크러스칼-세케레스 좌표

Kruskal–Szekeres coordinates
2GM=1에 대해 그림으로 나타낸 Kruskal-Szekeres 다이어그램. 사분면은 블랙홀 내부(II), 화이트홀 내부(IV), 두 개의 외부 영역(I와 III)이다. 네 지역을 구분하는 점선 45°는 사건 지평선이다. 다이어그램의 위아래를 묶은 더 어두운 하이퍼볼라는 물리적 특이점이다. 팔레어 하이퍼볼라는 슈바르츠실트 r 좌표의 윤곽선을 나타내며, 원점을 통과하는 직선은 슈바르츠실트 t 좌표의 윤곽선을 나타낸다.

일반상대성이론에서 마틴 크러스칼조지 스체크레스의 이름을 딴 크러스칼-스체크레스 좌표블랙홀을 위한 슈바르츠실트 기하학좌표계다. 이러한 좌표는 최대 확장된 슈바르츠실트 솔루션의 스페이스타임 매니폴드 전체를 커버하고 물리적 특이점 외부 어디에서나 잘 동작한다는 장점이 있다.

Kruskal-Szekeres 좌표는 구형 물체 주위의 시공간에도 적용되지만, 그러한 경우 물체의 반지름 내부의 시공간 시간에 대한 설명은 제공하지 않는다. 항성이 블랙홀로 붕괴하고 있는 지역의 시공간은 크루스칼-세케레스 좌표(또는 슈바르츠실트 좌표)에 의해 근사치된다. 이 별의 표면은 슈바르츠실트 좌표에서 사건 지평선 바깥에 남아 있지만, 크러스칼-세케레스 좌표에서 교차한다. (우리가 관찰하는 어떤 "블랙홀"에서는 그 물질이 아직 붕괴가 끝나지 않은 시점에 그것을 볼 수 있기 때문에, 그것은 실제로 아직 블랙홀이 아니다.) 마찬가지로 블랙홀로 떨어지는 물체는 슈바르츠실트 좌표에서는 사건 지평선 밖에 남아있지만 크러스칼-세케레스 좌표에서는 교차한다.

정의

크러스칼-세케레스 도표. 애니메이션의 각 프레임은 슈바르츠실트 방사형 좌표가 일정한 표면(그리고 각 연속 프레임에서 특이점으로 끝날 때까지 더 작은 값을 갖는)으로 파란색 하이퍼볼라를 보여준다.

블랙홀 기하학의 Kruskal-Szekeres 좌표는 새로운 시간 좌표 T와 같은 좌표 X )로 tr을 대체함으로써 Schwarzzzchild 좌표 r,\ 에서 정의된다

이벤트 수평선 바깥쪽의 r>2 G M {\displaystyle에 대해 다음과 같이 하십시오.

내부 영역 < < G >의 경우 여기 중력 상수에 슈바르츠실트 질량 매개변수를 곱한 것이며, 이 글은 = 1인 단위를 사용하고 있다.

외부 영역의 조합에서, 이벤트 수평선과 내부 영역의 슈바르츠실트 반경 r 슈바르츠실트 r = M 이 eq의 (유니크) 솔루션으로서 Kruskal-Szkeres 좌표에 대해 결정되는 것을 따른다.uation:

Lambert W 기능을 사용하여 솔루션은 다음과 같이 기록된다.

= 2 + 0( - ) )(1

게다가 블랙홀 T - < 0, > 0 의 외부 영역에서도 즉시 알 수 있다.

반면 블랙홀 < - 2< ,> 0의 내부 영역에서는

이 새로운 좌표에서 슈바르츠실트 블랙홀 다지관의 측정 기준은 다음과 같다.

(+++) 메트릭 시그니처 규약을 사용하고 메트릭의 각도 구성 요소(2-sphere의 리만어 메트릭)가 다음과 같은 경우 작성된다.

= d 2+ pha

Expressing the metric in this form shows clearly that radial null geodesics i.e. with constant are parallel to one of the lines . In the Schwarzschild coordinates, the Schwarzschild radius is the radial coordinate of the event horizon . In the Kruskal-Szekeres coordinates the event horizon is given by . Note that the metric is perfectly well defined and non-singular at the event horizon. 곡률 특이치는 - = 1 T에 위치한다

최대 확장된 슈바르츠실트 솔루션

The transformation between Schwarzschild coordinates and Kruskal–Szekeres coordinates defined for r > 2GM and can be extended, as an analytic function, at least to the first singularity which occurs at . 따라서 위의 지표는 이 지역 전체에 걸쳐 아인슈타인의 방정식의 해법이다. 허용되는 값은

이 확장은 솔루션이 어디에서나 분석적이라고 가정한다는 점에 유의하십시오.

최대 확장 용액에는 실제로 r = 0에 두 개의 특이치가 있는데, 하나는 양의 T에, 다른 하나는 음의 T에 있다. 음의 T 특이점은 시간이 경과한 블랙홀로, 때로는 "흰 구멍"이라고도 불린다. 입자들은 하얀 구멍에서 탈출할 수 있지만 결코 돌아올 수 없다.

최대 확장된 슈바르츠실트 기하학은 각각 적절한 일련의 슈바르츠실트 좌표로 덮을 수 있는 4개의 영역으로 나눌 수 있다. 반면에 Kruskal-Szekeres 좌표는 전체 Spacetime 다지관을 덮고 있다. 4개 지역은 사건의 지평에 의해 분리되어 있다.

I 외부 지역
II 내부 블랙홀
III 평행 외부 지역
IV 실내 화이트홀

슈바르츠실트 좌표와 크러스칼-스체크레스 좌표 사이에 위에서 주어진 변환은 지역 I과 II에만 적용된다(정사각형 뿌리를 양으로 삼는 경우). 다른 두 지역에서도 유사한 변환을 기록할 수 있다.

슈바르츠실트 시간 좌표 t는 다음과 같이 주어진다.

각 지역에서 이벤트의 지평선에 infitinity가 있는 - 에서 + 까지 실행된다.

't Hoft호킹 방사선의 양자 공정이 단수적이라는 요건에 근거하여 영역 I과 III, II와 IV는 평행 우주가 아닌 뿌리를 위해 가지를 선택하는 데서 오는 수학적인 기질에 불과하며[1] 동등성 관계를 제안했다.

이(가) 2-sphere의 의 대척점인 경우 부과해야 한다. 영역 III와 IV를 구면 좌표를 가지지만 제곱근에 r {\ r을(를) 계산하는 부정적인 선택으로 생각한다면 우리는 단지 그에 상응하는 구상의 반대점들을 사용하여 우주의 동일한 점을 나타낼 뿐이다. 예를 들어,

This means that . Since this is a free action by the group preserving the metric, this gives a well-defined Lorentzian manifold (everywhere exc특이점을 찌르다 t )= - tII)}=-\infty}내부 지역 II의 외부 지역의 좌표 선분 T=− X, T>;0, X<>제한 t(나는)과 0{\displaystyle T=-X,\ T>0,X<0})− ∞{\displaystyle t^{(나는)}=-\infty}나는 T에 해당하는)− XT를<>;0, X>0{\displaystyle T=-X,\ T<, 0,X&에 해당한다.gt;0}. The identification does mean that whereas each pair corresponds to a sphere, the point (corresponding to the event horizon in the Schwarzschild picture) corresponds not to a sphere but to the projective plane instead, and the topology of the underlying manifold is no longer S 다지관은 더 이상 단순하게 연결되지 않는데, 이는 시공간에서 스스로 되돌아오는 루프(초음파 부분 삽입)가 반대편 Kruskal-Szekeres 좌표에서 null 루프로 축소될 수 없기 때문이다.

Kruskal-Szekeres 다이어그램의 정성적 특징

Kruskal-Szekeres 좌표에는 슈바르츠실트 스페이스타임에 대한 직관력을 구축하는 데 도움이 되는 여러 유용한 특징이 있다. 그 중 가장 중요한 것은 모든 방사형 빛의 지오디컬(레이디얼 방향으로 움직이는 광선의 세계선)이 크러스칼-세케레스 도표에서 그릴 때 45도 각도의 직선처럼 보인다는 사실이다(이것은 위에 주어진 미터법 방정식에서 파생될 수 있다). 이는 X=± D 적절한 시간 = 을(를) 확인하십시오.[2] 모든 시점의 빛보다 느린 물체의 모든 세계 선은 45도보다 수직 시간 축(T 좌표)에 더 가까운 기울기를 가질 것이다. 따라서 크러스칼-세케레스 도표에 그려진 라이트콘특수상대성이성의 밍코스키 도표에서 라이트콘과 똑같이 보일 것이다.

블랙홀과 화이트홀 내부 지역을 경계로 하는 이벤트 지평선도 45도의 직선으로, 반경 방향(블랙홀의 경우 바깥쪽으로 향하며, 화이트홀의 경우 안쪽으로 향함)으로 수평선에서 방출되는 광선이 영원히 수평선에 남아 있다는 사실을 반영한다. 따라서 두 개의 블랙홀 지평선은 도표 중심(T=X=0)에 있는 사건의 미래 라이트콘 경계와 일치하고, 두 개의 화이트홀 지평선은 이 같은 사건의 과거 라이트콘 경계와 일치한다. 블랙홀 내부 지역 내부의 어떤 사건도 이 지역에 남아 있는 미래 라이트콘(행사의 미래 라이트콘 내의 어떤 월드 라인이 결국 두 개의 블랙홀 지평선에 의해 경계된 하이퍼볼라로 나타나는 블랙홀 특이점에 부딪히게 된다)을 가질 것이며, 화이트홀 내부 지역 내부의 어떤 사건도 발생할 것이다. 이 지역에 남아 있는 과거 경원추(이 과거 경원추 안의 어떤 세계선도 두 개의 백홀 지평선으로 경계를 이룬 하이퍼볼라, 백홀 특이성에서 비롯되었을 것이 틀림없다.) 수평선이 바깥으로 팽창하는 원뿔처럼 보이지만, r에 의해 주어진 이 표면의 면적은 상수인 2 M}}에 불과하다. 즉, 주의를 기울이지 않으면 이러한 좌표는 기만적일 수 있다.

크러스칼-세케레스 다이어그램에 표시된 경우 일정한 슈바르츠실트 좌표의 곡선이 어떤 모양인지 고려하는 것이 유익할 수 있다. 슈바르츠실트 좌표에서 일정한 r-좌표 곡선은 항상 45도의 사건 지평선에 의해 경계된 하이퍼볼라처럼 보이는 반면, 슈바르츠실트 좌표에서 일정한 t-좌표 선은 도표의 중심을 통과하는 다양한 각도에서 항상 직선처럼 보인다. 외부 영역과 국경을 접하는 블랙홀 이벤트 지평선은 슈바르츠실트 t-코디네이션+ 와 일치하고, 이 영역과 접하는 화이트홀 이벤트 지평선은 슈바르츠실트체이드의 t코디네이션- -와 일치하며 슈바르츠실트에서의 이벤트 지평선이라는 사실을 반영한다. 입력 입자는 수평선에 도달하는 데 무한 좌표 시간이 소요되며(즉, 슈바르츠실트 t-조율이 무한에 가까워짐에 따라 수평선으로부터 입자의 거리가 0에 가까워짐), 수평선으로부터 멀리 올라가는 입자는 과거에 무한 좌표 시간을 넘었을 것이다. 이것은 슈바르츠실트 좌표가 어떻게 정의되는지를 보여주는 공예품일 뿐이다; 자유 낙하 입자는 외부 관찰자와 사건 지평선 사이를 통과하는 데 유한한 적절한 시간(자체 클럭으로 측정한 시간)만 소요될 것이며, 만약 입자의 세계선이 크러스칼-세케레스 도표에서 그려진다면 이것 또한 유한 좌표 시간만 소요될 것이다. 크러스칼-스체크레스 좌표로.

슈바르츠실트 좌표계는 크러스칼-세케레스 도표의 영역 I과 II와 같은 단일 외부 영역과 단일 내부 영역만 다룰 수 있다. 반면에 Kruskal-Szekeres 좌표계는 슈바르츠실트 좌표가 적용되는 영역을 포함하는 "최대 확장" 여유 시간을 포함할 수 있다. 여기서 "최대확장"은 스페이스타임이 어떤 "에지"를 가지지 않아야 한다는 생각을 말하며, 어떤 지질학적 경로그것이 중력 특이점에 도달하지 않는 한 임의로 어느 방향으로든 확장될 수 있다. 엄밀히 따지면, 이것은 최대한 확장된 블랙 홀은"geodesically 완전한"(어떤 geodesic 의미의 'affine parameter',[3]의timelike geodesic의 경우에 적당한 때 임의의 큰 긍정적이든 부정적 가치까지 확대할 수 있), 또는 어떤 geodesics이 불완전하기 때문에 바, 그것은 될 수가 없다는 것을 의미한다.d 특이하게[4][5] 이 요건을 충족하기 위해서는 입자가 외부(지역 I)로부터 사건 지평선을 통해 떨어질 때 들어가는 블랙홀 내부 영역(지역 II) 외에 외부로 유입되는 입자의 궤적을 확장할 수 있는 별도의 화이트홀 내부 영역(지역 IV)이 있어야 한다는 사실이 밝혀졌다.에버는 두 내부 지역에서 가능한 입자 궤적을 확장할 수 있는 별도의 외부 영역(지역 III)과 함께 사건의 지평선으로부터 솟아오르는 것을 본다. 외부 슈바르츠실트 솔루션을 최대 확장된 스페이스타임으로 확장하는 방법은 실제로 여러 가지가 있지만, 크러스칼-스체크레스 확장은 최대 확장된 모든 지오데믹이 완료되거나 곡률 스칼라가 그 사이를 따라 분산되는 최대, 분석적이고 단순한 연결 진공 솔루션이라는 점에서 독특하다. 한정된 [6]시간에

라이트콘 변종

문헌에서 Kruskal-Szekeres 좌표는 때때로 라이트콘 변종에도 나타난다.

미터법이 주어지는 곳

r은 방정식에[7] 의해 암묵적으로 정의된다.

이 라이트콘 좌표들은 나가는 null 지오디컬이 = U에 의해 주어지는 계속적으로 null 지오디컬은 V= V에 의해 주어지는 유용한 특징을 가지고 있다 나아가, (미래 및 과거의) 사건 지평선은 V= 0디스플레이 및 곡률 특성은 = 방정식에 의해

라이트콘 좌표는 에드딩턴-핀켈슈타인 좌표에서 밀접하게 도출된다.[8]

참고 항목

메모들

  1. ^ 't Hooft, Gerard (2019). "The Quantum Black Hole as a Theoretical Lab, a pedagogical treatment of a new approach". arXiv:1902.10469 [gr-qc].
  2. ^ Misner, Charles W.; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (1973). Gravitation. W. H. Freeman. p. 835. ISBN 978-0-7167-0344-0.
  3. ^ Hawking, Stephen W.; George F. R. Ellis (1975). The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge University Press. p. 257. ISBN 978-0-521-09906-6.
  4. ^ Hobson, Michael Paul; George Efstathiou; Anthony N. Lasenby (2006). General Relativity: An Introduction for Physicists. Cambridge University Press. p. 270. ISBN 978-0-521-82951-9.
  5. ^ Ellis, George; Antonio Lanza; John Miller (1994). The Renaissance of General Relativity and Cosmology: A Survey to Celebrate the 65th Birthday of Dennis Sciama. Cambridge University Press. pp. 26–27. ISBN 978-0-521-43377-8.
  6. ^ Ashtekar, Abhay (2006). One Hundred Years of Relativity. World Scientific Publishing Company. p. 97. ISBN 978-981-256-394-1.
  7. ^ Mukhanov, Viatcheslav; Sergei Winitzki (2007). Introduction to Quantum Effects in Gravity. Cambridge University Press. pp. 111–112. ISBN 978-0-521-86834-1.
  8. ^ MWT, 중력.

참조

  • Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitation. W H Freeman and Company. ISBN 0-7167-0344-0.CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)