볼라

하이퍼볼라의 반주축은 관례에 따라 두 가지 가지 사이의 거리의 1/2을 더하거나 빼는 것이다. 이것이 x 방향의 $a$ 인 경우 방정식은 다음과 같다.^{[citation needed]}

{\frac {\\frac(x-h\오른쪽)^{2}}-{a^{2}}-{\frac {\frac(y-k\오른쪽)^{2}}{b^{2}}=1.

반지름 직장과 우리가 가지고 있는 기이한 점으로 볼 때

a={\ell \over e^{2}-1}.

하이퍼볼라의 가로축은 주축과 일치한다.^[3]

하이퍼볼라에서는 타원의 부축에 해당하는 $2b$ 길이 $2b$ $[\displaystyle 2b}$ 의 결합 축 또는 부축이 가로축이나 주축에 수직으로 그려질 수 있으며, 후자는 하이퍼볼라의 두 꼭지점(회전점)을 연결하고, 두 축은 하이퍼볼라의 중심에서 교차한다.부축의 $(0,\pm b)$ 끝점 $(0,\pm b)$ , $(0,\pm b)$ ± $(0,\pm b)$ ) $(0,\pm b)$ 은(는) 하이퍼볼라의 꼭지점 위/아래에 점근점 높이에 있다.보조 축의 절반은 길이 $b$ 의 반 미니어 축이라고 불린다.반주축 길이(중앙에서 정점까지의 거리)를 $a$ 로 나타내며, 반주축과 반주축의 길이는 다음과 같이 이들 축에 상대적인 하이퍼볼라의 방정식에 나타난다.

{{\frac{x^{2}}-{\frac{y^{2}}:{b^{2}}=1.

반 미니어처 축은 또한 하이퍼볼라의 초점 중 하나에서 점근성 없는 점근성까지의 거리이기도 하다.흔히 임팩트 파라미터라고 불리는 이것은 물리학과 천문학에서 중요하며, 만약 입자의 여행이 초점에서 신체에 의해 방해받지 않는다면 입자가 초점을 놓칠 거리를 측정한다.^{[citation needed]}

반소축과 반주축은 다음과 같이 편심도를 통하여 관련된다.

b=a{\sqrt {e^{2}-1}.

^[4]

하이퍼볼라 $b$ 는 $a$ 보다 클 수 있다는 점에 유의하십시오.^[5]

천문학

궤도 주기

일부 태양계 궤도(케플러 값을 나타내는 교차점)의 주기 T 대 반주축 a(수평 및 주축 평균)의 로그 기록 그림에서 a³/T²가 일정하다는 것을 보여준다(녹색 선).

우주역학에서 중심체를 원형 또는 타원 궤도로 선회하는 작은 몸의 궤도 주기 $T$ 는 다음과 같다.^[1]

T=2\pi {\sqrt {\frac{a^{3}}{\mu }}}}}

여기서:

a

는 궤도의 반주축 길이,

[\displaystyle \mu }

은

\mu

(는) 중심체의 표준 중력 파라미터다.

주어진 반주축이 있는 모든 타원의 경우 궤도 주기는 편심성을 무시한 채 동일하다는 점에 유의한다.

원형 또는 타원 궤도에서 중심체를 공전하는 작은 몸의 특정한 각도 운동 $h는$ ^[1]

h={\sqrt {a\mu(1-e^{2})}},

여기서:

a

및

[\displaystyle \mu }

은

\mu

(는) 위에서 정의한 바와 같다.

e

는 궤도의 편심이다.

천문학에서 반주축은 궤도 주기와 함께 궤도의 가장 중요한 궤도 원소 중 하나이다.태양계 객체의 경우 반주축은 케플러의 제3법칙(원래 경험적으로 도출된)에 의해 궤도의 기간과 관련이 있다.^[1]

T^{2}\propto a^{3}

여기서 $T$ 는 기간이고, $a$ 는 반주축이다.이 형태는 뉴턴이 결정한 대로 두 신체 문제에 대한 일반적인 형태를 단순화한 것으로 밝혀졌다.^[1]

T^{2}={\frac {4\pi^{2}}:{G(M+m)}a^{3}}

여기서 $G$ 는 중력 상수, $M$ 은 중심체의 질량, $m$ 은 궤도를 도는 몸의 질량이다.전형적으로 중심체의 질량은 궤도를 선회하는 몸의 질량보다 훨씬 크기 때문에 $m$ 은 무시될 수도 있다.그러한 가정을 하고 전형적인 천문학 단위를 사용하는 것은 케플러가 발견한 보다 단순한 형태를 낳는다.

궤도를 선회하는 신체의 경로와 그것의 1차적인 것에 상대적인 그것의 경로는 모두 타원이다.^[1]준주요축은 2차축에 대한 1차대 2차 질량비율이 현저히 클 때( $M\gg m$ m $M\gg m$ {\ $displaystyle$ M $\g m$ }) 천문학에서 1차대 2차 거리로 사용되기도 하며, $M\gg m$ 따라서 행성의 궤도 매개변수가 태양중심적 용어로 주어진다.초원궤도와 "절대" 궤도의 차이는 지구-달 시스템을 보면 가장 잘 알 수 있다.이 경우의 질량비율은 81.30059이다.지구 중심 달 궤도의 반주축인 지구-달 특성 거리는 384,400km. (달 궤도의 편심 e = 0.0549를 감안하면 반 미니어처 축은 383,800km이다.따라서 달의 궤도는 거의 원형이다.)반면, 이 기체 달 궤도는 반주축이 379,730 km로, 지구의 반주축이 4,670 km의 차이를 차지한다.달의 평균 편심 궤도 속도는 1.010km/s인 반면 지구는 0.012km/s이다.이러한 속도의 총계는 1.022 km/s의 지구중심 달 평균 궤도 속도를 제공한다. 지구중심 반주요 축 값만 고려해도 동일한 값을 얻을 수 있다.^{[citation needed]}

평균 거리

흔히 반주축은 타원의 1차 초점과 궤도를 선회하는 본체 사이의 "평균" 거리라고 한다.이것은 평균을 어느 정도 차지하느냐에 따라 다르기 때문에 정확하지 않다.

편심 변칙에 대한 평균 거리를 계산하면 실제로 반주축이 된다.
참 이상 현상(진정한 궤도 각도, 초점에서 측정)에 대한 평균을 계산하면 반선축 $b=a{\sqrt {1-e^{2}}}$ = $b=a{\sqrt {1-e^{2}}}$ - $b=a{\sqrt {1-e^{2}}}$ $b=a{\sqrt {1-e^{2}}}$ ${\$
평균 이상(Pericentre 이후 경과한 궤도 주기의 분율, 각도로 표현됨)에 대한 평균은 시간 $a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)\,$ a $a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)\,$ + $a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)\,$ ){\ $displaystyle a\(1+{\frac{e^{2}}:{2}}\오른쪽)\,}$ 를 얻을 수 있다 $a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)\,$

반경의 역수 $r^{-1}$ 인 r $r^{-1}$ - $r^{-1}$ ${\$ r $^{-1}$ 은(는 $r^{-1}$ $a^{-1}$ - 1 ${\$ a $^{-1}$ 이다 $a^{-1}$

에너지; 상태 벡터에서 반주축 계산

우주역학에서 반주축 $a$ 는 궤도 상태 벡터에서 계산할 수 있다.

a=-{\frac {\mu}{2\varepsilon}}

타원 궤도에 대해 그리고 관례에 따라 동일하거나

a={\frac {\mu}{2\varepsilon}}

쌍곡선 궤적을 위해

\varepsilon ={\frac {v^{2}}-{2}}-{\frac {\mu }{\mathbf {r}}}}}

(특정 궤도 에너지) 및

\displaystyle \mu =GM}

(표준 중력 파라미터), 여기서:

v

는 궤도를 선회하는 물체의 속도 벡터에서 나오는 궤도 속도다.

r

은 궤도의 원소가 계산될 기준 프레임의 좌표에서 궤도를 선회하는 물체의 데카르트 위치 벡터(예: 지구 궤도의 경우 지질 적도, 태양 주위의 궤도의 경우 태양 중심 황도)이다.

G

는 중력 상수,

M

은 중력체질량이며,

\varepsilon

\varepsilon

은

\varepsilon

(는) 궤도를 선회하는 신체의 특정 에너지다.

주어진 총 질량의 양에 대해 특정 에너지와 반주축은 편심률이나 질량의 비율에 관계없이 항상 동일하다는 점에 유의한다.반대로 주어진 총 질량과 반주축의 경우, 총 특정 궤도 에너지는 항상 동일하다.이 진술은 어떤 조건에서도 항상 진실일 것이다.^{[citation needed]}

행성 궤도의 반주축 및 반주축

행성 궤도는 타원의 대표적인 예로 항상 인용된다(케플러의 첫 번째 법칙).그러나 반장축과 반장축의 차이가 미미하다는 것은 외형상으로는 사실상 원형임을 알 수 있다.이 차이(또는 비율)는 편심률을 기반으로 하며 ${\frac {a}{b}}={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}$ = ${\frac {a}{b}}={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}$ - ${\frac {a}{b}}={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}$ ${\frac {a}{b}}={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}$ ${\$ 로 계산되며 ${\frac {a}{b}}={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}$ 일반적인 행성 편심률의 경우 매우 작은 결과를 산출한다.

두드러진 타원 궤도를 가정하는 이유는 아마도 용골과 근골 사이의 훨씬 큰 차이 때문일 것이다.That difference (or ratio) is also based on the eccentricity and is computed as ${\frac {r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}}={\frac {1+e}{1-e}}$ . Due to the large difference between aphelion and perihelion, Kepler's second law is easily visualized.

	성성성	반주축 a(AU)	반 미니어처 축 b(AU)	차(%)	페리헬리온(AU)	어필리온(AU)	차(%)
.	0.206	0.38700	0.37870	2.2	0.307	0.467	52
금성	0.007	0.72300	0.72298	0.002	0.718	0.728	1.4
지구	0.017	1.00000	0.99986	0.014	0.983	1.017	3.5
화성	0.093	1.52400	1.51740	0.44	1.382	1.666	21
	0.049	5.20440	5.19820	0.12	4.950	5.459	10
토성	0.057	9.58260	9.56730	0.16	9.041	10.124	12
천왕성	0.046	19.21840	19.19770	0.11	18.330	20.110	9.7
해왕성	0.010	30.11000	30.10870	0.004	29.820	30.400	1.9

참고문헌

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Fundamental Planetary Sciences: physics, chemistry, and habitability. New York: Cambridge University Press. pp. 24–31. ISBN 9781108411981.
^ "타원의 주축/소축", Math Open Reference, 2013년 5월 12일.
^ "7.1 Alternative Characterization". www.geom.uiuc.edu.
^ "The Geometry of Orbits: Ellipses, Parabolas, and Hyperbolas". www.bogan.ca.
^ "7.1 Alternative Characterization".

대화형 애니메이션을 사용한 타원의 반주축 및 반주축

[lissauer2019-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Fundamental Planetary Sciences: physics, chemistry, and habitability. New York: Cambridge University Press. pp. 24–31. ISBN 9781108411981.

[2] "타원의 주축/소축", Math Open Reference, 2013년 5월 12일.

[3] "7.1 Alternative Characterization". www.geom.uiuc.edu.

[4] "The Geometry of Orbits: Ellipses, Parabolas, and Hyperbolas". www.bogan.ca.

[5] "7.1 Alternative Characterization".

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