스텐로드 대수

대수적 위상에서, Steenrod 대수학은 앙리 카르탄(1955)에 의해 mod $p{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ p$} 코호몰로지용$ 안정적 코호몰로지 연산의 대수라고 정의되었다$.$

주어진 소수 $p{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle p$$}$의 경우$,$ Steenrod 대수 ${\displaystyle A_{}}$ $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 순서 $p{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle p$$}$의 필드 ${\displaystyle {}_{}}$ $p{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\$에 대한 등급의 Hopf 대수학이다$.$노먼 스텐로드(1947)가 p${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle$ p$=2}$에 대해 도입한 스텐로드 제곱에 의해 생성되며$,$ 스텐로드(1953a, 1953b)에 도입된 p ${\displaystyle p}$과 > ${\displaysty p>2$에 대한 벅스테인 동형 동형성(Bockste)에 의해 생성된다

"Steenrod 대수"라는 용어는 일반화된 코호몰로지 이론의 코호몰로지 연산의 대수학에도 가끔 사용된다.

코호몰로지 연산

코호몰로지 연산은 코호몰로지 펑커들 사이의 자연스러운 변형이다.예를 들어, 링 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$에 계수가 있는 코호몰리를 취한다면, 컵 제품 스퀴링 연산은 다음과 같은 코호몰로지 연산군을 산출한다$.$

${\displaystyle H^{n}(X;R)\to H^{2n}(X;R)}$

$x\mapsto x\mapsto x\mapsto x.}$

코호몰로지 연산은 등급이 매겨진 고리의 동형상일 필요는 없다. 아래의 카르탄 공식을 참조하라.

이러한 운영은 정지를 동반한 통근은 아니다. 즉, 그들은 불안정하다.($Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 중단이라면$$$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의 공동 호몰로지 상의 컵 제품은 사소한 것이기$$ 때문이다.)Steenrod 구성 안정적 작동

${\displaystyle Sq^{i}\colon H^{n}(X;\mathb {Z} /2)\to H^{n+i}(X;\mathb {Z} /2)}$

0보다$$ 큰 $모든{\displaystyle }$ i ${\displaystyle$ i$}$에 대해$표기법{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{Sq}}$ ${\displaystyle Sq}$과 ${\displaystyle {그}^{}}$ 이름인 Steenrod 사각형은 $등급{\displaystyle }$ n ${\$$displaystyle$ $Sq$$^{n$$}}$이(가) 컵 사각형이라는$$ 사실에서 $유래$한다.홀수 1차 계수에 대해 유사한 연산이 있으며, 일반적으로 ${\displaystyle P^{}}$ $i{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ P$^{i}$로 표시되며$$, $감소$된 p ${\displaystyle p}$ -th$$ 동력 연산으로 불린다.

${\displaystyle P^{i}\colon H^{n}(X;\mathb {Z} /p)\to H^{n+2i(p-1)(X;\mathb {Z} /p)}}$

${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\$은(는) $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/$$2 {\$displaystyle \mathb {Z} /2}$을(를) 통해 연결된 등급별 대수(graded 대수)를$$ 생성하며$,$ 여기서 연산 구성에 의해 곱이 주어진다.이것은 모드 2 Steenrod 대수학이다.사례 > ${\displaystyle p>2$의 경우, $모드{\displaystyle }$ p ${\displaystyle$ $p$$}$ Steenrod$$ 대수학은 짧은 정확한 순서와 연관된 P i ${\$ P$^{i}$와 Bockstein 연산 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaysty \beta }$에 의해 생성된다.

${\displaystyle 0}$→ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle p}$→ Z${\displaystyle }$/ ${\displaystyle p{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$→ ${\displaystyle Z}$→ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0\to \mathb {Z} /p^{2}\to \mathb {Z} /p\to$ 0$\}$ .

${\displaystyle \mathrm{사례}}$ $p{\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle p=2},$Bockstein 요소는 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle {q\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$},$$감소된$$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ -th$$ p ${\displaystyle i^{}}$ ${\$는 ${\displaystyle {}^{}}$ 2 ${\displaystyle i^{}}$ ${\$

코호몰로지 링으로

우리는 Eilenberg-Maclane 스펙트럼의 코호몰로지 링에 발전기로서 Steenrod 연산 특성을 요약할 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal{A}_{p}=$$H\mathb {F} _{p}^{*}(H\mathb {F} _{p$

이형성이 있기 때문에.

${\displaystyle {\reasoned}H\mathbb {F} _{p}^{*}(H\mathbb {F} _{p})&=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\underset {\leftarrow n}{\text{lim}}}\left(H^{n+k}(K(\mathbb {F} _{p},n);\mathbb {F} _{p})\right)\end{aligned}}}$

F ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 계수를 사용하여 가능한 모든 코호몰로지 연산을 직접 합한 분해를 제공한다$.$ 코호몰로지 그룹의 역한계는 에일렌버그-맥레인 공간의 코호몰로지 그룹의 안정적인 범위에서 계산되기 때문에 나타난다.이 결과는^[1] 원래 카르탄(1954–1955, 페이지 7)과 세레(1953)에 의해 계산되었다^[2].

참고: 이중 Steenrod 대수학에는 호몰로지를 사용하는 이중 특성이^[3] 있다.

일반화된 코호몰로지 이론에 대한 일반화에 대한 언급

It should be observed if the Eilenberg–Maclane spectrum ${\displaystyle H\mathbb {F} _{p}}$ is replaced by an arbitrary spectrum ${\displaystyle E}$, then there are many challenges for studying the cohomology ring ${\displaystyle E^{*}(E)}$. In this case, the generalized dual Steenrod algebra ${\displaystyle E_{\ast }}$${\displaystyle E_{*}(E)}$ should be considered instead because it has much better properties and can be tractably studied in many cases (such as ${\displaystyle KO,KU,MO,MU,MSp,\mathbb {S} ,H\mathbb {F} _{p}}$).^[4]실제로 이러한 링 스펙트럼은 대응적이며 $\pi {\displaystyle {}_{}E}$) ${\displaystyle \pi _{*}(E)}$ 바이모듈$$ $E{\displaystyle {}_{}E}$) ${\displaystyle E_{*}(E)}$은 평탄하다$$.이 경우 이는 $E{\displaystyle {}_{}}$x$$(${\displaystyle E}$$$) {\$displaystyle$ E_${\displaystyle {}_{}}$$E$$)}$의 모든 $공간{\displaystyle {}_{}}$ $X$에$$대해 E $display$ ( X) {\$displaystyle$ E_${*}(X$)}의 표준적인 공동 작용으로$,$ 이러한 동작은 안정적인 호모토피 범주, 즉 이형성이 있다.

그러므로 우리는 링 구조를 사용할 수 있다.$E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ (${\displaystyle {}_{}X}$)에서$$E$$$display$ (E ) {\$displaystyle$ E_${*}(E$$)}$의 코액션을 얻으려면$.$

자칭 특성화

Norman Steenrod와 David B.A${\displaystyle {}^{}}$ 엡스타인(1962)은 Steenrod 사각형 S ${\displaystyle q^{}}$ : $H{\displaystyle }$ m${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$이(가) 다음과 같은 5개의 공리로 특징지어지는$$ 것을 보여주었다.

1. Naturality: ${\displaystyle Sq^{n}\colon H^{m}(X;\mathbb {Z} /2)\to H^{m+n}(X;\mathbb {Z} /2)}$ is an additive homomorphism and is natural with respect to any ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, so ${\displaystyle f^{\ast }(S{q}^n(x))=S{q}^n(f^{\ast }(x))}$${\displaystyle f^{*}(Sq^{n}(x))$$=Sq^{n}(f^{*}(x)})}$.
2. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\$는 정체성 동형성이다.
3. ${\displaystyle }$$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle q^{}}$n (${\displaystyle x}$) = ${\displaystyle xx}$ x$${\$displaystyle Sq^{n}($${\displaystyle x}$$)=x\smile x}$ for$$ x${\displaystyle n^{}}$ H${\displaystyle {}^{}}$n ${\displaystyle (X\mathbb{}}$ ;${\displaystyle }$Z${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ )$${\$displaystyle x\in H^{n}($X;\$mathb${Z} /$2)}$.
4. > ( ){\$displaystyle$ n$>\deg(x)}$인 경우 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$(${\displaystyle x}$) = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle Sq^{n}(x)=0}$
5. 카르탄 공식: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}{}^{}}$( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ⌣}$ y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ i${\displaystyle \underset{}{}}$+ ${\displaystyle \underset{}{j}}$= ${\displaystyle \underset{}{n}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ x${\displaystyle }$) ${\displaystyle ⌣}$(${\displaystyle \mathrm{Sq}}$ i ${\displaystyle {}^{}}$ ) ⌣ (${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle y^{}}$) ${\displaysty Sq^{n}(x\smile y)=\sum _{i^{i}x)\smile (Sq^{j}y}}}}}}}}}}}}})$

또한 Steenrod 사각형에는 다음과 같은 특성이 있다.

• ${\displaystyle Sq^{1}}$ is the Bockstein homomorphism ${\displaystyle \beta }$ of the exact sequence ${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} /4\to \mathbb {Z} /2\to 0.}$
• ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\$은(는) 코호몰로지(cohomology)에서 긴 정확한 순서의 연결 형태론과 통한다$$.특히 서스펜션 ${\displaystyle {Hk}^{}X\mathbb{}}$; ${\displaystyle Z}$/ 2${\displaystyle }$)${\displaystyle }$h ${\displaystyle H^{}}$k + ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle x}$ X ${\displaystyle ;Z\mathrm{}}$ / 2${\displaystyle }$) $【\디스플레이스타일 H^{$k}{$k}(X;\mathb {Z} /2)】\cong H^{k+1}(\Sigma X;\mathb {Z /2})$와 관련하여 통근한다.
• 그들은 아래에 설명된 아뎀 관계를 만족시킨다.

로, 다음의 는p > 2[\$displaystyle p$$}$ -th번째$$ 파워의 감소된 $p{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle p>2$}의 특성을 나타낸다

1. Naturality: ${\displaystyle P^{n}\colon H^{m}(X,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )\to H^{m+2n(p-1)}(X,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}$ is an additive homomorphism and natural.
2. ${\displaystyle P^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\$ P$^{0}}$는 정체성 동형성이다.
3. ${\displaystyle P^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$$displaystyle$ $P^{n}$은(는$)$ $컵{\displaystyle }$p {\$displaystyle p}$ - 세 번째$$ 전원 켜기 등급 $2n$
4. > () ${\displaystyle 2n>\deg(x)}$인 경우 P ${\displaystyle n^{}}$ (${\displaystyle {}^{}x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ P$^{n}(x)=0}$
5. 카르탄 공식: $P{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n{}^{}}$( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ⌣}$ y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ i${\displaystyle \underset{}{}}$+ ${\displaystyle \underset{}{j}}$= ${\displaystyle \underset{}{n}}$ (${\displaystyle \underset{}{}{}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ x${\displaystyle }$) ${\displaystyle ⌣}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {jy}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ )${\displaystyle }${ ( P ${\displaystyle {}^{}}$ ) ${\displaystyle$ P$^{n}(x\smile$ y$)=\sum _{i+j=n}(P^{i$}x$)\smile (P^{j$}y$)}}}}}}}}}}}}}}}}}})$

종전과 같이 줄어든 p-th 강국도 아뎀 관계를 만족시키고, 정지·경계 사업자와 함께 출퇴근한다.

아뎀 관계

$p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle p=2}$에 대한 아뎀 관계는 원춘 우(1952)에 의해 추측되었고, 조제 아뎀(1952)에 의해 성립되었다$$.그것들은 에 의해 주어진다.

${\displaystyle Sq^{i}Sq^{j}=\sum _{k=0}^{\lfloor i/2\rfloor }{j-k-1 \선택 i-2k}Sq^{i+j-k}Sq^{k}}}$

에 j > {\$displaystyle i,j$$>0$ (이항 계수는 mod 로 해석되어야 한다.)아뎀 관계는 세레-카르탄 기본 원소의 합으로 스텐로드 제곱의 임의 구성을 작성할 수 있도록 한다.

$홀수{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$의 경우 Adem 관계는

${\displaystyle P^{a}^{b}=\sum _{i}-1(-1)^{a+i}{(p-1)(b-i)-1 \선택 a-PI}P^{a+b-i}P^{i}}$

잠깐 동안

${\displaystyle P^{a}\beta P^{b}=\sum _{i}-1(-)^{a+i}{(p-1)(b-i) \elect a-pi}\beta P^{a+b-i}P^{i}+\sum _{i}(1)^{a+i+1}{(p-1)(b-i)-1 \elect a-pi-1}{a+b-i}\베타 P^{i}}}}}}$

${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\leq pb}$의 $경우.$

Bullet-Macdonald 정체성

숀 R.블렛과 이안 맥도날드(1982)는 아뎀 관계를 다음과 같은 정체성으로 개혁했다.

${\displaystyle \mathrm{p}}$= 2 ${\displaystyle p=2$}의$$ 경우

${\displaystyle P(t)=\sum _{i\geq 0}t^{i}{\text{Sq}^{i}}}}}}}$

아뎀 관계는 다음과 같다

${\displaystyle P(s^{2}+st)\cdot P(t^{2})=P(t^{2}+st)\cdot P(s^{2})}$

> 2 ${\displaystyle p>2}$에 대해

${\displaystyle P(t)=\sum _{i\geq 0}t^{i}{\text{P}}^{i}}}$

그렇다면 아뎀 관계는 다음과 같은 진술과 같다.

${\displaystyle(1+s\operatorname {Ad}\beta)P(t^{p}+t^{p-1}s+\cdots +ts^{p-1}P(s^{p})}}$

$s{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ s$}$과 $t$ ${\displaystyle$ t$}$에서 대칭이다$.$ 여기서${\displaystyle }$$\beta {\displaystyle }$ ${\displaystein \beta$${\displaystyle }$$}$은(${\displaystyle \mathrm{Ad}}$ β${\displaystyle \beta }$ ) P${\displaystyle }$= ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle P}$- ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\data$(\$operatorname$ {$Ad} \p=\bta$P-P\$beta$

기하학적 해석

코호몰로지 클래스를 대표하는 다지관을 이용한 스틸로드 사각형의 직설적인 기하학적 해석이 있다.Suppose ${\displaystyle X}$ is a smooth manifold and consider a cohomology class ${\displaystyle \alpha \in H^{*}(X)}$ represented geometrically as a smooth submanifold ${\displaystyle f\colon Y\hookrightarrow X}$. Cohomologically, if we let ${\displaystyle 1=[Y]\in H^{$$0}(Y)}$은(는) $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의 기본 클래스 다음에 푸시포워드 맵을 나타냄$$

${\displaystyle f_{*}(1)=\display }$

$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$을(를) 표현한다$.$ 또한 이러한 몰입과 관련된 실제 벡터 번들 호출은 정상 번들 ${\displaystyle {bundle}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$/ ${\displaystyle X{}_{}}$→ Y ${\displaystyle \nu _{Y/X}\to Y$ 이제 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystystyle \alpha }$의 스텐로드 사각형을 이해할 수 있다$$. 그것들이 스티펠의 푸시-for-for-.일반 묶음의 휘트니 클래스

${\displaystyle Sq^{i}(\alpha )=f_{*}(w_{i})(\nu _{Y/X}),}$

왜 Steenrod 제품이 결국 사라지는지에 대한 기하학적 이유를 제공한다.Steenrod 맵은 그룹 동음이의어이기 때문에, 만약 우리가 합으로 표현될 수 있는$$ 클래스 $\beta {\displaystyle }${\$displaystyle \beta$}을(를) 가지고 있다면, 주목하라.

${\displaystyle \cHB =\properties _{1}+\cdots +\cdots _{n}}$

$\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$가 다지관으로 표현되는$$ 경우, 우리는 클래스의 제곱을 그 기초가 되는 매끄러운 다지관의 정상적인 다발의 푸시포워드 합계로 해석할 수 있다.

${\displaystyle Sq^{i}(\beta )=\sum _{k=1}^{n_{*}(w_{i})(\nu _{Y_{k}/X})}$

또한 이 등가성은 우 공식과 강하게 관련되어 있다.

연산

복잡한 투영 공간

복합 투영 평면 $C{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 다음과 같은 비종교적 동종학 그룹만 있다.

${\displaystyle H^{0}(\mathbf {CP} ^{2})\cong H^{2}(\mathbf {CP} ^{2})\cong H^{4}(\mathbf {CP} ^{2})\cong \mathbb {Z} }$,

세포분해를 이용하여 계산할 수 있는 것.이는 $비교{\displaystyle {}^{}}$ 가능한 유일한 Steenrod 제품이 ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ 2의 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle {q\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$${\displaystyle {}^{}C\mathbb{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$; Z${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$)${\displaystyle$ H$^{2}(\mathbf {CP} ^{2};\mathb {Z}/2)$일 뿐이라는 것을 의미한다.$H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$(${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2\mathbb{}{}^{}}$; ${\displaystyle Z}$/ 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ H$^{\ast }(\mathbf {CP} ^{2};\mathb {Z} /2)$의 컵 제품 구조는 비교가 아니기$$ 때문에 이 사각형은 비교가 안 된다.There is a similar computation on the complex projective space ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{6}}$, where the only non-trivial squares are ${\displaystyle Sq^{0}}$ and the squaring operations ${\displaystyle Sq^{2i}}$ on the cohomology groups ${\displaystyle H^{2i}}$ representing컵 제품$C{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{P}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 제곱$$

${\displaystyle Sq^{2}\colon H^{4}(\mathbf {CP} ^{8};\mathb {Z} /2)\to H^{6}(\mathbf {CP} ^8};\mathb {Z} /2)}$

위에서 요약한 기하학적 기법과 체르누스 계급과 스티펠-의 관계를 이용하여 계산할 수 있다.Whitney classes; note that ${\displaystyle f\colon \mathbf {CP} ^{4}\hookrightarrow \mathbf {CP} ^{8}}$ represents the non-zero class in ${\displaystyle H^{4}(\mathbf {CP} ^{8};\mathbb {Z} /2)}$. It can also be computed directly using the Cartan formula since ${\displaystyle x^2}$${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$( C ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{8}}^{}}$) ${\displaystyle$ x$^{2}\in H^{4}(\mathbf {CP} ^8$$})$ 및

${\displaystyle {\begin{aligned}Sq^{2}(x^{2})&=Sq^{0}(x)\smile Sq^{2}(x)+Sq^{1}(x)\smile Sq^{1}(x)+Sq^{2}(x)\smile Sq^{0}(x)\\&=0.\end{정렬}}}$

무한 실제 투영 공간

실제 투영 공간에 대한 Steenrod 작동은 Steenrod 사각형의 공식 특성을 사용하여 쉽게 계산할 수 있다.그것을 상기하다.

${\displaystyle H^{*}(\mathb {RP} ^{\\infit };\mathb {Z} /2)\cong \mathb {Z} /2[x],}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{deg}x}$(${\displaystyle \mathrm{x}}$) =$$1. {\$displaystyle \deg(x)=$$1{\displaystyle {}^{}}$.} ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$1 {\$displaystyle$ H$^{1$}에 대한 작업에 대해$$ 우리는$$ 알고 있다.

${\displaystyle {\reasoned}Sq^{0}(x)&=x\\Sq^{1}(x)&=x^{2}\Sq^{k}(x)&=0&{\text{{{{}모든 }k>1\ended}}}}}}$

카르탄 관계는 총 제곱을 의미한다.

${\displaystyle Sq:=Sq^{0}+Sq^{1}+Sq^{2}+\cdots }$

반지의 동형상이다.

${\displaystyle Sq\colon H^{*}(X)\to H^{*}(X).}$

그러므로

${\displaystyle Sq(x^{n})=(Sq(x))^{n}=(x+x^{2})^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \n \선택 i}x^{n+i}}}$

이전 합계의 도 $n{\displaystyle }$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n+i}$ 성분만$$ 있으므로, 우리는 이 성분을 가지고 있다.

${\displaystyle Sq^{i}(x^{n})={n \선택 i}x^{n+i}}$

건설

Suppose that ${\displaystyle \pi }$ is any degree ${\displaystyle n}$ subgroup of the symmetric group on ${\displaystyle n}$ points, ${\displaystyle u}$ a cohomology class in ${\displaystyle H^{q}(X,B)}$, ${\displaystyle A}$ an abelian group acted on by ${\displaystyle \pi }$,and ${\displaystyle c}$ a cohomology class in ${\displaystyle H_{i}(\pi ,A)}$. Steenrod (1953a, 1953b) showed how to construct a reduced power ${\displaystyle u^{n}/c}$ in ${\displaystyle H^{nq-i}(X,(A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)/\pi )}$, as가 뒤따르다

1. $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $u$$}$의 외부 제품을 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}$회$$$$ 복용하면 ${\displaystyle {Xn}^{}}$ ${\$에 계수가 $B{\displaystyle }$ ⊗ {${\displaystyle }${${\displaystyle }${${$ {\$displaystyle B\ots \otimotimes B}$인 등변량 cocycycle이 나타난다$.$
2. Choose ${\displaystyle E}$ to be a contractible space on which ${\displaystyle \pi }$ acts freely and an equivariant map from ${\displaystyle E\times X}$ to ${\displaystyle X^{n}.}$ Pulling back ${\displaystyle u^{n}}$ by this map gives an equivariant cocycle on ${\displaystyle E\$따라서$$$계수$ B가 $B$인 ${\displaystyle E}$ /${\displaystyle }${ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E/\pi \time X}$의 cocycle이 B ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B\otimes \cdots \otimes$ B$}$이다$.$
3. Taking the slant product with ${\displaystyle c}$ in ${\displaystyle H_{i}(E/\pi ,A)}$ gives a cocycle of ${\displaystyle X}$ with coefficients in ${\displaystyle H_{0}(\pi ,A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)}$.

Steenrod 사각형과 감소된 힘은 이 구조의 특별한 경우로서, $where{\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi$$}$은(는)${\displaystyle }p{\displaystyle }$ = ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$$n} 요소$의 주기적 순열 역할을 하는$$ 순환 그룹이며$$, 그룹 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $A$$}$ 및 $B$}은(는) 순환 순서다$$.${\displaystyle }$$p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p$ 그래서 H ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\pi ,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \otimes }$ B ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \cdots }$ ⋯ ${\displaystyle \otimes }$ ⊗ ⊗ ${\displaystyle B}$ ) $displaystyle H_{0}(\pi,$ A$\otimes B\cdots \otimes B)$은 순서 p ${\displaystystyp}$의 순환이기도 하다$.$

Steenrod 대수학 특성

Steenrod 대수학이 만족하는 자명 구조 외에도, 그것은 많은 유용한 특성들을 추가로 가지고 있다.

Steenrod 대수학 기초

장 피에르 세르(1953년)(p를 x2{\displaystyle p=2})과 앙리 카르탕(1954년, 1955년)(p>2{\displaystyle p>, 2})안정적인 모드의 Steenrod 대수학의 구조 p{p\displaystyle}cohomology 작전, 복슈 테인 준동 형사상에 의해 함께 Steenrod을 줄였다 가난한으로 생성하라는 것을 보여 주고 묘사했다.wers,그리고 아뎀 관계는 이 발전기들 사이의 관계의 이상을 만들어낸다.특히 그들은 Steenrod 대수학의 분명한 근거를 찾았다.이 기준은 정수 순서에 대한 수용성의 특정 개념에 의존한다.우리는 시퀀스를 말한다.

${\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots,i_{n}}$

각 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$에 대해 인정될 경우$,$ $우리$는 i ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}${\$displaystyle i_{j$}\$geq$ 2i_${j+1}$를 가지고 있다$.$그럼 원소들은

${\displaystyle Sq^{I}=Sq^{i_{1}}\cdots Sq^{i_{n},}$

여기서 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은 허용 가능한 시퀀스로서, 허용 기준이라고 하는 모드 2 Steenrod 대수학의 기초(Serre-Cartan 기준)를 형성한다.원소로 구성된 사례 > 2 ${\디스플레이$ 스타일 $p>2}$에도 유사한 근거가 있다.

${\$$$$I}=Sq_{p}^{i_{1$}^{1$}}\cdots Sq_{p}^{i_{n$

그런

${\displaystyle i_{j}\geq pi_{j+1}}$

${\displaystyle i_{j}\equiv 0,1{\bmod{2}}(p-1)}$

${\displaystyle Sq_{p}^{2k(p-1)=P^{k}}}$

${\displaystyle Sq_{p}^{2k(p-1)+1}=\beta P^{k}}}$

Hopf 대수 구조와 Milnor 기초

Steenrod 대수학에는 등급이 ${\displaystyle {}_{}}$ $F{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ p ${\displaystyle$ \$mathbf {F} _{p$}} -algebra보다$$ 구조가 더 많다.또한 홉프 대수로서, 특히 대각선이나 배합지도가 있다.

$\displaystyle \psi \colon A\to A\ote A}$

컵 제품에 대한 Steenrod 대수학의 작용에 대한 Cartan 공식에 의해 유도된다.이 맵은 제품 맵보다 설명하기 쉬우며 다음과 같이 제공된다.

${\displaystyle \psi(Sq^{k})=\sum _{i+j=k}Sq^{i}\otimes Sq^{j}}$

${\displaystyle \psi(P^{k})=\sum _{i+j=k}P^{i}\여러 번 P^{j}}$

${\displaystyle \psi }$ (${\displaystyle \beta }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle 1\otimes }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \psi (\beta )=\beta \otimes 1+1\otimes \beta$

이러한 공식들은 Steenrod 대수학이 공동 커멘티브라는 것을 암시한다.

${\displaystyle \psi}$의 선형 이중은 A의 (graded) 선형 $이중{\displaystyle {}_{}}$ A$∗{\$를 대수학으로 만든다$$.존 밀너(1958년), p)2{\displaystyle p=2}로, 발전기 ξ k{\displaystyle \xi_{k}과 학위 2k− 1{\displaystyle 2^{k}-1}의 모든 k에 A∗{\displaystyle A_{*}}은 다항 대수},, 및 p>;2∗ algebra는 이중 Steenrod{\displaystyle p>2}것을 증명했다. {\dis는 다항 대수학의 발전기의 학위 2pk− 2{\displaystyle 2p^{k}-2 발전기에}(k1≥){\displaystyle(k\geq 1)}과 외부 대수의 Playstyle A_{*}}은 텐서 제품 ξ k{\displaystyle \xi_{k}}학위 2pk1{\displaystyle 2p^{k}-1}(k0≥){\displaysty − τk.l$e (k\geq$ 0$)\}$$그런{\displaystyle {}_{}}$ 다음$$ A$∗{\$에 대한 단일 기준을 Milnor basis라고 하는 A에 대해 다른 기준을 선택한다.Steenrod 대수학의 이중은 곱셈이 (수퍼) 정류적이기 때문에 종종 작업하기에 더 편리하다.$∗{\$에 대한 콤멀티제이션은 A에 있는 제품의 이중으로$$, 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle$$}$ 여기서$$ $\xi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \xi _{0}=1$}$$및

${\displaystyle \psi (\tau _{n})=\tau _{n}\otimes 1+\sum _{i=0}^{n}\xi _{n-i}^{p^{i}}\otimes \tau _{i}}$ if ${\displaystyle p>2}$.

$p{\displaystyle {}_{}^{}}$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle p=2}$에 대한 $∗{\$ ${*}$의 유일한 원시 요소는 { 1 2 i {\$displaystyle \xi_{1^{2^{i}}}$의 원소로$,$ 이는$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle {q{\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {2^{}}^{}}$ i$${\$displaystystystyle$ Sq$^{2}$에 $이중이다.$

공식 그룹과의 관계

이중 Steenrod 알제브라는 슈퍼커머티브 Hopf 알제브라스여서 그들의 스펙트럼은 대수 슈퍼그룹 체계다.이러한 그룹 체계는 1차원 첨가제 형식 그룹의 자동화와 밀접하게 관련되어 있다.예를 들어,${\displaystyle \mathrm{p}}$ = 2 ${\displaystyle p=2$}인$$ 경우, 이중 Steenrod 대수학은 첫 번째 순서에 대한$$ ${\displaystyle \mathrm{ID}}$인 1차원 적층 형식 그룹 체계 $x{\displaystyle }$+ y ${\displaystyle x+y}$의 자동화의 그룹 체계다.이 자동모형은 형태를 띠고 있다.

${\displaystyle x\rightarrow x+\xi _{1}x^{2}+\xi _{2}x^{4}+\xi _{3}x^{8}+\cdots }}}$

유한 서브 홉프 알헤브라스

$p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle p=2}$ Steenrod$$ 대수학에서는 유한 서브 홉프 알헤브라의 여과를 허용한다.$A{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$ ${\$}}개가 원소에 의해 생성되므로$$

${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2{\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {i^{}}^{}}$ ${\$

Steenrod 사각형에 의해 생성된$$ 하위 게브라 $A{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle {\mathcal {A}_{2}(n)}$을(를) 형성할 수 있다.

${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {q\mathrm{}}^{}}$ 1,${\displaystyle {}^{}S}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle \dots ,S}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {{2n}^{}}^{}}$ ${\$

여과하기

${\displaystyle {\mathcal{A}_{2}(1)\subset {\mathcal {A}{2}(2)\cdots \subset \subset {\mathcal{A}_{2}.}$

이러한 알헤브라는 $\pi {\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle k}$ ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \pi _{*}(ko)}$및 $\pi {\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle \mathrm{tm}}$ ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle \pi _{*}(tmf)}$과 같은 많은 아담스 스펙트럼 시퀀스 연산을 단순화하는 데 사용될 수 있기 때문에 중요하다$.$^[6]

대수구축

래리 스미스(2007)는 순서 q의 유한장 $F{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 대해 다음과 같은 Steenrod 대수 구조를 제공했다. $V$가 ${\displaystyle {}_{}}$ q$${\$displaystyle \mathb$ {$F} _{q}}}$에 대한 벡터 공간이라면 V의 대칭대수에 대해 SV를 쓴다.대수적 동형성이 있다.

${\displaystyle {\begin}P(x)\colon SV[[x]\to SV[x]\\P(x)(v)=v+F(v)=v+v^{q&v\in V\case}}}}}}}$

여기서 F는 SV의 프로베니우스 내형성이다.라고 하면

${\displaystyle P(x)(f)=\sum P^{i}(f)x^{i}\qquad p>2}$

또는

${\displaystyle P(x)(f)=\sum Sq^{2i}(f)x^{i}\qquad p=2}$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f\in SV}$의 경우 V가 무한 치수인 경우 ${\displaystyle {요소}^{}}$ P I ${\$I$}}$ p 홀수에 대한 p pth 강도의 감소에 의해 생성된 Steenrod 대수의 아골수에 대수 이형성을 발생시키거나$$, $p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\$$displaystyle Sq^{2i}$에 대한$$ 짝수 Steenrod ${\displaystyle {제곱\mathrm{}}^{}}$ Sq^{{\$displaystyp=2$

적용들

스테인로드 대수학의 초기 적용은 스테인로드 연산과의 세레 스펙트럼 시퀀스의 통과 미분들의 호환성을 이용한 일부 호모토피 그룹들의 장-피에르 세레에 의한 계산이었고, 등급이 매겨진 리의 식별을 통해 거미줄까지 매끄러운 다지관의 레네 톰에 의한 분류였다.안정적인 범위에서 톰 콤플렉스의 호모토피 그룹과 함께 보르디즘 클래스의 ng.후자는 C에 의해 지향성 다지관의 경우로 정제되었다. T. C. 월.Steenrod 작전의 유명한 적용은 적절한 아뎀 관계와 관련된 2차 코호몰로지 연산을 통한 인자화를 포함하는 것으로, Hopf 불변한 한 가지 문제의 J. Frank Adams에 의한 해결책이었다.상당히 초보적인 mod 2 Steenrod 대수학의 한 가지 적용은 다음과 같은 정리다.

정리.만일 Hopf 불변성의 지도 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle S^{}}$ n ${\$ S$^{2n-1}\to S^{n}$이 있다면 n은 2의 힘이다.

그 증거는 각각의 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$이(가) 2의 힘이 아닌 k에 대해 분해할 수 있다는$$ 사실을 사용한다. 즉, 그러한 원소는 완전히 더 작은 정도의 제곱의 산물이다.

마이클 A. Mandell은 Steenrod 대수학($F{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$을 연구하여 다음과 같은 정리를 증명했다.$$

정리.$F{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 대수적 폐쇄에 계수가 있는 단일한 코체인 펑터는 $연결$된 p$${\$displaystyle p$}의 호모토피 $범주$에서 유한$$p {\$displaystyp$ p$}-$type의$$ 완전한 영점 공간으로부터 균등성을 유도한다$$.[[${\displaystyle {}_{}}$∞{\$displaystyle E_{\p}}}$ -algebras$$], F ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 대수적 폐쇄 계수 포함$.$

아담스 스펙트럼 시퀀스 및 구들의 호모토피 그룹에 대한 연결

Steenrod 대수학의 $($chomology)는 (p-local) Adams 스펙트럼 시퀀스에 대한 E 2 {\displaystyle $E_{2$}}항이며$$, 교대는 구들의 안정적인 호모토피 그룹의 p- 성분이다.구체적으로는 이 스펙트럼 시퀀스의 $E$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}항을 $다음$과 같이 식별할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{s,t}(\mathb {F} _{p},\mathb {F} _{p}).}$

이것은 "스테인로드 대수학의 코호몰로지(cohomology)는 안정적인 호모토피(homotophy) 그룹의 근사치"라는 진언에서 의미하는 것이다.

참고 항목

• 폰트랴긴 코호몰로지 작전
• 듀얼 스텐로드 대수
• 코호몰로지 연산

참조

교육학

• Malkiewich, Cary, The Steenrod Algebra (PDF), archived (PDF) from the original on 2017-08-15
• 특성 클래스 – Wu 매니폴드 등 더 많은 계산 포함
• Adams 스펙트럼 시퀀스의 Steenrod 제곱 – Ext 항 및 Streenrod 제곱의 해석 포함

동기 설정

• 동기식 코호몰로지에서의 전력 작동 감소
• Z/2-코퍼로 동기식 코호몰로지
• 모티브 에일렌베르크-마클레인 공간
• $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ - 모티브$$ 모듈형 형태 – A${\displaystyle }$/${\displaystyle A\mathcal{}}$( ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle {\mathcal {A}/{\$mathcal ${$A}/{\$mathcal$ {A$}(2)$와 동기부여 tmf.

참조

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