케르베레 불변제

수학에서 케르베어 불변제는 다지관을 외과적으로 구체로 변환할 수 있는지 여부를 측정하는 프레임$({\displaystyle \mathrm{4k}}$ ${\displaystyle +}$2 $){\displaystyle (4k+2)}$차원 다지관의 불변성이다.이 불변성은 다지관을 구체로 변환할 수 있는 경우 0으로 평가하며, 그렇지 않은 경우 1로 평가한다.이 불변성의 이름은 카히트 아르프의 작품을 바탕으로 지은 미셸 케르베레의 이름을 따서 지어졌다.

케르베어 불변제는 중간 치수 동종학 그룹에 있는 스큐-쿼드라틱 형태의 아르프 불변성으로 정의된다.It can be thought of as the simply-connected quadratic L-group ${\displaystyle L_{4k+2}}$, and thus analogous to the other invariants from L-theory: the signature, a ${\displaystyle 4k}$-dimensional invariant (either symmetric or quadratic, ${\displaystyle L^{4k}\cong L_{4k}}$), and the De Rham invariant, a${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{4k}}$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle (4k+1)}$ -차원$$ 대칭 불변성 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{4k}}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ L$^{4k+1$

주어진 치수에는 두 가지 가능성만 있다: 모든 다지관은 아르프-케르바이어 불변성을 0과 같거나, 절반은 아르프-케르바이어 불변성을 0과 같거나, 나머지 절반은 아르프-케르바이어 불변성 1을 가지고 있다.

케르베어 불변성 문제는 케르베어 불변성이 0이 아닐 수 있는 치수를 결정하는 문제다.서로 다른 다지관의 경우, 이것은 치수 2, 6, 14, 30, 62 및 126에서 발생할 수 있으며 다른 치수에서는 발생할 수 없다.차원 126의 최종 사례는 아직 공개되지 않았다.

정의

케르베어 불변제는 중차원 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle 2\mathbb{}}$ Z ${\$의 프레임에$$ 의해 결정되는 2차원의 아르프 불변성이다.

${\displaystyle q\colon H_{2m+1}(M;\mathb {Z} /2\mathb {Z} )\\mathb {Z} /2\mathb {Z},}$

그래서 때때로 아르프-케르베어 불변제라고 불린다.2차적 형태(적절한, 기울임-Quadratic 형태)는 (비프레임) 고른 차원 다지관의 중간 차원 동질학에 대한 일반적인 ε-대칭 형태의 2차적 정교화다. 프레임은 2차적 정교화를 산출한다.

The quadratic form q can be defined by algebraic topology using functional Steenrod squares, and geometrically via the self-intersections of immersions ${\displaystyle S^{2m+1}}$${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle M^{4m+2}}$ determined by the framing, or by the triviality/non-triviality of the normal bundles of embeddings ${\displaystyle S^{2m+1}}$${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle M^{4m+2}}$ (for ${\displaystyle m\neq 0,1,3}$) and the mod 2 Hopf invariant of maps ${\displaystyle S^{4m+2+k}\to S^{2m+1+k}}$ (for ${\displaystyle m=0,1,}$${\displaystyle 3}$ $[\displaystyle m=0,1,3}$ $$.

역사

The Kervaire invariant is a generalization of the Arf invariant of a framed surface (that is, a 2-dimensional manifold with stably trivialized tangent bundle) which was used by Lev Pontryagin in 1950 to compute the homotopy group ${\displaystyle \pi _{n+2}(S^{n})=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ of maps $$${\displaystyle {Sn}^{}}$+ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\$${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \to }$${\displaystyle S^{}}$ ${\$ S$^{n}}}}($$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ 2 ${\displaystyle n\geq$ ${\displaystyle 2^{}}$$}$의 경우)$$는 사소하게 정규 번들로$$ ${\displaystyle {Sn}^{}}$+ 2 ${\$에 내장된 표면의 코보디지주의 그룹이다.

케르베어(1960년)는 자신의 불변성분을 n = 10에 사용해 자신의 불변성이 이 PL 다지관 위에서 사라지지 않고 모든 부드러운 다지관인 치수 10에서 사라짐을 보여줌으로써 그러한 다지관의 첫 번째 예인 10차원 PL 다지관인 케르베어 다지관을 건설했다.

케르베어 & 밀너(1963)는 케르베어 불변성 문제에 따라 계산에서 한 단계씩 이국적인 구체의 그룹(4보다 큰 차원)을 계산한다.구체적으로는 치수 n의 이국적인 구체 집합(특히 표준 n-sphere의 부드러운 구조물의 단조형)이 지향적인 호모토피 n-space의 H-코보르디즘 등급의 그룹$$ ${\displaystyle {\theta n}_{}}$ ${\$에 이형성이 있음을 보여준다.그들은 이 후자를 지도로 계산한다.

${\displaystyle \theta _{n}/bP_{n+1}\pi _{n}^{S}/J,\,}$

where ${\displaystyle bP_{n+1}}$ is the cyclic subgroup of n-spheres that bound a parallelizable manifold of dimension ${\displaystyle n+1}$, ${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$ is the nth stable homotopy group of spheres, and J is the image of the J-homomorphism, which is also a cyclic group.$b{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\mathrm{Pn}}_{}}$+ 1 ${\$$및{\displaystyle }$ J$$ ${\displaystyle J}$ 그룹은 주기적인 요인을 쉽게 이해했으며$$, 이 요인은 $치수{\displaystyle n}$ = ${\displaystyle 4}$k + ${\displaystyle 3}${\$displaystyn=4k+3$을 제외하고 2 순서이며, 이 경우 버누이 번호와 관련된 순서가 크다.시세는 그 집단의 어려운 부분이다.이들 지수군 사이의 지도는 이소모르프(Isomorphism)이거나 주입식이며 지수 2의 이미지를 가지고 있다.0이 아닌 Kervaire 불변성의 n차원 프레임 다지관이 있는 경우에만 후자가 되고, 따라서 이국적인 구의 분류는 Kervaire 불변성 문제에 최대 2의 요소까지 의존한다.

예

표준 내장 원환체의 경우, 비대칭의 형태(01− 10){\displaystyle{\begin{pmatrix}0&amp에 의해;0\end{pmatrix}}}(표준symplectic 기준에 관해서), 그리고skew-quadratic 세련됨에 의해서 주어진다 1\\-1& 주어진다 x 이러한 기준과 관련된 y{\displaystyle xy}:Q(1,0))Q(0., 1))${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ Q$(1,0)=Q(0,1)=0}$: 기본 곡선은 자체 연결되지 않으며, ${\displaystyle \mathrm{Q}(1,}$ 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle$Q$(1,1)=1$: a (1,1) 자체 링크(Hopf fibring)와 같다.따라서 이 형태는 아르프 불변성 0(대부분의 원소들은 규범 0을 가지고 있고, 동위원소 지수 1을 가지고 있다)을 가지며, 따라서 표준 내장형 토러스에는 케르베어 불변성 0이 있다.

케르베어 불변 문제

어느 치수 n이 0이 아닌 케르베어 불변성의 n차원 프레임 다지관이 있는가 하는 문제를 케르베어 불변성 문제라고 한다.이는 n이 2모드 4일 경우에만 가능하며, 실제로 n이 $2k{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle$ 2$^{k}-2}($전원 2보다 2 더 작음) 형식이어야 한다.문제는 거의 완전히 해결되었다. 2019년^[update] 현재 치수 126의 경우만 공개된다. 치수 2, 6, 14, 30, 62에는 0이 아닌 케르베어 불변성을 가진 다지관이 있으며, 가능한 126 이외에는 다른 모든 차원에는 없다.

주요 결과는 차등 위상론에서 안정적 호모토피 이론으로 문제를 축소하고 가능한 ${\displaystyle {차원}^{}}$이 ${\displaystyle \mathrm{2k}{}^{}}$- 2$[\디스플레이 스타일 2^{k$}-2$\}],$ 그리고 마이클 A의 차원이라는 것을 보여준 윌리엄 브라우더(1969년)의 그것들이다.힐, 마이클 J 홉킨스, 더글러스 C. $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ $[\displaystyle k\geq 8}$ $$(${\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 254}$ ${\displaystyle n\geq 254})$에 대한 그러한 다지관이 없다는 것을 보여준 라베넬(2016).낮은 치수에 대한 명시적 구조(62까지)와 함께, 이것은 치수 126만 열어둔다.

치수 126에 그러한 다지관이 있고, 0이 아닌 케르베어 불변성을 가진 고차원 다지관은 치수 16, 32, 64, 128, 즉 케이리 투영 평면 $O{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle P{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}($$d)에$$잘 알려진 이국적인 다지관과 관련이 있다는 것이 마이클 아티야에 의해 추측되었다.imension 16, 옥톤 투영 평면)와 유사 로젠펠트 투영 평면(차원 32의 바이옥톤 투영 평면, 치수 64의 퀘터옥톤 투영 평면, 치수 128의 옥톤 투영 평면)은 이러한 투영면을 취하여 마를 생산하는 구조가 있음을 구체적으로 밝히고 있다.nonzero Kervaire invariant를 2차원으로 낮춘 nifold.^[1]

역사

• 케르베어(1960년)는 케르베어 불변량이 치수 10, 18의 다지관에 대해 0임을 증명했다.
• 케르베어 & 밀너(1963)는 케르베어 불변량이 치수 6, 14의 다지관에 대해 0이 될 수 있음을 증명했다.
• Anderson, Brown & Peterson(1966) harvtxt 오류: 목표 없음: CATEREFAndersonBrownPeterson1966 (도움말)은 Kervaire 불변량이 치수 8n+2의 다지수에 대해 n>1에 대해 0이라는 것을 증명했다.
• 마호월드와 탕고라(1967)는 케르베어 불변제가 치수 30의 다지관에 대해 0이 될 수 있다는 것을 증명했다.
• 브라우더(1969)는 형태 2^k - 2가 아닌 치수 n 다지관의 경우 케르베어 불변성이 0임을 증명했다.
• Baratt, Jones & Mahowald(1984)는 케르베어 불변성이 62차원 일부 다지관에서는 0이 아니라는 것을 보여주었다.쉬씨(2016년)가 나중에 또 다른 증거를 제시했다.
• Hill, Hopkins & Ravenel(2016년)은 n = 2-2의^k n-차원 프레임 다지관의 경우 Kervaire 불변량이 0이고 k ≥ 8은 0임을 보여주었다.그들은 그들의 결과가 즉시 뒤따르는 다음과 같은 성질을 가진 공동동질 이론 Ω을 구축했다.
  • 계수 그룹 Ωⁿ(점)의 주기 2⁸ = 256 in n
  • 계수 그룹 Ωⁿ(점)은 n = -1, -2, -3에 대해 소멸되는 "갭"을 갖는다.
  • 계수 그룹 Ωⁿ(점)은 비바니싱 케르베어 불변성을 감지할 수 있다. 보다 정밀하게 치수 n의 다지관에 대한 케르베어 불변량이 0이 아닌 경우, 0이 아닌 영상을⁻ⁿ Ω(점)으로 표시한다.

케르베레-밀노르 불변성

The Kervaire–Milnor invariant is a closely related invariant of framed surgery of a 2, 6 or 14-dimensional framed manifold, that gives isomorphisms from the 2nd and 6th stable homotopy group of spheres to ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, and a homomorphism from the 14th stable homotopy group of spheres onto ${\displaystyle \mathbb{Z}}$${\displaystyle /}$ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$ n = 2, ${\displaystyle {}^{}}$의 경우, 케르어-밀노르 불변제 $1$과 함께$$ $S{\displaystyle {}^{}}$ n / ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle S^{}}$ / ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$n/$2}\time$ S$^{n/2}}$에 이국적인 프레임이 있다.

참고 항목

• 시그니처, 4k 차원 불변제
• De Rham 불변제, a (4k + 1)차원 불변제

참조

외부 링크

• 2009년 4월 21일 에든버러에서 홉킨스가 강의한 슬라이드 및 비디오
• 더그 라베넬의 아르프-케르베어 홈 페이지
• 하버드-MIT 케르베어 인바리안트 서머 세미나
• 'Kervaire Invariant One Problem' 2009년 4월 23일, John Baez의 블로그 게시물과 토론, The n-Category Cafe
• 다지관 지도책의 이국적인 구들

인기 뉴스 기사

• 하이퍼스피어 엑소티카: 케르베어 불변 문제 해결책이 있다! 45년 된 고차원적 구에 관한 문제는 아마도 2009년 8월 다비드 카스텔베츠치에 의해 해결되었을 것이다.
• Ball, Philip (2009). "Hidden riddle of shapes solved". Nature. doi:10.1038/news.2009.427.
• 수학자들이 45년 된 케르베어 불변 퍼즐, 에리카 클라레이치, 2009년 7월 20일