월시 함수

수학에서, 보다 구체적으로 고조파 분석에서 월시함수는 푸리에 분석에서 삼각함수가 어떤 연속함수를 나타내기 위해 사용될 수 있는 것처럼, 어떤 이산함수를 나타내기 위해 사용될 수 있는 완전한 직교함수 집합을 형성한다.^[1] 따라서 그것들은 단위 간격의 삼각함수의 연속적인 아날로그 시스템의 이산 디지털 대응으로 볼 수 있다. 그러나 연속적인 사인 및 코사인 함수와 달리 월시 함수는 조각처럼 일정하다. 그들은 디아디드 분수에 의해 정의된 하위 간격에 대해서만 -1과 +1 값을 취한다.

월시 함수 시스템은 월시 계통이라고 알려져 있다. 직교 함수의 Rademacher 시스템의 확장이다.^[2]

월시 함수, 월시 계통, 월시 시리즈,^[3] 그리고 빠른 월시-하다마드 변환은 모두 미국의 수학자 조셉 L. 월시의 이름을 따서 명명되었다. 그들은 디지털 신호를 분석할 때 물리학과 공학에서 다양한 응용 프로그램을 찾는다.

역사적으로 월시 함수의 다양한 숫자가 사용되어 왔으며, 그 중 특별히 다른 함수에 비해 우월한 것은 없다. 이 글에서 우리는 월시-팔리 숫자를 사용한다.

정의

월시함수 $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$:${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$→${\displaystyle }${${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 1\}}$ ${\displaystyle W_{k}:[0,1]\오른쪽$ 화살표 $\{-1$ k${\displaystyle \in }$ N ${\$의 순서를 다음과 같이$$ 정의한다.

자연수 k와 실수 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$[ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle x\in [0,1]$에 대해$,$ 다음을 수행하십시오.

${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$은(는) k의 이진 표현에서 j번째 비트로$$, k ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$을(를) 최하위 비트로$$ 하고,

${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 이진$$ 표현에서 j번째^{[clarification needed]} 비트로, x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}를 $가장$유의미한 부분 비트로$$ 시작한다.

그렇다면, 정의상

${\displaystyle W_{k}(x)=(-1)^{\sum _{j=0}^{\inful }k_{j}x_{j+1}}}}}}$

특히 W ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle W_{0}(x)=1}$의 모든 비트가 0이기 때문에 간격마다 어디에나$$ 있다.

$W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{2m}^{}}_{}}$ ${\$이(가) 정확히 Rademacher 함수 r이라는_m 점에 유의하십시오. 따라서 라데마허 시스템은 월시 시스템의 서브시스템이다. 더욱이 모든 월시 함수는 라데마허 함수의 산물이다.

${\displaystyle W_{k}(x)=\prod _{j=0}^{\nothy }r_{j}(x)^{k_{j}}}}}$

월시함수와 삼각함수의 비교

월시함수와 삼각함수는 모두 단위 간격의 제곱합성함수의 힐버트 ${\displaystyle {공간\mathrm{}}^{}}$ $L{\displaystyle {}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ L$^{2}[0,1]}}$에서 정사각형 함수의 전체 정사각형 함수를 구성하는 시스템이다. 두 가지 모두 하르 시스템이나 프랭클린 시스템과는 달리 한정된 기능의 시스템이다.

삼각계 및 월시 시스템 모두 단위 간격에서 실제 라인 $R{\displaystyle \mathbb{}}${\$displaystyle \mathb {R}}$까지 주기성에 의한 자연 확장을 인정하며$,$ 또한 단위 간격(푸리에 시리즈)과 실제 라인(푸리에 변환)에 대한 푸리에 분석은 모두 월시 시스템, 월시 시리즈를 통해 정의된다.푸리에 시리즈에 알로거스, 그리고 하다마드 변환은 푸리에 변환과 유사하다.

특성.

The Walsh system ${\displaystyle \{W_{k}\},k\in \mathbb {N} _{0}}$ is a commutative multiplicative discrete group isomorphic to ${\displaystyle \coprod _{n=0}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, the Pontryagin dual of Cantor group ${\displays$$tyle \prod _{n=0}^{\infit }\mathb {Z} /2\mathb {Z$ 정체는 W ${\$이고$,$ 모든 원소는 순서가 2(즉, 자기반복)이다.

월시계는 힐베르트 $공간{\displaystyle {}^{}}$ L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle L^{2}[0,1]}}$의 정형화된 기반이다$.$ 정형성은 다음을 의미한다.

${\$$}{W_{k}(x)W_{l}(x)dx=\delta _{kl$

그리고 기초가 된다는 것은 만약 모든 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$[ 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle f\in L^{2}[0,1]}$에 대해$$f ${\displaystyle k_{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 0 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle x}$) W ${\displaystyle k_{}}$( ${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle d}$ ( x${\displaystyle }$) d ( ${\displaystyle f_{k}=\int _{0^{0^{$1}$f_{k$}F_{k}{k}F_{k}{k}$f$(xd){k($x)($x)}$x)$x)x)x)x$$)x}x}x}x}x$}$x}x

${\displaystyle \int _{0}^{0}^{1}(f(x)-\sum _{k=0}^{N}f_{k}}W_{k}(x)^{2}dx{\xrightarrow[{N\오른쪽 화살표 \infit }]{}}}{}}}$

알고 보니 모든 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$[ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle f\in L^{2}[0,1]}$에 대해$$$\sum {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{k}}}}$= 0 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ f ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle W_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }f_${}f_${k}}}.$$W_{k}(x)}$은(는) $거의{\displaystyle }$ $모든{\displaystyle }$ x$$ ${\displaystyle \in }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle x\in [0,1]$에 대해 f${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(x)}$에 수렴한다$.$

그 월시 시스템(Walsh-Paley 숫자에). 그 Haar 시스템이 맡았고, 삼각 시스템과는 비슷하게, 이러한 기준도 L1[0,1]에 있는 시스템은 Schauder 기준 무조건 없습니다 나는 p에서 Schauder 기준({\displaystyle L^{p}[0,1]}, 1<>p<>∞{1<, p<,\infty\displaystyle}을 형성한다. {\displayst$yle$ L$^{1}[0,1]}$.

일반화

월시-페를거 시스템

Let ${\displaystyle \mathbb {D} =\prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ be the compact Cantor group endowed with Haar measure and let ${\displaystyle {\hat {\mathbb {D} }}=\coprod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ be its discrete group 인물의 $D{\displaystyle \stackrel{}{\mathbb{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$의 요소는 월시 함수로 쉽게 식별된다$$. 물론 $문자$는$$D {\$displaystyle \mathb$ {D$}$에 정의되어 있는$$ 반면 월시 함수는 단위 간격에 정의되어 있지만, 이러한 측정 공간 사이에 modulo 0 이형성이 존재하기 때문에 이형계를 통해 해당 문자에 대한 측정 가능한 함수가 식별된다.

그 후 기본적 표현 이론은 월시계통의 개념을 다음과 같이 광범위하게 일반화할 것을 제안한다.

For an arbitrary Banach space ${\displaystyle (X, \cdot )}$ let ${\displaystyle \{R_{t}\}_{t\in \mathbb {D} }\subset Aut(X)}$ be a strongly continuous, uniformly bounded faithful action of ${\displaystyle \mathbb {D} }$ on X. $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle D\stackrel{}{\mathbb{}}}$^ $displaystyle \gamma \in {\hattb {D}}}}$에 대해$$eigenspace X ${\displaystyle {\gamma }_{}}$= { ${\displaystyle x\in }$ : ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ =${\displaystyle \gamma }$( ${\displaystyle t}$ )${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle X_{\gamma }=\{x\in X:$$R_{t}x=\감마(t)x$ Then X is the closed linear span of the eigenspaces: ${\displaystyle X={\overline {\operatorname {Span} }}(X_{\gamma },\gamma \in {\hat {\mathbb {D} }})}$. Assume that every eigenspace is one-dimensional and pick an element ${\displaystyle w_{\gamma }\in X_{\gamma }}$ such that ${\displaystyle w_{\gamma } =1}$. Then the system ${\displaystyle \{w_{\gamma }\}_{\gamma \in {\hat {\mathbb {D} }}}}$, or the same system in the Walsh-Paley numeration of the characters ${\displaystyle \{w_{k}\}_{k\in {\mathbb {N}$$}_{0}}}}$은(는) 작업${\displaystyle }${${\displaystyle R_{}}$ t ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {D\mathbb{}}_{}}$ ${\$과(와) 연관된 일반화된 월시 시스템이라고 불리며, 고전적인 월시 월시 시스템은 특별한 경우가 된다$.$

${\displaystyle R_{t}x=\sum _{j=1}^{\infit }x_{j}^{j}\mapsto \{j=1}^{j=1}\infit }}(x_{j}\oplus t_{j}}}}}}^{-j}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

여기서 $\oplus {\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }$은(는) addition modulo 2이다.

1990년대 초반, 세르지 Ferleger와 표도르 Sukochev은 바나흐 공간에 대한 넓은 클래스에서 많은 속성은 고전적인 하나 비슷한 시점입니다:그들은 임의의 무조건 수렴의 재산을 가지고 있는 Schauder 기준[5]그리고 공간을 한정된 치수 분해[6]을 형성하는 일반화된 월시 시스템(소위 부대 이동 제원 공간[4])을 보여 주었다..[7] 일반화된 월시 시스템의 한 가지 중요한 예는 하이퍼피니트 타입 II 인자와 관련된 비전속 L 공간의^p 페르미온 월시 시스템이다.

페르미온 월시 제도

페르미온 월시 시스템은 고전적인 월시 시스템의 비 커뮤티브, 즉 "퀀텀" 아날로그다. 후자와는 달리 기능이 아닌 연산자로 구성된다. 그럼에도 불구하고, 두 시스템은 많은 중요한 특성들을 공유한다. 예를 들어, 두 시스템 모두 해당하는 힐버트 공간에서 정형화된 기반을 형성하거나, 해당하는 대칭적인 공간에서 Schauder 기반을 형성한다. 페르미온 월시 시스템의 원소들은 월시 연산자라고 불린다.

시스템 이름에서 페르미온이라는 용어는 포락 연산자 공간, 이른바 하이퍼피니트 타입 II $인자{\displaystyle \mathcal{}}$ R ${\${\$mathcal{$$R}}$을(를) 고유 스핀 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$}페르미온의$$ 개수가 셀 수 없을 정도로 무한히 많은 시스템의 관측 가능 공간으로 볼 수 있다는 사실에 의해 설명된다. 각 Rademacher 연산자는 하나의 특정한 페르미온 좌표에만 작용하며, 거기에는 Pauli 행렬이 있다. $회전$ 공간의 축 중$$ ${\displaystyle \mathrm{하나}}$를 따라 ${\displaystyle \mathrm{페르미온}}$의 관측 가능한 측정 스핀 $구성$ 요소로 식별할 수 $있다.$ 따라서 월시 연산자는 페르미온의 부분집합의 스핀을 각각 자신의 축을 따라 측정한다.

빌렌킨 시스템

Fix a sequence ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},...)}$ of integers with ${\displaystyle \alpha _{k}\geq 2,k=1,2,\dots }$ and let ${\displaystyle \mathbb {G} =\mathbb {G} _{\alpha }=\prod _{n=1}^{\infty$$$제품 토폴로지와 정규화된 Haar 측정에 부여된$$ $}\mathb {Z} /\alpha _{k}\mathb {Z} }.$ Define ${\displaystyle A_{0}=1}$ and ${\displaystyle A_{k}=\alpha _{1}\alpha _{2}\dots \alpha _{k-1}}$. Each ${\displaystyle x\in \mathbb {G} }$ can be associated with the real number

${\displaystyle \좌측 x\우측 =\sum _{k=1}^{\inflat }{\frac {x_{k}}}\in \좌측[0,1\우측]}$

이 대응은 $G{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$과(와) 단위 간격 사이의 모듈 영 이형성이다. $또한{\displaystyle \mathbb{}}$ G ${\$의 토폴로지를 생성하는 규범을 정의하고 있다$.$ $여기$서${\displaystyle }$k =${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$2, …$${\$displaystyle k=1$,2$,\dots$의 경우, ${\displaystyle k_{}}$k :${\displaystyle G\mathbb{}}$ → ${\displaystyle C\mathbb{}}${\$displaysty \rho _{k}\mathb {$G$}$ $\to \$to {C}} $\mathb$}}}} \themathb}} }}을(으)로 정의한다.

${\displaystyle \rho_{k}(x)=\exp(i{\frac {2\pi x_{k}}}}=\coscos\pi x_{k}{k}}}}=\cospi\pi x{2\pi_{k}}}}}}}}.}$

세트 {${\displaystyle {\rho k}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{\rho_{k}\}\}}$을(를) 일반화된 래드마커 시스템이라고 한다$$. The Vilenkin system is the group ${\displaystyle {\hat {\mathbb {G} }}=\coprod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /\alpha _{k}\mathbb {Z} }$ of (complex-valued) characters of ${\displaystyle \mathbb {G} }$, which are all finite products of ${\displaystyle \{\rho _{k}\}}$. For each non-negative integer ${\displaystyle n}$ there is a unique sequence ${\displaystyle n_{0},n_{1},\dots }$ such that ${\displaystyle 0\leq n_{k}<\alpha _{k+1},k=0,1,2,\dots }$ and

${\displaystyle n=\sum _{k=0}^{\\infit }n_{k}A_{k}}$

그 $다음{\displaystyle \stackrel{}{\mathbb{}}}$ G${\displaystyle \stackrel{}{}^}$ = ${\displaystyle nn{}_{}}$ = ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$… ${\$여기서$$

${\displaystyle \chi _{n}=\sum _{k=0}^{\infit }\rho _{k+1}^{n_{k}}}}$

${\displaystyle \mathrm{특히}}$ $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$= ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle k}$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$2 ${\displaystyle \mathrm{...}}$${\displaystyle \alpha _{k}=2,k=1,2...}$, then ${\displaystyle \mathbb {G} }$ is the Cantor group and ${\displaystyle {\hat {\mathbb {G} }}=\left\{\chi _{n} n=0,1,\dots \right\}}$ is the (real-valued) Walsh-Paley system.

Vilenkin $시스템$은$$G {\$displaystyle \mathb$ {$G}}$에 있는 완전한 정형 $시스템$으로${\displaystyle {}^{}}$ L ${\displaystyle p^{}}$ (${\displaystyle G\mathbb{}}$ ,${\displaystyle }$C${\displaystyle }$)$${\$displaystyle L$^{p$}(\mathb {G},\mathb {C$ 1$∞$ {\$style$1<p$p$\fty$}$의 Scha.

이진 표면

로마누케는 월시 함수가 두 변수의 특정한 함수 사례에서 이항 표면으로 일반화될 수 있다는 것을 보여주었다.^[9] 정형외과적 이진함수의 월시(Walsh)와 같은 염기(Walsh)도 8개가 존재하는데,^[10] 그 구조는 (월시함수의 구조와 달리) 비정규적이다. 이 8개의 염기 역시 표면으로 일반화된다(두 변수의 함수의 경우). 적절한 계수로 가중치를 가했을 때 조각-정수함수는 9개의 베이스 각각(월시함수 기준 포함) 내에서 이항함수의 유한 합으로 표현될 수 있다는 것이 증명되었다.^[11]

비선형 위상 확장

이산 Walsh-Hadamard 변환의 비선형 위상 확장이 개발되었다. 교차 상관 특성이 개선된 비선형 위상 기반 기능이 코드분할 다중접속(CDMA) 통신에서 기존 월시 코드보다 월시 코드보다 월시 코드보다 월등히 우수한 것으로 나타났다.^[12]

적용들

월시 기능의 응용은 음성 인식, 의료 및 생물학적 이미지 처리, 디지털 홀로그래피 등 숫자표현이 사용되는 모든 곳에서 찾을 수 있다.

예를 들어, 디지털 준 몬테 카를로 방법 분석에 빠른 월시-하다마드 변환(FWHT)을 사용할 수 있다. 전파 천문학에서 월시 함수는 안테나 신호 사이의 전기적 크로스스토크의 영향을 줄이는데 도움을 줄 수 있다. X와 Y의 자기 상관을 최소화할 수 있는 X와 Y 바이너리 구동 파형으로 패시브 LCD 패널에서도 사용된다.

참고 항목

• 이산 푸리에 변환
• 고속 푸리에 변환
• 조화해석
• 직교 함수
• 월시 행렬
• 패리티 함수

메모들

참조

• Ferleger, Sergei V. (March 1998). RUC-Systems In Non-Commutative Symmetric Spaces (Technical report). MP-ARC-98-188.

• Ferleger, Sergei V.; Sukochev, Fyodor A. (March 1996). "On the contractibility to a point of the linear groups of reflexive non-commutative Lp-spaces". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 119 (3): 545–560. Bibcode:1996MPCPS.119..545F. doi:10.1017/s0305004100074405.

• Fine, N.J. (1949). "On the Walsh functions". Trans. Amer. Math. Soc. 65 (3): 372–414. doi:10.1090/s0002-9947-1949-0032833-2.

• Pisier, Gilles (2011). Martingales in Banach Spaces (in connection with Type and Cotype). Course IHP (PDF).

• Romanuke, V. V. (2010a). "On the Point of Generalizing the Walsh Functions to Surfaces".

• Romanuke, V. V. (2010b). "Generalization of the Eight Known Orthonormal Bases of Binary Functions to Surfaces".

• Romanuke, V. V. (2010c). "Equidistantly Discrete on the Argument Axis Functions and their Representation in the Orthonormal Bases Series".

• Schipp, Ferenc; Wade, W.R.; Simon, P. (1990). Walsh series. An introduction to dyadic harmonic analysis. Akadémiai Kiadó.

• Sukochev, Fyodor A.; Ferleger, Sergei V. (December 1995). "Harmonic analysis in (UMD)-spaces: Applications to the theory of bases". Mathematical Notes. 58 (6): 1315–1326. doi:10.1007/bf02304891. S2CID 121256402.

• Walsh, J.L. (1923). "A closed set of normal orthogonal functions". Amer. J. Math. 45 (1): 5–24. doi:10.2307/2387224. JSTOR 2387224. S2CID 6131655.

• Young, W.-S. (1976). "Mean convergence of generalized Walsh-Fourier series". Trans. Amer. Math. Soc. 218: 311–320. doi:10.1090/s0002-9947-1976-0394022-8. JSTOR 1997441.

외부 링크

• "Walsh functions". MathWorld.

• "Walsh functions". Encyclopedia of Mathematics.

• "Walsh system". Encyclopedia of Mathematics.

• "Walsh functions". Stanford Exploration Project.