부라우 표현

수학에서 부라우 표현은 1930년대 독일의 수학자 베르너 부라우의^[1] 이름을 따서 원래 연구했던 땋은 그룹을 표현한 것이다.부라우 표현은 두 가지 공통적이고 거의 동등한 형태를 가지고 있는데, 축소 및 축소되지 않은 부라우 표현이다.

정의

브레이드 그룹 B를_n 포인트 D가_n n개인 디스크의 매핑 클래스 그룹으로 간주한다.호몰로지 그룹 H₁(D_n)는 n등급의 자유 아벨리안이다.더구나 H₁(D_nn)의 불변 서브공간(B의 작용 아래)은 원시적이고 무한 순환적이다.π : H₁(D_n) → Z를 이 불변 서브 공간에 투영하도록 한다.그리고 이 투영 지도에 해당하는 커버 스페이스 C가_n 있다.알렉산더 다항식 구성에서와 마찬가지로, H₁(C_n)를 Laurent 다항식 Z[t, t⁻¹]의 링과 이형인 변환 Z[Z]를 포함하는 그룹 링 위에 모듈로 간주한다.Z[t, t⁻¹]-module로서₁ H(C_n)는 n - 1등급이 자유롭다. 공간을 커버하는 기본 이론에 의해 B_n(B₁)는_n H(C)에 작용하며, 이러한 표현을 축소 부라우(Burau) 표현이라고 한다.

축소되지 않은 부라우 표현은 유사한 정의를 가지고 있는데, 즉 D를 표시된 지점에서_n (실제 지향적인) 블로우업으로 대체한다.그런 다음 H₁(C_n)를 고려하는 대신 상대적 호몰로지₁ H(C_n, ))를 고려한다. 여기서 γ D는_n 디스크의 경계에서 1점과 함께 블로업 연산에 해당하는_n D의 경계의 일부다.γ은 γ을 C로_n 들어올리는 것을 의미한다.Z[t, t⁻¹]모듈로서 이것은 n등급이 없다.

한 쌍의 긴 정확한 순서에 의해 부라우 표현은 짧은 정확한 순서에 들어맞는다.

0 → V_r → V_u → D ⊕ Z[t, t⁻¹] → 0,

여기서_r V(resp)V_u)는 감소(resp)이다.축소되지 않음) Burau B-module과_n D ⊂ Z는ⁿ 대각선 서브 스페이스의 보완재, 즉 다음과 같다.

${\displaystyle D=\왼쪽(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\in \mathbf {Z}^{n}:x_{1}+\cdots +x_{n}=0\right\}},}$

그리고 B는_n 순열 표현에 의해 Z에ⁿ 작용한다.

명시적 행렬

σ은_i B형_n 땋은 그룹의 표준 발전기를 나타내도록 한다.그런 다음 축소되지 않은 Burau 표현을 매핑에 의해 명시적으로 제공할 수 있다.

$\displaystyle \sigma _{i}\mapsto \left({\begin{array}{c cc-{i-1}&0&0&0\\hline 0&t&t>\0>\hline 0&0&0&0&########################################################I_{n-i-1}\end{array}\오른쪽),}$

1 ≤ i ≤ n - 1에 대해, 여기서_k 나는 k × k ID 매트릭스를 나타낸다.마찬가지로, n ≥ 3의 경우 Burau의 감소된 표현은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \chma _{1}\mapsto \leftft\now}{ccc c}-t&1&0\\hline 0&0&#&##############################I_{n-3}\end{array}\오른쪽),}$

$\displaystyle \sigma _{i}\mapsto \left({\begin{array}{ccc c}I_{i-2}&0&0&0&0&0\\\hline 0&#1&t>0&#0&#0&#0&##0&#0&########0&#0&#0&##0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#######0&#0&I_{n-i-2}\end{array}\오른쪽),\quad 2\leq i\leq n-2,}$

${\displaystyle \sigma _{n-1}\mapsto \left({\begin{array}{cc_{n-3}&0&0\\\hline 0&1&0\&t\-t\end{array}\right),}$

반면 n = 2의 경우 맵핑한다.

$\displaystyle \putma _{1}\mapsto \leftt\right).}$

볼링장 해석

Vaughan Jones는^[2] [0,1] – [0,1] – 즉, 위 명시적 설명에서 바로 이어지는 표준 브레이드 그룹 생성기의 단어인 브레이드에 대한 부라우의 축소되지 않은 표현을 다음과 같이 해석했다.

n 가닥에 땋은 땋은 땋은 땋은 땋은 땋은 땋은 땋은 땋은 땋은 땋은 땋은 땋은 길이제 한 차선 아래로 볼링공을 던져서 다른 차선을 넘는 모든 건널목에서 볼링공이 확률 t와 함께 아래로 떨어져 아래 차선을 따라 계속된다고 가정해보자.그렇다면 (i,j)의 축소되지 않은 부라우 표현에 대한 (i,j)의 진입은 i'th 레인에 던져진 공이 결국 j'th 레인에 들어갈 확률이다.

알렉산더 다항식과의 관계

매듭 K가 B에서_n 땋은 f를 닫은 경우, Z[t, t⁻¹] 단위에 의한 곱셈까지, K의 알렉산더 다항식 Δ_K(t)는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\frac {1-t}{1-t^{n}}\det(I-f_{*}),}$

여기서 f는_∗ braid f의 Burau의 축소된 표현이다.

예를 들어, f = B의₃ inσ인₁₂ 경우, 위의 명시적 매트릭스를 사용하여 찾아낸다.

${\displaystyle {\frac {1-t}{1-t^{n}}\det(I-f_{*}}}}=t,}$

그리고_* f의 폐쇄는 알렉산더 다항식이 1인 언코트다.

충실함

첫 번째 부라우 표현은 존 A에 의해 발견되었다.구불구불한 숫자나 등고선 통합의 개념을 사용하는 컴퓨터 사용 없는 무디.^[3]Darren D 때문에 좀 더 개념적인 이해.롱과 마크 패튼은^[4] 연결이나 구김이 피복 공간의 기저점에 상대적인 첫 번째 호몰로지에서는 푸앵카레 이중성에서 오는 것으로 해석하고 교차 형태(일반적으로 크레이그 스퀴어가 그 특성을 최초로 탐구한 것으로 스퀴어 폼이라고 불림)를 사용한다.^[5]스티븐 비글로우는 부라우의 표현이 n on 5에 충실하지 않다는 것을 보여주기 위해 컴퓨터 기법과 롱-파톤 정리를 결합했다.^[6][7][8] 게다가 비글로우는 땋은 그룹의 표준 생성기에 단어로서 낟알에 명시적으로 비종교적 요소를 제공한다.

${\displaystyle \psi _{1}=\sigma _{3}^{-1}\sigma _{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}\sigma _{4}^{3}\sigma _{3}\sigma _{2},\quad \psi _{2}=\sigma _{4}^{-1}\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{1}^{-2}\sigma _{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}\sigma _{1}\sigma _{4}^{5}.}$

그러면 커널의 요소는 정류자에 의해 주어진다.

${\displaystyle [\property _{1}^{1}-1}\ma _{4}\ma _{4}\ma _{4}\ma _{3}\ma _{1}^_{1}\ma _{3}\ma _{4}\ma_{4}\ma_{3}\ma _{3}\ma _{4}\ma}}\ma_{}\ma _{1}.}$

n = 2, 3의 부라우 표현은 한동안 충실한 것으로 알려져 왔다.n = 4일 때 부라우 대표성의 충실성은 공공연한 문제다.부라우 대표성은 존스 대표성의 요약으로 나타나며, n = 4의 경우 부라우 대표성의 충실도는 존스 대표자의 그것과 동등하며, 다른 한편으로는 존스 다항식이 언코트 검출기인지 아닌지에 대한 문제와 관련이 있다.^[9]

기하학

크레이그 스퀴어는 부라우의 표현이 단면형태를 보존하고 있다는 것을 보여주었다.^[5]더구나 변수 t를 1에 가까운 초월단위의 복합수치로 선택했을 때, 그것은 긍정적이고 확실한 에르미트인의 짝짓기이다.따라서 땋은 그룹 B의_n 부라우 표현은 단일 그룹 U(n)에 대한 지도라고 생각할 수 있다.

참조

외부 링크

• "부라우의 정리", 매듭 아틀라스.