프로파나이트군

수학에서, 무한집단은 유한집단에서 조립된 어떤 의미에 있는 위상집단을 말한다.그들은 그들의 유한한 인용구와 많은 성질을 공유한다. 예를 들어, 라그랑주의 정리나 시로우 이론 모두 많은 집단에 잘 일반화된다.^[1]

모든 무리는 작다.그 개념의 비확률적인 일반화는 지역적으로 풍부한 집단의 개념이다.

정의

무수한 그룹은 두 가지 동등한 방법 중 하나로 정의될 수 있다.

첫 번째 정의

무한집단은 이산 유한집단의 역계 역한계에 이형화된 위상집단을 말한다.^[2]In this context, an inverse system consists of a directed set ${\displaystyle (I,\leq )}$, a collection of finite groups ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{G_{i}:i\in I\}}$, each having the discrete topology, and a collection of homomorphisms ${\displaystyle \{f_i^j:G_j\to G_i\mid i,j\in I,i\le j}$${\displaystyle \{f_{i}^{j:$$G_{j}\to G_{i}\mid i,j\in I,i\leq j\}}$ such that ${\displaystyle f_{i}^{i}}$ is the identity on ${\displaystyle G_{i}}$ and the collection satisfies the composition property ${\displaystyle f_{i}^{j}\circ f_{j}^{k}=f_{i}^{k}}$.역한계는 다음과 같다.

${\displaystyle \varprojlim G_{i}=\left\{{i}\in I}G_{i}:f_{i}^{j}(g_{j}=g_{i}}}{\text}{}{}}{}}}}}}}}{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

상대 제품 토폴로지를 장착한다.

또한 보편적 속성의 측면에서 역한계를 정의할 수 있다.이것은 범주적 용어로, 코필터링 한계 건설의 특별한 경우다.

두 번째 정의

무궁무진한 집단은 하우스도르프, 콤팩트하고 완전히 단절된 위상학 집단이다.^[3] 즉, 위상학 집단은 스톤 공간이기도 하다.이 정의를 고려할 때, (후진) 포함에 의해 명령된$$ G ${\displaystyle$ $N$$}$의 개방된 $정상{\displaystyle }$ 하위그룹을 통해$$ $N{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \varprojlim$$G$/N$}$의 범위를$$ 역제한 ${\displaystyle \underset{}{림}}$ ${\displaystyle \leftarrow }$ G$N}$을 사용하여 첫 번째 정의를 복구할 수 있다.

예

• 유한 그룹은 이산 위상이 주어진 경우 무한하다.
• 추가$$ 시 p-adic ${\displaystyle {}_{}}$ Z$$p {\$displaystyle \mathb{Z}$ $_{p$}의 그룹은 확실하다(사실상 프로사이클릭).It is the inverse limit of the finite groups ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ where n ranges over all natural numbers and the natural maps ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$ for ${\displaystyle n\geq$$m}$은(는) 제한 프로세스에 사용된다$$.이 무한대의 위상은 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 대한 p-adic 평가에서 발생하는 위상과 동일하다$.$
• The group of profinite integers ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ is the inverse limit of the finite groups ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ where ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$ and we use the maps ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\$${\displaystyle 제한}$ 프로세스의$$ $m{\displaystyle }$ ${\\displaystyle m\, \,n}$에 대한 $mathb {Z} \mathb {Z}$ \to$\mathb$ {Z}.이 그룹은 Z ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 모든 그룹의$$산물이며, 유한한 분야의 절대 갈루아 그룹이다.
• 무한도의 자기장 확장에 대한 갈루아 이론은 무수한 갈루아 집단에 자연스럽게 떠오르게 한다.구체적으로는 L/K가 갈루아 확장인 경우 K의 모든 요소를 고정하는 L의 모든 필드 자동화로 구성된 G = Gal(L/K) 그룹을 고려한다.이 그룹은 유한 그룹 Gal(F/K)의 역 한계로, F/K가 유한 Galois 확장인 것과 같은 모든 중간 영역에 걸쳐 F 범위가 있다.한계절차에 대해서는 제한동형성 Gal(F₁/K) → Gal(F₂/K)을 사용하며, 여기서 F₂ ⊆ F를₁ 사용한다.우리가 Gal(L/K)에서 얻는 위상은 볼프강 크롤의 뒤를 이어 Krull 위상으로 알려져 있다.워터하우스(1974)는 모든 무수한 집단이 어떤 필드 K의 갈루아 이론에서 비롯되는 집단에 대해 이형성이 있다는 것을 보여주었지만, 이 경우 어떤 필드가 될지는 (yet) 통제할 수 없다.실제로 많은 K 분야의 경우 K를 넘어 갈루아 그룹으로서 어떤 유한집단이 발생하는지 일반적으로 정확히 알지 못한다.이것은 필드 K에 대한 역 갈루아 문제(일부 필드 K의 경우 복잡한 숫자에 대한 한 변수의 합리적 함수 필드 등 역 갈루아 문제가 해결된다)이다.모든 무수한 집단이 필드의 절대적 갈루아 집단으로 발생하는 것은 아니다.^[4]
• 대수 기하학에서 고려되는 기본 그룹도 프로파일이 확실한 그룹인데, 대수학에서는 대수적 다양성의 유한 커버링만 '볼 수 있다'는 이유로 대략 말한다.그러나 대수적 위상의 기본 그룹은 일반적으로 확실하지 않다: 어떤 소정의 그룹에 대해서든, 2차원 CW 콤플렉스가 있고, 그 기본 그룹은 그것과 동일하다(그룹 프리젠테이션을 수정한다, CW 콤플렉스는 모든 발전기를 위한 하나의 0 셀, 모든 관계를 위한 루프, 그리고 2 셀을 가지고 있는데, 이 콤플렉스는 지도를 부착하는 것이 rel에 해당한다.abc=1의 관계에서, 첨부 지도는 a, b, c의 루프의 기본 그룹의 발전기를 순서대로 추적한다.그 계산은 반 캄펜의 정리대로 따른다.)
• 국소적으로 유한한 뿌리 나무의 오토모르피즘 집단은 무궁무진하다.

속성 및 사실

• (임의적으로 많은) 무수한 그룹의 모든 생산물은 무궁무진하다; 무진장으로부터 발생하는 위상은 제품 위상과 일치한다.연속적인 전이 지도가 있는 프로파이나이트 그룹의 역방향 한계치는 무한하며 역방향 한계 펑터(functor)는 프로파나이트 그룹의 범주에서 정확하다.또한, 무제한이 되는 것은 연장된 속성이다.
• 무한대의 모든 닫힌 부분군은 그 자체로 풍부하다. 그 중요도에서 발생하는 위상은 아공간 위상과 일치한다.N이 유익성 그룹 G의 닫힌 정규 부분군인 경우, 인자 그룹 G/N은 유익하며, 중요도에서 발생하는 위상은 지수 위상과 일치한다.
• 모든 무수한 그룹 G는 콤팩트 하우스도르프(compact Hausdorff)이기 때문에 G에 대한 하르 측정치를 가지고 있어 G에 대한 서브셋의 "크기"를 측정하고, 일정한 확률을 계산하며, G에 함수를 통합할 수 있다.
• 무한집단의 하위집단은 그것이 닫히고 유한한 지수를 가진 경우에만 개방된다.
• 니콜라이 니콜로프와 댄 시걸의 정리에 따르면, 위상학적으로 미세하게 생성된 유익성 그룹(즉, 촘촘하게 생성된 하위 그룹을 가진 유익성 그룹)에서 유한 지수의 하위 그룹이 개방되어 있다.이것은 국소적으로 미세하게 생성된 프로-p 그룹들에 대해 장-피에르 세레의 초기 유사한 결과를 일반화한다.그 증거는 유한한 단순 집단의 분류를 이용한다.
• 위의 니콜로프-세갈 결과의 쉬운 귀결로서, G와 H 사이의 어떤 처절하게 이산된 집단 동형성 φ: G → H는 G가 토폴로지적으로 미세하게 생성되는 한 연속된다.실제로 H의 어떤 열린 부분군도 유한 지수를 가지므로 G의 프리이미지도 유한 지수를 가지므로 반드시 개방해야 한다.
• G와 H가 위상학적으로 미세하게 생성되어 이형성 ι에 의해 이산형 집단으로서 이형성이 있다고 가정하자.그러면 ι은 위의 결과에 의해 비굴하고 연속적이다.더욱이 ι도⁻¹ 연속적이므로 ι은 동형이다.따라서 위상학적으로 미세하게 생성된 유익성 그룹의 위상은 그 대수적 구조에 의해 독특하게 결정된다.

무한완료

자의적인 그룹{G\displaystyle}G로 보는 관련 있는profinite 그룹 G^{\displaystyle{\widehat{G}}},profinite 완료 G{G\displaystyle}.[3]그것은으로 정의된 역 한계의 그룹 G/N{G/N\displaystyle}, N{N\displaystyle}실행을 통해 정상적인 subgrou.ps유한 지수의 $G$ ${\displaystyle G}$에서(이러한 정규 부분군은 포함에 의해 부분적으로 정렬되며, 이는 인용구 사이의 자연 동형성의 역 계통으로 해석된다).There is a natural homomorphism ${\displaystyle \eta :G\rightarrow {\widehat {G}}}$, and the image of ${\displaystyle G}$ under this homomorphism is dense in ${\displaystyle {\widehat {G}}}$. The homomorphism ${\displaystyle \eta }$ is injective if and only if the group ${\displaystyle$$G}$은(는) 잔류적으로 유한하다(${\displaystyle \mathrm{즉}}$, 교차가 유한 지수의 모든 정상 부분군을 통과하는${\displaystyle }$where ${\displaystyle N}$= 1 ${\displaystyle \bigcap{N}=1$동형상 $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$은(는) 다음과 같은 보편적 속성으로 특징지어진다$$. ${\displaystyle \mathrm{임의}}$의 무수한 $그룹{\displaystyle }$ H$${\$displaystyle H}$ 및$$ 임의의 그룹 $동형상{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ H ${\displaystyf:$$G$${\displaystyle \stackrel{}{\backslash }}$$rightarrow H$${\displaystyle \},}$ ${\displaystyle \mathrm{고유}}$한 연속 ${\displaystyle \mathrm{그룹}}$ $동형상{\displaystyle }$$$g$$: G ^ → H {\$displaystyle$ g$:{\widehat{G}\$widehat {G}\\$오른쪽 화살표$ H$}$이($가{\displaystyle }$) 있으며, f${\displaystyle }$= g = \ {\$displaysty$f=$g\$eta $\}.$

마감 그룹

인드-피니트 그룹의 개념이 있는데, 인드-피니트 그룹의 개념적 이중성이며, 즉 유한 집단의 유도체계의 직접적인 한계라면 그룹 G는 인드-피니트다.(특히 Ind그룹이다.)일반적인 용어는 다르다: 모든 정밀하게 생성된 하위 그룹이 유한할 경우 그룹 G는 국소적으로 유한하다고 불린다.이것은 사실상 '인드 피니트'에 해당한다.

폰트랴긴 이원성을 적용함으로써 아벨리안의 무수한 집단이 국소적으로 유한한 이산 아벨리안 집단과 이원성을 이루고 있음을 알 수 있다.후자는 아벨의 비틀림 집단일 뿐이다.

투영 가능한 그룹

무수한 집단은 모든 연장선에 대한 리프팅 특성을 가지고 있다면 투영적이다.이것은 만약 모든 허탈적 형태론에 대해 확실한 H → G에서 나오는 G → H 섹션이 있다면 G는 투영적이라고 말하는 것과 같다.^[5][6]

무한 확장 그룹 G의 투영성은 다음 두 가지 특성 중 하나와 동일하다.^[5]

• 코호몰로지 치수 cd(G) ≤ 1;
• 모든 prime p에 대해 G의 Sylow p-subgroup은 무료 p-p-group이다.

모든 투사적인 무수한 집단은 사이비 대수학적으로 폐쇄된 분야의 절대적 갈루아 집단으로 실현될 수 있다.이 결과는 알렉산더 루보츠키와 루반 덴 드리스 덕분이다.^[7]

프로사이클릭군

A profinite group ${\displaystyle G}$ is procyclic if it is topologically generated by a single element ${\displaystyle \sigma }$ i.e., ${\displaystyle G={\overline {\langle \sigma \rangle }}}$ of the subgroup ${\displaystyle \langle \sigma \rangle =\left\{\sigma ^{n}:n\$$\mathbb {Z} \right\}$에 $.$^[8]

A topological group ${\displaystyle G}$ is procyclic iff ${\displaystyle G\cong \prod _{p}G_{p}}$ where ${\displaystyle p}$ ranges over all rational primes and ${\displaystyle G_{p}}$ is isomorphic to either ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ or ${\displaystyle \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z},n\in \mathbb{N}}$${\displaystyle \mathb {Z} /p^{n}\mathb {Z},n\in \mathb {N$^[9]

참고 항목

• 로컬 순환 그룹
• 프로프 그룹
• 무한정 정수
• 잔차 특성(수학)
• 잔류 유한군
• 하우스도르프 완성

참조

• Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). Field arithmetic. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Vol. 11 (3rd revised ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001.
• Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2006). "On finitely generated profinite groups. I. strong completeness and uniform bounds". arXiv:math.GR/0604399..
• Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2006). "On finitely generated profinite groups. II. products in quasisimple groups". arXiv:math.GR/0604400..
• Lenstra, Hendrik (2003), Profinite Groups (PDF), talk given at Oberwolfach.
• Lubotzky, Alexander (2001), "Book Review", Bulletin of the American Mathematical Society, 38 (4): 475–479, doi:10.1090/S0273-0979-01-00914-4.다양한 그룹에 대한 몇 권의 책에 대한 리뷰.
• Serre, Jean-Pierre (1994), Cohomologie galoisienne, Lecture Notes in Mathematics (in French), vol. 5 (5 ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58002-7, MR 1324577, Zbl 0812.12002. Serre, Jean-Pierre (1997), Galois cohomology, Translated by Patrick Ion, Springer-Verlag, ISBN 3-540-61990-9, Zbl 0902.12004
• Waterhouse, William C. (1974), "Profinite groups are Galois groups", Proceedings of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 42 (2): 639–640, doi:10.2307/2039560, JSTOR 2039560, Zbl 0281.20031.