드 브루인 정리

6\cdot 6\cdot 6

큐브를 6

6\cdot 6\cdot 6

6

6\cdot 6\cdot 6

6

6\cdot 6\cdot 6

6 6

display

6 display 6 display 6 display 6 display 6 ot 6

ot

6

ot

cdot 6 ot 6 ot 6 6 cdot 6

6\cdot 6\cdot 6

ot

6\cdot 6\cdot 6

4

1\cdot 2\cdot 4

4

1\cdot 2\cdot 4

displaystyle

1 \

cdot

2 \

cdot

4

1\cdot 2\cdot 4

）브릭으로

1\cdot 2\cdot 4

1\cdot 2\cdot 4

할 수 없음을 증명하기 위해 사용할 수 있습니다.각 벽돌은 흰색 큐브는 4개입니다.

1969년 논문에서 네덜란드의 수학자 니콜라스 고베르 드 브루인은 공간이 남지 않는 방식으로 (어느 차원의) 일치하는 직사각형 벽돌을 더 큰 직사각형 상자로 포장하는 것에 대한 몇 가지 결과를 증명했다.이 결과들 중 하나는 현재 de Bruijn의 정리로 알려져 있다.이 정리에 따르면, "조화 벽돌" (각 변 길이가 다음으로 작은 변 길이의 배수인 1개)은 벽돌 ^[1]치수의 배수인 상자 안에만 채워질 수 있다.

예

De Bruijn은 당시 7살이었던 그의 아들 F. W. de Bruijn이 $치수$ 1 $1\cdot 2\cdot 4$ 2 $4$ 4의 $벽돌$ 을 $6$ 6 $6$ 6 $6\cdot 6\cdot 6$ ^[2]^[3]⋅ 6 $6\cdot 6\cdot 6$ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 $6\cdot 6\cdot 6$ ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 $6\cdot 6\cdot 6$ ⋅ 6 $ot$ 6 $1\cdot 2\cdot 4$ bricks 6 6 6 a 6 bricks $1\cdot 2\cdot 4$ 4의 큐브에 넣을 수 없었던 후에 이 결과를 증명하도록 이끌었습니다.이 큐브의 부피는 $27개$ 의 $27$ 벽돌과 동일하지만 $,$ $26개$ 의 $26$ $벽돌$ 만 채워질 수 있다.이를 확인할 수 있는 한 가지 방법은 큐브를 흑백으로 번갈아 색칠한 $2\cdot 2\cdot 2$ $2\cdot 2\cdot 2$ 2 $2\cdot 2\cdot 2$ 22 2 2 2 ot 2 ot 2 ot 2 ot 2 ot 2 ot 2 ot 2 $2 2$ colored $2\cdot 2\cdot 2$ 22 $27$ 2 $ot$ 2 ot 2 ot 2 ot 2 ot 2 ot 2 $2$ 2 2 2 2 2 2 2 2이 색상은 한 색상의 단위 셀이 다른 색상의 단위 셀보다 더 많지만, 이 색상의 경우 1 $1\cdot 2\cdot 4$ ${\$ 4 （ \ $displaystyle 1$ \ $cdot 2$ \ $cdot$ 4 $1\cdot 2\cdot 4$ ） $1\cdot 2\cdot 4$ 배치 시 각 색상의 셀 수가 같아야 합니다.따라서 벽돌에 의한 타일링도 각 색상의 셀 수가 같게 되어 있을 ^[4]수 없습니다.De Bruijn의 정리는 벽돌과 상자의 다른 많은 치수에 적용되는 보다 일반적인 방법으로, 이러한 치수를 완벽하게 채우는 것은 불가능하다는 것을 증명합니다.

벽돌의 배수인 상자

d\ $display$ $style$ d \ cdot $A_{1}\cdot A_{2}\cdot \dotso \cdot A_{d}$ $A_{2$ } \ cdot \ $a_{1}\cdot a_{2}\cdot \dotso \cdot a_{d}$ \ $cdot$ A_ ${d}$ - $a_{1}\cdot a_{2}\cdot \dotso \cdot a_{d}$ 직사각형 상자 $($ 수학적으로 입방체)의 변 $A_{1}\cdot A_{2}\cdot \dotso \cdot A_{d}$ 가 $A_{1}\cdot A_{2}\cdot \dotso \cdot A_{d}$ $a_{1}\cdot a_{2}\cdot \dotso \cdot a_{d}$ $A_{1}\cdot A_{2}\cdot \dotso \cdot A_{d}$ display ... $A_{1}\cdot A_{2}\cdot \dotso \cdot A_{d}$ A_{ $1$ } \ $cdot$ \ $display 2$ $a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots a_{d}b_{d}$ 의 des는 a 1 b $a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots a_{d}b_{d}$ , $a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots a_{d}b_{d}$ 2 $a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots a_{d}b_{d}$ 2, $a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots a_{d}b_{d}$ … $a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots a_{d}b_{d}$ $b$ {1} $b_{1},$ a_ ${2} b_{d$ }, \ $A_{1},A_{2},\dots ,A_{d}$ ${$ $d$ $} b_{$ $d$ }의 $b_{i}$ 정수 b_ ${$ 로 $b_{i}$ 곱할 수 $a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots a_{d}b_{d}$ $.$ 벽돌의 이등병그리고 나서 그 상자는 모든 벽돌의 방향이 ^[1]같은 사소한 방법으로 채워질 수 있다.

일반화

모든 포장이 여러 개의 벽돌로 이루어진 상자를 포함하는 것은 아닙니다.예를 들어 de Bruijn이 관찰한 바와 같이, $5\cdot 6$ $/$ ( $디스플레이$ 스타일 5 $2\cdot 3$ $cdot$ 6 $)$ 직사각형 $5\cdot 6$ 박스는 2/3( $디스플레이 스타일$ 2 $/cdot$ 3) $2\cdot 3$ 벽돌의 복사본으로 채워질 수 있지만, 모든 벽돌의 방향이 같은 것은 아닙니다.그러나 de Bruijn(1969)은 벽돌로 상자를 채울 수 있다면 각 $a_{i},$ 에 대해 $($ A_ ${i$ $})$ 중 $a_{i},$ $A_{i}$ $A_{i}$ 하나는 배수임을 증명합니다 $.$ 위의 예에서 $길이$ 6 $({displaystyle$ 6 $})$ 의 $6$ 변은 2 $({displaystyle$ 2)와 $2$ 3 $3$ ^[1] $displaystyle$ 3)의 배수입니다.

조화벽돌

de Bruijn의 결과 중 두 번째, de Bruijn의 정리라고 불리는 것은 벽돌의 각 변이 다음으로 작은 변의 정수 배수인 경우에 관한 것입니다.드 브루인은 이 성질을 가진 벽돌이라고 부른다.예를 들어 미국에서 가장 많이 사용되는 벽돌의 $2{\tfrac {1}{4}}\cdot 4\cdot 8$ 는 2 $2{\tfrac {1}{4}}\cdot 4\cdot 8$ 4 $2{\tfrac {1}{4}}\cdot 4\cdot 8$ 4 $2{\tfrac {1}{4}}\cdot 4\cdot 8$ 8 $2{\tfrac {1}{4}}\cdot 4\cdot 8$ { $displaystyle$ 2 { \ $tfrac$ { $4 }$ \ $cdot$ 4 \ $cdot$ 8 $2{\tfrac {1}{4}}\cdot 4\cdot 8$ } (인치)이며, 이는 조화롭지 않지만 "Roman brick"으로 판매되는 벽돌의 $2\cdot 4\cdot 12$ 는 2 $2\cdot 4\cdot 12$ 4 $2\cdot 4\cdot 12$ 12 $display 2\cdot$ ^[5] $12$ 입니다.

De Bruijn의 정리는 만약 조화벽돌이 상자에 채워진다면, 상자는 벽돌의 배수여야 한다고 말한다.예를 들어 변 길이 1, 2, 6의 3차원 고조파 벽돌은 3변 중 하나가 6의 배수이고 나머지 2변 중 하나가 ^[1]^[6]짝수인 상자 안에만 넣을 수 있다.상자로의 조화 벽돌의 포장에는 서로에 대해 회전하는 벽돌의 복사본이 포함될 수 있습니다.그럼에도 불구하고, 이 정리는 이러한 방식으로 포장될 수 있는 유일한 상자는 벽돌의 번역으로 포장될 수 있는 상자라고 말한다.

보이젠(1995)은 다항식의 ^[7]대수에 기초한 드 브루인 정리의 3차원 사례에 대한 대안적 증거를 제공했다.

비조화 벽돌

de Bruijn의 결과 중 세 번째는 벽돌의 배수가 아닌 상자를 채울 수 있다는 것입니다. $2\cdot 3$ ^[1]현상의 예는 2⁄ $(디스플레이$ 스타일 2 $\cdot$ 3) 브릭을 $2\cdot 3$ 5 $(디스플레이 스타일$ 5 $\cdot$ 6 $)$ $5\cdot 6$ 에 $5\cdot 6$ 장착하는 것입니다.

a_{1}\cdot a_{2}

(a_{1}+a_{2})\cdot (a_{1}a_{2})

(

(a_{1}+a_{2})\cdot (a_{1}a_{2})

1

(a_{1}+a_{2})\cdot (a_{1}a_{2})

+

(a_{1}+a_{2})\cdot (a_{1}a_{2})

(a_{1}+a_{2})\cdot (a_{1}a_{2})

)

(a_{1}+a_{2})\cdot (a_{1}a_{2})

(

(a_{1}+a_{2})\cdot (a_{1}a_{2})

(a_{1}+a_{2})\cdot (a_{1}a_{2})

) \

displaystyle

( a

_

{

1}

+ a

_

{2

}

) \

a_{1}\cdot a_{2}

( a

_

{

1}

a

_

{

2}

)상자

(a_{1}+a_{2})\cdot (a_{1}a_{2})

, 1

a_{1}\cdot a_{2}

a_{1}=2

a_{1}=2

{

displaystyle

a _ {

1}

\

cdot a

_

{2

} 벽돌로

a_{1}\cdot a_{2}

a_{1}\cdot a_{2}

상자(

a_{1}=2

1 =

a_{2}=5

{

displaystyle a

_ {1} + a _ {1

}

)

a_{2}=5

a_{2}=5

)

2차원의 경우, de Bruijn의 결과 중 세 번째는 시각화하기 쉽다. $A_{1}=a_{1}$ 가 A $A_{1}=a_{1}$ $A_{1}=a_{1}$ a $A_{1}=a_{1}$ { $displaystyle A_{$ 1} = $a_{1$ }인 $A_{1}=a_{1}$ $A_{2}=a_{1}\cdot a_{2}$ 및 A $A_{2}=a_{1}\cdot a_{2}$ $A_{2}=a_{1}\cdot a_{2}$ $A_{2}=a_{1}\cdot a_{2}$ $a_{1},a_{2}$ $A_{2}=a_{1}\cdot a_{2}$ $A_{2}=a_{1}\cdot a_{2}$ 2 $A_{2}=a_{1}\cdot a_{2}$ { $displaystyle$ $A_{$ $2} = a_$ ${$ $1$ $cdot a_2}$ 인 $A_{2}=a_{1}\cdot a_{2}$ 상자는 $a_{1},a_{2}$ 가 $a_{1},a_{2}$ 1인 벽돌 $복사본$ 으로 $쉽게$ 할 수 있습니다. $A_{1}=a_{1}\cdot a_{2}$ 이유로 크기가 A $A_{1}=a_{1}\cdot a_{2}$ $A_{1}=a_{1}\cdot a_{2}$ $A_{1}=a_{1}\cdot a_{2}$ $A_{1}=a_{1}\cdot a_{2}$ a $A_{1}=a_{1}\cdot a_{2}$ { { $displaystyle$ $A_{$ $1$ } = $a$ _ { $A_{1}=a_{1}\cdot a_{2}$ } \ $cdot a$ _ {2} dim $A_{1}=a_{1}\cdot a_{2}$ $A_{2}=a_{2}$ $A_{2}=a_{2}$ $A_{2}=a_{2}$ $_$ { $}$ 인 상자도 같은 벽돌 복사를 사용하여 쉽게 포장할 수 있습니다.이 두 상자 중 하나를 긴 면이 평행하도록 회전시키고 나란히 배치하면 $A_{1}=a_{1}+a_{2}$ $A_{1}=a_{1}+a_{2}$ $A_{1}=a_{1}+a_{2}$ $A_{1}=a_{1}+a_{2}$ + $A_{1}=a_{1}+a_{2}$ 2 ({1} $= a_{1$ } + $a_{$ 2} $A_{2}=a_{1}\cdot a_{2}$ $A_{2}=a_{1}\cdot a_{2}$ 2 $A_{2}=a_{1}\cdot a_{2}$ $A_{2}=a_{1}\cdot a_{2}$ $A_{2}=a_{1}\cdot a_{2}$ $A_{2}=a_{1}\cdot a_{2}$ 2 ({ $displaystyle$ $A_$ ${2$ } = $a_1\cd}$ $A_{2}=a_{1}\cdot a_{2}$ 의 $A_{1}=a_{1}+a_{2}$ $A_{1}=a_{1}+a_{2}$ 상자가 패킹됩니다.그 벽돌은 조화롭다.

레퍼런스

^ ^a ^b ^c ^d ^e 를 클릭합니다de Bruijn, N. G. (1969), "Filling boxes with bricks", The American Mathematical Monthly, 76 (1): 37–40, doi:10.2307/2316785, JSTOR 2316785, MR 0234841.
^ 를 클릭합니다Honsberger, Ross (1976), Mathematical Gems II, Washington, DC: Mathematical Association of America, p. 69, ISBN 9780883853009.
^ 를 클릭합니다Nienhuys, J. W. (September 11, 2011), Kloks, Ton; Hung, Ling-Ju (eds.), De Bruijn's combinatorics: classroom notes, p. 156.
^ 를 클릭합니다Watkins, John J. (2012), Across the Board: The Mathematics of Chessboard Problems, Princeton University Press, p. 226, ISBN 9781400840922.
^ 를 클릭합니다Kreh, R. T. (2003), Masonry Skills (5th ed.), Cengage Learning, p. 18, ISBN 9780766859364.
^ 를 클릭합니다Stein, Sherman K.; Szabó, Sándor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry, Carus Mathematical Monographs, vol. 25, Washington, DC: Mathematical Association of America, p. 52, ISBN 0-88385-028-1, MR 1311249.
^ 를 클릭합니다Boisen, Paul (1995), "Polynomials and packings: a new proof of de Bruijn's theorem", Discrete Mathematics, 146 (1–3): 285–287, doi:10.1016/0012-365X(94)00070-1, MR 1360122.

외부 링크

Weisstein, Eric W., "de Bruijn's Theorem", MathWorld

[db69-1] 를 클릭합니다de Bruijn, N. G. (1969), "Filling boxes with bricks", The American Mathematical Monthly, 76 (1): 37–40, doi:10.2307/2316785, JSTOR 2316785, MR 0234841.

[2] 를 클릭합니다Honsberger, Ross (1976), Mathematical Gems II, Washington, DC: Mathematical Association of America, p. 69, ISBN 9780883853009.

[3] 를 클릭합니다Nienhuys, J. W. (September 11, 2011), Kloks, Ton; Hung, Ling-Ju (eds.), De Bruijn's combinatorics: classroom notes, p. 156.

[4] 를 클릭합니다Watkins, John J. (2012), Across the Board: The Mathematics of Chessboard Problems, Princeton University Press, p. 226, ISBN 9781400840922.

[5] 를 클릭합니다Kreh, R. T. (2003), Masonry Skills (5th ed.), Cengage Learning, p. 18, ISBN 9780766859364.

[6] 를 클릭합니다Stein, Sherman K.; Szabó, Sándor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry, Carus Mathematical Monographs, vol. 25, Washington, DC: Mathematical Association of America, p. 52, ISBN 0-88385-028-1, MR 1311249.

[7] 를 클릭합니다Boisen, Paul (1995), "Polynomials and packings: a new proof of de Bruijn's theorem", Discrete Mathematics, 146 (1–3): 285–287, doi:10.1016/0012-365X(94)00070-1, MR 1360122.

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