큰 수

큰 수는 일상 생활에서 일반적으로 사용되는 수보다 상당히 큰 수로 수학, 우주론, 암호학, 통계 역학과 같은 분야에서 자주 나타납니다.이들은 일반적으로 큰 양의 정수이거나 더 일반적으로 큰 양의 실수일 수 있지만, 다른 맥락에서는 다른 숫자일 수도 있습니다.구글로지는 많은 숫자의 명명법과 속성을 연구하는 학문입니다.^{[1][2][better source needed]}

일상 속에서

과학적 표기법은 과학적 연구에서 발생하는 광범위한 값을 다루기 위해 만들어졌습니다. 예를 들어 1.0 × 10은⁹ 10억 또는 1 다음에 9개의 0을 의미합니다: 1 000 000.역수 1.0 × 10은⁻⁹ 10억분의 1 또는 0.000 000 001을 의미합니다.9개의 0 대신 10개를⁹ 쓰면 독자들은 숫자가 얼마나 큰지 알기 위해 긴 연속의 0을 세는 노력과 위험을 덜 수 있습니다.과학적(10의 거듭제곱) 표기법 외에, 다음의 예는 큰 수의 체계적인 명명법을 포함합니다.

일상적인 실세계 물체를 설명하는 큰 숫자의 예는 다음과 같습니다.

• 인체 내 세포 수(3.72 × 10으로¹³ 추정) 또는 37.2조^[3]
• 컴퓨터 하드 디스크의 비트 수(2023년^[update] 기준, 일반적으로 약 10¹³, 1-2TB) 또는 10조
• 인간 뇌의 뉴런 연결 수(10개로¹⁴ 추정) 또는 100조개
• 아보가드로 상수(Avogadro constant)는 1몰에 있는 "소립체"(일반적으로 원자나 분자)의 수이며, 12g의 탄소-12에서 약 6.022×10²³ 또는 602.2배의 원자의 수이다.
• 지구상의 생물다양성에 대한 가능한 근사치로서, 지구상의 전체 바이오매스 내의 DNA 염기쌍의 총 수는 (5.3 ± 3.6) × 10³⁷ 또는 53 ± 36 밀리언으로^[4][5] 추정됩니다.
• 지구의 질량은 약 4 × 10 또는⁵¹ 4 x decillion의 핵자로 구성됩니다.
• 관측 가능한 우주에 있는 원자의 추정 수⁸⁰(10개) 또는 100 quiniginion
• 체스의 게임 트리 복잡성에 대한 하한, 일명 "셰논 수"(약 10개로¹²⁰ 추정) 또는 1 novemtrigion^[6]
  • Shannon 번호의 이 값은 Standard Chess에 대한 값입니다.그것은 그랜트 아세드렉스, 타이쇼기, 타이쿄쿠 쇼기와 같은 더 큰 보드 체스 변종들을 위한 훨씬 더 큰 값을 가지고 있습니다.

천문학적

길이와 시간에 관한 다른 많은 수들은 천문학과 우주론에서 발견됩니다.예를 들어, 현재의 빅뱅 모델은 우주가 138억 년(4.355 × 10초¹⁷)이나 되었고, 허블 우주 망원경 관측에 따르면 관측 가능한 우주는 가로로 930억 광년(8.8 × 10미터²⁶)이고, 약 1,250억 개(1.25 × 10)의¹¹ 은하로 구성된 약 5 × 10개의²² 별을 포함하고 있습니다.대략적인 추정으로는, 관측 가능한 우주에는 약 10개의⁸⁰ 원자가 있습니다.^[7]

캐나다 앨버타 대학의 물리학자 돈 페이지에 따르면, 지금까지 어떤 물리학자에 의해서도 명시적으로 계산된 가장 긴 유한 시간은

${\displaystyle 10^{10^{10^{10^{1.1}}}}}{{\mbox{년}}}$

질량이 10 플랑크⁻⁶ 질량인 인플라톤을 가진 특정 팽창 모델을 가정할 때, 전체 우주의 추정 질량을 가진 블랙홀을 포함하는 가상 상자의 양자 상태에 대한 추정 푸앵카레 재발 시간의 규모에 해당합니다.^[8][9]이 시간은 푸앵카레가 재발할 수 있는 통계적 모델을 가정합니다.이 시기에 대한 훨씬 단순화된 사고방식은 통계역학의 특성으로 인해 우주의 역사가 임의적으로 여러 번 반복되는 모델에서 찾아볼 수 있습니다. 이는 처음에 (합리적으로 "유사한" 선택을 위해) 현재 상태와 어느 정도 유사해질 시간 척도입니다.

조합 프로세스는 훨씬 더 많은 수를 빠르게 생성합니다.고정 개체 집합에 대한 순열의 수를 정의하는 요인 함수는 개체 수에 따라 매우 빠르게 증가합니다.스털링의 공식은 이러한 성장 속도에 대한 정확한 점근적 표현을 제공합니다.

조합 과정은 통계 역학에서 매우 많은 수를 생성합니다.이 숫자들은 너무 커서 일반적으로 로그를 사용해서만 참조됩니다.

알고리즘 정보 이론에서 비트열을 나타내기 위해 사용되는 괴델 수와 유사한 수는 합리적인 길이의 수학적 문장에 대해서도 매우 큽니다.그러나 일부 병리학적 수치는 일반적인 수학적 명제의 괴델 수치보다 더 큽니다.

논리학자 하비 프리드먼은 크러스칼의 트리 정리와 로버트슨과 같은 매우 많은 수와 관련된 연구를 했습니다.시모어 정리.

"수십억,수십억"

우주를 보는 사람들이 "백만"과 "억"을 구분할 수 있도록 돕기 위해 천문학자 칼 세이건은 "b"를 강조했습니다.하지만 세이건은 "수십억,수십억"이라고 말하지 않았습니다.대중들이 이 문구와 사간을 연관 짓는 것은 투나잇 쇼의 촌극에서 비롯되었습니다.사간의 효과를 패러디하면서 조니 카슨은 "수십억, 십억"이라는 말을 했습니다.^[10]그러나 이 문구는 이제 유머러스한 허구의 숫자인 사간이 되었습니다.CF, 사간 유닛.

예

• 구골 = 10 ${\displaystyle {100}^{}}$ ${\displaystyle 10^{100}$
• cention = 10 ${\displaystyle {303}^{}}$ ${\displaystyle 10^{$303$}$ 또는 10 ${\displaystyle {600}^{}}$ ${\displaystyle 10^{600$ 번호 명명 방식에 따라
• 밀리언 = 10 ${\displaystyle {3003}^{}}$ ${\displaystyle 10^{3003},$ ${\displaystyle {\mathrm{또는}}^{}}$ ${\displaystyle {10}^{}}$ 6000$${\$displaystyle 10^{$6000$\}\},$ 번호 명명 방식에 따라 100만 = 10 3003 {\displaystyle 10^{displaystyle 10}
• 알려진 가장 큰 스미스 번호 = (10-1) × (10 + 3 x 10 + 1) × 10
• 알려진 가장 큰 메르센 소수 = ${\displaystyle {282,}^{}}$ ${\displaystyle {589,}^{}}$ ${\displaystyle {933}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}1}$ ${\displaystyle 2^{82,589,933}-1}$
• gooolplex = ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{goool}}^{}}$ = ${\displaystyle {{10}^{}}^{}}$10 $100$ {\$displaystyle$10^{\$text{goool$}}= $10^{10^{100}}$
• 스큐즈 수 : 첫번째는 약 10 ${\displaystyle {{10}^{}}^{}}$ 10 ${\displaystyle {{{10}^{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{{34}^{}}^{}}^{}}$ ${\$두번째 ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {{10}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{{10}^{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{{964}^{}}^{}}^{}}$ ${\$입니다.
• BEAF(Bowers Explanting Array Function) 하단에 {3, 3, 3} 트라이트리가 있습니다.3{3}3, 3^^^3 또는 3^^(3^^3)으로 쓸 수 있으며, 후자의 2는 크누스의 업 arrow 표기법이 그라함 수를 어떻게 만들기 시작하는지를 보여줍니다.
• BEAF(Bowers Explanting Array Function) 하단에 {4, 4, 4}을(를) 시도합니다.
• Graham의 숫자는, 전력탑을 사용해서도 표현할 수 있는 숫자보다 큽니다.그러나 크누스의 위쪽 화살표 표기법의 레이어를 사용하여 표현할 수 있습니다.
• BEAF(Bowers Explosing Array Function)를 통해 생성할 수 있는 수의 예인 수퍼테트 {4, 4, 4, 4}.4{{{4}}}}}:4로 표기할 수 있으며, 이는 숫자를 생성하는 데 사용된 표기법을 보다 명확하게 표현한 것입니다.
• 크러스칼의 트리 정리는 그래프와 관련된 수열입니다.트리(3)는 Graham의 숫자보다 큽니다.
• 라요의 수는 아구스틴 라요의 이름을 딴 수이다.이는 원래 2007년 1월 26일 MIT에서 열린 "대수 결투"에서 정의되었습니다.

표준화된 글쓰기 체계

이 절에서는 출처를 언급하지 않습니다. 신뢰할 수 있는 자료에 인용문을 추가하여 이 부분을 개선하는 데 도움을 주시기 바랍니다. 출처가 밝혀지지 않은 자료에 이의를 제기하여 제거할 수 있습니다.(2022년 12월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기)

매우 큰 숫자들을 쓰는 표준화된 방법은 그것들을 증가하는 순서로 쉽게 분류할 수 있게 해주고, 어떤 숫자가 다른 숫자보다 얼마나 큰지 잘 알 수 있게 해줍니다.

과학적 표기법에서 숫자를 비교하려면, 예를 들어 5×10과⁴ 2×10을⁵ 먼저 비교하고, 이 경우에는 5 > 4이므로, 2×10⁵ > 5×10입니다⁴.지수가 같으면 가수(또는 계수)를 비교해야 하므로 5 > 2이므로 5 x 10⁴ > 2 x 10입니다⁴.

기본 10으로 테트레이션하면 수열 ${\displaystyle 10}$ ↑↑ ${\displaystyle n}$ = ${\displaystyle 10}$ → ${\displaystyle n}$ → ${\displaystyle 2}$ = ${\displaystyle (10}$ ↑${\displaystyle {}^{}}$) n ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow$n = $10\to n\$to 2 = ($10\uparrow )^{n$1}, 숫자 10의 파워 타워, 여기서 $({\displaystyle 10}$ ↑ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle (10\uparrow )^{n}$는 $함수$ ${\displaystyle f}$( n${\displaystyle }$) = ${\displaystyle {10}^{}}$ n ${\displaystyle f(n$) = $10^{n}($함수 또한 다음과 같이 표현됨)를 나타냅니다.접미사 "-plex"(구골플렉스, 구골 패밀리 참조).

이 숫자들은 매우 둥근 숫자들이며, 각각은 일반화된 의미에서 크기의 순서를 나타냅니다.어떤 수가 얼마나 큰지를 지정하는 대략적인 방법은 어떤 수가 이 수열의 어떤 두 수 사이에 있는지를 지정하는 것입니다.

더 정확하게 말하면, 그 사이의 숫자는 $({\displaystyle 10}$ ↑${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle (10\uparrow)^{n}a}$의 형태로 표현될 수 있습니다$.$ 즉, 10s의 전력 타워와 상단에 숫자가 있는 경우, 예를 들어 10 ${\displaystyle {{10}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{{10}^{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{{{10}^{}}^{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{{{{10}^{}}^{}}^{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{{{{4.829}^{}}^{}}^{}}^{}}^{}}$ =${\displaystyle }$(${\displaystyle 10}$ ↑${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}.829}$ ${\displaystyle 10^{10^{10^{10^{4).$$829}}}}:$ $=$${\displaystyle (}$$10\uparrow )^{5} 4.829$ ${\displaystyle 10}$ $↑↑$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 5}$에서 ${\displaystyle 10}$ $↑↑$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 6}$ 사이의 숫자입니다( $↑↑$ n< $↑$) < $↑↑$ (+ 1) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow$ n < $(10\uparrow )^{n}a< 10\uparrow \uparrow (n+1$$)},$ 만약 << ${\displaystyle 1$< a < $10$ .(실제 높이까지 테트레이션 확장도 참조)

따라서 gogolplex는 10 ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {{100}^{}}^{}}$ =${\displaystyle }$( ${\displaystyle 10}$ ↑${\displaystyle {}^{}}$) 2 ${\displaystyle 100}$ =${\displaystyle }$( ${\displaystyle 10}$ ↑${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle 3^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 10^{10^{100}}$=$(10\uparrow)^{2}100$= ($10\uparrow)^{3}2}}$

또 다른 예:

$=$$w )^{65,533} 4.3}$ (10 $↑↑$ ${\displaystyle 65}$${\displaystyle ,533}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 65,533}$와 ${\displaystyle 10}$ $↑↑$ 65${\displaystyle ,534}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 65,534}$ 사이$)$

따라서 (통상적으로 의미하는 것보다 더 큰 규모로) 숫자의 "크기 순서"는 1에서 10 사이의 숫자를 얻기 위해$$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {10}_{}}$ ${\$을(를) 취해야 하는 횟수(n)로 특징지을 수 있습니다.따라서 숫자는 ${\displaystyle \mathrm{10}}$ ↑↑ n ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}$에서 ${\displaystyle 10}$ ↑↑ ${\displaystyle (n}$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow (n$+ 1$)}$ 사이입니다$.$설명된 바와 같이, 숫자에 대한 더 정확한 설명은 또한 이 숫자의 값이 1과 10 사이에 있거나, 이전 숫자(로그를 한 번 덜 취하는 것)가 10과¹⁰ 10 사이에 있거나, 다음 숫자가 0과 1 사이에 있음을 나타냅니다.

참고:

${\displaystyle 10^{(10\uparrow)^{n}x}=(10\uparrow)^{n}10^{x}}$

즉, 숫자 x가 너무 커서 표현$$(${\displaystyle 10}$ ↑${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle (10\uparrow)^{n}x}$을(를) 표현할 수 없는 경우, 파워 타워를 하나 더 높게 만들 수 있으며, x를 logx로 대체하거나, 전체 숫자의 로그의 낮은 tower 표현에서 x를 찾을 수 있습니다.전력 타워가 10과 다른 하나 이상의 숫자를 포함하는 경우, 두 접근 방식은 결과가 다를 것이며, 이는 전력 타워를 하단에 10으로 확장하는 것과 동일하지 않다는 사실에 해당합니다(물론 전체 전력 타워가 다음과 같은 복사본으로 구성된 경우에도 유사한 언급이 적용됩니다).동일한 숫자, 10)와 다른 숫자.

타워의 높이가 클 경우, 큰 수에 대한 다양한 표현을 높이 자체에 적용할 수 있습니다.높이가 대략적으로만 주어지면 맨 위에 값을 주는 것은 의미가 없으므로 이중 arrow 표기(예: ${\displaystyle 10}$ ↑↑${\displaystyle }$( 7${\displaystyle .21}$ x${\displaystyle {108}^{}}$ )${\displaystyle 10\uparrow$ \$uparrow (7.21\times 10^{8}})$를$$사용할 수 있습니다.이중 화살표 뒤의 값이 매우 큰 숫자 자체일 경우 위의 내용을 해당 값에 재귀적으로 적용할 수 있습니다.

예:

${\displaystyle 10\uparrow 10^{,\!10^{10^{3.$$81\times 10^{17}}}($${\displaystyle 10}$ $↑↑↑$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 2}$와 ${\displaystyle 10}$ $↑↑↑$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 3}$ 사이$)$

$=$$73\times 10^{$32}}${\displaystyle }$(${\displaystyle 10}$$↑↑↑$ 4 {\$displaystyle 10\$uparrow \$uparrow$ 4}와 10$$$↑↑↑$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 5}$ 사이$)$

위와 유사하게 $({\displaystyle 10}$ ↑${\displaystyle }$) ${\displaystyle$($10\uparrow$$)}$의 지수가 정확히 주어지지 않으면 오른쪽에 값을 주는 것은 의미가 없으며$,$ (${\displaystyle 10}$ ↑${\displaystyle }$) ${\displaystyle (10\uparrow)}$의 전력 표기 대신$$(${\displaystyle 10}$ ↑↑ )${\displaystyle$$1}$의 지수에 $1$ ${\$$displaystyle$ 1}을 추가할 수 있습니다$.$, $$예를 들어$$(${\displaystyle 1}$0 ${\displaystyle \uparrow \uparrow {}^{}}$) ${\displaystyle 3^{}}$ ${\displaystyle {}^{}2.8}$x ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {12}^{}}$) ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{3}$ ($2.8\times 10^{12})}$를 구합니다$.$

$({\displaystyle 10}$ ↑↑${\displaystyle }$) ${\displaystyle(10\uparrow \uparrow )}$의 지수가 크면 큰 숫자에 대한 다양한 표현을 이 지수 자체에 적용할 수 있습니다.만약 이 지수가 정확히 주어지지 않는다면, 역시 오른쪽에 값을 주는 것은 이치에 맞지 않으며$,$ (${\displaystyle 10}$ ↑↑${\displaystyle }$) ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$의 파워 표기 대신 ${\displaystyle \mathrm{트리플}}$ 화살표 연산자(예: 10 ↑↑↑ ${\displaystyle (7.3}$x ${\displaystyle {106}^{}}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow (7.3\times 10^{6})}$를 사용할 수 있습니다$.$

삼중 화살표 연산자의 우변이 크면 위의 내용이 적용됩니다$.$ 예를 들어 ${\displaystyle 10}$ ↑↑↑${\displaystyle }$( ${\displaystyle 10}$ ↑↑${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle 2^{}}$( ${\displaystyle 10}$ ↑ )${\displaystyle {497}^{}}$( ${\displaystyle 9.73}$ ×${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {32}^{}}$) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow$ ($10\uparrow \uparrow$ \uparrow $)^{2}(10\uparrow )^{497}(9$).$73회 10^{32}}$ (${\displaystyle 10}$ $↑↑↑$ ${\displaystyle 10}$ $↑↑↑$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 4}$ 및 ${\displaystyle 10}$ $↑↑↑$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow$ \$uparrow$ \$uparrow 4}$ $사이).$이 작업은 재귀적으로 수행할 수 있으므로 트리플 화살표 연산자의 검정력을 가질 수 있습니다.

그러면 ↑ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$라고 쓰인 화살표 개수가 더 많은 연산자로 진행할 수 있습니다$.$

이 표기법을 하이퍼 연산자 및 Conway 연결 화살표 표기법과 비교합니다.

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle a\uparrow ^{n$ =${\displaystyle }$(a ${\displaystyle \to }$ b → ${\displaystyle n}$ ) = hyper(a, n + 2, b)

첫 번째 장점은 b의 함수로 간주될 때 이 함수의 거듭제곱에 대한 자연스러운 표기법이 있다는 것입니다. $($n개의 화살표를 쓸 때와 마찬가지로) (${\displaystyle a}$ ↑ ${\displaystyle n^{}}$) ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle (a\uparrow ^{n})$$^{k}b$ 예를 들어 다음과 같습니다.

${\displaystyle (10}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$) 3 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle (10\uparrow ^{2})^{$= (${\displaystyle }$10 → (${\displaystyle }$10 ${\displaystyle \to }$ b → ${\displaystyle 2}$ ) → ${\displaystyle 2}$ ) → 2 )

그리고 특수한 경우에만 긴 중첩 체인 표기법이 줄어듭니다. ″ ${\displaystyle b}$ ″ = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ ''$b''$=$1}$의 경우 다음을 얻습니다.

${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle \uparrow }$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle {}^{}}$ $=$ ↑ ${\displaystyle 2^{}}$) ${\displaystyle 3^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 10\uparrow ^$= (10$\uparrow ^{2})^{$3$1}$= ${\displaystyle \mathrm{(}}$10 → 3 )

b는 또한 매우 클 수 있기 때문에 일반적으로 거듭제곱수$({\displaystyle 10}$ ↑ ${\displaystyle n^{}}$) ${\displaystyle {{kn}_{}}^{}}$ ${\displaystyle (10\uparrow ^{n})$로 대신 쓸 수 있습니다.n(정확히 주어진 정수 $지수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {kn}_{}}${\$displaystyle {k_{n$의 감소 값을 갖는 $^{k_{n}},$ 일반적인$$ 과학적 표기법에서 숫자가 끝에 있습니다.${\displaystyle {kn}_{}}$ ${\$이(가) 너무 커서 정확히 지정할 수 없을 $때$마다 ${\displaystyle {kn}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}${\$displaystyle {k_{n+1}}$의 값이 1씩 증가하고${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$+ ${\displaystyle 1){}^{}}$ ${\displaystyle {{kn}_{}}^{}}$+ ${\displaystyle {1_{}}^{}}$ ${\$의 오른쪽에 있는 모든 값이 증가합니다.$^{k_{n+1}}$이(가$$) 다시 작성되었습니다.

숫자를 대략적으로 설명하기 위해서는 n의 값이 감소하는 순서에 대한 편차가 필요하지 않습니다.예를 들어, ${\displaystyle 10}$ ↑ ${\displaystyle (10}$ ↑↑${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle 5^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ = ${\displaystyle (10}$ ↑↑${\displaystyle {}^{}}$) 6 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 10\uparrow (10\uparrow \uparrow )^{5}a$ =$(10\uparrow \uparrow )^{6}a$ 그리고 ${\displaystyle 10}$ ↑ (${\displaystyle 10}$ ↑↑↑ ${\displaystyle 3}$) ≈ 10 ↑↑ (${\displaystyle 10}$ ↑↑ ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle 1}$ )${\displaystyle }$approx ${\displaystyle 10}$ ↑↑↑ 3 ${\displaystyle 10\uparrow$ \$uparrow$\uparrow \$uparrow 3)$ = $10\uparrow$\uparrow ($10\uparrow \uparrow$ 10$+1)\$ar 10\uparrow \$uparrow$ \uparrow $3}$ 입니다$.$ 즉, ob는 ob입니다.어떤 수 x가 너무 커서 어떤 면에서는 x와 10이^x "거의 같다"는 다소 반직관적인 결과를 나타냈습니다(큰 수의 산술에 대해서는 아래 참조).

위쪽 화살표의 위첨자가 크면 큰 숫자에 대한 다양한 표현을 이 위첨자 자체에 적용할 수 있습니다.만약 이 위첨자가 정확히 주어지지 않는다면 연산자를 특정한 힘으로 올리거나 연산자가 작용하는 값을 조정하는 것은 의미가 없으며, 대신 오른쪽에 있는 표준 값, 예를 들어 10을 사용하는 것이 가능합니다.식이 ${\displaystyle 10{}^{}}$↑ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle 10}$ = (${\displaystyle 10}$ → ${\displaystyle 10}$ →${\displaystyle n}$ )$${\$displaystyle 10\uparrow$^{$n}10$= $(10\to 10\ton)}$로 줄어듭니다.이러한 숫자의 경우 위쪽 화살표 표기법을 사용하는 장점이 더 이상 적용되지 않으므로 체인 표기법을 대신 사용할 수 있습니다.

이 n에 대해 위의 내용을 재귀적으로 적용할 수 있으므로 첫 번째 화살표 등의 위첨자 또는 중첩 체인 표기법에서 ↑ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$을(를) 얻습니다.

(10 → 10 → (10 → $3{\displaystyle }$x ${\displaystyle {105}^{}}$ ${\displaystyle 3\times 10^{5}})$= ${\displaystyle 10}$ ↑ ${\displaystyle {10}^{}}$ ↑ 3${\displaystyle {x^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{{10}^{}}^{}}^{}}$ 5 ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle 10\uparrow ^{3\times 10^{5}}10}$

레벨의 수가 너무 많아져서 편리하지 않은 경우에는 이 레벨의 수를 숫자로 적는 표기법이 사용됩니다(많은 화살표 대신 화살표의 위첨자를 사용하는 경우).함수 $f$ (${\displaystyle n}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 10}$ ↑ n ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle f (n)$ = $10\uparrow ^{n} 10$= (10 → 10 → n)을 도입하면, 이러한 레벨들은 기능적 전원 오프가 됩니다.${\displaystyle \mathrm{fm}}$ (n)$$ {\$displaystyle$ f$^{m}(n)}$의 형태로 숫자를 쓸 수 있게 해줍니다. 여기서$$ m은 정확히 주어지고 n은 정확히 주어질 수도 있고 주어지지 않을 수도 있는 정수입니다(예: $f2$(${\displaystyle 3}$× ${\displaystyle {105\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle$ f$^{2}(3\times 10^{5})}).$n이 크면 위의 어느 것이든 표현에 사용할 수 있습니다.이 숫자들 중 가장 "원형"은 f(1) = (10→10→m→2) 형태의 숫자입니다.예를 들어$,$ (${\displaystyle 10}$ → ${\displaystyle 10}$ → ${\displaystyle 3}$ → ${\displaystyle 2}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 10}$ ↑ ${\displaystyle {10}^{}}$ ↑ 10 ${\displaystyle {{{10}^{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle 10}${\$displaystyle(10\to 10\to$ 3\to 2$)$ =$10\uparrow ^{10\$uparrow ^{$10}}10}$

Graham의 숫자의 정의를 비교해 보십시오. 10이 아닌 이 사용되고 64개의 화살표 레벨이 있고 맨 위에 4개의 숫자가 있습니다. G < 3→ → →< ( → → → ) = 65( ){\$displaystyle$ G < $3\rightarrow$ 3$\rightarrow 65\rightarrow$2 < $(10\to 10\to 65\to$2) =$f^{65}(1)$ 뿐만 아니라< f (${\displaystyle$G <$f^{64}(4)$ $<f^{6$}$5}(1)}$.

${\displaystyle {min}^{}}$ $f$ m (${\displaystyle {}^{}n}$) ${\displaystyle f^{m}(n)}$이 너무 커서 정확히 알 수 없는 경우 고정 n(예: n = 1)을 사용하고 위의 내용을 m에 재귀적으로 적용하는 것이 가능합니다. 즉, 위쪽 화살표의 레벨 수는 위첨자된 위쪽 arrow 표기법 등으로 표시됩니다.기능적 전력 표기 off를 사용하면 여러 수준의 off를 얻을 수 있습니다.함수 $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle f^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle$ g $($n) = $f^{n}$ ($1)}$ 이 수준을 도입하면 g의 함수 거듭제곱이 되어 m이 정확히 주어지고 n이 정확히 주어질 수도 있고 주어지지 않을 수도 있는 정수인 $g$ m (${\displaystyle {}^{}n}$) ${\displaystyle g^{m}$ ($n)}$ 형태의 수를 쓸 수 있습니다.예를 들어, (10→10→m→3) = g(1)인 경우입니다.n이 클 경우 위의 어느 하나라도 이를 표현하는 데 사용할 수 있습니다.마찬가지로 함수 h 등을 도입할 수 있습니다.이러한 함수가 많이 필요한 경우 첨자로 새 문자를 사용하는 대신 매번 번호를 지정할 수 있습니다. ${\displaystyle 예}$를 들어 $f{\displaystyle {}_{}^{}}$ k m (${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle f_{k}^{m}(n)}$ 형식의 숫자가 있으며$$ k와 m은 정확히 주어질 수 있고 n은 정확히 주어지지 않을 수도 있는 정수입니다.위 f 에 대하여 k=1 을 사용하고, g 등에 대하여 k=2 를 사용하여 (10→10→n→k) = $f$ ${\displaystyle k_{}}$( ${\displaystyle n}$) = ${\displaystyle f_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$- 1 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}1}$) ${\displaystyle f_{k}$ (n) = $f_{k-1}^{n}$ ($1)$ 을 구합니다$.$ n 이 클 경우 위 중 어느 하나를 사용하여 표현할 수 있습니다.따라서 k가 안쪽으로 갈수록 감소하는$$ f ${\displaystyle {k_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{{}_{}}}$ ${\displaystyle {k_{}}^{}}$ ${\$의 형태의 중첩을 구합니다.그리고 내부 논법으로 일반적인 과학적 표기법에서 숫자가 마지막에 있는 n(이 모든 숫자들이 정확히 주어진 정수)의 감소 값을 갖는 거듭제곱 수열$$(${\displaystyle 10}$ ↑ ${\displaystyle n^{}}$) ${\displaystyle {p_{}}^{}}$ n ${\displaystyle (10\uparrow ^{n}^{p_{n}}}.$

k가 너무 커서 정확히 알 수 없을 때 해당 개수는 대략 n과 함께 ${\displaystyle {fn}_{}}$(${\displaystyle 10)}$ ${\displaystyle {f_{n}}(10)$ = (10→10→10→n)로 표현할 수 있습니다.${\displaystyle {\mathrm{수열}}^{}}$ ${\displaystyle {10}^{}}$n {\$displaystyle 10^{$n}} → (10↑n)에서 수열 ${\displaystyle 10}$= n ${\displaystyle 10}$ {\$displaystyle 10\uparrow ^{n}10}$ = (10→10→n)에서 수열 f ${\displaystyle n_{}}$(${\displaystyle 10)}$ ${\displaystyle {f_{n}}(10)$ → (10→10→n): 일반적으로 10개의 요소를 체인 노트에 추가하는 과정입니다.ion; 이 과정을 다시 반복할 수 있습니다(이전 섹션 참조).이 함수의 후속 버전에 번호를 지정하는 것은 $fq{\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {k_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{{}_{}}}$ ${\displaystyle {q_{}}^{}}$ ${\displaystyle {k_{}}^{}}$ ${\$를 사용하여 설명할 수 있으며,$$q가 가장 많은 사전 순서로 중첩됩니다.그러나 q와 fork에 대한 순서가 감소함에 따라 내부 인수가 일반적인 과학적 표기법에서 숫자가 마지막에 있는 n(이 모든 숫자들이 정확히 주어진 정수)의 감소 값을 갖는$$${\displaystyle }$pn ${\$의 거듭제곱 수를 산출합니다.

Conway chained 화살표 표기법에 기록하기에 너무 큰 숫자의 경우, 크기는 해당 체인의 길이로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어 체인의 요소 10만 사용하면 됩니다. 즉, 시퀀스 10, 10→10, 10→10→10, ...에서 위치를 지정할 수 있습니다.시퀀스의 위치라도 큰 수일 경우 동일한 기법을 다시 적용할 수 있습니다.

예

십진법 표기법으로 표현할 수 있는 숫자:

• 2² = 4
• 2²² = 2 ↑↑ 3 = 16
• 3³ = 27
• 4⁴ = 256
• 5⁵ = 3,125
• 6⁶ = 46,656
• ${\displaystyle {22}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {{2^{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{2^{$ 2 ${\displaystyle {\mathrm{\uparrow }}^{}}$↑ 4${\displaystyle {\mathrm{=}}^{}}$2 ↑${\displaystyle {\mathrm{\uparrow }}^{}}$↑ 3 = 65,536
• 7⁷ = 823,543
• 10 = 1,000,000 = 100만
• 8⁸ = 16,777,216
• 9⁹ = 387,420,489
• 10 = 1,000,000 = 10억
• 10¹⁰ = 10,000,000,000
• 10 = 1,000,000,000 = 1조
• 3 = 3 ↑↑ 3 = 7,625,597,484,987 ≈ 7.63 x 10
• 10 = 1,000,000,000 = 1억 = 1,000억 = 1,000조
• 10 = 1,000,000,000 = 10억 = 1/5

과학적 표기법으로 표현할 수 있는 숫자:

• 관측 가능한 우주의 대략적인 원자 수 = 10 = 100,000,000,000,000,000,000,000,000
• 구골 = 10 = 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
• 4 = 4 ↑↑ 3 = 2 ≈ 1.34 × 10 ≈ (10 ↑) 2.2
• 관측 가능한 우주의 부피를 구성하는 플랑크 부피의 대략적인 수 = 8.5 × 10
• 5 = 5 ↑↑ 3 = 5 ≈ 1.91 × 10 ≈ (10 ↑) 3.3
• ${\displaystyle 2^{2^{2}}}=2\uparrow \uparrow 5=2^{65,536}\approx 2.0\times 10^{19,728}\times 10^{2}^{2}4.3}$
• 6 = 6 ↑↑ 3 ≈ 2.66 × 10 ≈ (10 ↑) 4.6
• 7 = 7 ↑↑ 3 ≈ 3.76 × ≈ ( () 5.8
• 8 = 8 ↑↑ 3 ≈ 6.01 x ≈ (10 ↑) 7.2
• ${\displaystyle {}_{}}$M ${\displaystyle {82,}_{}}$ ${\displaystyle {589,}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 1.49}$× ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {24,}^{}}$ ${\displaystyle {862,}^{}{}_{}{047}^{}}$ ≈ ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {{10}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{7\mathrm{.}}^{}}^{}{3}_{}{{955}^{}}^{}}$ $=$ ↑${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle 27.3955}$ ${\displaystyle M_{82,589,933}\대략 1.49\times 10^{24,862,047}\times 10^{7.$ 51번째이며 2021년 1월 기준으로 가장 큰 메르센 소수입니다.
• 9 = 9 ↑↑ 3 ≈ 4.28 x ≈ (10 ↑) 8.6
• 10¹⁰¹⁰ =10 ↑↑ 3 = 10^{10,000,000,000} = (10 ↑)³ 1
• ${\displaystyle 3^{3^{3}}=3\uparrow \uparrow 4\approx 1.26\times 10^{3,638,334,640,024}\approx(10\uparrow)^{3}1.10}$

(10 ↑) k 표기법으로 표현 가능한 숫자:

• 구골플렉스 = ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {{100}^{}}^{}}$ = (10${\displaystyle }$↑${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle 32}$ ${\displaystyle 10^{10^{100}}$= ($\uparrow)^{3}2}$
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2}}}=2\uparrow \uparrow 6=2^{265,536}}\approx 2^{(10\uparrow )^{2}}}}\displaystyle 2^{(2\uparrow )}}\displaystyle 2^{2}}.3}\approx 10^{(10\uparrow)^{2}4.3}=(10\uparrow)^{3}4.3}$
• ${\displaystyle 10^{10^{10}}=10\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow)^{4}1}$
• ${\displaystyle 3^{3^{3}}}=3\uparrow \uparrow 5\approx 3^{10^{3}}.6\times 10^{12}}\approx(10\uparrow)^{4}1.10}$
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2}}}}=2\uparrow \uparrow 7\approx(10\uparrow)^{4}4.3}$
• 10 ↑↑ 5 = (10 ↑)⁵ 1
• 3 ↑↑ 6 ≈ (10 ↑)⁵ 1.10
• 2 ↑↑ 8 ≈ (10 ↑)⁵ 4.3
• 10 ↑↑ 6 = (10 ↑)⁶ 1
• 10 ↑↑↑ 2 = 10 ↑↑ 10 = (10 ↑)¹⁰ 1
• 2 ↑↑↑↑ 3 = 2 ↑↑↑ 4 = 2 ↑↑ 65,536 ≈(10 ↑) 4.3은 10 ↑↑ 65,533 ~ 10 ↑↑ 65,534 사이입니다.

숫자가 클수록:

• 3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑ 7.6 × 10 ≈ 10 ↑↑ 7.6 × 10은 (10 ↑↑) 2와 (10 ↑↑) 3 사이에 있습니다.
• ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle \uparrow \uparrow \mathrm{\uparrow }}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle =\mathrm{(1}0}$ $↑↑$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparro$3 =$(10\uparrow \uparrow )^{$= ${\displaystyle \mathrm{(}}$10 → 3 )
• ${\displaystyle(10\uparrow \uparrow)^{2}11}$
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}10^{,\!10^{10^{3.81회 10^{17}}}$
• ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle \uparrow \uparrow \mathrm{\uparrow }}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{(1}0}$ $↑↑$) ${\displaystyle 4^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparro$4 =$(10\uparrow \uparrow )^{4$ = ${\displaystyle \mathrm{(}}$10 ${\displaystyle \mathrm{\to }}$ 4 → 3 )
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$
• ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle \uparrow \uparrow \mathrm{\uparrow }}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{(1}0}$ $↑↑$) 5 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparro$5 =$(10\uparrow \uparrow )^{5$ = ${\displaystyle \mathrm{(}}$10 ${\displaystyle \mathrm{\to }}$ 5 → 3 )
• ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle \uparrow \uparrow \mathrm{\uparrow }}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{(1}0}$ $↑↑$) ${\displaystyle 6^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparro$6 =$(10\uparrow \uparrow )^{6$ = ${\displaystyle \mathrm{(}}$10 ${\displaystyle \mathrm{\to }}$ 6 → 3 )
• ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle \uparrow \uparrow \mathrm{\uparrow }}$ ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{(1}0}$ $↑↑$) 7 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparro$7 = $(10\uparrow \uparrow )^{7$ = ${\displaystyle \mathrm{(}}$10 ${\displaystyle \mathrm{\to }}$ 7 → 3 )
• ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle \uparrow \uparrow \mathrm{\uparrow }}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{(1}0}$ $↑↑$) ${\displaystyle 8^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparro$8 =$(10\uparrow \uparrow )^{8$ = ${\displaystyle \mathrm{(}}$10 ${\displaystyle \mathrm{\to }}$ 8 → 3 )
• ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle \uparrow \uparrow \mathrm{\uparrow }}$ ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle =\mathrm{(1}0}$ $↑↑$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparro$9 =$(10\uparrow \uparrow )^{9$ = ${\displaystyle \mathrm{(}}$10 ${\displaystyle \mathrm{\to }}$ 9 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow }$↑${\displaystyle \mathrm{\uparrow }}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle =10}$ ↑↑↑${\displaystyle \mathrm{}10}$ ${\displaystyle =1}$0 $↑↑$ ) ${\displaystyle {}^{}}$ 1 ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparro$2 = $10\uparrow \uparrow \uparrow$ = ($10\uparrow \uparrow )^{10$ = (${\displaystyle \mathrm{}}$10 ${\displaystyle \mathrm{\to }}$ 2 → ${\displaystyle 4}$ ) → (${\displaystyle \mathrm{}}$10 →${\displaystyle \mathrm{}}$10 → 3 )
• Graham 수 정의의 첫 번째 항, g = 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7.6 × 10) ≈ 10 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7.6 × 10) (10 ↑↑↑ 7.6 × 10) 2 ~ (10 ↑↑↑) 3 (Graham 수 #Magnity 참조)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \mathrm{\uparrow }}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{(10}}$ $↑↑↑$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparro$3 = $(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{$= ${\displaystyle \mathrm{(}}$10 ${\displaystyle \mathrm{\to }}$ 3 → 4 )
• ${\displaystyle 4\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow }$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 4\uparrow \uparrow \uparrow$\uparrow$4}$ =${\displaystyle \mathrm{}}$(4 ${\displaystyle \mathrm{\to }}$ 4 ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle 4}$ ) $\approx {\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{(10}}$ ↑↑↑${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$ ↑↑${\displaystyle {}^{}}$) 3 ${\displaystyle 154}${\$displaysty$${\displaystyle \mathrm{le\; \backslash ap}}$$prox (10\uparrow \uparrow$ \$uparrow$ )^{2}$(10\uparrow \uparrow )^{3}154}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \mathrm{\uparrow }}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{(10}}$ $↑↑↑$) 4 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparro$4 =$(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{$= ${\displaystyle \mathrm{(}}$10 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \mathrm{\uparrow }}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{(10}}$ $↑↑↑$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 5^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparro$5 = $(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{$= ${\displaystyle \mathrm{(}}$10 ${\displaystyle \mathrm{\to }}$ 5 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \mathrm{\uparrow }}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{(10}}$ $↑↑↑$) ${\displaystyle 6^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparro$6 =$(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{$= ${\displaystyle \mathrm{(}}$10 ${\displaystyle \mathrm{\to }}$ 6 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \mathrm{\uparrow }}$ ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{(10}}$ ↑↑↑${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle \mathrm{}{}^{}}$ =${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparro$7$=$ ($10\uparrow \uparrow \uparrow )^{$ = ${\displaystyle \mathrm{(}}$10 ${\displaystyle \mathrm{\to }}$ 7 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \mathrm{\uparrow }}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle =\mathrm{(10}}$ ↑↑↑${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle \mathrm{}{}^{}}$ =${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparro$ 8 $=$ ($10\uparrow \uparrow \uparrow )^{$ = ${\displaystyle \mathrm{(}}$10 ${\displaystyle \mathrm{\to }}$ 8 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \mathrm{\uparrow }}$ ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{(10}}$ ↑↑↑${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle \mathrm{}{}^{}}$ $=$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparro$9$=$ ($10\uparrow \uparrow \uparrow )^$=} = ${\displaystyle \mathrm{(}}$10 ${\displaystyle \mathrm{\to }}$ 9 → 4 )
• ${\displaystyle \mathrm{10\; \uparrow }\uparrow \uparrow }$↑${\displaystyle \mathrm{\uparrow }}$ $=$↑↑↑↑${\displaystyle \mathrm{}10}$ ${\displaystyle =10}$ $↑↑↑$ $=$ ) ${\displaystyle {}^{}}$1 {\$displaystyle 10\uparrow$ \$uparrow$ \uparrow \$uparrow$ \$uparro$ 2 $= 10\uparrow \uparrow \uparrow$10 = ($10\uparrow \uparrow \uparrow )^{10$ = ${\displaystyle \mathrm{(}}$10 ${\displaystyle \mathrm{\to }}$ 2 → ${\displaystyle 5}$ ) → ${\displaystyle \mathrm{(}}$10 →${\displaystyle \mathrm{}}$10 → 4 )
• ( 2 → 3 → 2 → 2 ) = ( 2 → 3 → 8 )
• ( 3 → 2 → 2 → 2 ) = ( 3 → 2 → 9 ) = ( 3 → 3 → 8 )
• ( 10 → 10 → 10 ) = ( 10 → 2 → 11 )
• ( 10 → 2 → 2 → 2 ) = ( 10 → 2 → 100 )
• ( 10 → 10 → 2 → 2 ) = ( 10 → 2 → ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle 10^{10}}$ ) = ${\displaystyle 10}$ ↑ ${\displaystyle {{10}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{10}^{}}^{}}$ ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle 10\uparrow ^{10}}$
• Graham 수 정의의 두 번째 항, g = 3 ↑ 3 > 10 ↑ 10.
• ( 10 → 10 → 3 → 2 ) = (10 → 10 → 10 10 → 10 ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle 10^{10$$}}$ ) = ${\displaystyle 10}$ ↑ ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {{{10}^{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{{10}^{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle 10$ 10$\uparrow ^{10^{10$}}10$}$
• g = (3 → 3 → g) > (10 → 10 → g – 1) > (10 → 10 → 3 → 2)
• g = (3 → 3 → g) > (10 → 10 → g – 1) > (10 → 10 → 4 → 2)
• ...
• g = (3 → 3 → g)는 (10 → 10 → 9 → 2)와 (10 → 10 → 10 → 2) 사이에 있습니다.
• ( 10 → 10 → 10 → 2 )
• g = (3 → 3 → g)는 (10 → 10 → 10 → 2)와 (10 → 10 → 11 → 2) 사이에 있습니다.
• ...
• g = (3 → 3 → g)는 (10 → 10 → 63 → 2)와 (10 → 10 → 64 → 2) 사이에 있습니다.
• ( 10 → 10 → 64 → 2 )
• 그레이엄₆₄^[12] 번호, g
• ( 10 → 10 → 65 → 2 )
• ( 10 → 10 → 10 → 3 )
• ( 10 → 10 → 10 → 4 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → ...→ 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 ) "10"이 있는 경우

기타 표기법

매우 큰 숫자에 대한 몇 가지 표기법:

• Knuth의 위쪽 화살표 표기법/하이퍼 오퍼레이터/아커만 함수(테트라레이션 포함)
• 콘웨이 체인 화살표 표기
• Steinhaus-Moser 표기법; 큰 수를 만드는 방법 이외에도, 이것은 다각형을 사용한 그래픽 표기법도 포함합니다.일반적인 함수 표기법처럼 대체 표기법도 동일한 함수와 함께 사용할 수 있습니다.
• 급성장하는 계층 구조

이러한 표기법은 본질적으로 정수 변수의 함수이며 정수와 함께 매우 빠르게 증가합니다.더 빠르게 증가하는 함수는 큰 정수를 인수로 적용하여 쉽게 재귀적으로 구성할 수 있습니다.

수직 점근선을 갖는 함수는 함수가 매우 빠르게 증가하더라도 매우 큰 수를 정의하는 데 도움이 되지 않습니다. 즉, 매우 작은 수를 사용하고, 매우 큰 수를 구성하는 것과 동일한 구성(예: 역수)을 사용해야 합니다.

기준값 비교

다음은 10, 베이스 100과 다른 베이스의 효과를 보여줍니다.또한 숫자와 산술의 표현도 보여줍니다.

${\displaystyle {}^{}}$10${\displaystyle 0^{}}$ ${\displaystyle {12}^{}}$ $=$ ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {24}^{}}$ ${\displaystyle 100^$} = $10^{24}},$밑수 10을 사용하면 지수가 두 배가 됩니다.

${\displaystyle {}^{}}$100 ${\displaystyle {{10}^{}}^0}$ ${\displaystyle {{12}^{}}^{}}$ $=$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ 10 ${\displaystyle {{24}^{}}^{}}$ ${\displaystyle 100^{100^$}}= $10^{2*10^{24}},$ditto.

${\displaystyle {100}^{}}$ ${\displaystyle {{10}^{}}^0}$ ${\displaystyle {{{12}^{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\approx }^{}}^{}}$ 10${\displaystyle {\mathrm{}}^{}{{102}^{}}^{}}$ ∗ ${\displaystyle {{10}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{{24}^{}}^{}}^{}}$ + ${\displaystyle {{0^{}.30103}^{}}^{}}$ ${\displaystyle$ 100$^{100^{100$^{$pprox$10$^{2*$10^{$24}$ +$0$.30103$\}\},$ 최고 지수는 2배를 넘지 않습니다(l$eased$).

• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 2=10^{200}}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 3=10^{2\times 10^{200}}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow)^{2}(2\times 10^{200}+0.3)=(10\uparrow)^{2}(2\times 10^{200})=(10\uparrow)^{3}200.3=(10\uparrow)^{4}2.3}$
• $=$$3< 10\uparrow \uparrow (n+1)}$ ($thus$ n이 크면 ${\displaystyle 100}$ $↑↑$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow n}$이 "대략적으로" ${\displaystyle 10}$ $↑↑$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow)^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow)^{100}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow (10\uparrow)^{98}(2\times 10^{200})=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow)^{100}2.3}$
• $↑$$3< 10\uparrow \uparrow$ \$uparrow (n+1)}$ ($compare$ $↑↑↑$ $=$ $↑↑$ n -( $↑$ 1 < $↑↑↑$ ( + ){\$displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow$n$=$ ($10\uparrow \uparrow$ ) ^{$n-2}$ ($10\uparrow$ ) ^{$10}1< 10\uparrow \uparrow (n+1$ 따라서 n이 크면 ${\displaystyle \mathrm{100}}$ $↑↑↑$$$n {\$displaystyle 100\$uparrow \uparrow \$uparrow n}$이 "app"이라고 하는 것이 타당해 보입니다.${\displaystyle \mathrm{대략}}$ "${\displaystyle \mathrm{10}}$↑↑↑$$n {\$displaystyle 10$\uparrow \$uparrow n$과 같음)
• $↑$$3}$ ($compare$ ${\displaystyle 10}$ $↑↑↑↑$ ${\displaystyle 2}$ $=$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 10}$$↑↑$${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle 8^{}}$( ${\displaystyle 10}$ $↑$${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow$2 $=$ $(10\$uparrow \$uparrow$ )^{8$}(10\uparrow$ $10}1)$
• $↑$$3}$ ($compare$ ${\displaystyle 10}$$↑↑↑↑$ ${\displaystyle 3}$$=$ ${\displaystyle 10}$ $↑↑↑$ ${\displaystyle {10}^{}}$$↑↑$ ( 10${\displaystyle {}^{}}$$↑$ ) ${\displaystyle 8}$ ( ${\displaystyle {10}^{}}$$=$ )$$ 1 {\$displaystyle 10\uparrow$ \$uparrow$ \$uparrow$ \$uparrow$ 3 $=$ $10\$uparrow \$uparrow$ \$uparrow$(10\uparrow \$uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1$
• $↑$$3}$ ($compare$ ${\displaystyle 10}$$↑↑↑↑$ ${\displaystyle n}$ $=$${\displaystyle }$( ${\displaystyle 10}$ $↑↑↑$ ${\displaystyle {}^{}}$ n -${\displaystyle 2^{}}$( ${\displaystyle 10}$ $↑↑$${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle 8^{}}$( ${\displaystyle 10}$ $↑$${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow$ \uparrow n$$$=$ ($10\uparrow$\uparrow \$uparrow$ )^{$n-2}(10\uparrow$\uparrow $)^{8}(10\uparrow )^{10}1$ n이 크면 "대략" 동일합니다.)

정확성.

숫자 ${\displaystyle {10n}^{}}$ ${\$의 경우 n의 단위 변경 하나로 인해 계수 10만큼 결과가 변경됩니다$.$${\displaystyle {106}^{.2}}$× ${\displaystyle {{103\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\$과 같은 숫자로$.$$2\times 10^{3$ 유효숫자를 사용한 적절한 반올림의 결과 6.2와 함께 지수의 참값은 50보다 적거나 50보다 클 수 있습니다.따라서 계수 ${\displaystyle {1050}^{}}$ ${\$이(가) 너무$$ 크거나 너무 작을 수 있습니다.이는 정확도가 매우 떨어지는 것처럼 보이지만, 이러한 큰 수의 경우 공정한 것으로 간주될 수 있습니다(큰 수의 큰 오차는 "상대적으로 작기" 때문에 허용 가능합니다).

매우 큰 숫자의 경우

극단적으로 큰 수의 근사치의 경우 상대적인 오차가 클 수 있지만, 여전히 그 수를 "크기에 근접한" 것으로 간주하고 싶어하는 의미가 있을 수 있습니다.예를 들어 다음을 생각해 보십시오.

${\displaystyle {10}^{}}$ ${\$ ${\displaystyle {109}^{}}$ ${\$

상대오차는

${\displaystyle 1-{\frac {10^{9}}}{10^{10}}=1-{\frac {1}{10}}=90\%}$

큰 상대 오차그러나 로그의 상대 오차도 고려할 수 있습니다. 이 경우 로그(베이스 10으로)는 10과 9이므로 로그의 상대 오차는 10%에 불과합니다.

요점은 지수함수가 상대오차를 크게 확대한다는 것입니다. a와 b가 상대오차가 작다면,

${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle a^{}}$ ${\$ ${\displaystyle {\mathrm{10<img\; alt="10^a"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/435cc45764ed96d41ebe48fa56d042a4c93bc3ea"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:3.427ex;\; height:2.343ex;">}}^{}}$ ${\displaystyle b^{}}$ ${\$

상대오차가 더 크며,

${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {a^{}}^{}}$ ${\$ ${\displaystyle {{\mathrm{10<img\; alt="10^\{10^a\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/5b591358b2a0245045937a5db691b6f5adeb86fb"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:5.071ex;\; height:2.676ex;">}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {b^{}}^{}}$ ${\$

상대적인 오차가 훨씬 더 커집니다.그러면 문제는 다음과 같습니다. 두 숫자를 비교하려면 어떤 수준의 반복 로그가 필요한가요?생각해 볼 만한 어떤 의미가 있습니다.

${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {{10}^{}}^{}}$ ${\$ 10$$ ${\displaystyle {{10}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{9\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\$

"규모에 근접했다"는 것입니다.이 두 숫자 사이의 상대적인 오차는 크고 로그 사이의 상대적인 오차는 여전히 큽니다. 그러나 두 번째 반복 로그의 상대적인 오차는 작습니다.

${\displaystyle {\mathrm{lo}}_g}$ 10${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle }$( ${\displaystyle {\mathrm{lo}}_{}{g}_{}}$ ${\displaystyle {10}_{}}$ ⁡ ${\displaystyle (}$ 10 ${\displaystyle {{10}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{10}^{}}^{}{}_{}}$) )$=$ ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(10^{1$}}) ${\displaystyle =}$ $10},$ ${\displaystyle {\mathrm{lo}}_{}}$${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {10}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {\mathrm{lo}}_{}}$${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {10}_{}}$ ⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {{10}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {9^{}}^{}}$${\displaystyle {}_{}}$) )$=$ ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(10^$${\displaystyle {\{}_{}}$$9$}) = $9}$

반복 로그의 이러한 비교는 분석적 수론에서 일반적입니다.

반

큰 수를 비교하는 문제에 대한 한 가지 해결책은 로버트 무나포가 고안한 시스템과 같은 수의 클래스를 정의하는 것인데,^[13] 이것은 평균적인 사람의 다른 "수준"에 기초합니다.클래스 0(0과 6 사이의 숫자)은 쉽게 하위화되는 숫자, 즉 일상 생활에서 매우 자주 나타나고 거의 즉시 비교 가능한 숫자를 포함하는 것으로 정의됩니다.클래스 1(6에서 1,000,000=10 사이의 숫자)은 십진 표현이 쉽게 하위화되는 숫자, 즉 카디널리티가 아니라 십진 확장이 주어지면 "한 눈에" 쉽게 비교할 수 있는 숫자를 포함하는 것으로 정의됩니다.

이 후의 각 클래스는 인간 구별 불가능성의 또 다른 "반복"의 효과를 시뮬레이션하기 위해 이 기준 10 지수를 반복하는 것으로 정의됩니다.예를 들어, 클래스 5는 10과^1010106 10사이의^101010106 숫자를 포함하도록 정의됩니다. 이 숫자들은 다음과 같습니다.X인간적으로 구별할 수 없게 됨X ^2[14] (이러한 로그를 반복해서 사용합니다.X먼저 로그()를 구별할 수 없습니다).X) 및 2로그(X), 두 번째로 log(log() 사이에 있습니다.X) 및 1+log(log()X)), 그리고 마지막으로 길이를 서브화할 수 없는 극도로 긴 십진법 확장).

근사산술

매우 많은 수에서 수행되는 일반적인 산술 연산과 관련된 몇 가지 일반적인 규칙이 있습니다.

• 두 개의 매우 큰 숫자의 합과 곱은 둘 다 큰 숫자와 "대략" 같습니다.
• ${\displaystyle(10^{a})^{\,\!10^{b}}=10^{a10^{b}}=10^{b+\log _{10}a}}}$

따라서:

• 매우 큰 거듭제곱까지 끌어올린 매우 큰 수는 "대략"으로 다음 두 값 중 큰 값과 같습니다. 첫 번째 값과 두 번째 거듭제곱까지 10입니다.예를 들어, 매우 큰 $n$ ${\displaystyle n}$의 경우 ${\displaystyle n^{}}$ ≈ ${\displaystyle {10n}^{}}$ ${\displaystyle$ n$^{n}\대략 10^{n}($예: 메가 계산 참조) 및 ${\displaystyle {2n}^{}}$ ≈ ${\displaystyle {10n}^{}}$ ${\displaystyle 2^{n}\대략 10^{n}$가 있습니다$.$따라서 $2$ ↑↑ ${\displaystyle 65536}$ ≈ ${\displaystyle 10}$ ↑↑ ${\displaystyle 65533}$ ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 65536\$approx$10\uparrow 65533}$을$($를) 참조하십시오.

더욱 빠르게 증가하는 시퀀스를 체계적으로 생성

엄격하게 증가하는 정수 시퀀스/함수 ${\displaystyle f_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle f_{0}(n)}($n ≥1)이 주어지면, 더 빠른 증가하는 $시퀀스$ f ${\displaystyle 1_{}}$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f_{}^{}}$ 0 n ${\displaystyle {}_{}^{}n}$)$${\$displaystyle f_{1}(n$) = $f_{0}^{n}(n)}($여기서 위첨자 n은 n개의 함수 전력을 나타냄)을 생성할 수 있습니다.${\displaystyle k_{}}$ (${\displaystyle {}_{}n}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle f_{}^{}}$ k -${\displaystyle 1_{}^{}}$ n${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle f_{k}(n$) = $f_{k-1}^{n}(n$ 각 시퀀스가 $이전$ 시퀀스보다 훨씬 빠르게 증가함으로써 이 작업을 횟수에 상관없이 반복할 수 있습니다.따라서 $유한$ k에 대해 $f$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle f_{{$$k}}($n)=$f_{n$}($n$){\displaystyle f_{$k}}$보다 훨씬 빠르게 증가하는 f ω${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle n}$) = ${\displaystyle {f\_}_{}}${n$}(n)$을 정의할 수 있습니다 (여기서 ω는 모든 유한한 수 k의 극한을 나타내는 첫 번째 무한 순서수입니다).이것은 색인 첨자가 훨씬 더 큰 서수로 확장되는 함수 계층의 빠른 성장의 기초가 됩니다.

예를 들어 f(n) = n + 1로 시작하는 경우:

• f(n) = f(n) = n + n = 2n
• n ≥ 2의 경우 f(n) = f(n) = 2n > (2 ↑) n (Knuth up-arrow 표기법 사용)
• f(n) = f(n) > (2 ↑) n ≥ 2 ↑ n
• f(n) > 2 ↑ n ≥ 2, k <
• n ≥ 2의 경우 f(n) ↑ f(n) > 2 ↑ n > 2 = (n + 3) - 3 = A(n, n). 여기서 A는 아커만 함수(이 중 f는 단항 버전임)
• f(64) > f(6) > Graham's number (g = g = 4, g = 3으로 정의된 수열의 g)
  • 이는 f(n) > 2 ↑ n > 3 ↑ 3 + 2이므로, f(g + 2) > g + 2에 주목함으로써 뒤따릅니다.
• f(n) > 2 ↑ n = (2 → n → n-1) = (2 → n → n-1 → 1) (Conway chained 화살표 표기법 사용)
• f(n) = f(n) > (2 → n → n-1 → 2) (g(n) = X → n → k이면 X → n → k+1 = g(1))
• f(n) > (2 → n → n-1 → k+1) > (n → n → k)
• f(n) = f(n) > (n → n → n) = (n → n → n → 1)
• f(n) > (n → n → n → k)
• f(n) > (n → n → n → n)
• f(n) > (n → n → ...)→ n → n) (k+1 n's의 사슬)
• f(n) = f(n) > (n → n → ...)→ n → n) (n+1 n's의 사슬)

계산할 수 없는 일부 시퀀스에서

비지 비버 함수 σ는 어떤 계산 가능한 함수보다 더 빨리 증가하는 함수의 한 예입니다.상대적으로 작은 입력에도 큰 가치가 있습니다.n = 1, 2, 3, 4에 대한 σ σ(n)의 값은 1, 4, 6, 13입니다(OEIS의 경우 시퀀스 A028444). ≥ σ(5)는 알려지지 않았지만 확실히 40 4098입니다. σ 6(6)는 최소 10↑↑15입니다.

무한수

위에서 논의한 모든 숫자들이 매우 크지만, 그것들은 모두 여전히 유한합니다.수학의 특정 분야는 무한대와 초무한대를 정의합니다.예를 들어, alph-null은 자연수의 무한 집합의 기수이고, alph-one은 그 다음으로 큰 기수입니다.${\displaystyle \mathfrak{c}}$ ${\$은(는) 실수의 기수입니다.$c$ = ℵ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {$c}}=\$aleph _{1}}$라는 명제를 연속체 가설이라고 합니다.

참고 항목

참고문헌