최대 원리

부분 미분 방정식과 기하학적 분석의 수학적 분야에서 최대 원리는 타원 및 포물선 미분 방정식의 연구에서 근본적 중요성의 결과와 기법의 집합이다.

가장 간단한 경우 다음과 같은 두 변수 u(x,y)의 함수를 고려하십시오.

${\displaystyle {\frac {\fract ^{2}u}{\frac x^{2}}}+{\frac {\frac ^{2}u}{\flash y^{2}}=0.}$

이 설정에서 약한 최대 원리는 u 도메인의 모든 개방형 사전 컴팩트 서브셋 M에 대해 M의 경계에서 m의 폐쇄에 대한 u의 최대치를 달성한다고 말한다. 강한 최대 원리는 u가 일정한 기능이 아닌 이상 M 자체의 어느 곳에서도 최대치를 달성할 수 없다고 말한다.

그러한 진술은 주어진 미분방정식의 해결책에 대한 놀라운 정성적 그림을 제공한다. 그러한 질적 그림은 많은 종류의 미분 방정식으로 확장될 수 있다. 많은 상황에서 이러한 최대 원리를 사용하여 구배 크기에 대한 제어와 같은 미분방정식의 해법에 대한 정밀한 정량적 결론을 도출할 수도 있다. 모든 상황에 동시에 적용되는 단일 또는 가장 일반적인 최대 원칙은 없다.

볼록 최적화 분야에서, 콤팩트 볼록 집합의 볼록함수의 최대치가 경계에서 달성된다고 주장하는 유사한 진술이 있다.^[1]

직감

강한 최대 원리의 부분적 공식화

여기서 우리는 동일한 사고가 더 일반적인 시나리오로 확장될 수 있지만 가장 단순한 경우를 고려한다. M을 유클리드 공간의 열린 부분집합으로 하고, U를 M에 C² 함수로 하여 다음과 같이 한다.

${\displaystyle \sum \sum _{i=1}{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\fract ^{2}u}{\propert x^{i}\,\field x^{j}=0}$

여기서 1과 n 사이의 각 i와 j에 대해 a는_ij a_ij = a를_ji 갖는 M의 함수다.

M에서 x의 선택을 수정하십시오. 선형대수의 스펙트럼 정리에 따르면 매트릭스[a_ij(x)]의 모든 고유값은 실재하며, 고유 벡터로 구성된 ℝ의ⁿ 직교적 기초가 있다. 1에서 n까지의 i에 대해 λ에_i 의한 고유값과 v에_i 의한 해당 고유 벡터를 나타낸다. 그러면 x점에서는 미분방정식을 다음과 같이 바꾸어 말할 수 있다.

$\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\boda _{i}\왼쪽.{\frac {d^{2}}:{dt^{2}}:}\오른쪽 _{t=0}{\big(}u(x+tv_{i}}{\big )}=0.}$

최대 원리의 본질은 각 고유값이 양수(미분 방정식의 특정 "엘리시티"의 공식에 해당함)이면 위 방정식은 용액의 방향성 두 번째 파생상품에 일정한 균형을 부과한다는 단순한 관측이다. 특히 방향성 두 번째 파생상품 중 하나가 음성이면 다른 파생상품은 양성이어야 한다. u가 극대화되는 가상의 시점에서 모든 방향성 두 번째 파생상품은 자동으로 양성이 아니며, 위의 방정식으로 대표되는 "균형"은 모든 방향성 두 번째 파생상품이 동일하게 0이 되도록 요구한다.

이러한 기본적인 추론은 강력한 최대 원리의 극소수의 공식화를 나타낸다고 주장할 수 있는데, 이 원리는 (a의 연속성 등) 일부 추가적인 가정 하에서 u가 최대화되는 M의 지점이 있다면 u는 일정해야 한다고 명시하고 있다.

보다 일반적인 부분 미분 방정식을 고려할 경우 위의 추론은 영향을 받지 않는다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}=0,}$

추가된 용어는 가상의 최대 지점에서 자동으로 0이기 때문에 더 일반적인 조건을 고려한다면 추론도 영향을 받지 않는다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0,}$

가상의 최대 지점에서 이 상태에 엄격한 불평등(> >보다는)이 있을 경우 명백한 모순을 갖는 추가적인 현상까지도 주목할 수 있는 것이다. 이 현상은 고전적인 약점 최대 원리의 형식적인 증거에서 중요하다.

강력한 최대 원리의 비적용

그러나 그 조건을 고려한다면 위의 추리는 더 이상 적용되지 않는다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\leq 0,}$

이제 가상의 최대 지점인 u에서 평가된 "비양성" 조건은 명백하게 비양성적인 양의 가중 평균이 양성이 아니라고만 말할 뿐이다. 이것은 사소한 사실이고, 그래서 사람들은 그것으로부터 어떤 비종교적인 결론도 이끌어낼 수 없다. 이는 다음과 같은 구체적인 예에 의해 반영된다.

${\displaystyle {\frac {\frac }{2}}:{\big (}{-x}^{2}-y^{\big )}+{\frac {\big}{\frac {\big ^{2}}:{\big (}{-x}-y^{2}-{2}}leq}, 0, {big}, }$

그리고 원점을 포함하는 모든 열린 영역에서 -x-y²² 함수는 확실히 최대값을 가진다.

선형 타원형 PDE에 대한 고전적 취약 최대 원리

본질적인 생각

M이 유클리드 공간의 열린 부분집합을 나타내도록 하자. 부드러운 함수 $u{\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$M\to \mathb {R}$}은(는) p 지점에서 최대화되며$$, 그 다음 중 하나가 자동으로 다음을 가진다.

• ${\displaystyle (du)(p)=0}$
• ${\displaystyle }$(${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{u}}$ ${\displaystyle )}$( p${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le }$ 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ (\displaystyle$)(\nabla ^{2}u)(p)\leq$ 0$,}$ 행렬 불평등으로서$$.

부분 미분 방정식을 함수의 다양한 파생상품들 사이의 대수적 관계의 부과로 볼 수 있다. 따라서 u가 부분 미분 방정식의 해법이라면, u의 첫 번째와 두 번째 파생상품에 대한 위의 조건들이 이 대수적 관계와 모순을 형성할 가능성이 있다. 이것이 최대 원리의 본질이다. 분명히, 이 아이디어의 적용 가능성은 문제의 특정 부분 미분 방정식에 크게 좌우된다.

예를 들어, 만약 당신이 미분 방정식을 푼다면

${\displaystyle \Delta u=du ^{2}+2,}$

그러면 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{u}}$ $≤$ 0 {\$displaystyle \Delta u\leq 0}$과 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle du=0}$을(를) 도메인의 어느 지점에서나$$ 갖는 것은 분명히 불가능하다. 그래서 위의 관찰에 따라 u가 최대값을 차지하는 것은 불가능하다. 만일 Δ u${\displaystyle }$= ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ 2$${\$displaystyle \Delta u=du$^2}}: 미분방정식 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle u}$ = du ^{$2}}:$ 이 경우$$ 그러한 모순은 없을 것이며, 지금까지 주어진 분석은 흥미로운 것을 의미하지 않는다. 만일 당신이 ${\displaystyle \mathrm{미분}방정식}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \mathrm{u}{}^{}}$=${\displaystyle }$d$$u 2 - 2 , {\$displaystyle \Delta u=du$^{2}-2,}을(를) 풀었다면, 동일한$$ 분석에서 Δ u = du 2 - du ^{2}-2,}는 최소값을 차지할 수 없다는 것을 알 수 있을 것이다.

그러한 분석의 가능성은 부분 미분방정식에 국한되지 않는다. 예를 들어 $u{\displaystyle }$: ${\displaystyle M\mathbb{}}$→ R ${\$$M\to \mathb {R}}$은(는) 다음과 같은 함수다.

${\displaystyle \Delta u-du ^{4}=\int _{M}e^{u(x)}\,dx,}$

이는 일종의 "비 국부적" 미분방정식의 일종으로, 위와 같은 분석에 의해, 우측의 자동적인 엄격한 긍정성은 최대값을 얻을 수 없다는 것을 보여준다.

이런 종류의 분석의 적용성을 다양한 방법으로 확대하는 방법이 많다. 예를 들어 u가 조화 함수라면, ${\displaystyle \mathrm{\Delta u}(p}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \Delta u(p)\leq$ 0$}$이(가) $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle u}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaysty \Delta u=0}$ 요건과 모순되지$$ 않는 지점 p가 존재하기 때문에 위의 종류의 모순은 직접적으로 발생하지 않는다. 그러나 임의의 실수 s에 대해서는 u가_s 정의한 함수를 고려할 수 있다.

${\displaystyle u_{s}=u(x)+se^{x_{1}.}$

는 것은 직설적이다.

${\displaystyle \Delta u_{s}=se^{x_{1}.}$

위의 분석에 의해 > ${\displaystyle s>0}$이면 최대값을_s 얻을 수 없다. u도 최대값을 얻을 수 없다고 결론짓기 위해 s에서 0으로 한도를 고려할 수 있다. 그러나 최대값이 없는 일련의 함수의 점괘 한계는 최대값이 될 수 있다. 만약 M은 영역을 가지기 때문에 우리가 우리를, M에 함수로서, 최대가 오지 않는 것은 보여 주었다 그럼에도 불구하고, M함께 경계와 그 너 계속 경계까지 확대할 수 있는다고 가정하면 콤팩트는, 즉시 모두가 너와 우리 M∪ ∂ M에 최대의 가치에 도달하다{\displaystyle M\cup\partial M.}, f. 따르o임의의 s에 대해 ${\displaystyle u}$의_s 최대 지점이 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ M${\displaystyle }$. ${\displaystyle \partial M}$에 있다고 낮음 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle$ $\$$partial M}$의 순차적 압축도에 의해$$ ${\displaystyle u}$의${\displaystyle }$최대치가$display$ M . {\$displaystyle$ \partial$$ $M.}$에 도달한다는 것은 조화 기능에 대한 약한 최대 원리다. 이것은 그 자체로 u의 최대치가 M의 어딘가에서 달성될 가능성도 배제하지 않는다. 그것이 추가 분석이 필요한 '강력한 최대 원칙'의 내용이다.

위의$$ 특정 함수 $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {x{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\$의 사용은 매우 부적절했다. 중요한 것은 경계까지 연속적으로 확장되고 라플라시안이 엄격히 양성인 함수를 갖는 것뿐이었다. 예를 들어, 우리가 사용할 수 있었는데,

${\displaystyle u_{s}(x)=u(x)+s x ^{2}}$

같은 효과로

선형 타원형 PDE에 대한 고전적인 강한 최대 원리

증거 요약

M을 유클리드 공간의 열린 부분집합이 되게 하라. Let${\displaystyle }u{\displaystyle }$ : ${\displaystyle M\mathbb{}}$→ R ${\$$M\to \mathb {R} }$은(는) 최대값 C를 획득하는 두 배의 구별 가능한 함수다$$. 라고 가정해 보자.

${\displaystyle a_{ij}{\frac {\fract ^{2}u}{\b^{j}\\frac x^{i}}+b_{\fract u}{\fract x^{i}}}}\geq 0.}$

다음을 찾을 수 있다고 가정하십시오(또는 의 존재를 증명).

• Ω의 내부에 있는 모든 x에 대해 u(x) < C가 있고 u(x₀) = C가 Ω의 경계에 x가₀ 존재하는 등 비어 있지 않은 내부를 가진 M의 소형 부분 집합 Ω.
• $연속함수{\displaystyle }$h : ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}${\$displaystyle h:\Oomega \to \mathb {R}$}, Ω의 내부와 로 2배 구분 가능$$

${\displaystyle a_{ij}{\frac {\fract ^{2}h}{\\b^{j}\b}+b_{\fract h}{\buffect x^{i}}}}{\fract x^{i}}}}}\geq 0,}$

Ω의 경계에 h(x₀) = 0인 u + h ≤ C가 있는 경우

그 다음 L(u + h - C) Ω에 0이고 Ω의 경계에 u + h - C weak 0이며, 약한 최대 원리에 따라 Ω에 u + h - C ≤ 0은 Ω의 경계에 있다. 라고 말하도록 재구성할 수 있다.

${\displaystyle -{\frac {u(x)-u(x_{0}}}{x-x_{0}}}{x-x_{0}}}}{x-x_{0}}}}}}}}}}$

모든 x에 대해(Ω). 우측이 뚜렷하게 긍정적인 성질을 갖도록 h를 선택할 수 있다면, 이는 m에서₀ x가 u의 최대 지점이라는 사실과 모순을 제공하므로 그 구배가 사라져야 한다.

증명

위의 "프로그램"을 실시할 수 있다. Ω을 구면환으로 선택한다. 중심 x를_c 닫힌 집합 ∂M보다 닫힌 집합 u⁻¹(C)에 더 가까운 점으로 선택하고, 외부 반지름 R을 이 중심에서 u⁻¹(C)까지의 거리로 선택한다. x를₀ 이 후자의 집합에서 거리를 실현하는 점으로 선택한다. 내부 반지름 ρ은 임의적이다. 정의

${\displaystyle h(x)=\varepsilon {\Big (}e^{-\alpha x-x_{\text{c}}^{2}}-e^{-\alpha R^{2}}{\Big )}.}$

현재 Ω의 경계는 두 개의 구체로 구성되어 있다. 바깥쪽 구에는 h = 0이 있고, R의 선택으로 인해 이 구에는 u ≤ C가 있고, 따라서 u + h - C ≤ 0이 경계 이 부분에 h(x₀) = 0이 있다. 안쪽 구에는 u가 있다. u의 연속성과 내면의 콤팩트성 때문에 Δ > 0을 u + Δ < C로 선택할 수 있다. h는 이 내부 구체에서는 일정하므로, 내부 구체에서는 u + h ≤ C로, 따라서 Ω의 전체 경계에서 ε > 0을 선택할 수 있다.

직접 계산 표시

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}=\varepsilon \alpha e^{-\alpha x-x_{\text{c}} ^{2}}\left(4\alpha \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x){\big (}x^{i}-x_{\text{c}}^{i}{\big )}{\big (}x^{j}-x_{\text{c}}^{j}{\big )}-2\sum _{i=1}^{n}a_{n}-2\sum _{i=1}b_{i}{n}{n}b_{i}{\big (}}{x^{i}-x_{\c}}^{big}}\right)}$

우측이 음이 아닌 것으로 보장될 수 있는 다양한 조건이 있다. 아래 정리문을 참조하라.

마지막으로, 환골조의 안쪽을 가리키는 방사선을 따라 x에서₀ h의 방향 유도체는 엄격히 양성이라는 점에 유의한다. 위의 요약에서 설명한 바와 같이, 이는 x에서₀ u의 방향파생물이 0이 아니라는 것을 보장할 것이며, 이는 x가₀ 오픈 세트 M에서 u의 최대 지점인 것과는 대조적이다.

정리명세서

다음은 홉프(1927년)의 원문에 이어 모레이와 스몰러의 책에 나오는 정리문이다.

M을 유클리드 공간 Ⅱ의ⁿ 공개 부분집합으로 한다. 1과 n 사이의 각 i와 j에 대해 a와_ijij b를_i a = a로_ji M에서 연속적인 함수가 되게 한다. M의 모든 x에 대해 대칭 행렬[a_ij]이 양-확정이라고 가정하자. 만약 u가 M에서 일정하지 않은 C 함수인² 경우 다음과 같이 된다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0,}$

M에서는 최대값을 얻지 못한다.

연속성 가정의 요점은 연속성 함수가 콤팩트 세트에 경계되어 있으며, 여기서 관련 콤팩트 세트는 증거에 나타나는 구형 환형이다. 더욱이, 같은 원리에 의해, 환형에서 모든 x에 대해, 행렬[a_ij(x)]이 e보다 크거나 같은 모든 고유값을 갖는 숫자 λ이 있다. 그런 다음 하나는 증거에 나타난 것처럼 α를 취하여 이러한 한계에 비해 크게 된다. 에반스의 저서는 약간 약한 제형을 가지고 있는데, 이 제에서는 M의 모든 x에 대해 [a_ij]의 고유값의 하한인 양수 λ이 있다고 가정한다.

이러한 연속성 가정은 명백히 증거가 작동하기 위해 가능한 가장 일반적인 것은 아니다. 예를 들어, 다음은 길바그와 트루딩거의 정리 진술로, 같은 증거에 따른 것이다.

M을 유클리드 공간 Ⅱ의ⁿ 공개 부분집합으로 한다. 1과 n 사이의 각 i와 j에 대해 a와_ijij b를_i a = a로_ji M의 함수가 되게 한다. M의 모든 x에 대해 대칭 행렬[a_ij]이 양-확정성이며, λ(x)가 가장 작은 고유값을 나타내도록 한다고 가정한다. ${\displaystyle \frac{i_{}}{}}$ ${\$ {$a_{i}}{\lambda }}$ 및 b$$ ${\displaystyle \frac{i_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\lambda {}_{}}{}}$ ${\$ {$b_{i}}{\lambda }}}}}}}}}$이 1에서$$ n 사이의 각 i에 대해 M의 경계 함수라고 가정합시다. 만약 u가 M에서 일정하지 않은 C 함수인² 경우 다음과 같이 된다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0,}$

M에서는 최대값을 얻지 못한다.

이미 1차원 사례에서 본 바와 같이 이러한 문장을 일반 2차 선형 타원 방정식으로 순진하게 확장할 수는 없다. 예를 들어, 일반적인 미분 방정식 y″ + 2y = 0은 정현상 용액을 가지며, 정현상 용액은 확실히 내부 최대치를 가진다. 이는 내부 최대치를 갖는 "유전자함수" 방정식 Δu + cu = 0에 대한 해법이 종종 있는 고차원 사례로 확장된다. c의 부호는 1차원 사례에서도 볼 수 있듯이 관련성이 있다. 예를 들어 yy - 2y = 0에 대한 해법은 지수적이며, 그러한 함수의 최대값의 문자는 정현상 함수의 문자와 상당히 다르다.

참고 항목

• 최대 계량 원리
• 홉프 최대 원리

메모들

참조

연구기사

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