클론 기준의 독립성

투표 시스템 이론에서, 복제 기준의 독립성은 전략 공천에 대한 선거 방법의 강건성을 측정한다. 니콜라우스 티데먼은 이 기준을 가장 먼저 공식화한 것으로, 이미 존재하는 후보와 비슷한 미승부자의 추가로 인해 승자가 바뀌지 않아야 한다는 내용을 담고 있다.^[1] 좀 더 정확히 말하면, 클론 집합이라고 불리는 후보 집합의 하위 집합은 만약 유권자가 집합에 있는 어떤 후보들 사이에 (또는 그와 동등한) 순위를 매기지 않는다면 존재한다. 복제본 집합에 적어도 두 명의 후보가 포함된 경우, 이 기준은 복제본 중 하나를 삭제하면 복제 집합에 포함되지 않은 어떤 후보의 승산이 증가하거나 감소해서는 안 된다.

일부 시스템(복수투표 등)에서는 비슷한 후보군 추가가 비슷한 후보군 간에 지지를 분산시켜 둘 다 잃을 수 있다. 일부 다른 시스템(예: 보르다 카운트)에서는 유사한 대안이 추가될 경우 유사한 후보 중 한 명에 대한 명백한 지지도가 증가하여 승리할 수 있다. 아직 다른 시스템(예: 순위 쌍)에서 유사한 대안들의 도입은 이 기준에서 요구하는 다른 후보자들의 가능성에 영향을 미치지 않는다. 추가적으로 비슷한 대안의 효과가 다른 표의 분포에 따라 좌우되는 추가적인 제도가 있다.

네거티브 복제 및 포지티브 복제

클론의 독립성에 실패하는 선거 방식은 클론 네거티브(비슷한 후보를 추가하면 다른 후보의 당선 가능성이 감소한다) 또는 클론 플러스(비슷한 후보를 추가하면 다른 후보의 당선 가능성이 높아진다)가 될 수 있다.

한 가지 방법은 또한 복제 양수도 음수도 아닌 방식으로 복제 방법의 독립성을 떨어뜨릴 수 있다. 승자가 없는 후보가 복제될 때 승자에 대한 결정 방식이 바뀌면 이런 일이 벌어지지만, 새로운 승자는 복제된 후보가 아니다. 그 효과를 혼잡이라고 한다.

보르다 카운트는 복제 양성 방법의 예다. 다원성 투표는 투표 분할로 인한 복제 음성 방식의 예다. 코프랜드의 방법은 혼잡함을 나타내는 방법의 예다.

준수 방법

즉석 결선 투표와 순위 쌍, 슐체 방식^[2] 등 콘도르셋 기준을 준수하는 일부 선거 방식도 클론의 독립성을 충족한다.

채점된 투표 시스템에 대해 '클론 집합'이라는 용어의 해석이 논란이 되고 있다. 클론이 유권자에 의해 거의 동일하다고 여겨지는 후보라면, 범위 투표와 다수결은 기준을 만족시킨다. 복제본이 여전히 유사하지만 기존 후보보다 확실히 우월한 후보들을 포함한다면, 비록 그 후보의 열등한 복제본이 승리하지 않았더라도, 우수한 복제본이 범위 투표에서 승리할 수 있다. 그러나, 범위 투표와 다수결은 관련 없는 대안들의 독립성을 만족시키기 때문에, 클론의 추가는 결코 이미 존재하는 후보자들에게 도움이 되거나 해를 끼치지 않는다.

이 기준에 미달하는 다른 방법으로는 보르다 카운트, 미니맥스, 케메니-가 있다.영 메서드, 코프랜드의 메서드, 버클린 투표, 복수 투표, 2회전제. 라운드당 복수의 후보를 탈락시키거나(예: 임시투표) 유권자가 모든 후보의 순위를 매기는 것을 금지(예: 보충투표)하는 '즉석 결선투표'의 변종도 기준을 통과하지 못한다.

예

보르다 카운트

A와 B 두 명의 후보가 있는 선거를 생각해 보라. 유권자가 다음과 같은 선호를 가지고 있다고 가정하자.

후보 A는 보르다 포인트 66%(66%×1 + 34%×0)를, B는 34%(66%×0 + 34%×1)를 받는다. 따라서 A 후보는 66%의 압승으로 승리할 것이다.

이제 B를 지지하는 사람들이 B와 매우 비슷하지만 모든 유권자들이 볼 때 열등하다고 생각하는₂ B를 추가로 지명한다고 가정해보자. A를 선호하는 66%에게 B는 계속해서 그들의 두 번째 선택이다. B를 선호하는 34%의 경우 A가 계속 가장 선호하지 않는 후보군이다. 이제 유권자들의 선호도는 다음과 같다.

A 후보자는 현재 132% 보르다 포인트(66%×2 + 34%×0)를 갖고 있다. B는 134%(66%×1 + 34%×2)이다. B는₂ 34%(66%×0 + 34%×1)이다. B의₂ 지명은 B와₂ B의 유사성 때문에 유권자의 선호도에 대한 추가 정보가 중복되어 있음에도 불구하고 압승을 뒤집으며 승자를 A에서 B로 바꾼다.

비슷한 예로 보르다 카운트를 고려할 때 임의의 대규모 산사태는 충분한 후보를 추가함으로써 뒤집힐 수 있다는 것을 보여줄 수 있다(적어도 한 명의 유권자가 압도적 패자를 선호한다고 가정한다. 예를 들어, B보다 A에 대한 90%의 압도적 선호도를 뒤집으려면 B와 유사하거나 더 나은 9개의 대안을 추가하십시오. 그러면 A의 점수는 900%(90%×10 + 10%×0), B의 점수는 910%(90%×9 + 10%×10)가 된다.

이 전략을 이용하기 위해서는 유권자들의 선호도를 알 필요가 없다. 계파들은 단순히 그들이 선호하는 대안들과 유사한 대안들을 가능한 한 많이 지명할 수 있다.

일반적인 선거에서, 게임 이론은 이러한 보르다의 조작가능성이 심각한 문제가 될 수 있다는 것을 시사한다. 특히 많은 유권자들이 (많은 유권자들이 전략적으로 세련되지 못한, 공공선거에서처럼) 그들의 성실한 선호 질서를 투표할 것으로 기대할 수 있을 때 말이다. Michael R을 인용하라. 칼텍의 알바레즈). 소수민족은 전형적으로 추가 후보를 지명할 수 있는 힘을 가지고 있으며, 전형적으로 비슷한 후보를 추가로 찾는 것이 쉽다.

공직에 출마한 사람들의 맥락에서 사람들은 이 문제에 대해 비슷한 입장을 취할 수 있고, 제안들에 대한 투표의 맥락에서, 유사한 제안들을 구성하기 쉽다. 게임 이론은 모든 계파가 유권자의 선호도에 상관없이 승자가 비슷한 후보의 수에 따라 좌우되기 때문에 가능한 한 많은 유사 후보를 공천하려고 할 것이라는 것을 시사한다.

코프랜드

이러한 예는 코프랜드의 방법이 복제의 독립성 기준을 위반한다는 것을 보여준다.

크라우딩

코플랜드의 방식은 혼잡에 취약한데, 즉 당선되지 않은 후보의 (비승) 복제본을 추가함으로써 선거 결과가 바뀐다는 것이다. A, B, B₂, B₃, C 후보 5명과 다음 선호도를 가진 유권자 4명을 가정해 보십시오.

참고로 B, B₂, B는₃ 클론 세트를 형성한다.

지정되지 않은 복제본

클론 중 하나만 경쟁할 경우 선호도는 다음과 같다.

결과는 다음과 같이 표로 표시된다.

• [X]는 열 캡션에 나열된 후보자를 행 캡션에 나열된 후보자보다 선호한 유권자를 나타낸다.
• [Y]는 열 캡션에 나열된 후보자보다 행 캡션에 나열된 후보자를 선호하는 유권자를 나타낸다.

결과: C는 1승 무패, A는 1승 1패. 따라서 C는 Copeland 우승자로 선출된다.

복제본 지정

세 개의 복제본이 모두 경쟁할 것이라고 가정합시다. 선호도는 다음과 같다.

결과는 다음과 같이 표로 표시된다.

결과: 그래도 C는 1승 무패인데, 현재 A는 3승 1패를 기록하고 있다. 따라서 A는 Copeland 우승자로 선출된다.

결론

C가 모든 후보들과 연계되어 있기 때문에 C는 클론으로부터 이익을 얻을 수 없는 반면, C는 클론으로부터 이익을 얻을 수 없다. 따라서 당선되지 않은 B 후보의 복제본을 두 개 추가함으로써 승자가 달라졌다. 따라서 코프랜드의 방법은 혼잡에 취약하며 복제 기준의 독립성을 상실한다.

팀 구성

코프랜드의 방식은 팀워크에도 취약해 클론을 추가하면 클론 세트 승산이 높아진다. 다시 다음과 같은 선호를 가진 A, B, B₂, B₃, C 후보 5명과 유권자 2명을 가정해 보십시오.

참고로 B, B₂, B는₃ 클론 세트를 형성한다.

지정되지 않은 복제본

클론들 중 오직 한 명만이 경쟁할 것이라고 가정해보십시오. 선호도는 다음과 같다.

결과는 다음과 같이 표로 표시된다.

결과: A는 1승 무패, B는 승패가 없어 A는 Copeland 우승자로 선출된다.

복제본 지정

세 개의 복제본이 모두 경쟁할 경우, 선호도는 다음과 같다.

결과는 다음과 같이 표로 표시된다.

결과: A는 1승 무패인데, 현재 B는 2승 무패. 따라서 B는 코프랜드 우승자로 선출된다.

결론

B는 열등한 클론을 추가함으로써 이익을 얻는 반면, A는 클론을 모두와 결합하기 때문에 클론으로부터 이익을 얻을 수 없다. 그래서 B의 복제본을 두 개 더 추가함으로써 B는 패배자에서 승자로 바뀌었다. 따라서 코프랜드의 방법은 팀 구성에 취약하며 복제의 독립성 기준에 어긋난다.

다원투표

A와 B 두 명의 후보가 있고, 유권자의 55%가 B보다 A를 더 선호한다고 가정하자. A는 55% 대 45%의 선거에서 승리할 것이다. 그러나 B의 지지자들도 A라는₂ 이름의 A와 비슷한 대안을 지명한다고 가정하자. B보다 A를 선호하는 유권자 중 상당수도 A보다 A를₂ 선호한다고 가정하자. 이들이 A에게₂ 투표할 때 A의 총점이 45% 이하로 줄어들어 B가 승리하게 된다.

레인지 투표

범위 투표는 복제 기준의 독립성을 만족시킨다.

유권자들의 의견이 달라지다.

다만 모든 투표제도와 마찬가지로 비슷한 후보가 추가될 경우 유권자가 후보에 대한 의견을 바꾸면 복제 후보를 추가하면 선거 결과가 달라질 수 있다. 이것은 일부 전제에서 볼 수 있으며, 간단한 예로 다음과 같은 것을 들 수 있다.

범위 투표에서, 투표의 영향력을 높이기 위해, 유권자는 가장 선호하는 대안에는 가능한 최대 점수를 주고, 가장 선호하지 않는 대안에는 가능한 최소 점수를 줄 수 있다.^[3] 실제로 어느 정도 문턱을 넘는 모든 후보에게 최대한의 점수를 주고 다른 후보에게 최소 가능한 점수를 주는 것은 결과에 대한 투표의 영향력을 극대화할 수 있다.^[4] 그러나 이 예에서는 유권자가 첫 번째 간단한 규칙을 사용할 필요가 있지만 두 번째 규칙을 사용할 필요는 없다.

우선 A, B, B의₂ 세 가지 대안이 있다고 가정하면, B는₂ B와 비슷하지만 A와 B의 지지자들에 의해 열등하다고 간주된다. A를 지지하는 유권자는 A에게 최대한의 점수를 주고, B에게₂ 최저 점수를 주고, B에게 그 중간(최소값보다 큰 점수)의 점수를 주도록 "A>B>B₂"를 선호할 것이다. B의 서포터즈는 선호도 "B₂>B>A"의 순서가 있기 때문에 B에게 가능한 최대점수, A는 최소점수, B는₂ 중간점수 정도의 점수를 준다. B가 근소한 차이로 선거에서 이긴다고 가정하자.

이제₂ B가 지명되지 않았다고 가정해보자. 그 중간쯤에서 B에게 점수를 주었을 A를 지지하는 유권자들은 B에게 최소 점수를 주겠지만 B의 지지자들은 B에게 최대 점수를 주어서 승자가 A로 바뀔 것이다. 이것은 기준을 위반한다. 유의할 점은 B를 지지하는 유권자가 B보다 B를₂ 선호할 경우 B를₂ 제거하면 A의 지지자들로부터 받는 점수가 감소하는 것과 유사한 방식으로 B가 자신의 지지자들로부터 받는 점수가 높아지기 때문에 이 결과는 유지되지 않을 것이라는 점이다.

결론은 모든 유권자들이 특정한 방식으로 투표하는 것을 고려할 때, 범위 투표는 여러분이 선호하는 것과 유사하지만, 그의 유권자들과 그의 상대편의 유권자들이 분명히 열등하다고 생각되는 추가적인 대안을 지명할 동기를 만들어 낸다는 것이다. 왜냐하면 이것은 유권자들이 오퍼를 지지하는 유권자들을 야기시킬 수 있기 때문이다.당신이 선호하는 것에 대한 점수를 올리기를 원하지만, 그들의 점수를 낮추기 위해 그의 유권자들은 그렇지 않다.

순위-클론의 엄격히 해석된 정의

복제의 독립성 기준을 위한 복제 세트의 정의가 순위 투표 시스템에 대해 작성되었다. 점수가 매겨진 투표 시스템의 경우, 이 정의는 정확하지 않다. 이를 알 수 있는 예는 다음과 같다.

다음 점수로 A, B, C 후보 3명을 가정해 보십시오.

{A, B} 세트는 C에게 A와 B의 점수 사이에 점수를 주는 유권자가 없기 때문에 클론 집합이다.

또한, {B, C} 세트는 A에게 B와 C의 점수 사이에 점수를 주는 유권자가 없기 때문에 클론 집합이다.

{A, C} 세트는 복제본이 아니다. 두 유권자 모두 B에게 A와 C의 점수 사이에서 점수를 주기 때문이다.

그래서 A는 B의 클론이고 B는 C의 클론이지만 A는 C의 클론이 아니다.

이제 (B 없이) A와 C 사이에 선거가 치러지면 A가 승리한다. B가 추가되면 B가 이기게 된다. B는 1등 A의 클론이다. 그러나 B도 애초에 패배자인 C의 복제인간이다. 따라서 엄격한 형태의 정의를 사용하는 B는 이기지 말아야 하는데, 왜냐하면 열등한 C는 이기지 못하기 때문이다.

그러나 이러한 엄격한 버전의 클론 정의에서도 승리하지 못한 클론을 추가한다고 해서 모든 후보가 승리할 가능성이 달라지는 것은 아니다.

참고로 콘도르셋 방법은 이 예에서 모든 후보자들 사이에 결부되게 된다. 클론의 독립성이 충족되는지 여부는 타이브레이커에 달려 있다. 슐체 방식이나 순위 쌍을 사용하여 무작위로 동점 후보 중 하나를 선택하는 것만으로 B가 경쟁하지 않으면 복제 세트 {A, B}의 확률이 50%에서 67%로 높아져 기준을 위반하게 된다.

클론의 정의가 채점된 투표 방법에 어떻게 적응해야 하는지가 논란이 되고 있다.

스타 투표

케메니영법

이 예는 케메니-이것을 보여준다.젊은 방법은 복제의 독립성 기준을 위반한다. 다음과 같은 선호를 가진 후보 A, B₁, B₂, B₃, C 5명과 유권자 13명을 가정해 보자.

참고로₁ B, B₂, B는₃ 클론 세트를 형성한다.

지정되지 않은 복제본

클론 중 한 명만 경쟁한다고 가정해 보십시오. 선호도는 다음과 같다.

더 케메니-젊은 방법은 다음 집계표에 쌍 비교 카운트를 정렬한다.

가능한 모든 랭킹의 랭킹 점수는 다음과 같다.

결과: 순위₁ B > C > A가 순위 점수가 가장 높다. 따라서 B는₁ C와 A에 앞서 승리한다.

복제본 지정

세 개의 복제본이 모두 경쟁한다고 가정해 보십시오. 선호도는 다음과 같다.

더 케메니-젊은 방법에서는 쌍 비교 카운트를 다음 집계표($i{\displaystyle \in \{}$1,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle i\in \{1,$2,3$\backslash \})$에 정렬한다.

클론들은 다른 모든 후보들과 동일한 결과를 내기 때문에 최적의 순위에서 차례로 순위를 매겨야 한다. 더 이상, 클론 내의 최적 랭킹은 명확하지 않다₁: B > B > B₂₃. 실제로 결과를 계산하기 위해 세 개의 복제본이 하나의 단일 후보 B로 볼 수 있는데, 이 후보 B의 승패는 복제 한 개당 승패의 3배에 달한다. 이와 관련하여 가능한 모든 랭킹의 랭킹 점수는 다음과 같다.

결과: 랭킹 A > B₁ > B₂ > B₃ > C가 랭킹 점수가 가장 높다. 따라서 A는 클론 B와_i C보다 앞서 승리한다.

결론

A의 승리에 3을 곱하기 때문에 B의₁ 두 클론으로부터 이익을 얻는다. 그래서 B의 복제본을 두 개 더 추가함으로써 B는 승자에서 패자로 바뀌었다. 그래서, 케메니-젊은 방법은 스포일러에 취약하며 복제 기준의 독립성을 상실한다.

미니맥스

이 예는 미니맥스 방법이 복제의 독립성 기준을 위반한다는 것을 보여준다. 다음과 같은 선호를 가진 A, B₁, B₂, B₃ 후보 4명과 9명의 유권자를 가정해 보자.

참고로₁ B, B₂, B는₃ 클론 세트를 형성한다.

모든 선호도는 엄격한 순위(동등한 순위는 없음)이기 때문에 세 가지 미니맥스 방법(승부표, 득표율, 득표율, 상대편) 모두 동일한 당첨자를 선출한다.

지정되지 않은 복제본

클론 중 한 명만 경쟁할 것이라고 가정해 보십시오. 선호도는 다음과 같다.

결과는 다음과 같이 표로 표시된다.

• [X]는 열 캡션에 나열된 후보자를 행 캡션에 나열된 후보자보다 선호한 유권자를 나타낸다.
• [Y]는 열 캡션에 나열된 후보자보다 행 캡션에 나열된 후보자를 선호하는 유권자를 나타낸다.

결과: B는 콘도르케트의 우승자다. 따라서 B는 미니맥스 우승자로 선출된다.

복제본 지정

이제 세 개의 복제본이 모두 경쟁할 것이라고 가정합시다. 선호도는 다음과 같다.

결과는 다음과 같이 표로 표시된다.

결과: A가 가장 큰 패배를 했다. 따라서, A는 미니맥스 우승자로 선출된다.

결론

클론을 추가함으로써 콘도르셋 우승자 B는₁ 패배하게 된다. 세 명의 클론 모두 명백한 패배로 서로를 때렸다. 그것으로부터 이익을 얻는다. 그래서 B의 복제본을 두 개 더 추가함으로써 B는 승자에서 패자로 바뀌었다. 따라서 미니맥스 방법은 스포일러에 취약하며 복제 기준의 독립성을 상실한다.

참고 항목

• 전략공천

참조