하이퍼 오퍼레이션
Hyperoperation수학에서 초연산 시퀀스는 산술 연산의 무한 시퀀스(이 맥락에서 초연산이라고 함)[1][11][13]로서 단연산(n = 0을 갖는 후계 함수)으로 시작한다. 이 시퀀스는 덧셈(n = 1) 곱셈(n = 2) 지수(n = 3)의 이진 연산을 계속한다.
그 후, 시퀀스는 우측 연관성을 사용하여 지수를 넘어 확장된 추가적인 이진 연산을 진행한다. 지수를 초과하는 연산의 경우, 이 시퀀스의 n번째 멤버는 -ation(정렬(n = 4), pention(n = 5), 16진(n = 6), 등으로 접미사가 붙은 그리스어 접두사의 이름을 따서 르우벤 굿스타인(Ruben Goodstein)에 의해 명명되며, 크누스의 위쪽 화살표 표기법에서 n - 2 화살표를 사용하는 것으로 쓸 수 있다. 각각의 초동작전은 다음의 방법으로 이전의 초동작용을 재귀적으로 이해할 수 있다.
또한 Knuth의 Ackermann 함수의 위쪽 화살표 버전에서와 같이 정의의 재귀 규칙 부분에 따라 정의될 수 있다.
이것은 스큐스 수나 구골플렉스(예: [ [\는 스큐스 수나 구골플렉스보다 훨씬 크다)와 같이 과학적 표기법이 할 수 있는 수보다 훨씬 큰 숫자를 쉽게 나타낼 수 있는 데 사용될 수 있지만, 그레이엄 수나 TRI(3)와 같이 그들조차 쉽게 보여줄 수 없는 숫자도 있다.
이 재귀 규칙은 많은 변형된 하이퍼 오퍼레이션에 공통적이다.
정의
정의, 가장 일반적인
The hyperoperation sequence is the sequence of binary operations , defined rec소변으로 다음과 같이 말한다.
(n = 0의 경우 첫 번째 인수를 무시하여 이진 연산 기능이 단항 연산(소프로세서 함수)으로 감소한다는 점에 유의하십시오.)
n = 0, 1, 2, 3의 경우, 이 정의는 다음과 같이 각각 후계자(단일 연산), 덧셈, 곱셈, 지수를 재현한다.
n ≥ 3에 대한 H 연산은 Knuth의 위쪽 화살표 표기법으로 다음과 같이 쓸 수 있다.
그렇다면 지수화 후 다음 작전은 어떤 것이 될 것인가? We defined multiplication so that and defined exponentiation so that so it seems logical to define the next operation, tetration, so that with a tower of three 'a'. 이와 유사하게 (a, 3)의 억제는 (a, tetration(a, a))이 될 것이며, 그 안에 3개의 "a"가 들어 있을 것이다.
Knuth의 표기법은 지수화의 지연을 제외하고 전체 초동작업 순서에 동의하는 방식으로 마이너스 지수 ≥ -2까지 확장될 수 있다.
따라서 이러한 과잉작전은 후계자, 덧셈, 곱셈, 지수화 등의 순서에서 "다음은 무엇인가"라는 질문에 대한 답으로 볼 수 있다. 에 주목하여
기초 산술 연산의 관계를 예시하여 상기와 같이 자연적으로 상위 연산을 정의할 수 있다. 그 hyperoperation 체계에 대한 매개 변수 때때로 그들의 유사 멱법 용어에 의해;[14]이 기초가 됩니다, b는 지수(또는hyperexponent)[12]과 n이 계급(또는 채점)[6]고 부른다, Hn({\displaystyle H_{n}(a,b)}"의bth n-ation"로, 예를 들어 H4(7,9){\displa 읽는다.H_ystyle)은 "7의 9번째 테트레이션"으로 읽히고, H )45,)은 456의 789 123-tion"으로 읽힌다.
공통적으로, 하이퍼 운용은 이전의 하이퍼 운용의 반복에 기초하여 성장률이 증가하는 숫자를 복합하는 방법이다. 후계자, 덧셈, 곱셈, 강조의 개념은 모두 하이퍼 오퍼레이션이다. 후계자 연산(x에서 x + 1 생성)은 가장 원시적이다. 추가 연산자는 최종 값을 산출하기 위해 자신에게 1을 더해야 할 횟수를 지정하고 곱셈은 숫자를 더해야 할 횟수를 지정한다.lf, 그리고 지수는 숫자에 스스로 곱하는 횟수를 말한다.
정의, 반복 사용
두 변수의 함수 f의 반복을 다음과 같이 정의한다.
초동작업 순서는 다음과 같이 반복의 관점에서 정의할 수 있다. 모든 정수 , , a , , 0에 대해 정의하십시오.
반복은 연관성이 있기 때문에 마지막 행은 다음으로 대체될 수 있다.
연산
초동작업 순서의 정의는 당연히 용어 재작성 시스템(TRS)으로 전치될 수 있다.
정의 하위 1.1에 기반한 TRS
초동 작업 순서의 기본 정의는 감소 규칙과 일치한다.
(, ) 을 (를) 계산하려면 스택을 사용할 수 있으며, 이 스택에는 처음에 , a, 요소가 포함되어 있다
그리고 나서, 더 이상 불가능할 때까지 반복해서 세 가지 요소가 튀어 나와 규칙에 따라 대체된다.
, , 부터 개략적으로 시작
WHY stackLength <> 1 { POP 3 요소, 규칙 r1, r2, r3, r4, r5; }에 따라 푸시 1 또는 5 요소
예
계산 2( ,2) → 4 화살표 [15]
감소 순서는
스택을 사용하여 구현된 경우 입력input ,, 2,
스택 구성 | 방정식을 나타내다 |
정의 하위 1.2에 기반한 TRS
반복을 사용한 정의는 다른 일련의 감소 규칙으로 이어진다.
반복은 연관성이 있기 때문에 규칙 r11 대신에 정의할 수 있다.
앞의 절과 마찬가지로 ( , )= ( ,) 은(는) 스택을 사용하여 구현할 수 있다.
처음에 스택에는 의 요소 , ,a , 1이(가) 포함되어 있다
그 후 종료할 때까지 규칙에 따라 네 가지 요소가 튀어 교체된다.
1,, , 1부터 개략적으로시작:
WHY stackLength <> 1 { POP 4 요소, r6, r7, r8, r9, r10, r11; } 규칙에 따라 푸시 1 또는 7 요소
예
계산 ( , 3)→ 화살표 .
1,, 1에서 연속 스택 구성은
그에 상응하는 동일성은 다음과 같다.
감소 규칙 r11을 규칙 r12로 대체하면 스택이 다음 항목으로 변환됨
그런 다음 연속적인 스택 구성은
그에 상응하는 동일성은 다음과 같다.
언급
- ( , )= 은 특수한 경우다. 아래를 참조하십시오.[nb 3][nb 4]
- 규칙 { - r10, r11}에 따른 n(,) 의 계산은 상당히 반복적이다. 범인은 반복이 실행되는 순서다. n( a, )= H( , - 1( , ) H . 첫 번째 은 전체 시퀀스를 펼친 후에만 사라진다. 예를 들어 ( ,) 이(가) 2863311767단계에서 65536으로 수렴되며, 재귀의[17] 최대 깊이는 65534이다.
- 그런 점에서 규칙 {r6 - r10, r12}에 따른 계산이 더 효율적이다. - 1 , ) h ) H을(를) H n- (, (, b) h)(b로 구현하는 것은 절차 H의 반복적인 실행을 모방한다.[18] 반복 깊이(n+1)는 루프 중첩과 일치한다. 마이어 앤 리치(1967)는 이 서신을 공식화했다. 규칙 {r6-r10, r12}에 따른 ( ,4) )의 계산도 65536에 수렴하려면 2863311767단계가 필요하지만, 최대 재귀 깊이는 초동 작업 순서에서 5번째 연산자이기 때문에 5에 불과하다.
- 위의 고려사항은 재귀 깊이에만 해당된다. 어떤 식으로든 반복하면 동일한 규칙(규칙 r11과 r12가 "동일한" 것으로 간주되는 경우)을 수반하는 동일한 수의 감소 단계로 이어진다. 예를 들어 ( 0, ) )의 감소를 나타내듯이 1 X r7, 3 X r8, 1 X r9, 2 X r10, 2 X r11/r12의 9단계로 수렴한다. modus iterandi는 감소 규칙이 적용되는 순서에만 영향을 미친다.
예
아래는 최초 7회(0위~6위)의 하이퍼 오퍼레이션 목록이다(0 (는 1로 정의된다).
n | 작전, Hn(a, b) | 정의 | 이름 | 도메인 |
---|---|---|---|---|
0 | + [ | 하이퍼0, 증분, 후계자, zeration | 임의적 | |
1 | + [ | 하이퍼1, 추가 | 임의적 | |
2 | 또는[ | 하이퍼2, 곱하기 | 임의적 | |
3 | b a 또는 | 하이퍼3, 지수 | b real, 복잡한 숫자에 대한 일부 다중값 확장 포함 | |
4 | [ | 하이퍼4, 테트레이션 | ≥ 0 또는 정수 b 정수 ≥ -1(일부 확장 제안 포함) | |
5 | 하이퍼5, 억눌림 | a, b 정수 ≥ -1 | ||
6 | 하이퍼6, 16진수 | a, b 정수 ≥ -1 |
특례
Hn(0, b) =
- b + 1, n = 0인 경우
- b, n = 1일 때
- 0, n = 2인 경우
- 1, n = 3 및 b = 0인 경우
- 0, n = 3 및 b > 0일 때
- 1, n > 3과 b가 짝수일 때 (0 포함)
- 0, n > 3과 b가 홀수일 때
Hn(1, b) =
- 1, n이 3일 때
Hn(a, 0) =
- 0, n = 2인 경우
- 1, n = 0일 때 또는 n ≥ 3일 때
- a, n = 1일 때
Hn(a, 1) =
- a, n ≥ 2일 때
Hn(a, a) =
- Hn+1(a, 2)일 때 n ≥ 1
Hn(a, −1) =[nb 5]
- 0, n = 0일 때 또는 n ≥ 4일 때
- a - 1, n = 1일 때
- -a, n = 2일 때
- 1/a, n = 3일 때
Hn(2, 2) =
- 3, n = 0인 경우
- 4, n ≥ 1이면 재귀적으로 쉽게 입증할 수 있다.
역사
초창기 초기의 초창기 중 하나가 1914년 알버트 베넷의 초창기 중 하나로, 그는 교화 초창기 이론의 일부를 발전시켰다(아래 참조). 약 12년 후, 빌헬름 아커만(Wilhelm Ackermann)은 초작동 시퀀스와 다소 닮은[19] b n를 정의했다.
르우벤 굿스타인은 1947년 논문에서 현재 과대 연산이라고 불리는 구체적인 연산 순서를 소개했으며, 지수를 넘어 확장된 연산(지수의 4, 5 등에 해당하기 때문에)에 대해서도 그리스식 이름 테트레이션, 억제 등을 제시했다.[5] 예를 들어, 3개 인수 함수로서 (, , )= n , 전반적 초동작열은 원래의 Ackermann 함수 (,, — 재귀적이지만 원시적 재귀성은 아닌 것으로 보인다 - Goodstein이 다른 세 가지 기본 연산(aditio)와 함께 원시적 계승함수를 통합하기 위해 수정한 것이다.n, 곱하기, 지수화) 및 이들 범위를 지수화 이상으로 보다 원활하게 확장하는 것.
원래 3개의 주장 Ackermann 함수 은 굿스타인의 그것 버전(즉, 초동작렬)과 같은 재귀 규칙을 사용하지만, 두 가지 면에서 그것과 다르다. 첫째, , ){\은(는) 후속 함수가 아닌 덧셈(n = 0)부터 시작하여 곱셈(n = 1), 지수(n = 2)부터 시작하는 일련의 작업을 정의한다. Secondly, the initial conditions for result in , thus differing from the hyperoperations beyond exponentiation.[7][20][21] The significance of the b + 1 in the previous expression is that = , where b counts the number of operators (exponentiations), rather than counting the number of operands ("a"s) as does the b in 등 상위 수준의 작업. (자세한 내용은 Ackermann 함수 문서를 참조하십시오.)
공증
이것은 과작업에 사용된 공지의 목록이다.
이름 | ) 에 해당하는 표기법 | 댓글 |
---|---|---|
크누스의 위쪽 화살표 표기법 | 크누스(n ≥ 3)가 사용하였으며, 여러 참고 문헌에 수록되어 있다.[23][24] | |
힐베르트의 표기법 | 데이비드 힐버트가 사용했어.[25] | |
굿스타인의 표기법 | 루벤 굿스타인이 사용함.[5] | |
오리지널 애커만 함수 | 빌헬름 아커만(n ≥[19] 1)이 사용함 | |
아커만-페터 함수 | 이는 기준 2(a = 2)에 대한 하이퍼 오퍼레이션에 해당한다. | |
남비아어 표기법 | Nambiar에서 사용(n ≥ 1) | |
위첨자 표기법 | 로버트 무나포(Robert Munafo)가 사용함.[20] | |
첨자 표기법(하위 하이퍼 오퍼레이션의 경우) | 로버트 무나포(Robert Munafo)의 낮은 초동수술에 사용된다.[20] | |
연산자 표기법("확장 연산"의 경우) | John Doner와 Alfred Tarski의 낮은 초동작용으로 사용된다(n n 1의 경우).[27] | |
대괄호 표기법 | 많은 온라인 포럼에서 사용되며, ASCII에 편리하다. | |
콘웨이 체인 화살표 표기법 | 존 호튼 콘웨이(n ≥ 3)가 사용함 |
a에서 시작하는 변종
1928년, 빌헬름 아커만(Wilhelm Ackermann은 3개 주장 함수 ,, 을 정의했는데 이 함수는 점차 아커만 함수로 알려진 2개 주장 함수로 진화했다. 원래 Ackermann 함수 은(는 , n)= 모든 n > 2에 로 시작되기 때문에 현대의 과급 수술과 덜 비슷했다. 또한 그는 n = 0, 곱셈을 n = 1에 할당하고 지수를 n = 2에 할당하여 초기 조건에서는 테트레이션 및 그 이후의 작업에 대해 매우 다른 연산을 생성한다.
n | 작전, | 댓글 |
---|---|---|
0 | ||
1 | ||
2 | ||
3 | 상쇄된 형태의 테트레이션. 이 수술의 반복은 테트레이션의 반복과는 다르다. | |
4 | 억눌림과혼동해서는 안 된다. |
사용된 또 다른 초기 조건은 초동작위계층을 형성하지 않는 Rozsa Péter 때문에 ( b)= b+ 1(서는 가 2{\ )이다.
0부터 시작하는 변종
1984년, C. W. 클렌쇼와 F. W. J. 올버는 컴퓨터 부동 소수점 오버플로를 막기 위해 하이퍼 오퍼레이션을 사용하는 것에 대한 논의를 시작했다.[28] 그 이후로, 많은 다른 저자들은 부동 소수점 표현에 대한 하이퍼 오퍼레이션의 적용에 새로운 관심을 갖게 되었다. (bn = -1에 대해 H(a, b)가 모두 정의되므로) 테트레이션을 논의하는 동안, 클린쇼 외는 초기 조건 ( , 0)= 을를) 가정했는데, 이것은 또 다른 초동작위계층을 만든다. 앞의 변종에서와 마찬가지로 네 번째 조작은 테트레이팅과 매우 유사하지만, 1로 상쇄된다.
n | 작전, | 댓글 |
---|---|---|
0 | ||
1 | ||
2 | ||
3 | ||
4 | 상쇄된 형태의 테트레이션. 이 수술의 반복은 테트레이팅의 반복과는 크게 다르다. | |
5 | 억눌림과혼동해서는 안 된다. |
낮은 하이퍼 오퍼레이션
이러한 초동작용을 위한 대안은 왼쪽에서 오른쪽으로 평가하여 얻는다.[9] 이후
정의(° 또는 첨자 포함)
와 함께
이것은 도너와 타르스키에 의해 서수 번호로 확장되었다.[32]
정의 1(i), 코롤라리 2(ii), 정리 9에서 from 2와 b ≥ 1에 대해 다음과 같이 한다[original research?].
그러나 이는 일종의 붕괴를 겪으며 전통적으로 하이퍼 오퍼레이터가 기대했던 "파워 타워"를 형성하지 못하고 있다.[33][nb 6]
만약 α α α α 2와 [27][Corollary 33(i)][nb 6]α α ≥ 2가 되면
n | 작전, | 댓글 |
---|---|---|
0 | 증분, 후계자, zeration | |
1 | ||
2 | ||
3 | ||
4 | 테트레이팅과혼동해서는 안 된다. | |
5 | 억눌림과혼동해서는 안 된다. 테트레이팅과 유사하다. |
상호 작용 하이퍼 오퍼레이션
알버트 베넷은 1914년 초에 상호 작용하는 초동작용을 고려했는데,[6] 이것은 아마도 초동작전에 관한 가장 초기 발언일 것이다. 순환 하이퍼 오퍼레이션은 재귀 규칙에 의해 정의된다.
a와 b에서 대칭인 즉, 모든 과대조작은 서로 상통한다는 뜻이다. 이 시퀀스는 지수를 포함하지 않으며, 따라서 초동 작업 계층을 형성하지 않는다.
n | 작전, | 댓글 |
---|---|---|
0 | 평활 최대값 | |
1 | ||
2 | 이는 로그의 속성 때문이다. | |
3 | ||
4 | 테트레이팅과혼동해서는 안 된다. |
초동작업순서에 기초한 숫자계통
R. L. Goodstein은 비 음의 정수에 대한 숫자 시스템을 만들기 위해 하이퍼 오퍼레이터의 순서를 사용했다. k 레벨과 b 레벨에서 정수 n의 소위 완전한 유전적 표현은 첫 번째 k 하이퍼 오퍼레이터만을 사용하고, 기본 b 자체와 함께 숫자 0, 1, ..., b - 1만을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
- 0 ≤ n ≤ b - 1의 경우 n은 단순히 해당 숫자로 표현된다.
- n > b - 1의 경우, n의 표현이 재귀적으로 발견되며, 먼저 형태에서 n을 나타낸다.
- b [k] xk [k − 1] xk − 1 [k - 2] ... [2] x2 [1] x1
- 여기서 xk, ..., x는1 만족하는 최대 정수(회전)
- b [k] xk ≤ n
- b [k] xk [k − 1] xk − 1 ≤ n
- ...
- b [k] xk [k − 1] xk − 1 [k - 2] ... [2] x2 [1] x1 ≤ n
- 그런 다음 b - 1을 초과하는i x는 동일한 방식으로 다시 표현되며, 따라서 결과 양식에 기본 b와 함께 숫자 0, 1, ..., b - 1만 포함될 때까지 이 절차를 반복한다.
불필요한 괄호는 평가 순서에서 상위 연산자에게 더 높은 우선순위를 부여함으로써 피할 수 있다.
- 레벨 1 표현은 b[1] X 형식을 가지며, X 형식도 이 형식이다.
- 레벨 2 표현에는 b [2] X [1] Y 형식이 있고 X,Y 형식도 있다.
- 레벨 3 표현에는 b [3] X [2] Y [1] Z 형식이 있고 X, Y, Z 형식도 있다.
- 레벨 4 표현에는 b [4] X [3] Y [2] Z [1] W 형식이 있고 X, Y, Z, W 형식도 있다.
등등.
이러한 base-b 유전적 표현 유형에서는 베이스 자체가 표현식에 나타나며, 세트 {0, 1, ..., b - 1}의 "digits"도 나타난다. This compares to ordinary base-2 representation when the latter is written out in terms of the base b; e.g., in ordinary base-2 notation, 6 = (110)2 = 2 [3] 2 [2] 1 [1] 2 [3] 1 [2] 1 [1] 2 [3] 0 [2] 0, whereas the level-3 base-2 hereditary representation is 6 = 2 [3] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0) [2] 1 [1] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0). 유전적 표현은 [1] 0, [2] 1, [3] 1, [4] 1 등의 예를 생략하여 약어할 수 있다. 예를 들어, 위의 레벨 3 베이스-2 표현은 2 [3] 2 [1] 2로 축소된다.
예: 레벨 1, 2, 3, 4, 5에서 숫자 266의 고유한 베이스-2는 다음과 같다.
- 레벨 1: 266 = 2 [1] 2 [1] 2 [1] ... [1] 2 (133 2초 포함)
- 레벨 2: 266 = 2 [2] (2 [2] (2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [1] 1) [1] 1)
- 레벨 3: 266 = 2 [3] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2
- 레벨 4: 266 = 2 [4] (2 [1] 1) [3] 2 [1] 2 [4] 2 [2] 2 [1] 2
- 레벨 5: 266 = 2 [5] 2 [4] 2 [1] 2 [5] 2 [2] 2 [1] 2
참고 항목
![]() | Wikimedia Commons는 하이퍼 오퍼레이션과 관련된 미디어를 가지고 있다. |
메모들
- ^ Sequences은 hyperoperation 순서로 비슷한 역사적으로 포함해 많은 이름,:아커만은 Grzegorczyk hierarchy[3][4](더 일반적인 것이다)hierarchy,[2]은 애커만 함수[1](3-argument),로 일컬어졌다, n번째 grade,[6]의 아커만 function,[5]작업의 굿 스타인의 버전 z-fold의 멱법을.)y,[7]화살로작전,[8][1][9][10][11][12] 레이놀지브라와[9] 하이퍼엔
- ^ a b c 이것은 가장 왼쪽 내측(한 단계) 전략을 실행한다.
- ^ a b c 자세한 내용은 0의 파워를 참조하십시오.
- ^ a b c 자세한 내용은 0부터 0까지의 힘을 참조하십시오.
- ^ a b c d x = a[n](-1)로 한다. 재귀 공식으로 a[n]0 = a[n - 1](a[n](-1) ⇒ 1 = a[n - 1]x n ≥ 4일 때 a[n - 1]0 = 1이기 때문에 하나의 해법은 x = 0이다. 이 용액은 a[n - 1]b > 1이 a > 1, b > 0 (재귀에 의한 증명)에 모두 해당하기 때문에 독특하다.
- ^ a b 순서형 추가는 대응적이지 않다. 자세한 내용은 순서형 산술 참조
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