헬리의 정리

헬리의 정리는 볼록 집합의 교차점에 있는 이산 기하학의 기본적인 결과물이다.1913년 에두아르 헬리에 의해 발견되었으나,^[1] 1923년까지는 그에 의해 출판되지 않았으며, 그 무렵에는 라돈(1921년)과 쾨니그(1922년)의 대체 증명이 이미 나타나 있었다.헬리의 정리는 헬리 가문의 개념을 낳았다.

성명서

X₁, ..., X는_n n conve^d d + 1과 함께 R의 볼록 부분 집합의 유한 집합이다. 이들 집합의 모든 d + 1의 교차점이 비어 있지 않으면 전체 집합은 비어 있지 않은 교차점이 있다. 즉,

${\displaystyle \bigcap _{j=1}^{n}X_{j}\neq \varnothing.}$

무한 수집의 경우 압축성을 가정해야 한다.

{X_α}을(를) R의^d 콤팩트 볼록 부분 집합으로 하여, 최대 d + 1의 카디널리티 하위 집합마다 비어 있지 않은 교차점이 있도록 한다.그러면 전체 수집에는 비어 있지 않은 교차점이 있다.

증명

우리는 라돈(1921년)의 증명에서와 같이 라돈의 정리를 이용하여 유한본을 증명한다.이후 무한 버전은 컴팩트함의 유한 교차 특성화에 따른다: 모든 유한 하위 집합이 비어 있지 않은 교차점을 가질 경우에만 컴팩트 공간의 폐쇄된 하위 집합의 집합이 비어 있지 않은 교차점을 가지고 있다(단일 세트를 고치면 고정된 하위 집합이 있는 다른 모든 교차점이 고정된 하위 집합의 폐쇄된 하위 집합은 모두 고정된 하위 집합이다.콤팩트한 공간).

그 증거는 유도에 의한 것이다.

기준 사례:Let n = d + 2. 우리의 가정으로, 모든 j = 1, ...에 대해, n은 가능한_j X를 제외하고 모든_i X의 공통 교차점에 있는 점이_j 있다.이제 라돈의 정리를 A = {x₁, ..., x_n} 세트에 적용하여 A의₁ 볼록한 선체가₂ A의 볼록한 선체를 교차하도록 A의 분해 하위 세트₁ A, A를₂ 제공한다.p가 이 두 볼록한 선체의 교차점에 있는 점이라고 가정하자.라고 우리는 주장한다.

$\displaystyle p\in \bigcap _{j=1}^{n}X_{j}.}$

실제로 어떤 j ∈ {1, ..., n}을(를) 고려하십시오.우리는 p ∈ X_j. X에_j 없을 수 있는 A의 유일한 요소는_j x. 만약 x ∈ A, 그렇다면_j x a₁ A, 따라서_j X a₂ A라는 것을_j 증명할 것이다₂.X는_j 볼록하므로, 그₂ 다음에는 A의 볼록한 선체를 포함하고, 따라서_j p ∈ X도 포함한다_j. 마찬가지로₁ x ∉ A, 그렇다면 X ∉ A_1j, 그리고 동일한_j 추리에 의해. p도 모든 X에_j 있으므로 교차점에 있어야 한다.

위에서 우리는 점 x₁, ..., x가_n 모두 구별된다고 가정해 왔다.그렇지 않은 경우, 일부 i ≠ k에 대해_i x = x라고_k 하고, 그러면 x는_i 모든 집합 X에_j 있고, 다시 우리는 교차점이 비어 있지 않다고 결론짓는다.이로써 사례 n = d + 2의 증거가 완성된다.

귀납적 단계: n > d + 2와 n-1에 대한 진술이 참이라고 가정한다.위의 인수는 d + 2 세트의 하위 집합이 비어 있지 않은 교차점을 갖는다는 것을 보여준다.그런 다음 두 세트_n−1 X와 X를_n 단일 세트 X_n−1 ∩ X로_n 교체하는 컬렉션을 고려할 수 있다.이 새로운 컬렉션에서 d + 1 세트의 모든 하위 컬렉션에는 비어 있지 않은 교차점이 있을 것이다.따라서 귀납 가설이 적용되며, 이 새로운 수집에는 비빈 교차점이 있음을 보여준다.이것은 원본 수집에 대해 같은 것을 암시하며, 증거를 완성한다.

화려한 헬리 정리

화려한 헬리 정리는 헬리의 정리의 연장선으로, 하나의 집합 대신 R의^d 볼록한 하위 집합의 d+1 집합이 있다.

모든 집합에서 한 집합씩 횡단적인 집합의 모든 선택에 대해 선택한 집합에 공통점이 있다면, 수집 중 하나 이상에 대해 집합의 모든 집합의 집합에 공통점이 있다.

비유적으로 d+1 컬렉션은 d+1 색상이 다르다고 볼 수 있다.그러면 정리가 말하길, 만약 한 세트당 한 세트씩의 모든 선택이 비어 있지 않은 교차점을 가지고 있다면, 그 색의 모든 집합이 비어 있지 않은 교차점을 가질 수 있는 색상이 존재한다고 한다.^[2]

분수 헬리 정리

매 a > 0에 대해, X₁, ..., X가_n R의^d n 볼록 부분 집합이고, 최소한 (d+1)-tup의 a-fraction이 공통점을 가지고 있다면, 최소한 b 세트의 일부에 공통점이 있다.^[2]

참고 항목

• 카라테오도리의 정리
• 키르흐베르거의 정리
• 샤플리-폴크만 보조정리
• 크레인-밀만 정리
• 초케 이론
• 라돈의 정리, 그리고 그 일반화, 트베르베르크의 정리

메모들

참조

• Bollobás, B. (2006), "Problem 29, Intersecting Convex Sets: Helly's Theorem", The Art of Mathematics: Coffee Time in Memphis, Cambridge University Press, pp. 90–91, ISBN 0-521-69395-0.
• Danzer, L.; Grünbaum, B.; Klee, V. (1963), "Helly's theorem and its relatives", Convexity, Proc. Symp. Pure Math., vol. 7, American Mathematical Society, pp. 101–180.
• Eckhoff, J. (1993), "Helly, Radon, and Carathéodory type theorems", Handbook of Convex Geometry, vol. A, B, Amsterdam: North-Holland, pp. 389–448.
• 하인리히 구겐하이머(1977) 적용 가능한 기하학, 137페이지, 크리거, 헌팅턴 ISBN 0-88275-368-1.
• Helly, E. (1923), "Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 32: 175–176.
• König, D. (1922), "Über konvexe Körper", Mathematische Zeitschrift, 14 (1): 208–220, doi:10.1007/BF01215899.
• Radon, J. (1921), "Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten", Mathematische Annalen, 83 (1–2): 113–115, doi:10.1007/BF01464231.