볼록 다각형

Convex polygon
볼록 폴리곤의 예: 정오각형입니다.

기하학에서 볼록 폴리곤은 볼록 집합의 경계인 폴리곤입니다.즉, 폴리곤의 두 점 사이의 선분이 폴리곤의 내부와 경계의 결합에 포함되어 있습니다.특히, 이것은 단순한 폴리곤(자기 교차가 [1]아님)입니다.마찬가지로 모서리를 포함하지 않는 모든 선이 최대 두 점에서 폴리곤과 교차하는 경우 폴리곤은 볼록합니다.

엄밀하게 볼록한 다각형은 어떤 선에도 모서리가 두 개 들어 있지 않을 정도로 볼록한 다각형입니다.볼록 다각형에서는 모든 내부 각도가 180도 이하인 반면, 엄밀하게 볼록 다각형에서는 모든 내부 각도가 180도 미만이다.

특성.

단순 폴리곤의 다음 특성은 모두 볼록성과 동일합니다.

  • 모든 내부 각도는 180도 미만입니다.
  • 폴리곤 내부 또는 경계에 있는 두 점 사이의 각 선분의 모든 점은 경계 내부 또는 경계에 유지됩니다.
  • 폴리곤은 각 모서리에 의해 정의된 닫힌 반평면에 완전히 포함됩니다.
  • 각 모서리에 대해 내부 점은 모두 모서리가 정의하는 선의 동일한 쪽에 있습니다.
  • 각 정점의 각도는 모서리와 내부에 다른 모든 정점을 포함합니다.
  • 폴리곤은 모서리의 볼록한 선체입니다.

볼록 폴리곤의 추가 속성은 다음과 같습니다.

  • 두 볼록 다각형의 교점은 볼록 다각형이다.
  • 볼록 폴리곤은 팬 삼각측량을 통해 선형 시간 내에 삼각측량할 수 있으며, 한 정점에서 다른 모든 정점에 대각선을 더하는 것으로 구성된다.
  • 헬리의 정리:적어도 3개의 볼록 폴리곤의 모든 컬렉션에 대해: 각 폴리곤의 교차가 비어 있지 않으면 전체 집합은 비어 있지 않은 교차를 가집니다.
  • 크레인-밀만 정리:볼록한 다각형은 꼭지점의 볼록한 선체이다.따라서 정점 집합에 의해 완전히 정의되며, 전체 폴리곤 모양을 복구하는 데 필요한 것은 폴리곤의 모서리뿐입니다.
  • 하이퍼플레인 분리 정리:공통점이 없는 두 개의 볼록 폴리곤에는 구분선이 있습니다.폴리곤이 닫혀 있고 그 중 적어도1개가 콤팩트한 경우 (이들 사이에 간격이 있는) 평행 구분선이 2개 있습니다.
  • 내접 삼각형 특성: 볼록 다각형에 포함된 모든 삼각형 중 정점이 모두 다각형 [2]꼭지점인 최대 면적을 가진 삼각형이 있습니다.
  • 삼각형 특성 내접: 영역 A가 있는 모든 볼록 폴리곤은 최대 2A와 동일한 영역의 삼각형에 내접할 수 있습니다.평행사변형의 [3]경우 등식은 (배타적으로) 유지됩니다.
  • 내접/내접 직사각형 특성:평면 내의 모든 볼록한 물체 C에 대해 r의 균질 복사 R이 C에 대해 외접되고 양의 균질성 비율이 최대 0.5 × 면적2 ×이 되도록 C에 직사각형 R을 삽입할 수 있습니다
  • 볼록 다각형의 평균 폭은 둘레를 파이로 나눈 값과 같습니다.그래서 그 폭은 [5]폴리곤과 같은 둘레를 가진 원의 지름입니다.

원에 새겨진 모든 폴리곤(폴리곤의 모든 정점이 원에 닿도록 함)은 자가 교차하지 않더라도 볼록합니다.그러나 모든 볼록 폴리곤을 원 안에 새길 수 있는 것은 아닙니다.

엄밀한 볼록함

단순 폴리곤의 다음 특성은 모두 엄격한 볼록성과 동일합니다.

  • 모든 내부 각도는 180도 미만입니다.
  • 내부의 두 점 간 또는 경계의 두 점 간이지만 동일한 모서리에 있지 않은 모든 선 세그먼트는 폴리곤 내부에 있습니다(가장자리에 있는 끝점은 제외).
  • 각 모서리에 대해 모서리에 포함되지 않은 내부 점과 경계 점이 모서리가 정의하는 선의 같은 쪽에 있습니다.
  • 각 정점의 각도에는 내부에 있는 다른 모든 정점이 포함됩니다(지정된 정점과 인접한 두 정점은 제외).

모든 비퇴보 삼각형은 엄밀하게 볼록하다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ 인터랙티브 애니메이션을 사용한 볼록 폴리곤의 정의 및 특성.
  2. ^ Christos. "Is the area of intersection of convex polygons always convex?". Math Stack Exchange.
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Triangle Circumscribing". Wolfram Math World.
  4. ^ Lassak, M. (1993). "Approximation of convex bodies by rectangles". Geometriae Dedicata. 47: 111–117. doi:10.1007/BF01263495. S2CID 119508642.
  5. ^ Belk, Jim. "What's the average width of a convex polygon?". Math Stack Exchange.

외부 링크

Wikimedia Commons에는 볼록 폴리곤과 관련된 미디어가 있습니다.