호프 불변성

수학에서 특히 대수적 위상에서는 홉프 불변성이 n-spres 간 특정 지도의 호모토피 불변성이다.

동기

1931년에 Hinz Hopf는 Clifford parallels를 사용하여 Hopf 지도를 만들었다.

${\displaystyle \eta }$: ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ S$^{3}\to$ S$^{2$

그리고 원의 링크 넘버를 이용하여 $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$이(가) 상수지도에 대한 동질감이 아닌 필수라는 것을 증명했다.

${\displaystyle \eta ^{-1}(x),\eta ^{-1}(y)\subset S^{3}}}$

모든 $x{\displaystyle }$≠ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ S ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ S$^{2}}$에 대해 1과 같다$.$

호모토피 그룹 $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{S\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})$이 $\eta {\displaystyle }${\$displaystyle \eta }}$에 의해 생성된 무한 순환 그룹이라는 것이 나중에 밝혀졌다$.$ 1951년 장-피에르 세레는 이성적인 호모토피 그룹임을 증명했다.

${\displaystyle \pi _{i}(S^{n})\otimes \mathb {Q}}$

홀수 차원 구(${\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $n$$}$ 홀수$$)의 경우 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ i$}$이(가) 0 또는 n이 아닌 한 0이다.단, 짝수차원 구(n 짝수)의 경우 도 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2n-1}$에 무한순환 호모토피가 한 비트 더 있다$.$

정의

$\varphi {\displaystyle }$: S ${\displaystyle 2^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$→ ${\displaystyle S^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ S$^{2n-1}\to S^{n}}}}$을 연속 지도로 한다(> {\$displaystyle n>1}).$그러면 우리는 세포단지를 형성할 수 있다.

${\displaystyle C_{\pi }=S^{n}\cup _{\pi }D^{2n}}}$

where ${\displaystyle D^{2n}}$ is a ${\displaystyle 2n}$-dimensional disc attached to ${\displaystyle S^{n}}$ via ${\displaystyle \phi }$. The cellular chain groups ${\displaystyle C_{\mathrm {cell} }^{*}(C_{\phi })}$ are just freely generated on the ${\dis$$playstyle$ i$}$ -cells$$ in $led{\displaystyle }$ i$${\$displaystyle i$ 따라서$$led$$ $,$n {\$displaystyn$},$$ {\$displaystyle 2n},$ 그$$ 밖의 모든 곳에 0인 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ {$Z}$입니다.세포(co-)호몰로지(comology)는 이 체인 복합체의 (co-)호몰로지로서, 모든 경계 동형성은 0이어야 하기 때문에$($ > {\$displaystyle n>1})$ 코호몰로지(co-homology)는 0이어야 한다.

${\displaystyle H_{\mathrm {cell}{}^{i}(C_{\phi }}={\begin{case}}\mathb {Z} &i=0,n, 2n,\0&{\mbox{otherwise}).\end{case}}}$

다음과 같이 코호몰로지 그룹의 생성자를 나타낸다.

${\displaystyle H^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$( C ${\displaystyle {\varphi }_{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle \alpha }$ α ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle H^{n}(C_{\phi }})=\langle \alpha \rangle },$ $H$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\varphi }_{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$β ${\displaystyle \beta }$ β ${\displaystyle ..}$ ${\displaystystyle H^{2n}(C_{\pi \langle$ \langle \$langle$ \$langle$\langle $\$langle \langle \langle \langle.

치수상의 이유로, 그러한 등급 사이의 모든 컵 제품은 $\alpha {\displaystyle }$ α ${\displaystyle \alpha }$α ${\displaystyle \alpha \smile \alpha$ }과$($와) 별개의 사소한 것이어야 한다$.$ 따라서, 고리로서, 코호몰로지(cohomology)는 다음과 같다.

${\displaystyle H^{*}(C_{\phi })=\mathb {Z}[\alpha,\beta ]/\langle \beta \smile \beta = 0,\alpha \alpha \alpha =h(\phi )\beta \angle.}$

정수 $h{\displaystyle }$ (${\displaystyle \varphi }$) ${\displaystyle h(\phi )}$은 지도 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$의 Hopf 불변성이다$.$

특성.

정리:${\displaystyle 지도\mathbb{}}$ $h{\displaystyle }$ :${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}}$- 1${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {Sn}^{}}$)${\displaystyle }$→ Z ${\$은 동형상이다.$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 홀수인 경우 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$은(는) 사소한$$($이후{\displaystyle {}_{}}$ since ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$(${\displaystyle {Sn}^{}}$) ${\displaystyle \pi _{2n-1}(S^{n})$은 비틀림이다.If ${\displaystyle n}$ is even, the image of ${\displaystyle h}$ contains ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$. Moreover, the image of the Whitehead product of identity maps equals 2, i. e. ${\displaystyle h([i_{n},i_{n}])=2}$, where ${\displaystyle i_{n}$$\colon S^{n}\to$ S$^{n}}$은(는) ID 맵이고 [ ${\displaystyle \cdot }$ ,${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [\,\cdot \\\,\cdot \,]}$은(는) Whitehead 제품이다.

The Hopf invariant is ${\displaystyle 1}$ for the Hopf maps, where ${\displaystyle n=1,2,4,8}$, corresponding to the real division algebras ${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} }$, respectively, and to the fibration ${\displaystyle S({\mathbb{A}}^2)\to {\mathbb{P}}^{}}$${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ {\$displaystyle S(\mathb {A} ^{2})\\mathb {PA}$^1}{$1}:$ 구에 대한 방향을 연장하는 하위 공간으로 전송$$.그것은 정리인데, 먼저 프랭크 아담스에 의해 증명되었고, 이어서 위상학 K 이론의 방법으로 아담스와 마이클 아티야에 의해, 이것들만이 홉프 불변제 1이 있는 지도라는 것이 증명되었다.

화이트헤드 적분식

J. H. C. 화이트헤드는 홉프 불변제를 위해 다음과 같은 필수 공식을 제안했다.^{[2][3]: prop. 17.22} Given a map ${\displaystyle \phi \colon S^{2n-1}\to S^{n}}$, one considers a volume form ${\displaystyle \omega _{n}}$ on ${\displaystyle S^{n}}$ such that ${\displaystyle \int _{S^{n}}\omega _{n}=1}$. Since ${\displaystyle d\omega _{n}$$=0}$, the pull back pullback ${\displaystyle \varphi ^{*}\omega _{n}}$ is a Closed differential form: ${\displaystyle d(\varphi ^{*}\omega _{n})=\varphi ^{*}(d\omega _{n})=\varphi ^{*}0=0}$. By Poincaré's lemma it is an exact differential form: there exists a${\displaystyle n}$${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{n}}$- 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle (n-1)}$ - S ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$에 ${\displaystyle {있는}_{}}$ 양식$$ $\eta {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$그 후 호프 불변제는 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \int_{S^{2n-1}\eta \wedge d\eta .}$

안정적 지도를 위한 일반화

Hopf 불변성의 매우 일반적인 개념은 정의될 수 있지만, 일정한 양의 호모토피 이론적 토대가 필요하다.

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ V$}$이(가) 벡터 공간을 나타내고$$ $V{\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$∞ ${\$displaystyle V^{\$inflt }}}$의 원포인트 압축, 즉 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ {$R} ^{k}}$ 및$$

${\displaystyle {}^{}}$$V$ ${\displaystyle {}^{}}$ S ${\displaystyle k^{}}$ ${\$ S$^{k}}$ 일부 k ${\displaystyle k$

$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle (X,x_{0})$이(가) 임의의 뾰족한 공간이라면$$(이전 절에서 암묵적으로 그렇듯이), 무한대의 지점을 $V{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\$의 기준점으로 삼으면 쐐기 제품을 형성할 수 있다$.$

${\displaystyle V^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle X}${\$displaystyle$ V$^{\\infit$}\$wedge$ X$}$.

자, 자자

$F^{\displaystyle F\colon V^{\nothy}\wedge X\to V^{\nothy}\wedge Y}$

안정적 지도, 즉 서스펜션 펑터(functor)가 감소된 상태에서 안정적이어야 한다.$F$ ${\displaystyle F}$의 기하학적 호프 불변성은

${\$$Y\wedge$ Y$\}_{\mathb {Z} _{2$

an element of the stable ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-equivariant homotopy group of maps from ${\displaystyle X}$ to ${\displaystyle Y\wedge Y}$. Here "stable" means "stable under suspension", i.e. the direct limit over ${\displaystyle V}$ (or ${\displaystyle k}$, if you will) of the ordinary, 등가 호모토피 그룹; 그리고 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ -action은$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 사소한 작업이며$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaysty Y}$에 대한 두 요인의 플립이다$.$ 우리가 허용하면

${\displaystyle \Delta _{X}\colon X\to X\wedge X}$

표준 대각선 지도와 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$을(를) 나타내는 후, Hopf invariant는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle h(F):=(F\wedge F)(I\wedge \Delta _{X}-(I\wedge \Delta _{Y})-(I\wedge F).}$

이 지도는 처음에 다음 지도였습니다.

${\displaystyle V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge X}$ to ${\displaystyle V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge Y\wedge Y}$,

그러나 직접 제한에 따라 안정적인 호모토피 Z ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ - 등가$$ 지도 그룹의 광고 요소가 된다.또한 불안정한 버전의 Hopf 불변 h ${\displaystyle V_{}}$(${\displaystyle F}$) ${\displaystyle h_{V}(F)$가 존재하며$,$ 이를 위해 벡터 공간 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$을(를) 추적해야 한다$.$

참조

• Adams, J. Frank (1960), "On the non-existence of elements of Hopf invariant one", Annals of Mathematics, 72 (1): 20–104, CiteSeerX 10.1.1.299.4490, doi:10.2307/1970147, JSTOR 1970147, MR 0141119
• Adams, J. Frank; Atiyah, Michael F. (1966), "K-Theory and the Hopf Invariant", Quarterly Journal of Mathematics, 17 (1): 31–38, doi:10.1093/qmath/17.1.31, MR 0198460
• Crabb, Michael; Ranicki, Andrew (2006). "The geometric Hopf invariant" (PDF).
• Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen, 104: 637–665, doi:10.1007/BF01457962, ISSN 0025-5831
• Shokurov, A.V. (2001) [1994], "Hopf invariant", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press