매듭 다항식

매듭 이론의 수학적 분야에서 매듭 다항식은 다항식의 형태로 주어진 매듭의 성질의 일부를 계수로 부호화하는 매듭 불변성이다.

역사

첫 번째 매듭 다항식인 알렉산더 다항식은 1923년 제임스 와델 알렉산더 2세에 의해 소개되었다.다른 매듭 다항식들은 거의 60년이 지나서야 발견되었다.

1960년대에 존 콘웨이는 보통 알렉산더-콘웨이 다항식이라고 불리는 알렉산더 다항식의 버전에 대해 비뚤어진 관계를 생각해냈다.이러한 왜곡된 관계의 중요성은 본 존스가 존스의 다항식을 발견한 1980년대 초에 이르러서야 실현되었다.이로 인해 소위 HOMFLI 다항식 같은 매듭 다항식이 더 많이 발견되었다.

존스의 발견 직후, 루이스 카우프만은 존스의 다항식이 프레임 노트의 불변인 브래킷 다항식(state-sum model)을 포함하는 파티션 함수(state-sum model)를 통해 계산될 수 있다는 것을 알아차렸다.이것은 매듭 이론과 통계 역학을 연결하는 연구의 길을 열었다.

1980년대 후반, 두 개의 관련 돌파구가 만들어졌다.에드워드 위튼은 존스의 다항식, 그리고 유사한 존스형 불변제들이 체르-시몬스 이론에서 해석을 가지고 있음을 증명했다.빅토르 바실리예프와 미하일 구사로프는 매듭의 유한형 불변제 이론을 시작했다.이전에 명명된 다항식의 계수는 유한한 유형(아마도 적절한 "변수의 변경" 이후)인 것으로 알려져 있다.

최근 몇 년 동안 알렉산더 다항식(Alexander polyomial)은 플로어 호몰로지(Floer homology)와 관련이 있는 것으로 나타났다.피터 오즈바스와 졸탄 스자보의 매듭 플로어 호몰로학의 등급이 매겨진 오일러 특성은 알렉산더 다항식이다.

예

알렉산더-브릭스 표기법	알렉산더 다항식 $[\displaystyle \Delta (t)}$	콘웨이 다항식 $\displaystyle \nabla (z)}$	존스 다항식 ${\displaystyle V(q)}$	HOMFLI 다항식 $H(a,z)}$
${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$취소 안 함)	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$Trefoil 매듭)	${\displaystyle t-1+t^{-1}$	${\displaystyle z^{2}+1}$	${\displaystyle q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}}$	${\displaystyle -a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}}}$
${\displaystyle 4_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$그림 8 매듭)	${\displaystyle -t+3-t^{-1}$	${\displaystyle -z^{2}+1}$	${\displaystyle q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2}}$	${\displaystyle a^{2}+a^{-2}-z^{2}-1}$
${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$신크포일 매듭)	${\displaystyle t^{2}-t+1-t^{-1}+t^{-2}}$	${\displaystyle z^{4}+3z^{2}+1}$	${\displaystyle q^{-2}+q^{-4}-q^{-5}+q^{-6}-q^{-7}}$	${\displaystyle -a^{6}z^{2}-2a^{6}+a^{4}}z^{4}+4a^{4}z^{2}+3a^{4}}}$
${\displaystyle 3_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}\mathrm{}}$# ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}($$그랜니 매듭)	${\displaystyle \left(t-1+t^{-1}\오른쪽)^{2}}$	${\displaystyle \left(z^{2}+1\오른쪽)^{2}}$	${\displaystyle \left(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}\오른쪽)^{2}}$	${\displaystyle \left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\오른쪽)^{2}}$
${\displaystyle 3_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}\mathrm{}}$# ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$제곱 매듭)	${\displaystyle \left(t-1+t^{-1}\오른쪽)^{2}}$	${\displaystyle \left(z^{2}+1\오른쪽)^{2}}$	${\displaystyle \왼쪽(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}\오른쪽)\왼쪽(q+q^{3}-q^{4}\오른쪽)}$	${\displaystyle \left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right)\property }$ ${\displaystyle \left(-a^{-4}+a^{-2}z^{-2}+2a^{-2}\오른쪽)}$

알렉산더-브릭스 표기법은 단순히 노트의 교차 번호로 매듭을 정리하는 표기법이다.황금 매듭의 알렉산더-브릭스 표기 순서는 보통 수정된다.^{[clarification needed]}(Prime nots 목록 참조)

알렉산더 다항식(Alexander polyomials)과 콘웨이 다항식(Conway polyomials)은 왼쪽-트레포일 매듭과 오른쪽-트레포일 매듭의 차이를 인식할 수 없다.

• 

  왼쪽-트레폼 매듭.

• 

  오른쪽 테두리 매듭.

그래서 우리는 R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 매듭의 추가는 매듭 다항식의 매듭의 산물이기 때문에 할머니 매듭과 네모 매듭과 같은 상황을 가지고 있다.

참고 항목

특정 매듭 다항식

• 알렉산더 다항식
• 브래킷 다항식
• HOMFLI 다항식
• 존스 다항식
• 카우프만 다항식

관련 항목

• 그래프 다항식(Graph polynomial)은
• Jones 다항식과 관련된 그래프 다항식의 특별한 유형인 Tutte 다항식
• 연습된 예와 함께 알렉산더 다항식의 공식 정의에 대한 스키인 관계.

추가 읽기

• Adams, Colin. The Knot Book. American Mathematical Society. ISBN 0-8050-7380-9.
• Lickorish, W. B. R. (1997). An Introduction to Knot Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 175. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98254-X.