분할 보조정리

수학에서, 그리고 좀더 구체적으로 말하면, 동역학 대수학에서, 분할 보조정리자는 어떤 아벨의 범주에서, 다음의 문장이 짧은 정확한 순서에 대해 동등하다고 말한다.

${\displaystyle 0\longrightarrow A\mathrel {\overset {q}{\longrightarrow}B\mathrel {\overset {r}{\longrightarrow}}}C\longrightarrow 0.}$

1. Left split

   형태론 t: B_A → A에 tq가 정체성이라는 것이 존재한다.

2. Right split

   c, id_C, id에 ru가 정체성이라는 형태론 u → B가 존재한다.

3. Direct sum

   B에서 A와 C의 직접합까지 이형 h가 있는데, hq는 A를 직접합에 자연주입하는 것이고, ${\displaystyle {}^{}}$h - ${\$는 직접합이 C에 자연투영되는 것이다.

이 문장들 중 어느 것이라도 버티면 그 순서를 정확한 순서 분할이라고 하고, 그 순서를 분할한다고 한다.

수열이 갈라지는 위의 짧은 정확한 수열에서 첫 번째 이형성 정리를 정제할 수 있게 하는데, 이를 다음과 같이 기술하고 있다.

C ≅ B/ker r ≅ B/q(A) (즉, q의 r 또는 cokernel의 coimage에 대한 C 이형성)

다음으로:

B = q(A) ⊕ u(C) ≅ A ⊕ C

여기서 첫 번째 이형성 정리는 C에 대한 투영일 뿐이다.

선형대수학에서 순위-nullity 정리(V ≅ ker T ⊕ im T 형식)의 범주형 일반화다.

아벨 그룹 범주에 대한 증거

3. ⇒ 1. 3. ⇒ 2.

첫째, 3.이 1.와 2.를 모두 함축한다는 것을 보여주기 위해, 우리는 3.을 가정하고, A에 직접 합을 자연 투영한 것을 t로 하고, C를 직접 합에 자연 투영한 것을 u로 한다.

1. ⇒ 3.

1.이 3.을 의미한다는 것을 증명하려면 먼저 B의 모든 구성원이 세트에 있다는 것을 기억하십시오(커 t + 임 q).이는 B의 모든 b에 대해 b = (b - qt(b) + qt(b)가 명백하게 im q에 있고 b - qt(b)가 ker t에 있기 때문에 뒤따른다.

t(b - qt(b) = t(b) - tqt(b) = t(b) = t(b) = (tq)t(b) = t(b) = t(b) - t(b) = 0.

다음으로, q(a) = b, t(b) = 0과 같은 a가 A에 존재하면 0 = tq(a) = a; 따라서 b = 0의 교차점은 0이다.

이것은 B가 im q와 ker t의 직접적인 합계라는 것을 증명한다. 따라서, B의 모든 b에 대해 b = q(a) + k와 같이 a in A, k in k에 의해 고유하게 식별될 수 있다.

정확도에 의해 ker r = i q.하위섹션 B c C 0 0은 r이 위에 있음을 의미하므로 C의 어떤 C에 대해서도 c = r(b) = r(q(a) + k = r(k) = r(k)와 같은 b = q(a) + k가 존재한다.따라서 C의 모든 C에 대해 c = r(k) 및 r(커 t) = C와 같은 k가 ker t에 존재한다.

r(k)이 0이면 k가 im q에 있고, im q와 ker t = 0의 교차점이므로 k = 0이다.따라서 제한 r: ker t → C는 이형이며, ker t는 C에 이형성이다.

마지막으로 iq는 0 ⟶ A ⟶ B의 정확성으로 인해 A에 이형성이므로, B는 A와 C의 직접 합에 이형성이 있어 (3)을 증명한다.

2. ⇒ 3.

2.가 3.을 암시한다는 것을 보여주기 위해, 우리는 비슷한 주장을 따른다.B의 모든 구성원은 설정된 ker r + im u에 있다. B의 모든 b에 대해 b = (b - ur(b) + ur(b) + ker r + u에 있기 때문이다.r(b) = 0이고 u(c) = b이면 0 = r(c) = c이기 때문에 ker r과 im u의 교차점은 0이다.

정확도에 의해 im q = ker r, 그리고 q는 주입이기 때문에 im q는 A에 이형성이므로 im q는 ker r에 이형성이며, u는 바이어스이므로 u는 주입이므로 im u는 C에 이형성이 있다.그래서 B는 다시 A와 C의 직접적인 합이다.

보조정리 분할에 대한 대안적인 "추상적인 헛소리" 증거는 전적으로 범주 이론적 용어로 공식화될 수 있다.

비아벨라 그룹

여기에 명시된 형태에서, 분열 보조정리기는 그룹의 전체 범주에 속하지 않는데, 이것은 아벨의 범주가 아니다.

부분적으로 참

부분적으로는 사실이다. 그룹의 정확한 순서가 짧은 경우 또는 직접적인 합계(1. 또는 3)를 남기면 모든 조건이 유지된다.직접적인 총액으로 볼 때, 이것은 명확하다. 총액에서 주입하거나 투영할 수 있기 때문이다.왼쪽 분할 시퀀스의 경우 지도 t × r: b → A × C가 이형성을 부여하므로, B는 직접 합계(3.), 따라서 이형성을 뒤집고 자연 주입 C → A × C로 합성하면 주입 C → B 분할 r(2.

그러나 그룹의 짧은 정확한 순서가 오른쪽 분할(2.)인 경우 왼쪽 분할 또는 직접 합(1. 또는 3). 문제는 오른쪽 분할의 이미지가 정규 분포를 따를 필요가 없다는 것이다.이 경우에 맞는 것은 B가 일반적으로 직접 생산물은 아니지만 반 간접 제품이라는 것이다.

백작샘플

counterexample을 구성하려면 세 글자에 대칭 그룹인 가장 작은 비아벨리안 그룹 B ≅ S를₃ 취하십시오.A가 교대 부분군을 가리키도록 하고, C = B/A ≅ {±1}을(를) 두십시오.q와 r은 각각 포함 지도와 부호 지도를 나타내도록 한다.

${\displaystyle 0\longrightarrow A\mathrel {q}{\longrightarrow}B\mathrel {\stackrel {r}{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0}$

짧은 정확한 배열이다. 3. 실패한다. 왜냐하면₃ S는 아벨리안(Abelian)이 아니기 때문이다. 그러나 2. holds: 우리는 발전기를 어떤 2 사이클에 매핑하여 u: C → B를 정의할 수 있다.1.이 실패하는 완전성에 대한 주의사항: 임의의 지도 t:B → A는 그룹 동형성이어야 하므로 2주기마다 ID에 매핑해야 하는 반면, 2주기 순서는 2로, ID 요소 이외의 A의 원소의 순서에 따라 나눌 수 없는 2주기, 즉 A는₃ S의 교번 부분군, 즉 주기 그룹이다.순서가 3인그러나 모든 순열은 2주기의 산물이기 때문에 t는 사소한 지도, whoce tq: A → A는 정체성이 아니라 사소한 지도다.

참조

• 선더스 맥 레인:호몰로지.1975년판 《수학의 스프링어 클래식》의 재인쇄, ISBN3-540-58662-8, 페이지 16
• 앨런 해처:대수 위상.2002, 케임브리지 대학교 출판부, ISBN 0-521-79540-0, 페이지 147