링크 그룹

수학 영역인 매듭 이론에서, 연결의 연결 그룹은 매듭의 매듭 그룹을 비유한 것이다.그것들은 존 밀너에 의해 그의 박사 논문 (Milnor 1954년)에서 설명되었다.특히 링크 그룹은 일반적으로 링크 보완의 기본 그룹이 아니다.

정의

n-구성 요소 링크의 링크 그룹은 기본적으로 이 링크를 링크 호모토피까지 확장하는 (n + 1)-구성 요소 링크의 집합이다. 즉, 확장된 링크의 각 구성요소는 규칙적인 호모토피(몰입을 통한 호모토피)를 통해 이동하거나 매듭을 짓거나 스스로 매듭을 풀 수 있지만, 다른 구성요소를 통해 이동할 수는 없다.이것은 동위원소보다 약한 조건이다. 예를 들어 Whitehead 링크는 0번 링크에 연결되며, 따라서 링크 동위원소가 링크 해제와 동일하지만 링크 해제에는 동위원소가 아니다.

링크 그룹은 링크의 구성 요소들이 서로는 아니지만 스스로 움직일 수 있도록 허용되기 때문에 링크 보완의 기본 그룹이 아니며, 따라서 링크 보완의 기본 그룹의 지수를 나타내는 그룹이다. 하나는 기본 그룹의 요소로부터 시작할 수 있고, 그 다음엔 매듭짓거나 매듭짓지 않음으로써 일부 of 이 요소들은 서로 동등해질 수 있다.

예

n-구성요소 Unlink의 링크 그룹은 단일 링크의 링크 그룹이 Unknot의 매듭 그룹인 unknot의 정수로, 연결되지 않은 유니언의 링크 그룹은 구성 요소 링크 그룹의 자유로운 제품이기 때문에 F ${\displaystyle n_{}}$ ${\$n} 발전기의 프리 그룹이다$.$

홉프 링크의 링크 그룹, 즉 두 개의 원(한 번 연결된 원)이 두 ${\displaystyle {}^{}}$의 생성기에 있는 자유 아벨리안 그룹이며, $Z{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \mathbf {Z}$^{$2}.}$ 두 개의 생성기에 있는 자유 아벨리안 그룹은 자유형 아벨라벨리안 그룹이며, 이 중 두 개의 생성기에 대한 자유 아벨리안 그룹이라는 점에 유의하십시오$$.t. 이 경우 링크 그룹은 링크 보어의 기본 그룹이다. 링크를 보완하면 변형이 토러스 위로 수축되기 때문이다.

Whitehead 링크는 링크 해제와 동위원소는 아니지만 동위원소처럼 연결되지 않은 링크에 연결되므로 두 개의 발전기에 있는 자유 그룹을 연결한다.

밀노르 불변제

Milnor는 "Milnor${\displaystyle \stackrel{}{\text{'}}}$s μbar invariants" 또는 단순히 "Milnor"로 불리게 된 문자$$ $\mu s{\displaystyle \stackrel{}{}}$" , ${\displaystyle {\bar{\mu }}}$를 사용하여 (Milnor 1954)에서 링크(연결 그룹의 기능)의 불변성을 정의했다.각 k에 대해 k-ary 함수 $\mu {\displaystyle \stackrel{}{}\text{'},}${\$displaystyle${\$bar{\mu}}$가 있으며$$, 이 함수는 사용자가 선택하는 링크의 k에 따라 불변수를 정의하며, 순서에 따른다.

밀노르의 불변제는 링크보충제(링크의 보완제)에 있는 매시 제품과 관련될 수 있다. 이는 (스털링스 1965)에서 제안되었고 (투라예프 1976년)과 (1980년)에서 정밀하게 만들어졌다.

Massey 제품과 마찬가지로 길이 k + 1의 Milnor invariant는 길이가 k vanish 이하인 모든 Milnor invariants가 정의된다.첫 번째(2배) 밀노르 불변성은 단순히 연결 번호(Milnor 불변성은 교차로에 이중인 컵 제품인 것처럼), 3배 밀노르 불변성은 3쌍의 비연계 원이 보로미아 고리인지 여부를 측정하고, 만약 그렇다면 몇 번(즉, 보로미아 반지는 밀노르 3쌍을 가지고 있다)를 측정한다.d 순서에 따라 1 또는 –1의 불변성이지만, 다른 3차원 링크는 1보다 클 수 있는 것처럼 2 이상의 불변성을 가질 수 있다.

다른 정의는 다음과 같다:링크 $L{\displaystyle }$= L ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ L ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ l ${\displaystyle \mathrm{k}({Li}_{}}$ ${\displaystyle L_{}}$j${\displaystyle }$) = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle${\$rm {lk}}(L_{i})},$L_{j})=0}에 나는, j=1,2,3{\displaystyle i,j=1,2,3}과 나는 <, j{\displaystyle i<, j}. 각각의 독특한 링크 구성 요소를 위해,, F1, F2, F3{\displaystyle F_{1},F_{2},F_{3} 말한다}, F나는 ∩ 나는 j)∅{\displaystyle F_{나는}\cap L_{j}=\emptyset}을 위해 모든 것 나는 ≠ 그런 어떤 사이페 르트 표면을 고른다. j{)$디스플레이$ 스타일 $i\neq j$$그런{\displaystyle {}_{}}$ 다음 Milnor 3-배 불변량은 F ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {F\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$∩ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 기호가 있는 카운팅에서$$ 교차점 수를 뺀 값과 같다. (Cochran 1990).

밀노르 불변제는 하순 불변성이 사라지지 않는 경우에도 정의할 수 있지만, 그 다음에는 하순 불변성의 값에 따라 달라지는 불변성이 있다.이 불변성은 아래에서 논의한 바와 같이 닫힌 문자열 링크로서 링크를 표현하는 불변성으로 기하학적으로 이해할 수 있다(하위 주문 Massey 제품이 사라지지 않으면 대수적으로 Massey 제품의 불변으로 볼 수도 있다.

밀노르 불변성은 스트링 링크의 불변성으로 간주될 수 있으며, 이 경우 일반적으로 정의되며, 링크의 Milnor 불변성의 불변성은 정확히 주어진 링크를 문자열 링크에 절단할 수 있는 여러 가지 방법 때문이다. 이는 (Habeger & Lin 1990)과 같이 링크 호모토피에 대한 링크의 분류가 가능하다.이러한 관점에서 보면, 밀노르 불변량은 유한형 불변량이며, 사실 그것들과 그들의 제품들은 문자열 링크의 유일한 합리적인 유한형 불변량이다. (Habeger & Masbaum 2000).

m-구성 요소 링크에$$ 대한 $길이{\displaystyle \mathrm{k}}$ + 1 ${\displaystyle$k+1$}$의 선형 독립 Milnor invariant 수는 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle N_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{N}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$$}-$$N_{k+$1}, ${\displaystyle {여기}_{}}$서$$N k {\$displaysty N_${$k$$}}}}}}$은 m 생성기의 자유 리 대수에서 k 길이의 기본 쉼터 수입니다$.$

${\displaystyle N_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{k}{}}$ ${\displaystyle \sum \underset{}{}}$ d ${\displaystyle \underset{}{m}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$( d${\displaystyle }$) (${\displaystyle {}^{}}$ k${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle d^{}}$) ${\$

여기서 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$은(는) 뫼비우스 함수(예: (Orr 1989) 참조).이 숫자는 $m{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$/ ${\displaystyle k{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 순서로 증가한다$.$

적용들

링크 그룹은 브루니안 링크를 분류하는 데 사용될 수 있다.

참고 항목

• 매듭군
• 일반 호모토피

참조

• Cochran, Tim D. (1990), "Derivatives of links: Milnor's concordance invariants and Massey's Products", Memoirs of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 427
• Habegger, Nathan; Lin, Xiao Song (1990), "The classification of links up to homotopy", Journal of the American Mathematical Society, 2, American Mathematical Society, 3 (2): 389–419, doi:10.2307/1990959, JSTOR 1990959
• Habegger, Nathan; Masbaum, Gregor (2000), "The Kontsevich integral and Milnor's invariants", Topology, 39 (6): 1253–1289, doi:10.1016/S0040-9383(99)00041-5, MR 1783857, preprint. {{citation}}:외부 링크 위치 postscript=(도움말)CS1 maint: 포스트스크립트(링크)
• Milnor, John (March 1954), "Link groups", Annals of Mathematics, Annals of Mathematics, 59 (2): 177–195, doi:10.2307/1969685, JSTOR 1969685, MR 0071020
• Orr, Kent E. (1989), "Homotopy invariants of links", Inventiones Mathematicae, 95 (2): 379–394, doi:10.1007/BF01393902, MR 0974908
• Porter, Richard D. (1980), "Milnor's μ-invariants and Massey products", Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 257 (1): 39–71, doi:10.2307/1998124, JSTOR 1998124, MR 0549154
• Stallings, John R. (1965), "Homology and central series of groups", Journal of Algebra, 2 (2): 170–181, doi:10.1016/0021-8693(65)90017-7, MR 0175956
• Turaev, Vladimir G. (1976), "The Milnor invariants and Massey products", Zap. Naučn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI), Studies in Topology-II, 66: 189–203, MR 0451251